11.整数的拆分

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组合数学
2. Ferrers图
例3-11 根据定理3.3，利用生成函数 重解例3-8。
解 根据定理3-3，7的3拆分的个数等于7的最 大分量为3的拆分数。而7的最大分量为3的拆 分数的生成函数为（为了节省篇幅，省略了 最终导致指数大于7的项） G(x)＝(1＋x＋x2＋x3＋x4＋…) (1＋x2＋x4＋…)(x3＋x6＋…)
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组合数学
其中， n 表1示.不大整于n数的最的大拆整数分。
定理3-2 关于正整数n的k拆分数pk(n)，有：
（1） p1(n) =1
(3-10)
（2） pn(n) =1
(3-11)
（3） pn－1(n) =1
(3-12)
（4）
p2 (n)


n 2

（5）
k
pk (n) pr (n k) (n k)
3和1都是5的3拆分5=3＋1＋1的分量。
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1. 整数的拆分
人们希望对于给定的n，不需要列出所有拆 分，而是有某种方法直接计算出pk(n)和p(n)。 生成函数就可以用来求正整数的拆分数。
例3-6 有足够多面值分别为1元、2元、3元、 4元和5元的邮票，问有多少种方案贴出5元的 邮资？
＝1＋x＋2x2＋2x3＋3x4＋3x5＋3x6 ＋3x7＋2x8＋2x9＋x10＋x11
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1. 整数的拆分
由于x5的系数是3，这表明有3种方案贴出5元 的邮资。实际上，这3种方案是：4＋1，2＋2 ＋1，2＋1＋1＋1。
从例3-7的解答中可以看出：由1元邮票3枚， 2元邮票2枚和4元邮票1枚可以贴出不超过11 元的各个整数元的邮资，超过11元的邮资无 法贴出。

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1. 整数的拆分
例3-9 求10的4拆分数p4(10)。 解 利用多个计算拆分数的公式，有
P4(10)= p1(6)＋p2(6)＋p3(6)＋p4(6) =1＋3＋p3(6)＋p1(2)＋p2(2)
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2. Ferrers图
Ferrers图是研究拆分的一种有效工具。
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1. 整数的拆分
正整数的拆分的模型是：n个相同的球放入k 个相同的盒子，每个盒子至少放1个。
为了方便叙述，本书采用以下记号：
pk(n)表示正整数n的k拆分数， p(n)表示正整数n的所有拆分数。
当k＞n时，正整数n的k拆分不存在。为了以 后计算的方便，规定这时的拆分数为0，即当 k＞n时，pk(n) =0。
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2. Ferrers图
续解
＝x3(1＋x＋x2＋x3＋x4＋…)
(1＋x2＋x4＋…)(1＋x3＋…)
＝x3(1＋x＋2x2＋2x3＋3x4＋…)
(1＋x3＋…)
＝x3＋x4＋2x5＋3x6＋4x7＋…
由于x7的系数是4，这表明7的最大分量 为3的拆分数是4，从而7的3拆分的个数 是4 。这与例3-8的答案一致。
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1. 整数的拆分
解 利用生成函数，有（为了节省篇幅，省略了指 数大于5的项） G(x)＝(1＋x＋x2＋x3＋x4＋x5＋…) (1＋x2＋x4＋…)(1＋x3＋…) (1＋x4＋…)(1＋x5＋…) ＝(1＋x＋2x2＋2x3＋3x4＋3x5＋…) (1＋x3＋…)(1＋x4＋…) (1＋x5＋…)
设正整数n的一个k拆分为n＝n1＋n2＋…＋nk （n1≥n2≥…≥nk≥1）。可以用一个含有n个点 的点阵图表示这个拆分：图的第1行有n1个点， 第2行有n2个点，…，第k行有nk个点；并且 每一行最左边的点上下对齐。这样的图称为 正整数n的一个k拆分的Ferrers图。
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2. Ferrers图
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2. Ferrers图
例如，下右图是下左图的共轭图，它对 应正整数10的5拆分10=4＋3＋1＋1＋1
正整数10的5拆分10=4＋3＋1＋1＋1是
正整数10的4拆分10=5＋2＋2＋1的共轭
拆分。而10=5＋2＋1＋1＋1是自共轭拆
分。
•••••
••••
••
•••
••
•
•
•
•
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例如，正整数10的4拆分10=5＋2＋2＋1 的Ferrers图如下图所示。
••••• •• •• •
显然，n的拆分与其Ferrers图之间是一 一对应关系。
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2. Ferrers图
把一个Ferrers图的行与列互换，且保持相对 位置不变，就得到又一个Ferrers图，称为原 Ferrers图的共轭图。共轭Ferrers图对应的拆 分称为原Ferrers图的共轭拆分。如果正整数 n的一个拆分与其共轭拆分相同，则称该拆 分为自共轭拆分。
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2. Ferrers图
定理3.3 正整数n的k拆分的个数等于n的最大 分量为k的拆分数。
证明 n的每一个k拆分对应一个有且仅有k行 点阵的Ferrers图；而该Ferrers图的共轭 Ferrers图的第一行必定是有且仅有k个点。
因此，n的k拆分与最大分量为k的共轭拆分 一一对应。至此，定理得证。
p(0)=1, p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3, p(4)=5
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1. 整数的拆分
例3-7 有1元邮票3枚，2元邮票2枚和4元邮票 1枚，问有多少种方案贴出5元的邮资？
解 利用生成函数，有 G(x)＝(1＋x＋x2＋x3)(1＋x2＋x4)(1＋x4)
＝(1＋x＋2x2＋2x3＋2x4＋2x5＋x6＋x7) (1＋x4)
整数的拆分
➢ 本讲内容 1. 整数拆分的概念和计算 2. Ferrers图
➢ 目的要求 理解整数拆分的概念 会用生成函数和有关公式求正整数的拆分数 了解Ferrers图
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1. 整数的拆分
第1章介绍了： (1) 将n个不同的球放入k个不同的盒子——多重排列 (2) 将n个相同的球放入k个不同的盒子——多重组合 还存在这样一类问题：将n个相同的球放入k个相同
r 1
(3-13)
(3-14)
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1. 整数的拆分
例3-8 求7的3拆分数p3(7)。 解 利用公式(3-14)、(3-10)、(3-12)和
(3-13)，有
p3(7)= p1(7－3)＋p2(7－3)＋p3(7－3) = p1(4)＋p2(4)＋p3(4)

