最新圆锥的表面积和侧面积
圆锥的侧面积和表面积 (2)
2、圆锥的侧面积和表面积老师：现在我们将一个圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开,同学们注意观察展开后是一个什么样的图形？老师展示这个操作，学生观察学生：将一个圆锥的侧面沿它的一条母线剪开铺平，可以得到一个扇形。
老师：分小组讨论图中有哪些相等的量？学生：圆锥的母线等于扇形的半径、圆锥的侧面积等于扇 形的面积、圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长。
（学生讲，老师板书） 老师：很好，根据我们的发现，你能用圆锥的母线和底面半径来表示圆锥的侧面积吗？学生1：S 侧= S 扇=R l 弧21=母母rl l r ππ=⨯⨯221，也就是π乘以底面半径乘以母线（学生讲，老师板书）老师：还有其他的方法吗？ 学生2：根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，可以求出扇形的圆心角R r n ⨯=360,再用S 侧= S 扇=母rl R R r R n πππ=⨯⨯=36036036022，也等于π乘以底面半径乘以母线（学生讲，老师板书）老师:这两位同学讲的很精彩，谢谢他们。
这个就是我们今天要学习的扇形侧面积公式 学生：S 侧=母rl π老师：其中r 表示什么？l 母表示什么？学生：圆锥的底面半径和母线老师：那么圆锥的全面积怎么算呢？学生：S 全= S 侧+ S 底=母rl π+2r π老师：通过刚才的操作、观察、讨论、推导，我们得出了圆锥的面积公式，在这一过程中，我们用到了哪些数学思想方法？学生：先将扇形的侧面展开，找到扇形和圆锥相等的量，利用扇形的面积公式用代入法推出了圆锥的侧面积公式。
老师：太好了，在刚才的探索过程中，我们一起操作，一起验证，把立体图形通过展开转化为平面图形，这正是数学中“转化”的思想方法；用整体代入的方法推出了公式。
因此，我们在解决立体图形的问题时，常常把立体图形展开为平面图形来解决。
下面，我们来巩固一下学习成果。
巩固练习:(1)已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长8cm ，它的侧面积为 ；表面积为 学生：S 侧=母rl π=π×4×8=32πcm 2，S 全= S 侧+ S 底=母rl π+2r π=32π+16π=48πcm 2(2)圆锥的侧面展开图的面积为15π，母线长为5，则圆锥的底面半径为 高为 学生1：∵S 扇=S 侧=母rl π ∴15π=r π×5 ∴r=3 ∴422=-=r l h 母母l R学生2：∵S 扇=R l 弧21=R C 底21 ∴15π=r π×5 ∴r=3 ∴422=-=r l h 母 老师：同学们完成的很好，不仅掌握了公式，还掌握了圆锥和扇形之间的等量关系，这常常是解题的关键（很详细的板书解题过程，规范书写）。
圆锥公式表面积和体积,侧面积公式
圆锥公式表面积和体积,侧面积公式
圆锥是常见的几何体，它包括底面为圆形、顶点位于圆心处的一个锥体。
以下是圆锥的表面积、体积和侧面积计算公式：
一、圆锥表面积公式
圆锥的表面积等于底面圆的面积加上锥侧面积。
设圆锥的底面圆半径为 r，母线长为L，侧斜高为 s，则圆锥表面积为：
S = πr2 + πrs
二、圆锥体积公式
圆锥的体积等于底面圆的面积乘以高再除以三。
设圆锥的底面圆半径为 r，高为 h，则圆锥体积为：
V = (1/3)πr2h
三、圆锥侧面积公式
圆锥的侧面积为锥侧面的表面积，可以使用勾股定理求解。
设圆锥的底面圆半径为 r，母线长为L，侧斜高为 s，则圆锥侧面积为：
S' = πrs
这些公式可以用于解决圆锥的各种问题，例如计算圆锥的体积、表面积、侧面积等。
需要注意的是，在使用这些公
式计算时需要注意单位的统一和精度的控制，以保证计算结果的准确性。
圆锥的侧面积和全面积
3
n
60
又∵弧BB`＝底面圆的周长＝2πr＝2π
∴ n 2 ，解得：n＝120°
60
C'
∴∠BAB`＝120°
A
C
B'
D
A
B
C
又∵C’是弧BB`的中点
∴∠DAB＝ 1 BAB ' 1 120 60
2
2
又∵BD⊥AC′
∴AD＝1 AB 1 3 3
2
22
∴由勾股定理：BD＝
32
3 2
2
(3)h l 2 r 2 102 62 8
l
h
O
r
B
P
s侧
=
1 2
×
5×
2π
×
3
=15π（cm
l =15π + 9π
h
= 24π(cm2 )
A
O r
B
解:∵ l =15 cm,r=5 cm, 1
∴S 圆锥侧 = 2×2πrl ≈3.14×15×5
=π×15×5 =235.5 (cm2)
≈40.81
(m2)
r
因此,搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡:
20× (31.45+40.81)≈1445(m2)
l h
r
解：∵l=80，h=38.7 ∴r= l2 h2 802 38.72 70 ∴S侧=πrl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2）
答：烟囱帽的面积约为1.8×104cm2。
∴ 235.5×10000=2355000 (cm2)
答:至少需 235.5 平方米的材料.
