2014汤家凤线性代数辅导讲义全
考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤
第一讲 极限与连续主要内容概括〔略〕 重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限： 〔1〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1531311lim n n n ； 〔2〕11lim 332+-=∞→k k nk n π；〔3〕∑=∞→+nk nn k k 1])1(1[lim ；2．求以下极限：〔1〕⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22241241141lim ； 3．求以下极限： 〔1〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n ； 〔2〕nn nn !lim∞→； 〔3〕∑=∞→++ni n ni n 1211lim。
类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：〔1〕)0(2cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n ；〔2〕nn n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+；2．求以下极限： 〔1〕()xx xcos 1120sin 1lim -→+；〔3〕)21ln(103sin 1tan 1lim x xx x x +→⎪⎭⎫⎝⎛++；〔4〕21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求以下极限：〔1〕)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x xx x -+-+→；〔2〕)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；〔3〕]1)3cos 2[(1lim30-+→x x x x ； 〔4〕)tan 11(lim 220xx x -→； 〔5〕203)3(lim xx xx x -+→； 〔6〕设A a x x f x x =-+→1)sin )(1ln(lim，求20)(lim x x f x →。
2．求以下极限：xx ex x x sin cos lim 3202-→-类型四：极限存在性问题：1．设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim 。
汤家凤高数基础班讲义
汤家凤高数基础班讲义1. 引言本讲义旨在介绍汤家凤高数基础班的课程内容和教学方法。
汤家凤高数基础班是一门为初学者设计的高等数学课程，旨在帮助学生建立扎实的高数基础，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。
2. 课程目标•掌握代数与初等函数相关知识；•理解微积分的基本概念和方法；•学会运用微积分解决实际问题；•培养逻辑思维和问题解决能力。
3. 课程大纲3.1 代数与初等函数•实数与复数•集合论与不等式•函数与映射关系•初等函数及其性质3.2 极限与连续•数列极限及其性质•函数极限及其性质•连续性及其应用3.3 导数与微分•导数的概念与计算法则•高阶导数与隐函数求导法则•微分中值定理及其应用3.4 积分与应用•不定积分与定积分•定积分的计算法则•积分中值定理及其应用3.5 微分方程•常微分方程的基本概念•一阶常微分方程及其解法•高阶常微分方程及其解法4. 教学方法4.1 理论讲解教师将通过清晰明了的语言和示例，对每个知识点进行详细讲解。
教师会引导学生理解概念、掌握基本原理，并提供相关的数学推导过程。
4.2 练习与讨论教师将提供大量练习题，并指导学生进行课堂练习和小组讨论。
通过实际操作和合作交流，加深对知识点的理解和应用能力。
4.3 解题技巧分享教师将分享一些常见的解题技巧和方法，帮助学生更好地应对考试和实践中的各种问题。
同时，鼓励学生探索不同的解题思路，培养独立思考和创新能力。
4.4 实践案例分析教师将选取一些实际问题，通过案例分析的方式，将抽象的数学知识与实际问题相结合。
通过分析和解决实践问题，加深学生对数学应用的理解和体验。
5. 学习资源•教材：《高等数学》（第三版），汤家凤、吴立宗编著•参考书：《高等数学辅导教程》，汤家凤、吴立宗编著•网上资源：汤家凤高数基础班在线课程6. 考核方式•平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等；•期中考试：对前半个学期的知识进行检测；•期末考试：对全年知识进行综合考核。
汤家凤零基础高数不说格林公式(一)
汤家凤零基础高数不说格林公式(一)高数基础公式1. 求导法则•导数的线性性质：如果 f(x) 和 g(x) 是可导函数，a 和 b 是任意实数，则有：–导数的和：(af(x) + bg(x))’ = af’(x) + bg’(x)–导数的差：(af(x) - bg(x))’ = af’(x) - bg’(x)•常数倍法则：如果 c 是常数，f(x) 是可导函数，则有：–(cf(x))’ = cf’(x)•幂指数法则：如果 n 是常数，f(x) 是可导函数，则有：–(f(x)^n)’ = nf(x)^(n-1)*f’(x)•和差法则：如果 f(x) 和 g(x) 是可导函数，则有：–(f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x)–(f(x) - g(x))’ = f’(x) - g’(x)•乘法法则：如果 f(x) 和 g(x) 是可导函数，则有：–(f(x) * g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)•商法则：如果 f(x) 和 g(x) 是可导函数，则有：–(f(x)/g(x))’ = (f’(x)g(x) - f(x)g’(x))/g(x)^2示例说明对于函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x, 其导数为： - f’(x) =(3x^2 + 4x - 5)’2. 积分法则•不定积分的线性性质：如果 f(x) 和 g(x) 是可积函数，a 和 b 是任意实数，则有：–积分的和：∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx +b∫g(x)dx•幂指数积分法则：如果 n 不等于 -1，f(x) 是可积函数，则有：–积分公式：∫f(x)x^n dx = (f(x)x^(n+1))/(n+1) + C•和差法则：如果 f(x) 和 g(x) 是可积函数，则有：–∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx–∫(f(x) - g(x))dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx•乘法法则：如果 f(x) 和 g(x) 是可积函数，则有：–∫(f(x) * g(x))dx = ∫f(x)g’(x)dx + ∫g(x)f’(x)dx •分部积分法：如果 u(x) 和 v(x) 都是可导函数，则有：–∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u’(x)dx示例说明对于函数 f(x) = 3x^2 + 2x, 其不定积分为： - ∫(3x^2 +2x)dx = ∫3x^2dx + ∫2xdx3. 泰勒展开•泰勒展开是用多项式来逼近函数的一种方法，具体展开式为：–f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + f’‘(a)(x-a)^2/2! + f’’’(a)(x-a)^3/3! + …示例说明对于函数 f(x) = sin(x)，其在 x = 0 处展开为泰勒级数： - f(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + …结论上述公式为高数领域中常用的基础公式，对于理解和解题非常有帮助。
数三从80到2,两年的教训和经验都在这里
