空间几何体的表面积和体积(一轮复习)
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立体几何
空间几何体的表面积和体积
知识梳理
柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱 S侧＝2πrl
V＝ Sh ＝π r2h
圆锥 S侧＝π rl
V＝
1 3Sh
＝ 13πr2h
＝13πr2
l2－r2
圆台 S侧＝π(r1＋r2)l
V＝ 1 (S上＋S下＋ ＝13π(r321＋r22＋r1r2)h
S上·S下
立体几何
空间几何体的表面积和体积 即时练习 2
在△ABC中，AB＝2，BC＝3， ∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周所形 成的几何体的体积为________．
解析：形成的几何体为圆锥中挖去一小圆锥后剩余部分，作AD⊥BC， ∴AD＝ 3.∴V＝13πAD2×(BC＋BD)－13πAD2×BD＝3π.
解析：设圆台较小底面半径为 r，则另一底面半径为 3r. 由 S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得 r＝7. 答案：A
立体几何
空间几何体的表面积和体积
4．用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 π，
则球的体积为( )
8π A. 3
8 2π B. 3
C．8 2π
D.332π
解析：S 圆＝πr2＝π⇒r＝1，而截面圆圆心与球心的距离 d
立体几何
空间几何体的表面积和体积
点评：①由三视图画几何体的直观图，掌握“长对正、宽 相等，高平齐”的规则，是确定几何体特征的关键．②把不规 则几何体分割成几个规则几何体或者是补上一部分使之成为 规则几何体，是求不规则几何体的表面积和体积常用方法．
以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是 能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视 图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量 关系．
题型四 几何体的展开与折叠 例 4 有一根长为 3π cm，底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管， 用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱 的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？
立体几何
空间几何体的表面积和体积
解析：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到 矩形 ABCD(如图)，由题意知 BC＝3π cm，AB＝4π cm，点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝 的最短长度．
答案： 3π
立体几何
空间几何体的表面积和体积
球的组合体问题
例题 一个正方体的体积是8，求 (1)这个正方体的内切球的表面积. (2)这个正方体的外接球的表面积.
立体几何
空间几何体的表面积和体积
即时练习3
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都 在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.37πa2 C.131πa2 D．5πa2
立体几何
AC＝ AB2＋BC2＝5π cm，故铁丝的最短长度为 5π cm.
立体几何
空间几何体的表面积和体积
点评：①研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择 恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问 题．②有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平 面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪 些变，哪些不变．
C.245πR3
D. 85πR3
解析：圆锥的母线长为 R，底面半径为R2，高为 23R，则 V
＝13Sh＝ 243πR3. 答案：A
立体几何
空间几何体的表面积和体积
3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线 长为 3，圆台的侧面积为 84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6 C．5 D．3
解析：依题意有，三棱锥 P-ABC 的体积 V＝13S△ABC·|PA|＝13 × 43×22×3＝ 3.
答案： 3
立体几何
空间几何体的表面积和体积
题型探究
题型一 多面体的表面积与体积的计算 例 1 如图，已知几何体的三视图(单位：cm)． (1)画出这个几何体的直观图(不 要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体 积．
立体几何
空间几何体的表面积和体积
•失误与防范 1．将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多 面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解 题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素 间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切 点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外 接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长 等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行 解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或 “切点”、“接点”作出截面图.
答案：B
立体几何
空间几何体的表面积和体积
点评：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细 观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度 作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元 素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目 的．
立体几何
空间几何体的表面积和体积
2 6.
答案：1＋
2 6
立体几何
空间几何体的表面积和体积
归纳总结 •方法与技巧 1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台 与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识 来解决． 2．要注意将空间问题转化为平面问题． 3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几 何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
立体几何
空间几何体的表面积和体积
解析：三棱柱如图所示，由题意可知： 球心在三棱柱上、下底面的中心 O1、O2 的 连线的中点 O 处，连接 O1B、O1O、OB，其 中 OB 即为球的半径 R，由题意知：O1B＝23 × 23a＝ 33a，所以半径 R2＝(a2)2＋( 33a)2＝ 71a22，所以球的表面积是 S＝4πR2＝7π3a2，故选 B.
)h
立体几何
空间几何体的表面积和体积
面积
体积
直棱柱 S侧＝ Ch
V＝ Sh
正棱锥 S侧＝ 12Ch′
V＝
1 3Sh
正棱台 S侧＝ 12(C＋C′)h′ V＝ 13(S上＋S下＋ S上·S下)h
球 S球面＝ 4 π R2
V＝ Hale Waihona Puke Baidu3πR3
立体几何
空间几何体的表面积和体积
1．正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的全面积为
＝1，∴球的半径为 R＝ r2＋d2＝ 2，∴V＝43πR3＝8 32π，故 选 B.