l
r
解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB`，则点C位于展开
圆锥的侧面积最新版
智(勇)者.
约为3023.1m2.
想一想 8
驶向胜利
生活中的圆锥侧面积计算 的彼岸
把一个用来盛爆米花的圆锥形纸 杯沿母线剪开,可得一个半径为 24cm,圆心角为118°的扇形.求该
纸杯的底面半径和高度.
自信,会助你感受“争先为快”的滋 味.
(1)圆锥形零件的母线长； (2)锥角(即等腰三角形的顶角)a； (3)零件的表面积.
做一做 11
生活中的圆锥侧面积计算
驶向胜利 的彼岸
已知圆锥的底面直径为80cm, 母线长90cm, 求
它的侧面展开图的圆心角和表面积. A
已知: 圆锥的母线长 AB=6cm, 底面半径OB=2cm.
求: (1)圆锥的高;
6 3 8 .8 7 2 0 1 2 7 7 7 .4 (c m 2).
议一议 7
驶向胜利
生活中的圆锥侧面积计算 的彼岸
蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组 成的.如果想在某个牧区搭建15个底面 积为33m2,高为10m(其中圆锥形顶子的 高度为2m)的蒙古包.那么至少需要用多 少m2的帆布?(结果精确到0.1m2).
你准备怎么办?与同伴交流你的想法和做法 .先画示意图,标注有关数据与未知量;
S
弄清已知与未知量之间 的关系,依次作出计算.
l
h=20
O┓r
2πr=58
例题欣赏 6
有比较就会有进步
驶向胜利 的彼岸
例.圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节的
S
圆锥形纸帽.已知纸帽 要制作20顶这样的纸帽至少要用多
圆锥的侧面积,全(表)面积 2
O rA1 A
圆锥面积的推导过程
圆锥面积的推导过程
圆锥是一种常见的几何体，它由一个圆形的底部和一个顶点连
接起来的侧面组成。
圆锥的表面积是指其底部圆的面积加上其侧面
的面积。
下面我们来推导一下圆锥的表面积公式。
首先，我们来计算圆锥的底部圆的面积。
底部圆的面积公式为，A = πr^2，其中r为圆的半径，π为圆周率。
接下来，我们来计算圆锥的侧面积。
我们可以将圆锥的侧面展
开成一个扇形，然后计算其面积。
首先，我们需要计算圆锥的斜高（l）和生成线（s）。
斜高是指从圆锥顶点到底部圆周上的点的距离，生成线是指从圆锥顶点到底部圆心的距离。
根据勾股定理，我
们可以得到斜高和生成线的关系，l^2 = r^2 + h^2，其中h为圆锥
的高度。
然后，我们可以计算扇形的面积公式为，A = 1/2 r l θ，
其中θ为扇形的圆心角。
根据圆周率的定义，我们知道θ/360°
= l/2πr，因此θ = 2πl/r。
将θ代入扇形的面积公式中，我们
可以得到圆锥侧面积的公式，A = 1/2 r l (2πl/r) = πrl。
最后，我们将底部圆的面积和侧面积相加，即可得到圆锥的表面积公式，S = A + πrl = πr^2 + πrl。
通过以上推导过程，我们得到了圆锥的表面积公式，这个公式可以帮助我们计算圆锥的表面积，从而更好地理解和应用圆锥的几何性质。
圆柱圆锥的面积公式
圆柱圆锥的面积公式
圆柱和圆锥是我们日常生活中常见的几何体，它们的表面积是我们在
计算它们的体积、重量等量时必须要考虑的因素。
下面我们将介绍圆柱和
圆锥的面积公式。
圆柱的表面积公式为：S=2πrh+2πr²，其中S表示圆柱的表面积，r
表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高。
圆柱的表面积由两个部分组成，一个是圆柱的侧面积，另一个是圆柱
的底面积。
圆柱的侧面积可以看成是一个矩形，其长为圆周长2πr，宽
为圆柱的高h，因此圆柱的侧面积为2πrh。
圆柱的底面积为πr²，因此
圆柱的表面积为2πrh+2πr²。
圆锥的表面积公式为：S=πr²+πrl，其中S表示圆锥的表面积，r
表示圆锥的底面半径，l表示圆锥的斜高。
圆锥的表面积由两个部分组成，一个是圆锥的底面积，另一个是圆锥
的侧面积。
圆锥的底面积为πr²，圆锥的侧面积可以看成是一个扇形，
其面积为πrl/2，因此圆锥的表面积为πr²+πrl。
需要注意的是，圆柱和圆锥的表面积公式只适用于底面为圆形的情况。
如果底面不是圆形，那么需要根据具体情况进行计算。
圆柱和圆锥的表面积公式是我们在计算它们的体积、重量等量
时必须要掌握的基本知识。
只有掌握了这些公式，我们才能更加准确
地计算它们的量，从而更好地应用它们。
圆锥体积表面积公式
圆锥体积表面积公式
圆锥是一个底面为圆形、侧面为直角三角形的几何体。
圆锥的体积和表面积是非常重要的数学概念，有着广泛的应用。
圆锥的体积和表面积公式如下：
体积公式为：V = (1/3)πr²h，其中 r 是圆锥底面半径，h 是圆锥高。
表面积公式为：S = πr² + πrl，其中 r 是圆锥底面半径，l 是圆锥母线长度。
根据这些公式，可以很容易地计算出圆锥的体积和表面积。
这对于很多实际问题来说都是非常有用的，比如计算圆锥形容器的体积，或者设计一个圆锥形的建筑物的表面积，都可以用这些公式来计算。
圆柱圆锥表面积公式
圆柱圆锥表面积公式
圆柱和圆锥是几何学中常见的立体图形，它们的表面积在日常生活中有广泛的应用。
下面介绍圆柱和圆锥表面积的计算公式。
圆柱表面积公式：
圆柱的表面积包括底面和侧面两部分，其计算公式如下：
表面积 = 2πr + 2πrh
其中，r表示圆柱底面半径，h表示圆柱高度。
圆锥表面积公式：
圆锥的表面积包括底面和侧面两部分，其计算公式如下：
表面积 = πr + πrl
其中，r表示圆锥底面半径，l表示圆锥斜高，即从圆锥顶点到
底面圆心的距离。
通过这些公式，我们可以快速准确地计算出圆柱和圆锥的表面积，为实际问题的解决提供便利。
- 1 -。
圆锥体知识点总结
圆锥体知识点总结一、圆锥体的概念圆锥体是由一个圆和一个平行于这个圆的平面旋转而成的几何体。
该几何体有一个圆形底面和一个顶点，顶点到底面的距离称为圆锥体的高。
圆锥体在日常生活和工程中有着广泛的应用，例如圆锥形的糖果包装、圆锥形的散热器等。
