立体几何的向量方法建系

平面ABD平面 BCD ，如图.
（1）求证：CDAB
（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC
所成的角的正弦值。
z
y
x
例2、（2013福建理）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D 1
中，侧棱 AA1底 面 ABCD，AB//DC，A A1 1
AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k 0)
运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):
（1）建系转化：把立体几何问题转化为向量问题 （2）向量运算：运用向量相关知识。
（3）回到图形下结论：把向量的运算结果“翻译” 成相应的几何意义.
z
Z
Y
x
o
X
y
z
y
x
1、图形直观
z
y
x
z 1、图形直观
y
x
z
y
x
z 1、图形直观
y
x
1、图形直观
z
例 2.(北京卷)如图，在三棱柱
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练 1.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0,2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
例1、（2014福建理） ABCD, A B B D C D 1 A B B D ,C D B D ,将 ABD沿 B D 折起，使得
（1）求证：CD平 面 AD D 1A 1;
k （2）若求直线的A值A1与平面AB1C所z 成角的正弦值为
6 7
y
x
例3、（2012福建理）18、如图， 在长方体ABCD－A1B1C1D1中， AA1＝AD＝1，E为CD中点． （2）在棱AA1上是否存在一点P， 使得DP∥平面B1AE？若存在， 求AP的长；若不存在，说明理由；
(1)证明：PB⊥CD. (2)求二面角 A-PD-C 的 余弦值.
xE
z
O
y
z
O
y
x
z
O•
y
x
z
O•
y
x
z
y
E•
x
z
•E
y
x
例 4.(大纲全国卷)如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底面 ABCD，
AC＝2 2，PA＝2，E 是 PC 上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面 BED；
(2)设二面角 A－PB－C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小．
z
z
z
y y
x
x
x
y
问题:如何求平面的法向量?
n
a
b
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
练习2、如图，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC 的中点,作EF⊥PB交PB于点F， 证明PA//平面EDB；
z
z
y
y
o
n
x
x
1.有三条两两垂直的直线（墙角）时建系最方便； 2.没有明显的“墙角”时需通过条件或辅助线 “找墙角”或“造墙角”； 3.实在没有时可借助直角建系， 另一条坐标轴“悬空”.
ABC-A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形， 平面 ABC⊥平面
AA1C1C，AB=3，BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1－BC1－B1 的
y
余弦值;
(3)证明:在线段 BC1 存在点 D，
使得
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AD⊥A1B，并求
BD BC1
的值.
x
例 3.如图，四棱锥 P－ ABCD 中，∠ABC＝∠BAD ＝90°，BC＝2AD，△PAB 与△ABD 都是边长为 2 的等 边三角形.