第七讲 图像形态学处理

8、映像（集合的反射）：
ˆ {x | x a , a A } A
集合的图解表示：
A
B Z
c
A B
x1
A B
x2
x1
( A)
x2
A B
( A) x ( x ( x1 , x2 ))
ˆ A
四、膨胀与腐蚀
1、膨胀（使图像扩大）
ˆ ) A] } A B {x | [(B x
A
Biblioteka Baidu
*
B (A
* *
-
X ) [ A
-
c
c
(W X )]
-
A
B (A
B1 ) [ A
A
B (A
B1 ) [ Ac
B2 ] ˆ ] B
2
B1是由与一个对象相联系的 B 元素构成的集合，B2 是与 相应背景有关的 B元素的集合，相应有B1 =X ， B2 =W X
例四、形状检测
代数和数论等），理论基础艰深，但基本观念比较简单。 理论基础和所用语言为：集合论。 图像中的集合：代表二值图像或者灰度（彩色）图像的
形状。如：黑白图像中的黑像素集合是图像的完全描述，
感兴趣目标区域的像素集合。
数学形态学图像处理的基本思想：使用具有一定形态 的结构元素，去度量和提取图像中的对应形状，如边界、 骨架、凸壳等，以达到对图像进行分析和识别的目的。 数学形态学图像处理意义：可以简化图像数据，保持
连通分量中像素的数目 原始图
门限 处理
5x5腐 蚀后的 结果
4、凸壳 如果连接集合A内任意两个点的直线段都在A的内部，
则A 是凸形的。 ������
������
集合 A 的凸壳H是包含 A 的最小凸集合。
求集合 A 的凸壳C(A)的形态学算法：
X ( X k 1
i k
*
B ) A
i
X 0 A X k X k 1 ：迭代终止 4 i i i D X C ( A) D k
开操作与闭操作优势： 不明显改变目标面积的同时，
平滑目标的边缘。
腐蚀、膨胀、开与闭的比较：
原始图像
腐蚀结果
膨胀结果
开 运 算
闭 运 算
例三、开闭操作（先开操作后闭操作构成噪声滤波器）
1 1 1 1 1 1 1 1
B
噪声
1
A— B
消除背景噪声 指纹噪声增加
B
—B
指纹噪声减除 指纹产生间断
指纹间断消弱 指纹纹路加粗
•
Y
Z
• • X
W
•
WX
A X Y Z
Ac
•
A - X
•
Ac - (W X )
•
( A - X ) ( Ac - (W X ))
七、形态学的主要应用
1、边界提取
( A) A ( A
A
-
B)
原点
B
A -B
( A)
3x3结构元素获得单像素宽度边界，5x5结构元获得2
A 相对位移B
删除的点 ？ 保留的点
原点位于结构元素中的膨胀操作
+
图像 A
结构元 B
A 相对位移B
原点不在结构元素中的膨胀操作
增加的点
删除的点
+
？
？ ？
增加的点
图像 A
结构元 B
此时膨胀的结果与A没有任何关系，即：
( A B) A
4、腐蚀的运算
a、基于腐蚀定义本身的运算
+
保留的点
腐蚀操作 膨胀操作
开操作示意
ΑΒ
闭操作示意
ΑΒ
3、开操作与闭操作的性质
开操作的性质
(Α Β) Α C A (C Β) (Α Β) (Α Β) B Α Β
闭操作的性质
Α (Α Β) C A (C Β) (Α Β) (Α Β) B Α Β
或3个像素宽度的边界。
例五、形态学提取边界
简单的二值图象
单像素宽度边界
结构元为3x3
2、区域填充 区域用1填充（非边界点为0）
X k ( X k 1 B) Ac
k 1, 2 , 3 ,
X 0 ：初始点 X k X k 1 ：迭代终止
原点
B A
A
c
填充结果
例六、区域填充 初始点
C {c | c A or c B}
C A B
4、交集：
C {c | c A and c B}
C A B
5、补集： 6、集合的差：
A {x | x A }
c
A B {x | x A , x B } A Bc
7、位移：
( A) x { y | y a x , a A }