二、圆锥体的表面积圆锥体的表面积由底面积和侧面积组成。
圆锥体的底面积是底面圆的面积，而侧面积是由一个扇形和一个三角形组成的。
圆锥体的表面积可以用下面的公式来表示：S = πr² + πrl其中，S表示表面积，r表示底面半径，l表示生成直线的长度。
三、圆锥体的体积圆锥体的体积是指其所包含的空间大小。
圆锥体的体积可以用下面的公式来表示：V = (1/3)πr²h其中，V表示体积，r表示底面半径，h表示高。
四、圆锥台的概念圆锥台是由两个同轴的圆和连接这两个圆的曲面旋转而成的几何体。
圆锥台在日常生活和工程中也有着广泛的应用，例如糖果台、雨伞台等。
五、圆锥台的表面积圆锥台的表面积由上底面积、下底面积和侧面积组成。
圆锥台的上底面积和下底面积分别是两个圆的面积，而侧面积是由一个扇形和一个梯形组成的。
圆锥台的表面积可以用下面的公式来表示：S = π(R² + r² + l)其中，S表示表面积，R表示上底面半径，r表示下底面半径，l表示生成直线的长度。
六、圆锥台的体积圆锥台的体积是指其所包含的空间大小。
圆锥台的体积可以用下面的公式来表示：V = (1/3)π(R² + r² + Rr)h其中，V表示体积，R表示上底面半径，r表示下底面半径，h表示高。
七、圆锥体和圆锥台的应用圆锥体和圆锥台在日常生活和工程中都有着广泛的应用。
在建筑工程中，圆锥形的柱状结构、圆锥形的天花板等都是圆锥体的应用。
在生活中，圆锥形的糖果包装、雨伞台等也是圆锥台的应用。
圆锥体和圆锥台的应用还包括在数学、物理、化学等多个学科领域。
八、圆锥体和圆锥台的实际问题在解决圆锥体和圆锥台的实际问题时，通常需要根据具体的情况，利用相关的公式和理论知识来解决。
圆锥的侧表面积
圆锥的侧表面积
圆锥的侧表面积是指圆锥的斜面面积，也就是排除圆锥底面和顶点的面积。
圆锥的侧表面积可以通过计算圆锥的母线线段的长度来得到。
首先，我们需要了解圆锥的几何形态。
圆锥是由一个圆形的底面和一个顶点连接起来的三维图形，根据圆锥的侧形状，可分为直线圆锥和斜线圆锥。
直线圆锥是指圆锥的腰线与底面的垂线相交于圆心，斜线圆锥则不是这样。
现在来探讨圆锥侧面积的计算方法。
首先，我们可以通过勾股定理来计算圆锥的母线长度：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
根据勾股定理，圆锥的母线长度L可以通过以下公式计算：
L = √(r² + h²)
其中，r为圆锥底面半径，h为圆锥的高。
计算出圆锥的母线长度后，我们可以使用以下公式来计算圆锥的侧面积：
S = πrL
其中，π为圆周率，r为圆锥底面半径，L为圆锥的母线长度。
通过这些公式，我们可以计算出任何形状的圆锥的侧表面积。
此外，如果圆锥的底面和侧面都是相似的，则圆锥称为正圆锥，其侧表
面积可以通过以下公式快速计算：
S = πrL'
其中，r为圆锥底面半径，L'为圆锥斜面的斜高。
斜高是指连接圆锥底面和圆锥顶点的直线段和圆锥母线之间的距离。
对于正圆锥来说，斜高等于圆锥的高。
这个公式比计算普通圆锥的侧面积更为简单。
总之，圆锥的侧面积可以通过计算圆锥的母线长度来得到。
圆锥
的侧面积计算是计算圆锥总面积的一个重要组成部分。
掌握圆锥的基
本几何形态及其相关公式，能够更好地理解和计算圆锥的侧面积。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
8． 3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学习指导核心素养1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式．2.能用表面积和体积公式解决简单的实际问题．直观想象、数学运算：利用公式计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．[学生用书P75]1．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S ＝2πr (r ＋l ) 圆锥底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πr (r ＋l ) 圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2 下底面面积：S 下底＝πr 2侧面积：S 侧＝πl (r ＋r ′)表面积： S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )2.圆柱、圆锥、圆台的体积 V 圆柱＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)， V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高)，V 圆台＝13 πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′，r 分别是上、下底面半径，h 是高).3．球的表面积和体积 表面积：S ＝4πR 2． 体积：V ＝43πR 3．1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？ 提示：S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝rS 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 2．球面能展开成平面图形吗？ 提示：不能展开成平面图形．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱的侧面面积等于底面面积与高的积．( )(2)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环．( ) (3)决定球的大小的因素是球的半径．( )(4)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．