数三从80到142，两年的教训和经验都在这里摘要：数学复习常常会难倒很多人，甚至有人害怕数学选择放弃考研或者专门挑选不考数学的专业。
那么数学如何提高成绩呢？认为吸取前人的经验和教训就是个好办法，这不，给你准备了数学三从80到二战142的备考经验，读完你会有所收获！►16年80 17年14216年的数三真的是让人心痛，其实考前的备考不可谓不努力，可以说是我们那块一起准备考研的学生中最努力的了，但是结局却是惨败，后来仔细分析了原因，在下面会一一道来。
►第一年复习资料：教材类：高等数学教材（同济第六版）高等数学习题全解指南（同济第六版）线性代数教材（同济第五版）线性代数附册学习辅导与习题全解（同济第五版）概率论教材（浙大第四版）概率论全解指南（浙大第四版）辅导书类：李永乐王式安复习全书李永乐王式安660题李永乐线代辅导讲义李永乐数学历年真题权威解析李正元超越135 李永乐6+2模拟试卷►第一年备考历程：由于大学前几年真的是玩得太H，逃课挂科家常便饭，单学期绩点最低才一点几，到要开始准备考研的时候真的可以说是连积分是什么东西都不懂，所以打算踏踏实实地夯实基础，心急吃不成大胖子，慢慢来。
3，4月份，把高数，线代和概率论课本刷了一遍，其中我记得高数的课后题应该是每道都写了，不会写的就抄答案。
等课本过了一遍后，其实理解得非常浅薄，但应该比之前那种积分都不会的状况要好很多。
5月份把全书的高数部分做完了吧，那时候做全书是真的很难啊，例题基本是看下来的不是做下来的（这点非常不应该，学弟学妹们一定要记住数学不是看会的，是做会的）。
李永乐王试安的全书有一本课后习题，上面的题目是比较难比较偏的，那时候很天真啊，就觉得老子有毅力老子最牛逼，把你硬啃下来考试时候肯定起飞，做是做下来了，但事后看其实这个策略是不对的。
6月份复习期末考，基本荒废。
7月份到9月份，时间隔得太久了，记忆有些不清了，貌似8月10日左右是把全书一遍完整地刷完了，然后大概是9月底的时候把全书两遍刷完了。
考研数学高分导学班讲义汤家凤
考研数学高分导学班讲义汤家凤课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）2、课程内容此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。
此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。
3、主讲师资汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。
汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。
汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。
深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。
严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！主讲：高等数学、线性代数。
4、讲义20页（电子版）文都网校2011年9月15日2013考研数学高分导学班讲义线性代数部分—矩阵理论一、矩阵基本概念1、矩阵的定义—形如??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，称为矩阵n m ?，记为n m ij a A ?=)(。
特殊矩阵有（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。
（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。
（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。
（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。
2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。
若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。
3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：=??????? ??=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 212222111211212222111211,，则±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111。
汤家凤高数基础班讲义
汤家凤高数基础班讲义一、导论在汤家凤高数基础班中，我们将学习高等数学的基本概念和技巧。
高等数学是大学数学的核心课程之一，对于理工科学生来说尤为重要。
本讲义将帮助学生建立高数的基础知识框架，并提供实用的解题方法，以帮助学生更好地应对高数学习。
二、函数与极限1. 函数的定义与性质：函数的定义及基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
2. 一些常见函数：介绍常见的函数类型，如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数等，并讲述它们的基本性质。
3. 极限的概念与性质：解释极限的概念并引入极限的性质，包括左极限、右极限、无穷大与无穷小等。
三、导数与微分1. 导数的定义与求导法则：介绍导数的定义，包括导数的几何意义和物理意义，以及常用的求导法则。
2. 高阶导数与隐函数求导：讲解高阶导数的定义，以及如何求解隐函数的导数。
3. 微分与微分中值定理：解释微分的概念，介绍微分中值定理的原理和应用。
四、积分与其应用1. 不定积分与定积分：引入不定积分与定积分的概念，讨论它们的性质和基本计算方法。
2. 牛顿-莱布尼茨公式：介绍牛顿-莱布尼茨公式的原理和应用，解释它与积分的关系。
3. 定积分的应用：探讨定积分在曲线长度、曲面面积和体积计算中的应用。
五、级数与幂级数1. 级数的概念与性质：解释级数的概念，介绍级数的性质，如收敛性、发散性和部分和的计算方法。
2. 常见级数及其性质：介绍常见级数，如几何级数、调和级数等，并讲述它们的性质与求和方法。
3. 幂级数的收敛域：讨论幂级数的收敛域的求解方法，并举例说明。
六、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：介绍常微分方程的定义、解的存在唯一性定理，以及一阶常微分方程的基本解法。
2. 高阶常微分方程：讲解高阶常微分方程的基本概念、特解与常数变易法。
3. 稳定性与相图：介绍稳定性的概念，讨论常微分方程的相图、稳定解和解的行为。
七、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念与性质：引入多元函数的概念，介绍多元函数的极限、连续性以及偏导数。
[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)
![[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)](https://img.taocdn.com/s3/m/f6e47fa9bb4cf7ec4bfed040.png)
课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤）2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。
3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。
著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。
凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。
深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。
4、讲义：6页（电子版）文都网校2011年5月27日公开课二：定积分理论一、实际应用背景1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。