{(1 , 1), (1 , 2), (2 , 1), (2 , 2), (2 , 3), (2 , 4), (3 , 1), (3 , 2), (3 , 3), (3 , 4), (4 , 2), (4 , 3), (5 , 2) }
c、基于位移运算的膨胀操作
+
保留的点
增加的点
图像 A
结构元 B
由开闭的性质有：同一结构元对于同一幅图像的多次开 闭操作等同于对图像的一次开闭操作
4、开操作与闭操作
Α - Β
· 结构元
开操作：使对象轮廓变 得光滑，断开狭窄的间 断和消除细的突出物 闭操作：使对象轮廓变得
ΑΒ
ΑΒ
更为光滑，消除狭窄的间
断和长细的鸿沟，消除小 的孔洞并填补轮廓线中的
ΑΒ
断裂。
腐蚀掉的点
图像 A 结构元 B 原点位于结构元素中的腐蚀操作
保留的点
+
腐蚀掉的点
图像 A
结构元 B
原点不在结构元素中的腐蚀操作
b、基于向量运算的腐蚀操作 设图像左上角的坐标为(0，0)，则：
+
A ={(1，1)， (2，1)， (2，2)， (2，
3)， (3，2)， (3，3)， (4，2)}；
解释：A 被 B 膨胀是所有位移 x 的集合， B 的映射与A至少
有一个元素是重叠的。换言之，用 B 膨胀 A 得到的集合是B 的映射的位移与 A 至少有一个非零元素相交时 B 的原点 x 位置的集合。从而上式变为：
ˆ ) A] A} A B {x | [(B x
膨胀的另外定义为：
A B {x | x a b, a A, b B} A B ( A) b
0
间断连接 目标加粗
例二、腐蚀的应用（二值图像中的应用）
图像内部边长为1、3、5、 结构元素进行一次腐蚀 7、9和15像素的正方形图像
结构元素进行一次膨胀
结构元素为13x13，主要目的“滤除掉小于13个像素的小目标。
五、开操作与闭操作
1、定义 开操作为：
A B (A
-
B) B
即：使用结构元素 B 对集合 A 的开操作是用 B 对 A
5、细化
细化过程定义为：
A B A (A
*
B) A ( A * B)c
细化过程的另一种定义为：
{B} {B1 , B2 , B3 , , Bn } 1 2 n A {B} ((((A B ) B )) B )
二值图象
选定区域填充后的图象
填充所有区域后的图象
3、连通分量的提取 连通分量 Y
X k ( X k 1 B) A
Y Xk
k 1, 2 , 3 ,
X 0 ：初始点 X k X k 1 ：迭代终止
起点
结构元
A
第一次迭代的结果
最终的结果
例七、使用连通分量检测包装食物中的异物
第 七 讲 图像形态学处理
西安电子科技大学机电工程学院
王
义
敏
一、数学形态学图像处理 形态学：生物学的分支，研究动植物的形态和结构 数学形态学：分析几何形状和结构的数学方法，建立在 集合代数的基础上，用集合论方法定量描述集合结构的学 科。1985年以后成为分析图像几何特征的工具。
数学形态学是一门交叉学科，有严格的数学理论（集合
b、基于向量运算的膨胀操作 设图像左上角的坐标为(0，0)，则：A ={(1，1)， (2，1)， (2，2)， (2，3)， (3，2)， (3，3)， (4，3)}，B={(0，0)，
(1，0)， (0，1)}
A B {(1 , 1), (2 , 1), (2 , 2), (2 , 3), (3 , 2), (3 , 3), (4 , 3), (2 , 1), (3 , 1), (3 , 2), (3 , 3), (4 , 2), (4 , 3), (5 , 3), (1 , 2), (2 , 2), (2 , 3), (2 , 4), (3 , 3), (3 , 4), (4 , 4), }
腐蚀，然后用 B 对腐蚀结果进行膨胀。 开操作的另一定义为：
A B {( B) x | ( B) x A}
关闭操作为：
A B ( A B)
-
B
即：使用结构元素 B 对集合 A 的闭操作是用 B 对 A
膨胀，然后用 B 对腐蚀结果进行腐蚀。
2、开操作与闭操作的几何解释
· 结构元
三、集合论的基本概念
1、集合的定义： 具有某种性质的、确定的、有区别的事物的全集，
