三四五章习题解答

for k=1:n+1
x(k)=cos((2*k-1)*pi/2/(n+1));
end
1
y=1./(1+25*x.^2);
x0=-1:0.1:1;
0.5
y0=polyinterp(x,y,x0);
figure
plot(x0,y0,'r')
0
x1=linspace(-1,1,n+1);
y1=1./(1+25*x1.^2); y1_u=polyinterp(x1,y1,x0);
第四章
思考题
1. （a）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange插值多项式，节点数 目越多，得到的插值多项式越接近被逼近函数。×
（b）对给定那个的连续函数，构造其三次样条插值，则节点数目越多，得 到的样条函数越接近被逼近的函数。√ （c）高次的Lagrange插值多项式很常用。× （d）样条函数插值具有比较好的数值稳定性。 √
第三章习题解答
思考题
1. （a）仅当稀疏矩阵时病态或者奇异的时候，不选主元的Gauss消去法才会失 败。× （b）系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的。 × （c）两个对称矩阵的乘积仍然是对称的。 × （d）如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异。 × （e）两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵。√ （f）一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵。√ （g）一个奇异的矩阵不可能有LU分解。 × （h）奇异矩阵的范数一定为零。 × （i）范数为零的矩阵一定是零矩阵。√ （j）一个非奇异的对称矩阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。√
x(k)=cos((2*k-1)*pi/2/(n+1)); end y=1./(1+25*x.^2); x0=-1:0.1:1; y0=interp1(x,y,x0,'spline'); plot(x0,y0,'r')
1
n=10
0.9
n=30
n=90 0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
y=sym('x*sin(1/x)');
习题
2.确定下列数值几分公式中的参数，使它有尽可能高的代数精度。
（a）
h
h f (x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (x)
（b） 解答：
2h
2h f (x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (x)
（a）
A1
A0
A1
2h
A1h A1h 0
1 2 0
1 2
1
1 1
0
2 2
(B) 5 1
2
Gauss-seidel迭代
0
1 2
1 2
M (D L)1U 0
1 2
1 2
0
0
1
2
(M ) 2 1
2
7.矩阵
1 a a
A a
1
a
a a 1
（a）参数a取什么值时，矩阵时正定的。 （b）a取什么值时，求解以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代是收敛的。 解答： （a）A的各阶顺序主子式大于零，则A为正定矩阵
A1h
2
A1h2
2 3
h3
h
4h
A1 A1 3 , A0 3
（b）
A1 A0 A1 4h
A1h A1h 0
A1h2
A1h2
16 3
h3
A1
A1
8h 3
,
A0
4h 3
3.取N=8,16,32，分别用梯形公式和Simpson公式计算如下的积分。
（a）
1 ex
0 1 ex dx
0
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05
0
0.05 0.1 0.15 0.2
实验题 1.考虑本章“交互实验”中讨论的著名问题
f
(x)
1
1 25x2
,
x
[1,1]
的非等距节点Lagrange插值。区间[a,b]上的Chebyshev定义为
xk
ba 2
ba 2
cos((2k 1)
2(n 1)
), k
y
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x
第五章 思考题 1.（a）如果函数在有限的区间上连续，则它的Riemann定积分一定存在。 × （b）积分的计算总是好条件问题。× （c）代数精度是衡量算法稳定性的重要指标。× （d）梯形方法与两个节点的Gauss型方法相比会更加精确。×
(x (0.1
0.15)(x 0.2) 0.15)(0.1 0.2)
(x 0.1)(x 0.2) l2 (x) (0.15 0.1)(0.15 0.2)
l3 (x)
(x (0.2
0.1)(x 0.1)(0.2
0.15) 0.15)
3
P2 (x) yklk (x) k 1
代入x=0， P2 (0) 0.1406 根据定理4.1
1 ex 0 1 ex
dx
h[ 6
f
(a)
f
(b)]
h 3
7 i 1
f
(xi )
2h 3
7 i0
f
( xi
h) 2
1 [ f (0) f (1)] 1 [ f (1) f ( 2) ... f (7)]
48
24 8 8
8
1 [ f ( 1 ) f ( 3 ) ... f (15)]
0
h4
h4
h5
0
1
2
6
3 4 3
M 2
4 9
M3
32 9
M 4
4 3
插值比较程序
close all;
0.2
clear all;
0.18
clc;
0.16
spline interpolation Lagrange interpolation
x=[-.2 -.5 0 .5 .2];
0.14
利用Cholesky定义求解
0 0 -0.8660 1.1180
6.矩阵
1 2 2 2 1 1
A1 1 1
1
,
A2
2
2 2
2 2 1
1 1 2
证明：求解以 A1 为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代是收敛的，而GaussSeidel方法是发散的；求解以 A2 为系数矩阵线性方程组的Gauss-Seidel迭代
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n
1
(
x)
5
R2
(0)
2
16
3 (0)
P2(0) R2(0)