（1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini it f S ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f S ∆=∑=→)(lim1ξλ2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。
（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini ix f A ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f A ∆=∑=→)(lim1ξλ。
二、定积分理论（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作ini ix f ∆∑=)(1ξ；（3）取}{m a x 1i ni x ∆=≤≤λ，若ini ix f ∆∑=→)(lim 1ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim 1ξλ。
汤家凤对线性无关的解释
汤家凤对线性无关的解释
线性无关一般指线性独立；线性独立一般是指向量的线性独立，指一组向量中任意一个向量都不能由其它几个向量线性表示。
扩展资料
在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立（linearly independent），反之称为线性相关（linearly dependent）。
例如在三维欧几里得空间R的三个矢量（1，0，0），（0，1，0）和（0，0，1）线性无关；但（2，1，
1），（1，0，1）和（3，1，2）线性相关，因为第三个是前两个的'和。
线性相关性质：
1、向量al，a2，，an（n=2）线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余（n-1）个向量的线性组合。
2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。
3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。
4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。
5、n+1个n维向量总是线性相关。
（个数大于维数必相关）。
考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤)-精选.pdf
2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i,是一对不等的正整数，若j i，则称),(j i 为一对逆序。
定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3 行列式—称nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211称为n 阶行列式，规定nnn nj jj j j j j j j a a a D21212121)()1(。
定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1n 行和1n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ijM A )1(为元素ij a 的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如n a a a 00000021称为对角行列式，n na a a a a a 212100000。
2、上（下）三角行列式—称nn n n a a a a a a 0022211211及nnn n a a a a a a 21222111000为上（下）三角行列式，nn nnn n a a a a a a a a a 2211222112110，nn nnn n a a a a a a a a a 22112122211100。
3、||||B A BOO A ，||||B A BOC A ，||||B A BCO A 。
4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(n nn n n n aaaa a a a a a V 称为n 阶范得蒙行列式，且ni j j in nn n n n a a aaaa a a a a a V 1112112121)(111),,,(。
汤家凤2024零基础讲义pdf
汤家凤2024零基础讲义pdf首先你要搞清楚汤家凤2024《高等数学辅导讲义·零基础篇》是个什么东西。
如果你对高数纯纯的没有一点儿基础，那我建议你先看这本。
一、汤家凤2024《高等数学辅导讲义·零基础篇》是什么？（封面长这样↓）既然叫“零基础篇”，那么这本书的重点就在于帮助大家先理解基本概念，再掌握基本原理，最后学会基本的公式推导。
书的章节设置非常贴心。
1.在第一章前面增加预备章（即：零基础高等数学入门知识，包括第一节：集合、运算与关系，第二节：三角函数与反三角函数，第三节：常见不等式及数列），目的是帮助大家回忆起高中数学知识，更好地进入高数学习。
2.书中每一章开头都有本章思维导图，方便大家在学习每章之前整体了解本章的知识架构。
在解题方法方面，这本书没有做过多说明，只是起到一个入门的作用。
二、汤家凤2024《高等数学辅导讲义》是什么？（封面长这样↓）这本书是当你看完了《零基础篇》以后，对高数有点儿基础了，再来看的一本书。
如果你有高数基础，可以完全不用买《零基础篇》，直接上这本书完事。
汤家凤《高等数学辅导讲义》最突出的三大特点是：1.带你系统性复习高数，基础、强化、提高阶段都能用。
2.基础知识点和题型覆盖全。
这本书覆盖36类高数基础知识点和76种基础题型，解题步骤完整，很多重难点都是掰开了揉碎了给你讲，基本上看书就能理解。
3. 24版根据考研新大纲全新升级，直击考点，大幅提高你的应试能力。
这本书包含十二章，分别是：三、汤家凤《接力题典1800》是什么？（封面长这样↓）这套书分数一、数二、数三，每套书包含两本，分别是题目册和答案册。
因为学数学关键靠刷题，所以复习高数只看高数讲义是不够的，还要同步刷题提高计算能力和解题速度。
1800题目册里划分出基础篇和提高篇两部分。
基础篇的题较为简单，提高篇的题则有些难度。
有些人说1800很难，我想他大概说的是提高篇里的题。
如果你做基础篇的题仍然发现很困难，那我建议你还是重新看一下高数讲义、线代讲义和概率讲义，重新听听网课，先把基本概念和公式学明白吧。
考研数学强化班高等数学讲义汤家凤
第一讲 极限与连续主要内容归纳（略）要点题型解说一、极限问题种类一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限：（ 1） lim111；n13 35(2n1)(2n 1)（ 2） limnk 3 1 ；1nk 2k 3n（ 3） lim [nk 11] n ；k (k 1)2．求以下极限：（ 1） lim111；222n4n 14n24nn3．求以下极限：（ 1） lim111；22222nn 2 n n21 n（ 2） lim nn!；nnn 1（ 3） lim。
ni2i 11nn种类二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：（ 1） lim cos x cos xcos x(x0) ；( n 1) n 112 n （ 2） limnsin；n222nnn2．求以下极限：1（ 1） lim 1 sin x 2 1 cos x ；x 011（ 3） lim1 tan x x 3ln(1 2 x)（4） lim cos1 sin x；xx 0x种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题1．求以下极限：x 2；（ 1） lim1 tan x 1 sin x ；（ 2） lime tan xe x ；x 0x(1 cosx) x 0x(1 cosx)（ 3） lim1 2 cos xx1] ；（ 4） lim (11) ；x 3 [(3)x 2tan 2x 0xx（ 5） lim(3 x) x3 x2；x 0xln(1 f (x) ) f (x)（ 6）设 lim sin xA ，求 lim 。