若圆锥的底面半径为3 ，高为1，则圆锥的体积为( ) A ．π3B ．π2C ．πD ．2π答案：C3．若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( ) A ．2π B ．16π C ．8π D ．4π解析：选D ．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝4π.4．圆柱的侧面展开图是长 12 cm ，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A ．288π cm 3B ．192πcm 3C ．288π cm 3或192π cm 3D ．192π cm 3解析：选 C ．当圆柱的高为 8 cm 时， V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π 2×8＝288π (cm 3)，当圆柱的高为 12 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫82π 2×12＝192π(cm 3). [学生用书P75]探究点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 [问题探究]求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？探究感悟：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．(1)若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为( ) A ．40π B ．36π C ．26πD ．20π(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( ) A ．81π B ．100π C ．168πD ．169π【解析】 (1)圆锥的母线l ＝32＋42 ＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋π×4×5＝36π.故选B.(2)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋（R －r ）2 ＝（4r ）2＋（3r ）2 ＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π×(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.故选C.【答案】 (1)B (2)C圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的展开图； (2)依次求出各个平面图形的面积； (3)将各平面图形的面积相加．1．若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为( ) A ．9π B ．12π C ．272πD ．454π解析：选A.由于圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则h ＝2r ＝3，所以圆柱的侧面积为2πr ·h ＝9π.2.如图，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB ＝5，BC ＝16，AD ＝4，求以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．解：以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图．其中圆锥的高为16－4＝12，圆柱的母线长为AD ＝4，圆锥的母线长CD ＝13，故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π.探究点2 圆柱、圆椎、圆台的体积(2021·贵州安顺高二期末)若一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，求该圆锥的体积．【解】 设圆锥底面半径为r ，则由题意得2πr ＝120180·π·3，解得r ＝1.所以底面面积为S ＝πr 2＝π. 又圆锥的高h ＝32－12 ＝22 ，故圆锥的体积V ＝13 Sh ＝13 ×π×22 ＝223π.求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算．1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是( ) A ．233 πB ．2 3C ．736πD ．733π解析：选D.S 1＝π，S 2＝4π，所以r ＝1，R ＝2，S 侧＝6π＝π(r ＋R )l ，所以l ＝2，所以h＝3 .所以V ＝13 π(1＋4＋2)×3 ＝733π.故选D.2．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积的比值为( )A ．1B ．12C ．32D ．34解析：选D.设圆柱底面圆半径为R ，圆锥底面圆半径为r ，高都为h ，由已知得2Rh ＝rh ，所以r ＝2R ，所以V 柱∶V 锥＝πR 2h ∶13πr 2h ＝3∶4，故选D.探究点3 球的表面积与体积 [问题探究]用一个平面去截球体，截面是什么形状？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？ 探究感悟：用一个平面去截球体，截面是圆面．在不过球心的截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．其关系为R 2＝d 2＋r 2.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A ．8π3B ．32π3C ．8πD ．