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4 2的拆分
续解＝(1＋x＋2x2＋3x3＋4x4＋5x5＋…) (1＋x4＋…)(1＋x5＋…)
＝(1＋x＋2x2＋3x3＋5x4＋6x5＋…) (1＋x5＋…)
＝1＋x＋2x2＋3x3＋5x4＋7x5＋… 由于x5的系数是7，这表明有7种方案贴出5元
的邮资。这恰与实例3-4的p(5) =7吻合。
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1. 整数的拆分
正整数5的所有拆分如下： (1) 5=5 (2) 5=4＋1 (3) 5=3＋2 (4) 5=3＋1＋1 (5) 5=2＋2＋1 (6) 5=2＋1＋1＋1 (7) 5=1＋1＋1＋1＋1
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1. 整数的拆分
所以， p1(5)=1（5=5） p2(5)=2（5=4＋1，5=3＋2） p3(5)=2（5=3＋1＋1，5=2＋2＋1） p4(5)=1（5=2＋1＋1＋1） p5(5)=1（5=1＋1＋1＋1＋1） p(5)=7
的盒子，每个盒子至少放1个。 这类问题等价于如下问题： 对于方程n1＋n2＋…＋nk＝n，求满足条件 n1≥n2≥…≥nk≥1的正整数解的个数。
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1. 整数的拆分
定义2.6.1 设n为正整数，有k个正整数n1， n2，…，nk满足： （1）n＝n1＋n2＋…＋nk； （2）n1≥n2≥…≥nk≥1 ； 则称n1,n2,…,nk为正整数n的一个k拆分，其中 ni (1≤i≤k)称为该k拆分的分量。n的k拆分的 个数称为n的k拆分数。n的所有拆分（k取遍 所有可能的值）的个数称为n的拆分数。
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本讲小结
正整数的拆分的模型是：n个相同的球 放入k个相同的盒子，每个盒子至少放1 个。
生成函数可以用来求正整数的拆分数。 关于正整数n的k拆分数pk(n)的有关公式
（P57~60的几个定理） Ferrers图的概念和定理
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