x2x 0 a 1 x 0 xx 22．求以下极限： lim cos x e 23x 0x sin x种类四：极限存在性问题：1．设 x 1 1, x n 11 x n0 ，证明数列 { x n } 收敛，并求 lim x n 。
nnn2．设 f ( x) 在 [ 0, ) 上单一减少、非负、连续， a nf (k)f (x)dx(n 1,2, ) ，证明：k11lim a n 存在。
辅导讲义(线性代数第四讲)
1）对系数矩阵作初等行变换可得：
A
Ir 0
B 0
；
2）写出与原方程组同解的方程组：
x1 k1,r1xr1 k1,n xn
x2
k 2,r 1 xr 1
k2,n xn ，其中 xr1, xr2,, xn 为自由未知量。
xr kr ,r1xr1 kr ,n xn
xr1 1 0 0
3）分别取
xr2
0
,
1 ,,
0
，得到
Ax
0的
n
r
个线性无关的解：
xn 0 0 1
k1,r1
k2,r
1
k1,r2
k2,r 2
1
kr,r 1
1
,2
kr,r2 0
,Leabharlann 010 0
k1,n
k2,n1
,nr
kr,n 0
即为一个基础解系。
0
1
4）所以齐次线性方程组 Ax 0 得通解为 x c11 c22 cnr nr ， c1, c2 ,cnr 为任意常数。 ※ n 元非齐次线性方程组 Ax b
n 元齐次线性方程组 Ax b 解的判定：
若 r(A) r(A) r(Ab) ，则方程组无解；
若 r(A) r(A) r(Ab) n 时，方程组有唯一解；
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
，
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列元素换成方程组右端的常数列，其余元素不变所得的行列式。
注意：1）克莱姆法则只适用于方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组；
辅导讲义(线性代数第一讲)
4、利用行列式行列 展开及余子式和代数余子式解题
12345 11122 【例1.21】 设 D 3 2 1 4 6 ，则（1）A31 A32 A33 （ 22211 43210
（A）当 m n 时，必有行列式 AB 0
（B）当 m n 时，必有行列式 AB 0
（C）当 n m时，必有行列式 AB 0
【分析】
（D）当 n m 时，必有行列式 AB 0
【例1.12】 已知 n 阶 (n 3) 行列式 A a ，将 A 中的每一列都减去其余各列之和得到新的行列
0
i j
其中 Ast 是 ast 的代数余子式。
注意：见到代数余子式马上想到展开定理，想到伴随矩阵。
43000
14300
例 行列式 0 1 4 3 0 =
。
00143
00014
分析 对于此类三对角行列式，一般采用的是递推法。 按第一列展开，有
4300
3000
430
1 D5 4 0
4 1
3 4
0 (1)21 1
x 4 ，其系数显然是 2。而含 x3 的项只能是在 2x (x 3) (x 2) (x 1) 和 x 1 (x 2) (x 1) 中，
故 x3 的系数为 11。
1.2 行列式的性质 性质 1．行列式和它的转置行列式相等； 性质 2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；
1
性质 3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数 乘此行列式的任意一行（列）；
n
6．若 A 是 n 阶矩阵， i (i 1,2,, n) 是 A 的特征值，则 A i ； i 1
7．若 A ～ B ，则 A B 。
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【最新整理，下载后即可编辑】考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲 基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2,… … … …a m1x 1+a m2x 2+…+a mn x n =b m ,其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等.线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i 都用k i 替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m ⨯n 个数排列成的一个m 行n 列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m ⨯n 型矩阵.例如2 -1 0 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a 11 a 12 … a 1n a 11 a 12 … a 1nb 1A = a 21 a 22 … a 2n 和(A |)= a 21 a 22 … a 2n b 2… … … … … … …a m1 a m2 … a mn a m1 a m2 … a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i 行第j 列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A 和B 相等(记作A =B ),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成a 1(a 1,a 2,⋯ ,a n )或 a 2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n 矩阵,右边是n ⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m 维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A 的列向量组为1,2,⋯ ,n 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =(1,2,⋯ ,n ).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m ⨯n 的矩阵A 和B 可以相加(减),得到的和(差)仍是m ⨯n 矩阵,记作A +B (A -B ),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m ⨯n 的矩阵A 与一个数c 可以相乘,乘积仍为m ⨯n 的矩阵,记作c A ,法则为A 的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:① 加法交换律: A +B =B +A .② 加法结合律: (A +B )+C =A +(B +C ).③ 加乘分配律: c(A +B )=c A +c B .(c+d)A =c A +d A .④ 数乘结合律: c(d)A =(cd)A .⑤ c A =0⇔ c=0 或A =0.转置:把一个m ⨯n 的矩阵A 行和列互换,得到的n ⨯m 的矩阵称为A 的转置,记作A T (或A ').有以下规律:① (A T )T = A .② (A +B )T =A T +B T .③ (c A )T =c A T .转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T 表示行向量,当是行向量时, T 表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s 是一组n 维向量, c 1,c 2,…,c s 是一组数,则称c 11+c 22+…+c s s 为1,2,…,s 的(以c 1,c 2,…,c s 为系数的)线性组合.n 维向量组的线性组合也是n 维向量.(3) n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n 的矩阵也常常叫做n 阶矩阵.把n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n 阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E (或I ).