答案：B
立体几何
空间几何体的表面积和体积
5．三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝3，底面 ABC 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 ， 则 三 棱 锥 P-ABC 的 体 积 等 于 __________．
立体几何
空间几何体的表面积和体积
即时练习 1 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其 侧面积等于( )
A. 3
B．2
C．2 3
D．6
解析：由主视图还原实物图知，该几何体为高是 1，底面 边长是 2 的正三棱柱，S 侧＝2×1×3＝6.
答案：D
立体几何
空间几何体的表面积和体积 题型二 旋转体的表面积与体积的计算 例2 在△ABC中，AB＝2，BC＝3， ∠ABC＝90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周所形 成的几何体的体积为________．
空间几何体的表面积和体积
第
二
第
节
七 章
空 间
几
立
何
体
体
几 何
的 表 面
积和
体积
抓基础 明考向 提能力
立体几何
空间几何体的表面积和体积
[备考方向要明了]
考什么
会计算球、柱、锥台的表面积和体积 (不要求记忆公式)
立体几何
空间几何体的表面积和体积
怎么考
1.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多 与三视图相结合命题． 2.主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体 积，同时考查空间想象能力及运算能力．题型 多为选择、填空题.
立体几何
空间几何体的表面积和体积
即时练习4
已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平 面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积 V＝__________.
立体几何
空间几何体的表面积和体积
解析：该几何体形状是一个正方体与正四棱锥的组合体，
正方体的体积是
1，正四棱锥的体积是
62，故应填
1＋
A．48(3＋ 3) C．24( 6＋ 2)
B．48(3＋2 3) D．144
()
解析：其侧面面积为6×6×4＝144，底面积为2× 43×42×6＝48 3， ∴S全＝48(3＋ 3)．
立体几何
空间几何体的表面积和体积
2.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )
A. 243πR3
B. 83πR3
立体几何
空间几何体的表面积和体积
解析： (1)这个几何体的直观图如图所示．
立体几何
空间几何体的表面积和体积
(2)这个几何体可看成是正方体 ABCD－A1B1C1D1 及直三 棱柱 B1C1Q－A1D1P 的组合体．
由 PA1＝PD1＝ 2，A1D1＝AD＝2，可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 S＝5×22＋2×2× 2＋2×12×( 2)2＝22＋4 2(cm2)，所求 几何体的体积 V＝23＋12×( 2)2×2＝10(cm3)．
空间几何体的表面积和体积
知识梳理
柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱 S侧＝2πrl
V＝ Sh ＝π r2h
圆锥 S侧＝π rl
V＝
1 3Sh
＝ 13πr2h
＝13πr2
l2－r2
圆台 S侧＝π(r1＋r2)l
V＝ 1 (S上＋S下＋ ＝13π(r321＋r22＋r1r2)h
S上·S下
立体几何
空间几何体的表面积和体积 即时练习 2
在△ABC中，AB＝2，BC＝3， ∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周所形 成的几何体的体积为________．
解析：形成的几何体为圆锥中挖去一小圆锥后剩余部分，作AD⊥BC， ∴AD＝ 3.∴V＝13πAD2×(BC＋BD)－13πAD2×BD＝3π.
解析：设圆台较小底面半径为 r，则另一底面半径为 3r. 由 S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得 r＝7. 答案：A
立体几何
空间几何体的表面积和体积
4．用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 π，
则球的体积为( )
8π A. 3
8 2π B. 3
C．8 2π
D.332π
解析：S 圆＝πr2＝π⇒r＝1，而截面圆圆心与球心的距离 d
立体几何
空间几何体的表面积和体积
点评：①由三视图画几何体的直观图，掌握“长对正、宽 相等，高平齐”的规则，是确定几何体特征的关键．②把不规 则几何体分割成几个规则几何体或者是补上一部分使之成为 规则几何体，是求不规则几何体的表面积和体积常用方法．
以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是 能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视 图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量 关系．
题型四 几何体的展开与折叠 例 4 有一根长为 3π cm，底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管， 用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱 的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？
立体几何
空间几何体的表面积和体积
解析：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到 矩形 ABCD(如图)，由题意知 BC＝3π cm，AB＝4π cm，点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝 的最短长度．
答案： 3π
立体几何
空间几何体的表面积和体积
球的组合体问题
例题 一个正方体的体积是8，求 (1)这个正方体的内切球的表面积. (2)这个正方体的外接球的表面积.
立体几何
空间几何体的表面积和体积
即时练习3
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都 在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.37πa2 C.131πa2 D．5πa2
立体几何
AC＝ AB2＋BC2＝5π cm，故铁丝的最短长度为 5π cm.