82π3【解析】 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1 ，所以截面圆的面积为S ＝π(R 2－1 )2＝(R 2－1)π＝π，所以R 2＝2，所以球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选C. 【答案】 C(1)球的表面积和体积的求解关键因为球的表面积和体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键．(2)球的截面问题的解题技巧①有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． ②解题时要注意借助球半径R 、截面圆半径r 、球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.1．(2021·江苏徐州高一期中)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A ．163 πB ．323 πC ．643πD ．2563π解析：选B.设这个球的半径为R ，则4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积V ＝43 πR 3＝323π.故选B. 2．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积之和为________． 解析：设大、小两球半径分别为 R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积之和为 43 πR 3＋43 πr 3＝364π3 .答案：364π3探究点4 与球有关的切、接问题(1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．(2)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．【解析】 (1)长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32 ＝14 ，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π.(2)设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r ，高为2r ，所以V 1V 2 ＝πr 2·2r 43πr 3 ＝32.【答案】 (1)14π (2)32(1)常见几何体与球的切、接问题的解题策略①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等．②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．(2)几个常用结论①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径． ②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． ③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A ．4π3B ．2π3C ．3π2D ．π6解析：选A.由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43 ×π×13＝4π3.[学生用书P77]1．已知圆柱的底面半径r ＝1，母线长l 与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( ) A ．6π B ．8π C ．9πD ．10π解析：选A.因为圆柱的表面积为2πr 2＋2πrl ，r ＝1，l ＝2，所以圆柱的表面积为6π.故选A.2．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的( ) A ．8倍 B ．4倍 C ．22 倍D ．2倍解析：选C.球的大圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的2 倍，所以球的体积扩大为原来的22 倍．3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B ．73 πa 2C ．113πa 2D ．5πa 2解析：选B.由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23 ×32 a ＝33 a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2 ＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712 a 2，故 S 球＝4πR 2＝73 πa 2.4．已知圆台上、下底面半径分别为1，2，高为3，则圆台的体积为__________． 解析：由公式知V 圆台＝13 π(1＋2＋4)×3＝7π.答案：7π5．如图所示，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D ，H ，G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转180°，求阴影部分形成的几何体的体积．解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23 ，圆柱的底面半径为1，高为3 .所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积，即V 旋转体＝13 ×π×22×23 －π×12×3 ＝533 π，故所求旋转体的体积为533π. [学生用书P217(单独成册)][A 基础达标]1．