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n 2个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … … .a n1 a n2 … a nn 如果行列式的列向量组为1,2, … ,n ,则此行列式可表示为|1,2, … ,n |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 .a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33.a 31 a 32 a 33一般地,一个n 阶行列式a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … …a n1 a n2 … a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项nnj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 0023********,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们可以写出n 阶行列式的值:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(nn n nj j j j j j j j j a a a τ-∑ … … …a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | .② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如 |,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A ||B |.O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A |)→(E |η),η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ②1+x 1 1 1③1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 12 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 .3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例31+x1 1 111 1 .1 1+x211 1 1+x31 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 3 3x 2-29 x 3 6 -6例7 求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1, 2 ,3),|A |=2, |B |=3 ,求|A +B | .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a nb 1c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)n i i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111n n i i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … …b n … 0c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).另一个常见的n 阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0a a+b b … 0 0… … … … = 110n n n n i i i a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时).0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c,ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等.(2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3(a+10).例2 1875.例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a 2-a 3+a 4-a 5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x 1=a,x 2=b,x 3=c..第三讲 矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A 的列数和B 的行数相等时,和A 和B 可以相乘,乘积记作AB . AB 的行数和A 相等,列数和B 相等. AB 的(i,j)位元素等于A 的第i 个行向量和B 的第j 个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a 11 a 12 … a 1n b 11 b 12 … b 1s c 11c 12 … c 1sA = a 21 a 22 … a 2nB = b 21 b 22 … b 2sC =AB =c 21 c 22 … c 2s… … … … … …… … …a m1 a m2 … a mn ,b n1 b n2 … b ns ,c m1c m2 … c ms ,则c ij =a i1b 1j +a i2b 2j +…+a in b nj .矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:① 矩阵乘法有条件.② 矩阵乘法无交换律.③ 矩阵乘法无消去律,即一般地由AB =0推不出A =0或B =0.由AB =AC 和A ≠0推不出B =C .(无左消去律)由BA =CA 和A ≠0推不出B =C . (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:① 加乘分配律 A (B +C )= AB +AC , (A +B )C =AC +BC .② 数乘性质 (c A )B =c(AB ).③ 结合律 (AB )C = A (BC ).④ (AB )T =B T A T .2. n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质:|AB |=|A ||B |.如果AB =BA ,则说A 和B 可交换.方幂 设k 是正整数, n 阶矩阵A 的k 次方幂A k 即k 个A的连乘积.规定A 0=E .显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:① A k A h = A k+h .② (A k )h = A kh .但是一般地(AB )k 和A k B k 不一定相等!n 阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m +a m-1x m-1+…+a 1x+a 0,对n 阶矩阵A 规定f(A )=a m A m +a m-1A m-1+…+ a 1A +a 0E .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有:(A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22A 21 A 22B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22要求A ij 的列数B jk 和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A 1 0 0A = 0 A 2 0… … …0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A 1,A 2,…,A k 都是方阵.两个准对角矩阵A 1 0 ... 0 B 1 0 0A = 0 A 2 ... 