立体几何
空间几何体的表面积和体积
点评：①研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择 恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问 题．②有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平 面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪 些变，哪些不变．
C.245πR3
D. 85πR3
解析：圆锥的母线长为 R，底面半径为R2，高为 23R，则 V
＝13Sh＝ 243πR3. 答案：A
立体几何
空间几何体的表面积和体积
3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线 长为 3，圆台的侧面积为 84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6 C．5 D．3
解析：依题意有，三棱锥 P-ABC 的体积 V＝13S△ABC·|PA|＝13 × 43×22×3＝ 3.
答案： 3
立体几何
空间几何体的表面积和体积
题型探究
题型一 多面体的表面积与体积的计算 例 1 如图，已知几何体的三视图(单位：cm)． (1)画出这个几何体的直观图(不 要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体 积．
立体几何
空间几何体的表面积和体积
•失误与防范 1．将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多 面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解 题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素 间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切 点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外 接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长 等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行 解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或 “切点”、“接点”作出截面图.
答案：B
立体几何
空间几何体的表面积和体积
点评：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细 观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度 作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元 素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目 的．
立体几何
空间几何体的表面积和体积
2 6.
答案：1＋
2 6
立体几何
空间几何体的表面积和体积
归纳总结 •方法与技巧 1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台 与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识 来解决． 2．要注意将空间问题转化为平面问题． 3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几 何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
立体几何
空间几何体的表面积和体积
解析：三棱柱如图所示，由题意可知： 球心在三棱柱上、下底面的中心 O1、O2 的 连线的中点 O 处，连接 O1B、O1O、OB，其 中 OB 即为球的半径 R，由题意知：O1B＝23 × 23a＝ 33a，所以半径 R2＝(a2)2＋( 33a)2＝ 71a22，所以球的表面积是 S＝4πR2＝7π3a2，故选 B.
)h
立体几何
空间几何体的表面积和体积
面积
体积
直棱柱 S侧＝ Ch
V＝ Sh
正棱锥 S侧＝ 12Ch′
V＝
1 3Sh
正棱台 S侧＝ 12(C＋C′)h′ V＝ 13(S上＋S下＋ S上·S下)h
球 S球面＝ 4 π R2
V＝ Hale Waihona Puke Baidu3πR3
立体几何
空间几何体的表面积和体积
1．正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的全面积为
＝1，∴球的半径为 R＝ r2＋d2＝ 2，∴V＝43πR3＝8 32π，故 选 B.
答案：B
立体几何
空间几何体的表面积和体积
5．三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝3，底面 ABC 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 ， 则 三 棱 锥 P-ABC 的 体 积 等 于 __________．
立体几何
空间几何体的表面积和体积
即时练习 1 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其 侧面积等于( )
A. 3
B．2
C．2 3
D．6
解析：由主视图还原实物图知，该几何体为高是 1，底面 边长是 2 的正三棱柱，S 侧＝2×1×3＝6.
答案：D
立体几何
空间几何体的表面积和体积 题型二 旋转体的表面积与体积的计算 例2 在△ABC中，AB＝2，BC＝3， ∠ABC＝90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周所形 成的几何体的体积为________．
空间几何体的表面积和体积
第
二
第
节
七 章
空 间
几
立
何
体
体
几 何
的 表 面
积和
体积
抓基础 明考向 提能力
立体几何
空间几何体的表面积和体积
[备考方向要明了]
考什么
会计算球、柱、锥台的表面积和体积 (不要求记忆公式)
立体几何
空间几何体的表面积和体积
怎么考
1.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多 与三视图相结合命题． 2.主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体 积，同时考查空间想象能力及运算能力．题型 多为选择、填空题.
立体几何
空间几何体的表面积和体积
即时练习4
已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平 面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积 V＝__________.
立体几何
空间几何体的表面积和体积
解析：该几何体形状是一个正方体与正四棱锥的组合体，
正方体的体积是
1，正四棱锥的体积是
62，故应填
1＋
A．48(3＋ 3) C．24( 6＋ 2)
B．48(3＋2 3) D．144
()
解析：其侧面面积为6×6×4＝144，底面积为2× 43×42×6＝48 3， ∴S全＝48(3＋ 3)．
立体几何
空间几何体的表面积和体积
2.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )
A. 243πR3
B. 83πR3
立体几何
空间几何体的表面积和体积
解析： (1)这个几何体的直观图如图所示．
立体几何
空间几何体的表面积和体积
(2)这个几何体可看成是正方体 ABCD－A1B1C1D1 及直三 棱柱 B1C1Q－A1D1P 的组合体．
由 PA1＝PD1＝ 2，A1D1＝AD＝2，可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 S＝5×22＋2×2× 2＋2×12×( 2)2＝22＋4 2(cm2)，所求 几何体的体积 V＝23＋12×( 2)2×2＝10(cm3)．