5.（a）求 f (x) x 在节点
x1 2, x2 0.5, x3 0, x4 1.5, x5 2
上的三次自然样条插值（即 M1 M5 0 ）。
（b）用同样的数据做Lagrange插值。
解答：
A=hilb(3);
%产生三阶Hilbert矩阵
x=[1 2 3]';
%假设解向量为x
b=A*x;
%确定等式右端
[L U P]=lu(A);
%矩阵lu分解
x_lu=U\L\(P*b);
%根据lu分解求解x
结果： x_lu =[4.3556 -1.1620 -1.0264 ]’ 说明Hilbert矩阵为病态矩阵
12 16 16
16
2.考虑积分
1
1
0
x
sin
dx x
（a）用Matlab函数ezplot在 1 x 1 上画被积函数的图像；
（b）用Matlab的符号计算工具箱，精确计算该积分；
（c）如果直接用Matlab函数quad数值计算该积分有什么问题？如何设法克
服。
x sin(1/x)
解答：
0.8
（a）
1, 2,...n 1
以 x1, x2 ,..., xn1 为插值节点构造函数f（x）的Lagrange插值多项式，重做
“交互实验”步骤，比较其结果。
close all
clear all
clc
2
n=10;
x=zeros(n+1,1);
1.5
n=10
nonuniform interval uniform interval
（b）Jacobi
（c）Gauss-Seidel
（d）否
习题
2 1
4.考虑矩阵 A 1 2 1
1 2 1
1
2
解答：
方法1：
Matlab运行 R=chol（A）
，试求A的Cholesky分解。
R= 1.4142
0 0
0
-0.7071 1.2247
0 0
0 -0.8165 1.1547
0
方法2：
cond ( A)2
max ( AT A) min ( AT A)
因此，矩阵的条件数越大矩阵越接近奇异。
8.Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法相比
（a）它们的基本差别是什么
（c）哪种方法更节省存储空间
（b）哪种方法更适合并行运算
（d）Jacobi方法是否总是更快
解答：
（a）迭代过程新值使用问题。
y=abs(x);
0.12
x0=-.2:0.01:.2; 0.1
y0_sp=interp1(x,y,x0,'spline');
0.08
figure
plot(x0,y0_sp,'b')
0.06
hold on
0.04
y0_la=polyinterp(x,y,x0);
0.02
plot(x0,y0_la,'r')
（c）
1 1.99
1 x2 4 dx
解答： 以N=8为例
梯形公式：
1 ex
0 1 ex
dx
h [ f (a) 2
7
f (b)] h
i 1
f (xi )
1 [ f (0) f (1)] 1 [ f (1) f ( 2) ... f (7)]
16
88 8
8
Simpson公式：
将f（x）及它的三次自然样条插值和Lagrange多项式插值用Matlab画出来， 比较它们的结果。
解答：
h2 1.5, h3 0.5, h4 1.5, h5 0.5
b [0 2 0]T
h2 h3
h3
3
6
0
2
3
1 12
0
A
h3 6
h3 h4 3
h4 6
1 12
2 3
1 4
1 a2 0
(a
1)2
(2a
1)
0
1 a 1 2
（b）根据迭代收敛条件 (B) 1
(B) 2 a 1
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1 a 1 22
实验题 4.考虑方程组Hx=b，其中系数矩阵为Hilbert矩阵，
H
(hi, j )nn , hi, j
1 ,i, i j 1
j
1, 2,...n
适当选择问题的维数，并通过首先给定解再定出右端的办法确定问题。用 Gauss消去法（即LU分解）求解方程组，其结果如何？计算结果说明了什么？
（a）矩阵的行列式小；
（d）矩阵的条件数小
（b）矩阵的范数小；
（e）矩阵的条件数大
（c）矩阵的范数大；
（f）矩阵的元素小
解答：
（e）矩阵的条件数大
矩阵奇异的本质原因是有0特征值，当矩阵的某个特征值的模远小于其他特征值 的模，那么这个矩阵就接近奇异。
矩阵的条件数定义为 cond(A) A A1 当我们选取 A 2
收敛，而Jacobi方法是发散的。
解答：
A1 ：Jacobi迭代
0 2 2 B I D1A 1 0 1
2 2 0
(B) 0 1
Gauss-Seidel迭代
0 2 2 M (D L)1U 0 2 1
0 0 2
(M) 2 1
A2 矩阵：Jacobi迭代
0
B I D1A 1
习题
3.以0.1，0.15，0.2为插值节点，计算 f (x) x 的二次Lagrange插值多
项式 P2 (x) ，比较 P2 (0) 和 f (0) ，问定理4.1的结果是否适用于本问题。
解答：
首先构造二次Lagrange插值多项式
y1 0.1, y2 0.15, y3 0.2
l1 ( x)
-0.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
hold on
plot(x0,y1_u,'b')
2.仍然考虑上述实验中的著名问题，使用Matlab的函数“spline”作f（x）的样 条插值。增加插值的节点，观察样条插值的收敛性。
close all clear all clc n=10; x=zeros(n+1,1); for k=1:n+1
2.全主元Gauss消去法与列主元Gauss消去法的基本区别是什么？它们各有 什么优点？ 解答： 区别：主元的选取方式不同，全主元消去法每步选取绝对值最大的元素作为 主元素，列主元消去法每步选取一列中最大的元素作为主元素。
优势：全主元算法复杂，稳定性好；列主元算法简单，稳定性差。
4.满足下面的哪个条件，可以判定矩阵接近奇异？
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
3.仍然考虑实验1中的著名问题。下面的Matlab程序给出了该函数的二次和三 次拟合多项式。
x=-1:0.2:1; y=1./(1+25*x.^2); xx=-1:0.02:1; p2=polyfit(x,y,2); yy=polyval(p2,xx); plot(x,y,'o',xx,yy); xlabel('x'); ylabel('y'); hold on p3=polyfit(x,y,3); yy=polyval(p3,xx); plot(x,y,'o',xx,yy); hold off