0 , B = 0 B 2 0… … … … … …0 0 … A k 0 0 … B k如果类型相同,即A i 和B i 阶数相等,则A 1B 1 0 0AB = 0 A 2B 2 … 0 .… … …0 0 … A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A 是m ⨯n 矩阵B 是n ⨯s 矩阵. A 的列向量组为1,2,…,n ,B的列向量组为1,2,…,s , AB 的列向量组为1,2,…,s ,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):① AB 的每个列向量为:i =A i ,i=1,2,…,s.即A (1,2,…,s )= (A 1,A 2,…,A s ).② =(b 1,b 2,…,b n )T ,则A = b 11+b 22+…+b n n .应用这两个性质可以得到:如果i =(b 1i ,b 2i ,…,b ni )T ,则i =A I =b 1i 1+b 2i 2+…+b ni n .即:乘积矩阵AB 的第i 个列向量i 是A 的列向量组1,2,…,n 的线性组合,组合系数就是B 的第i 个列向量i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c 倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设B=(1,2,…,s),则X也应该有s 列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.)“⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)② 如果A 和B 都可逆,则AB 也可逆,并且(AB )-1=B -1A -1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E (i,j)-1= E (i,j), E (i(c))-1=E (i(c -1)), E (i,j(c))-1= E (i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵① 计算逆矩阵的初等变换法当A 可逆时, A -1是矩阵方程AX =E 的解,于是可用初等行变换求A -1:(A |E )→(E |A -1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.② 伴随矩阵若A 是n 阶矩阵,记A ij 是|A |的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A 11 A 21 … A n1A *= A 12 A 22 … A n2 =(A ij )T .… … …A 1n A 2n … A mn请注意,规定n 阶矩阵A 的伴随矩阵并没有要求A 可逆,但是在A 可逆时, A *和A -1有密切关系.基本公式: AA *=A *A =|A |E .于是对于可逆矩阵A ,有A -1=A */|A |, 即A *=|A |A -1.因此可通过求A *来计算A -1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc ≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1=(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=T,则A k=(T)k-1A=(tr A)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,⋯,0,a)T, a<0, A=E-T, A-1=E+a-1T,求a. (03三,四)④n维向量=(1/2,0,⋯,0,1/2)T,A=E-T,B=E+2T,求AB. (95四)⑤A=E-T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n =A n-2+A 2-E . (2) 求A n .例4设A 为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足 A1=1+2+3, A 2=22+3,A 3=22+33.求作矩阵B ,使得A (1,2,3)=(1,2,3)B . (2005年数学四)例5设3阶矩阵A =(1,2,3),|A |=1,B =(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B |.(05)例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A 是3阶矩阵, 是3维列向量,使得P =(,A ,A 2)可逆,并且A 3=3A -2A 2.又3阶矩阵B 满足A =PBP -1.(1)求B .(2)求|A +E |.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A ,B 满足ABA *=2BA *+E ,其中A = 1 2 0 ,求|B |.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A = 1 -1 0 , A -1XA =XA +2A ,求X .-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A = -1 1 1 , A *X =A -1+2X ,求X .1 -1 1例11 4阶矩阵A ,B 满足ABA -1=BA -1+3E ,已知1 0 0 0A *= 0 1 0 0 ,求B . (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A = 2 1 0 , B = 0 0 0 , XA +2B =AB +2X ,求X 11.2 13 0 0 -1例13 设1=(5,1,-5)T ,2=(1,-3,2)T ,3=(1,-2,1)T ,矩阵A满足A 1=(4,3) T , A 2=(7,-8) T , A 3=(5,-5) T ,求A .2.概念和证明题例14 设A 是n 阶非零实矩阵,满足A *=A T .证明:(1)|A |>0.(2)如果n>2,则|A |=1.例15 设矩阵A =(a ij )3 3满足A *=A T ,a 11,a 12,a 13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆.讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明(1) A2=A⇔T =1.(2)T =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵,E+AB可逆,证明(E+AB)-1A 也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C 为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例1 35A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1①3.②a2(a-2n). ③-1. ④E. ⑤4.例2 O.例 3 (1)提示:A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例6 –4a.例7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明 ,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系 设1,2,…,s 是一个n 维向量组.如果n 维向量等于1,2,…,s 的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s 线性表示.如果n 维向量组1,2,…,t 中的每一个都可以可以用1,2,…,s 线性表示,就说向量 1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示.