用大写字母表示。不包含任何元素的集合称为空集，规
定任何空集都只是同一个集合，记作 Φ 。 在数字图像处理中，集合是图像中描述的对象或其他
感兴趣特征的像素坐标。
2、子集： 3、并集：
a A , aB A B
3、若物体之间有细小的连通，选择适当的结构元，
可以将物体分开。 4、不同的结构元及其不同的原点，产生不同的结果
3、膨胀的运算
a、基于膨胀定义本身的运算
+ +
保留的点
图像 A
结构元 B 原点位于结构元素中的膨胀操作
增加的点
删除的点 ？ 保留的点
+
图像 A
结构元 B 原点不在结构元素中的膨胀操作
+
增加的点
图像 A
结构元 B
B={(0，0)， (1，0)， (0，1)}
A - B {x | x b A , b B }
{(2 , 2), (3 , 2) }
A
-
B
c、基于位移运算的腐蚀操作
共同的点
+
图像 A
结构元 B B的映射 A的移位并求交 A 原点位于结构元素中的腐蚀操作 腐蚀掉点
bB
膨胀的算法：
1、用结构元素，扫描图像的每一个像素； 2、用结构元素与其覆盖的二值图像做“与”运算 3、如果都为0，结果图像的该像素为0，否则为1
膨胀的作用：
1、用3x3的结构元时，物体的边界沿周边增加一个像素 2、把目标周围的背景点合并到目标中，目标之间存 在细小的缝隙，膨胀可能将不同目标连通在一起
噪声斑点消除 指纹纹络间断
例四、引述电路板
a d
b e
c f
(a)原始灰度图像；(b)二值化后的图像；(c)用开运算清除噪 声；(d)用腐蚀和膨胀抽取各结点；(e)抽取骨架分离各线路；(f) 线路、结点和端点的最终显示
六、击中或击不中变换
1、作用：形状检测（图像中的对象是彼此不相连的） 2、表达式（有三种）为：
3、填补分割后物体中的空洞
2、腐蚀（使图像缩小）
A B {x | ( B) x A}
解释：A 被 B 腐蚀是所有位移 x 的集合， 其中 B 平移 x 后 仍包含于 A 中。换言之，用 B 腐蚀 A 得到的集合是B 完全 包含在 A 中时 B 的原点位置的集合。 腐蚀的另外定义为：
A
B {x | x b A, b B}
A B ( A) b
bB
向量的观点
位移的观点
腐蚀的算法：
1、用结构元素，扫描图像的每一个像素；
2、用结构元素与其覆盖的二值图像做与运算 3、如果结果都为1，结果图像的该像素为1，否则为0
腐蚀的作用：
1、用3x3的结构元时，物体的边界沿周边减少一个像素 2、消除掉图像中小于结构元大小的目标物体
它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。 数学形态学的基本运算：膨胀、腐蚀、开启和闭合,击中
击不中变换。
二、基本概念 形态学：从图像出发，研究物体目标的结构和拓扑关系 结构元素：任意大小，包含任意0、1组合的一个区域。
结构元素中的任意一点都可以成为结构元的原点。
形态学图像处理：结构元素与图像进行逻辑运算产生新 的图像的处理方法。 结构元与图像的运算：类似卷积，但用逻辑运算代替乘 加运算，结果为处理后图像的像素值。 形态学处理效果：取决于结构元素的大小、形状与逻辑 运算的方法。
+ +
图像 A
结构元 B B的映射 A的移位并求交 原点不在结构元素中的膨胀操作
+
B
共同的点
A
-
B
5、膨胀与腐蚀的对偶性
A
B A B
C C

3x3结构元 求补
腐蚀
求补
膨胀
6、膨胀与腐蚀的不足 改变了原目标物的大小
例一、膨胀的应用（二值图像中的应用）
0 1
1 1 1
0 1 0
间断间隔 2个像素
结构元为：
i 1
i
i 1,2,3,4 k 1, 2 , 3 ,
不考 虑点
x x x x x
B
1
B
2
B3
x x x x x
原点
x x x x x
x x x x x
B4
寻找几何凸壳的过程：
1 X0 A
X
1 4
X
2 2
X 83
X
4 2
凸壳
凸壳显示每个 设定水平和垂直尺寸 结构元素的属性 大小使得凸壳尺寸最小