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，现以AB 所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为( )A ．24πB ．21πC ．33πD ．39π解析：选A.因为在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，所以△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，故以AB 所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，所以圆锥的底面半径为3，母线长为5，所以底面周长为6π，侧面积为12 ×6π×5＝15π，所以几何体的表面积为15π＋π×32＝24π.故选A.2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C ．2 ∶3D ．8 ∶27解析：选B.设两个球的半径分别为r ，R ，则⎝⎛⎭⎫43πr 3 ∶⎝⎛⎭⎫43πR 3 ＝r 3∶R 3＝8∶27， 所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.3．(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是( )A ．圆柱的侧面积为2πR 2B ．圆锥的侧面积为2πR 2C ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2解析：选CD.依题意得球的半径为R ，则圆柱的侧面积为2πR ×2R ＝4πR 2，所以A 错误；圆锥的侧面积为πR ×5 ·R ＝5 πR 2，所以B 错误；球面面积为4πR 2，因为圆柱的侧面积为4πR 2，所以C 正确；因为V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13 πR 2·2R ＝23 πR 3，V 球＝43 πR 3，所以V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23 πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2，所以D 正确．故选CD.4．将半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( ) A ．524 πR 3 B ．58 πR 3 C ．324πR 3 D ．38πR 3 解析：选C.设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝πR ，所以r ＝R2 .所以圆锥的高h ＝R 2－r 2 ＝32R . 所以圆锥的体积V ＝13 πr 2×h ＝13 π(R 2 )2×32 R ＝324πR 3.故选C.5．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 A ．设两球的半径分别为 R ，r (R >r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1.故 R －r ＝1. 6．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________.解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝πr 2＝π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝2S底＋S 侧＝6π.答案：6π7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即圆锥的底面直径为2.答案：28.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm.解析：设铁球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43 πx 3×3，解得x ＝4.答案：49．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π， 该组合体的体积V ＝43 πr 3＋πr 2l ＝43 π×13＋π×12×3＝13π3.10．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)作圆锥的轴截面，如图所示．因为rR ＝H －x H，所以r ＝R －RH x ，所以S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR Hx 2(0<x <H ). (2)因为－2πRH<0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H2 时，S 圆柱侧最大．故当x ＝H2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．[B 能力提升]11．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323 π，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．963B ．163C ．243D ．483解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底面三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43 πr 3＝323 π，得r ＝2.由S 柱底＝12 a ×r ×3＝34 a 2，得a ＝23 r ＝43 ，所以V 柱＝S柱底·2r ＝483 .12．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为( )A ．8327 πB ．4327 πC ．