判别“是否可以用1,2,…,s 线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x 11+x 22+…+x s s =是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以1,2,…,s为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB 的每个列向量都可以表示为A 的列向量组的线性组合,从而AB 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示;反之,如果向量组1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示,则矩阵(1,2,…,t )等于矩阵(1,2,…,s )和一个s ⨯t 矩阵C 的乘积. C 可以这样构造: 它的第i 个列向量就是i 对1,2,…,s 的分解系数(C 不是唯一的).向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示,而1,2,…,s 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示,则1,2,…,t 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示.当向量组1,2,…,s 和1,2,…,t 互相都可以表示时就说它们等价并记作1,2,…,s ≅1,2,…,t. 等价关系也有传递性.。
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2014汤家凤线性代数辅导讲义
文都教育 2014 考研数学春季基础班线性代数辅导讲义文都教育 2014 年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲：汤家凤第一讲 行列式一、基本概念定义 1 逆序—设 i, j 是一对不等的正整数，若 ij ，则称 (i, j ) 为一对逆序。
定义 2 逆序数—设 i 1i 2 i n 是 1,2, , n 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为(i 1i 2 i n ) ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
a11a 12a1n定义 3 行列式—称 Da 21 a 22a2 n称为 n 阶行列式，规定an1 an 2annD( 1) ( j 1 j 2 j n ) a 1 j a 2 j2anj。
j 1 j 2j n1na11a12a1n定义 4Da21 a22 a2 n余子式与代数余子式—把行列式中元素 a ij 所在的 i 行元an1an 2ann素和 j 列元素去掉，剩下的 n 1行和 n 1 列元素按照元素原来的排列次序构成的 n 1阶行列式，称为元素 a ij 的余子式，记为 M ij ，称 A ij ( 1) i jMij 为元素a ij的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式a 1 0 0a 1 0 01、对角行列式—形如0 a 2 0 称为对角行列式， 0 a 2 0 a 1a 2a n 。
a na na11a12a1 na 112、上（下）三角行列式—称0 a22a2n 及a21a220 为上（下）三角行a nn a n1a n2a nna11a12a1na11a22a2na 11a22a nn ， a21a22a nn 。
列式，a 11a220 0annan1an2ann文都教育 2014 考研数学春季基础班线性代数辅导讲义A O A C A O 3、|A| |B|，B|A| |B|，| A| |B|。
OBO CB1 1 14、范得蒙行列式—形如V ( a 1 , a 2 ,a 1a 2a n称为 n 阶范得蒙行列式，, a n )a 1n 1a 2n 1a n n 11 1 1且V (a 1 , a 2 , , a n )a 1a 2a n ( a i a j ) 。
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汤家凤快速写行列式通解
汤家凤快速写行列式通解先说结论，这题是个列式，如果你在做列式的同时要做好一系列的运算工作，这样你的结果就会是非常好的。
下面是汤家凤快速写行列式通解。
首先来看行列式分解：在上面的分析中我们发现行列式中只有三个式子不同形式结构，而且三个式子都是由三个元素组成的集合。
在每一个元素中都有对应我们后面五个元素中这个元素的一些变化。
当三个元素变多之后就会变成一个一式两式结构。
比如后面三个元素:1=2 (2+1)+2 (2+1)(3)=4 (4+1)(5)=5+5一、确定集合元素我们在解行列式的时候首先要确定的就是我们集合中元素的个数。
所以这里我们要确定我们最后一个元素是什么。
如果确定了集合中元素就知道每个元素对应哪里了。
但是有时候我们会发现集合中有两个元素不同，这时候就会导致我们不知道该如何进行分解了。
这里我们先从两个集合入手分析，第一个是两个整数之间的正整数，第二个是两个负数之间的差数。
所以在解这两个数中所对应的元素要从这两个数上去看。
通过我们这一步我们会发现所有元素都对应于这个负数。
所以从这一点上来看这一步是非常重要的。
二、找出三个元素之间的关系这是很简单的一个问题，你要知道什么是三个元素之间的关系。
也就是你要找一个和你有关系的两个系数。
对于这个系数要有三种不同的认识。
所以这是非常简单的一个问题，找出一种关系就能知道一个方程里面到底有几个元素了。
我们用最简单的形式来表达它：三、求出列式的整数形式注意：行列式中这个数是整数形式但是这里要注意它的个数不是整数形式。
这里先说下整数形式。
我们先把前三个元素中每一个元素变成一个整数形式。
比如5+5表示它也是一个二进制关系。
再把前三个元素变成一个三进制关系，就会变成一个二进制关系。
这就是上面提到的我们看到后面三个元素变成一个二进制关系后可以得出我们要求解出来之前这个列式中最小整数形式是什么？所以我们先求出行列式中最小整数形式是什么？在做行列式时因为我们之前只是一个一进制关系我们不能直接确定结果是否为整数形式我们只能去考虑它最小整数形式是什么。
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文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲：汤家凤第一讲 行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。
定义2 逆序数—设n i i i Λ21是n ,,2,1Λ的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i Λτ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3 行列式—称nnn n n n a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211=称为n 阶行列式，规定n nn nj j j j j j j j j a a a D ΛΛΛ21212121)()1(∑-=τ。
定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n n n a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211=中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如na a a ΛΛO ΛΛΛΛ00000021称为对角行列式，n na a a a a a ΛΛΛO ΛΛΛΛ2121000000=。
2、上（下）三角行列式—称nnn n a a a a a a ΛΛO ΛΛΛΛ0022211211及nnn n a a a a a a ΛΛOΛΛΛΛ212221110为上（下）三角行列式，nn nnn n a a a a a a a a a ΛΛΛO ΛΛΛΛ22112221121100=，nn nnn n a a a a a a a a a ΛΛΛO ΛΛΛΛ221121222111000=。
3、||||B A BO O A ⋅=，||||B A BO C A ⋅=，||||B A BCO A ⋅=。
