湖北省七市州高三3月数学答案

湖北省七市（州）教研协作体2021年高三年级3月联考

数学参考答案

一、单项选择题

二、多项选择题

三、填空题 13．3

4

- 14．3 15．1.26 16．

四、解答题

17．（1）因为A B C π++=，所以A C B π+=-，由4cos()2cos230A C B +++=，

可得24cos 2(2cos 1)30B B -+-+=，即24cos 4cos 10B B -+=， 3分

得1cos 2

B =，因为0B π<<，所以3

B π

=. 5分

（2）在ABD △中，由余弦定理可得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，

即22486421

8BD BD =+-⨯⨯⨯，即21608BD BD +-=，解得4BD =. 7分

所以1122284s 2in 2ABC ABD B S D B S AB ==⨯⨯=⨯⨯⨯⋅=△△. 10分

18．（1）因为135

1035a a S +=⎧⎨=⎩，所以11527a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13

2a d =⎧⎨=⎩， 2分

所以1(1)21n a a n d n =+-=+． 4分

（2）由(1)得:123357...(21)1(21)2n n b b b n b n +++++=+-，①

所以11231)357...(21))1(23)22(n n b b b n b n n --++++-=+-，②

两式相减得：1(21)(21)2(2)n n n b n n -+=+，所以1()22n n b n -=， 7分 又由①式得11b =，适合上式，所以1*2)(n n b n N -=∈． 8分

所以

2241111

()(21)11(23)2223

(log )n n n n a b n n +-+⋅==+++， 10分 所以1111111()235572123n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-++111()2323n =-+69

n

n =

+． 12分

19．（1）因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90BAD ∠=，所以AD DC ⊥，

又因为PD DC ⊥，PD AD D =，所以CD ⊥平面PAD ，

又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥， 2分

取CD 的中点E ，连接BE ，在Rt BCE △中，2BC =，1CE =，可得3BE =，

所以3AD =，又22PD PA ==，所以222PA AD PD +=，所以PA AD ⊥， 4分 又AD CD D =，所以PA ⊥平面ABCD . 5分 （2）以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，

则(1,0,0)B ，D(0,3,0)，(0,0,1)P ，所以(1,0,1)BP =-，(1,3,0)BD =-，

设平面PBD 的法向量(),,x y z =m ，由0

30

BP x z BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ，

得030x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩

，令1y =，得()

3,1,3=m ， 7分

设()000,,M x y z ，由(01)BM BD λλ=<<，得000(1,,)(1,3,0)x y z λ-=-， 所以()1,3,0M λλ-，所以(0,0,1)AP =，()

1,3,0AM λλ=-， 设平面PAM 的法向量()111,,x y z =n ，由00

AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，

得1110(1)30

z x y λλ=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令13x λ=， 得平面PAM 的一个法向量为(3,1,0)λλ=-n . 9分 设二面角A PM B --的平面角为θ，

则有2227

cos 74217(3)(1)θλλλλ⋅====

-++-n m n m ， 解得0λ=或12λ=

，因为01λ<<，所以1

2

λ=. 12分

20．（1）椭圆的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，而双曲线2C ：2

2

4

1y x -=的顶点分别为(1,0)-，(1,0)，

所以1c =． 1分

又椭圆的上顶点为(0,)b ，而双曲线2C ：2

2

4

1y x -=的一条渐近线为2y x =，

则有

5

5

=

，解得1b =． 3分 2

2

2

112a ∴=+=，所以椭圆E 的方程为2

22

1x y +=． 4分

（2）设直线l 的方程为1x ty =-，(t 一定存在），代入2222x y +=，并整理得22(2)210t x ty +--=，

△2244(2)0t t =++>恒成立，设1(1M ty -，1)y ，2(1N ty -，2)y ， 则12222t y y t +=

+，12

21

2

y y t -=+． 5分 设0(P x ，0)y ，由222F P F M F N =+，得012012

122

x ty ty y y y -=-+-⎧⎨=+⎩，

即2012201226()3222t x t y y t t y y y t ⎧+=+-=-⎪⎪+⎨⎪=+=

⎪+⎩

，又点P 在椭圆1C 上，故2222222

(6)412(2)(2)t t t t ++=++， 即4212280t t --=，解得214t =（舍负）， 8分

因为满足222F P F M F N =+的点P 也在椭圆1C 上，所以四边形2F MPN 是平行四边形， 设四边形2F MPN 的面积为S ，则有

2

222

121212122242(1)

44(2)||||()4(2)t t t S F F y y y y y y t +++=-=+-==+ 11分

代入214t =，得四边形2F MPN 的面积30

S =

． 12分

21．（1）当2n =时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为23

33111C ()()222

+= 1分

设X 为该电子产品需要维修的系统个数，则1

(3,)2

X B ，500X ξ= 2分

∴3311(500)()C ()(),0,1,2,322

k

k k P k P X k k ξ-===== 4分

∴ξ的分布列为

∴1

50037502E ξ=⨯⨯= 6分

（2）记21k -个元件组成的系统正常工作的概率为k p .21k -个元件中有i 个正常工作的概率

为2121

C

(1)

i i k i

k p p ----，因此系统工常工作的概率21

2121C (1).k i i k i k k i k

p p p ----==-∑ 7分

在21k -个元件组成的系统中增加两个元件得到21k +个元件组成的系统，则新系统正常 工作可分为下列情形：

（a ）原系统中至少有1k +个元件正常工作，概率为1

21C (1)

k k k k k p p p ----； 8分 （b ）原系统中恰有k 个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，

概率为21

21[1(1)]C (1)

k k k k p p p -----； 9分 （c ）原系统中恰有1k -个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，

概率为211

21C (1).k k k k p p

p ---- 10分 因此，211211

1212121C (1)[1(1)]C (1)C (1)

k k k k k k k k k k k k k k p p p p p p p p p p ----+----=-+----- ξ 0 500 1000 1500 P 18 38 38 1

8