16327πD ．32327π解析：选D.由题意，设球的半径为r ，作出玻璃杯的轴截面，可得一个半径为r 的圆内切于一个边长为4的等边三角形，此等边三角形的高h ＝23 .根据中心(重心)的性质可得，球的半径r ＝13 h ＝233 ，所以球的体积V ＝43 πr 3＝43 π×⎝⎛⎭⎫233 3 ＝32327 π.即溢出溶液的体积为32327π，故选D.13.(多选)如图所示，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，下列说法正确的是( )A ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π解析：选AD.以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，所以侧面积为π×3×5＝15π，体积为13 ×π×32×4＝12π，所以A 正确，B 错误；以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为13×π×42×3＝16π，所以C 错误；D 正确．故选AD.14．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD -A 1C 1D 1，这个几何体的体积为403.(1)求棱AA 1的长；(2)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积和体积．解：(1)设AA 1＝x ，依题意可得403 ＝2×2·x －13 ×12 ×2×2·x ，解得x ＝4，故棱AA 1的长为4.(2)依题意可知， 经过A 1，C 1，B ，D 四点的球就是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球，这个球的直径就是长方体的体对角线，所以球的直径2R ＝22＋22＋42 ＝26 ，解得R ＝6 .故所求球的表面积为4πR 2＝24π，体积为43·πR 3＝86 π.[C 拓展探究]15．如图，用一边长为2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起4个小三角形，做成一个“底座”，将体积为4π3 的球放入其中，“底座”形状保持不变，则球的最高点与“底座”底面的距离为( )A ．62 ＋32 B ．32C ．22 ＋32D ．32 ＋32解析：选D.由题意，可得“底座”的底面是边长为1的正方形，则经过4个小三角形的顶点截球所得的截面圆的直径为1.因为球的体积为4π3 ，所以球的半径为1，所以球心到截面圆的距离为1－⎝⎛⎭⎫122 ＝32 ，因为垂直折起的4个小直角三角形斜边上的高为12，所以球的最高点与“底座”底面的距离为32 ＋1＋12 ＝32 ＋32.故选D. 16.如图，四边形ABCD 是正方形，BD ︵是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB 为轴旋转一周，求图中 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 三部分经旋转所得几何体的体积之比．解：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉Ⅰ生成的圆锥，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球.设正方形的边长为 a ，则Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 三部分经旋转所得几何体的体积分别为 V Ⅰ，V Ⅱ，V Ⅲ，则 V Ⅰ＝13 πa 3，V Ⅱ＝12 ×43 πa 3－13 πa 3＝13 πa 3，V Ⅲ＝πa 3－12 ×43 πa 3＝13πa 3.所以三部分经旋转所得几何体的体积之比为1∶1∶1.。
圆锥和圆柱的侧面积公式
圆锥和圆柱的侧面积公式
圆锥的侧面积公式：
圆锥的侧面积公式是S = πrl，其中S表示侧面积，π是圆周
率（约为3.14），r是底面半径，l是斜高（即从圆锥顶点到底面
圆周上的点的距离）。
圆柱的侧面积公式：
圆柱的侧面积公式是S = 2πrh，其中S表示侧面积，π是圆
周率，r是底面半径，h是高。
通过这些公式，我们可以很容易地计算出圆锥和圆柱的侧面积，这对于工程、建筑等领域的计算非常有用。
同时，了解这些公式也
有助于我们更好地理解几何形状的特性和性质。
在日常生活中，我们也可以通过这些公式来解决一些实际问题，比如在装修房屋时计算圆柱形的柱子的表面积，或者在制作圆锥形
的工艺品时计算其表面积等等。
总之，圆锥和圆柱的侧面积公式是一个非常实用的数学工具，
它们有助于我们更好地理解和应用几何知识。
希望大家能够认真学
习并灵活运用这些公式，让数学知识在实际生活中发挥更大的作用。
圆锥的性质
圆锥的性质主要有：1、圆锥的定义将Rt△ABC的斜边AC绕着直角边AB旋转360°,所得到的空间几何体叫做圆锥,其中AB叫做圆锥的轴,所有平行于AC的线段叫做圆锥的母线,AC旋转形成的面叫做圆锥的侧面,BC旋转形成的面叫做圆锥的底面,点A叫做圆锥的顶点.2、圆锥的体积一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积．一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3.根据圆柱体积公式V＝Sh（V＝πr^2h）,得出圆锥体积公式：V＝1/3Sh（V＝1/3πr^2h）S是底面积,h是高,r是底面半径.3、圆锥的表面积一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积．4、圆锥的计算公式圆锥的侧面积=高的平方*3.14*百分之扇形的度数圆锥的表面积=底面积+侧面积圆锥的体积=1/3*底面积*高S锥侧=H的平方*3.14*百分之扇形的度数S锥表=S侧+S底V锥=1/3SH5、圆锥的其它概念圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高.圆锥的侧面积：将圆锥的侧面积不成曲线的展开,是一个扇形.圆锥的定义及性质2圆锥是一种几何图形，有两种定义。