4、得蒙行列式—形如112112121111),,,(---=n nn n n n a a a a a a a a a V ΛΛO ΛΛΛΛΛ称为n 阶得蒙行列式，且X ΛΛO ΛΛΛΛΛni j j in nn n n n a aa a a a a a a a a V ≤<≤----==1112112121)(111),,,(。
【注解】0),,,(21≠n a a a V Λ的充分必要条件是n a a a ,,,21Λ两两不等。
三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即T D D =。
2、对调两行（或列）行列式改变符号。
3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。
推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。
推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。
推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。
4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即nnn n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21211121121211121121221111211+=+++。
5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即nnn n jnj j jnin j i j i n nnn n jn j j in i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212122111121121212111211+++=，其中k 为任意常数。
【例题1】设321,,,,γγγβα为4维列向量,且4|,,,|||321==γγγαA ，21|,3,,|||321==γγγβB ，求||B A +。
【例题2】用行列式性质1~5计算842321123-。
【例题3】计算行列式2164729541732152-----=D 。
【例题4】计算nn a a a a D ++++=1111111111111111321ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，其中)1(0n i a i ≤≤≠。
（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i ΛΛ=+++=， ),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j ΛΛ=+++=。
7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。
【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算842321123-。
【例题2】设2164729541732152-----=D ，求（1）24232221M M M M +++；（2）3231M M +。
四、行列式的应用—克莱姆法则对方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a ΛΛΛΛ （I ） 及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛ22112222212********* （II ） 其中)(II 称为非齐方程组，)(I 称为)(II 对应的齐次方程组或)(II 的导出方程组。
令nn n n nnn nn n nnn n n n b a a b a a b a a D a a b a a b a a b D a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2122221112112222211211212222111211,,,===，其中D称为系数行列式，我们有定理1 )(I 只有零解的充分必要条件是0≠D ；)(I 有非零解（或者)(I 有无穷多个解）的充分必要条件是0=D 。
定理2 )(II 有唯一解的充分必要条件是0≠D ，且),,2,1(n i DD x ii Λ==；当0=D 时，)(II 要么无解，要么有无穷多个解。
第二讲 矩阵一 、基本概念及其运算 （一）基本概念1、矩阵—形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。
（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。
（2）对n m ij a A ⨯=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。
（3）称⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11O E 为单位矩阵。
（4）对称矩阵—设n n ij a A ⨯=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij Λ==，称A 为对称矩阵。
（5）转置矩阵—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n nm m Ta a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111，称TA 为矩阵A 的转置矩阵。
2、同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。
3、伴随矩阵—设n n ij a A ⨯=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*nn n nn n A A A A A A A A A A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111，称为矩阵A 的伴随矩阵。
（二）矩阵的三则运算1、矩阵加减法—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n b b b b b b b b b B ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛±±±±±±±±±=mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ΛΛΛΛΛΛΛ221122222221211112121111。
2、数与矩阵的乘法—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211。
3、矩阵与矩阵的乘法：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ns n n s s b b b b b b b b b B ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ms m m n s c c c c c c c c c C ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，其中∑==n k kj ik ij b a c 1（s j m i ,,2,1;,,2,1ΛΛ==）。
【注解】（1）O B O A ≠≠,推不出O AB ≠。
（2）BA AB ≠。
（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。
若BA AB =，则)2)((2322B A B A B AB A --=+-，再如)2)(3(62E A E A E A A +-=--。
（4）方程组的三种形式 形式一：基本形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a ΛΛΛΛ（I ）与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛ22112222212*********（II ） （I ）（II ）分别称为齐次与非齐线性方程组。