解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。
立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高。
圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长。
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。
圆锥的定义及性质3圆锥是一种几何图形，有两种定义如下：1、解析几何定义，圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥；2、立体几何定义，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥，旋转轴叫做圆锥的轴。
圆锥与圆柱的体积与表面积应用
圆锥与圆柱的体积与表面积应用在几何学中，圆锥和圆柱是两个常见的几何体。
它们不仅在数学中具有重要的地位，而且在现实生活中也有广泛的应用。
本文将探讨圆锥和圆柱的体积与表面积的计算方法，并介绍它们在实际问题中的应用。
一、圆锥的体积与表面积圆锥是一个底面为圆形的几何体，其侧面全部由一个顶点引出，以直线与底面相交而成。
圆锥的体积与表面积的计算公式如下：1. 圆锥的体积：V = (1/3)πr²h其中，V表示体积，π表示圆周率，r表示底面半径，h表示高。
2. 圆锥的侧面积：S = πrl其中，S表示侧面积，r表示底面半径，l表示斜高。
3. 圆锥的全面积：A = πr² + πrl其中，A表示全面积。
圆锥的体积与表面积的计算方法可以通过实际问题来进一步理解和应用。
二、圆锥的应用案例1. 圆锥的体积应用：一个果汁机的容器是一个圆锥形，底面半径为10厘米，高为20厘米。
问这个果汁机最多可以容纳多少毫升的果汁？解：根据圆锥的体积公式，V = (1/3)πr²h。
将已知值代入计算，可得V = (1/3)π × 10² × 20≈ 2094.4因此，这个果汁机最多可以容纳约2094.4毫升的果汁。
2. 圆锥的表面积应用：一座圆锥形的帐篷的底面半径为6米，斜高为8米。
计算这个帐篷的表面积。
解：根据圆锥的侧面积公式，S = πrl。
将已知值代入计算，可得S = π × 6 × 8≈ 150.8根据圆锥的全面积公式，A = πr² + πrl。
将已知值代入计算，可得A = π × 6² + π × 6 × 8≈ 226.2因此，这个帐篷的表面积约为150.8平方米，全面积约为226.2平方米。
三、圆柱的体积与表面积圆柱是一个底面为圆形且与底面平行的几何体，在现实生活中常见的例子包括铅笔、圆柱状的罐子等。
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1.课本P191 习题A组的1、2、4、5； 2．完成对应练习册。
比一比,看谁做得快
1.圆锥的底面直径为80cm.母线长为 90cm,求它的全面积.
s全 s侧 s底 rlr2
圆锥侧面积公式的运用
例1、已知一个圆锥的高为6cm，半径 为8cm，则这个圆锥的母长为__1_0_c_m__
例2、圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为50cm，高
为30cm,求这个烟囱帽的面积（ 保留）
解：因为：l=50，h=30 所以：r= l2 h 25 0 2 3 0 2 4 0 所以： S侧=πrl=π×40×50=2000π（cm2）
答：烟囱帽的面积约为2000πcm2。
例3、已知一个圆锥的底面半径为40cm， 母线长为50cm，则这个圆锥的侧面积 为_2_0_0_0__c_m_2_，全面积为_3_6_00__c_m _2
本节课我们有什么收获? 1.回忆弧长公式及扇形面积公式； 2.圆锥的侧面展开图的形状； 3.圆锥的侧面积计算公式及探索过程； 4.圆锥的全面积的计算； 5.圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
圆的面积： S圆 r 2
圆的周长： C圆 2r
扇形的面积：
S扇形
1 2
LR
扇形的圆心角度： L R
圆锥的侧面积公式的推导
S圆 锥 侧 = S扇 形 1 2L R1 22rl= rl
r( 表示圆锥底面的半径，l 表示圆锥的母线长
L 表示扇形的弧长，R 表示扇形的半径。即：
L2r R l
圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积
2.扇形的半径为30,圆心角为120°用 它做一个圆锥模型的侧面,求这个圆 锥的底面半径和高.
结束语
谢谢大家聆听！！！
23
R A
BO
C
母线的长=其侧面展开图扇形的半径
底面周长=侧面展开图扇形的弧长圆锥的侧面展开图是什么图形? 是一个扇形
根据扇形与圆锥之间的关系填空:
如图,设圆锥的母线长为 l ,底面半径为r,
这个扇形的半径(R)为 圆锥的母线长 扇形的弧长(L)为 圆锥底面圆的周长。
Rl
L 2r
复习抢答
SB 等叫做圆锥的母线
连接顶点S与底面圆的圆心 O的线段叫做圆锥的高
母线 A
Or
思考圆锥的母线和圆 B 锥的高有那些性质？
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的
高线长,l 表示圆锥的母线长,那么r,h, l 之间
有怎样的数量关系呢？
由勾股定理得：
h ll
r2+h2=l 2
r
A
BO
C
圆锥的侧面展开图是扇形
圆锥的表面积和侧面积
各小组展示课前自制的圆锥 模型，并由小组代表描述自己 制作圆锥的过程
圆锥的表面是由一个曲面（扇形） 和一个圆面围成的；那么怎样计算圆锥 的侧面积呢？
请你欣赏
根据你以前的所学，说说你对圆 锥的一些认识。
圆锥的高 S
我们把连接圆锥的顶点S和 底面圆上任一点的连线SA，