向量中数量积的最值

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平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)

2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cos θ(其中θ为 a＋b
与 c 的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cos θ，则由
cos θ∈[－1，1]，得 48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得 6≤|a－
1x 2
2－1x2＝1.
4
4
(2)如图，由已知|OF|＝1，取 FO 中点 E，连接 PE，由极化恒等式得
O→P·F→P＝|PE|2－1|OF|2＝|PE|2－1，
4
4
∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6.
答案 (1)1 (2)C
题型二平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
则A→P·B→P的取值范围是________；若向量A→C＝λD→E＋μA→P，则λ＋μ的最
小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
4a2
4a2
θ）2＝1，化简得
b2(1－cos2θ)＝

向量的数量积运算的所有公式

向量的数量积运算的所有公式1.向量的数量积定义：对于两个向量u和v，它们的数量积表示为u·v，即：u·v = ，u，，v，cosθ其中，u，和，v，分别表示向量u和v的长度（或模），θ表示向量u和v之间的夹角。

2.向量的数量积性质：(a)u·v=v·u（交换律，数量积满足交换律）(b)u·u=，u，^2（自身与自身的数量积等于向量的长度的平方）(c) (ku)·v = k(u·v)（数量积与标量的乘积等于标量与数量积的乘积）(d)(u+v)·w=u·w+v·w（数量积的分配律）3.向量的数量积的计算公式：(a)对于二维向量u=(u₁,u₂)和v=(v₁,v₂)：u·v=u₁v₁+u₂v₂(b)对于三维向量u=(u₁,u₂,u₃)和v=(v₁,v₂,v₃)：u·v=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃4.向量的数量积的几何解释：(a)两个向量u和v之间的数量积u·v等于向量u在向量v方向上的投影长度乘以向量v的长度。

(b)如果u和v之间的夹角θ等于0度，则u·v=，u，，v，（数量积的最大值）(c)如果u和v之间的夹角θ等于90度，则u·v=0（数量积的最小值）5.向量的数量积与向量的垂直性：(a)如果u·v=0，则向量u和v垂直（正交）。

(b)如果u·v≠0，则向量u和v不垂直。

6.向量的数量积与向量的夹角的关系：(a) u·v = ，u，，v，cosθ(b)如果θ=0度，则u·v=，u，，v，（数量积的最大值）(c)如果θ=90度，则u·v=0（数量积的最小值）这些公式是向量的数量积运算的基本公式和性质，可用于求解向量的数量积问题，以及在几何和物理等领域中的应用。

平面向量数量积的最小值问题

平面向量数量积的最小值问题引言平面向量的数量积是向量运算中的一种重要形式之一，它可以用于表示向量之间的夹角以及判断向量的正交性。

对于给定的平面向量，我们感兴趣的问题之一就是如何求得它们数量积的最小值。

本文将介绍平面向量数量积的最小值问题，以及一些解决该问题的方法。

问题描述给定平面上的两个向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$，它们的数量积（也称为点积或内积）定义为：$$ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| \\cdot \\cos(\\theta) $$其中 $|\\vec{a}|$ 和 $|\\vec{b}|$ 分别表示向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$ 的模长，$\\theta$ 表示 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$ 之间的夹角。

我们的目标是求解数量积的最小值。

方法一：代数法一种简单直接的方法是通过代数运算求解最小值。

设 $\\vec{a} =\\begin{bmatrix}a_x \\\\ a_y \\end{bmatrix}$ 和 $\\vec{b} = \\begin{bmatrix}b_x \\\\ b_y \\end{bmatrix}$，则数量积可以表示为：$$ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a_x \\cdot b_x + a_y \\cdot b_y $$为了求解最小值，可以利用数量积的几何意义，选择一个使得夹角$\\theta$ 最小的向量 $\\vec{b}$。

根据向量的乘积性质，当 $\\theta = 0$ 时，夹角最小，此时：$$ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| \\cdot \\cos(0) =|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| $$为了使 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}$ 最小，我们只需找到一个使得$|\\vec{b}|$ 最小的向量，这个向量可以通过求解 $\\vec{b}=\\begin{bmatrix}b_x \\\\ b_y \\end{bmatrix}$ 的模长最小值问题来得到。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

数量积的最值问题

数量积的最值问题
数量积的最值问题是数学中常见的一类问题，通常涉及到向量的内积运算。

向量的数量积也称为内积或点积，它是向量与向量之间进行的一种运算，其结果是一个实数。

在数量积的最值问题中，我们需要确定一组向量中数量积的最大值或最小值。

在实际应用中，数量积的最值问题常常用于优化问题，如最大化力的方向或最小化工作量等。

例如，在物理学中，力的大小与方向对物体的运动有着重要的影响。

因此，我们可以使用数量积的最值问题优化力的方向，使其最大或最小。

在解决数量积的最值问题时，我们需要使用向量的性质和一些基本的数学知识。

首先，我们需要知道向量的数量积公式：
a·b=|a||b|cosθ，其中a和b分别是两个向量，|a|和|b|分别是它们的模长，θ是它们之间的夹角。

其次，我们需要根据问题的要求，确定向量的方向和模长，然后计算数量积，并找出最大或最小值。

总之，数量积的最值问题是数学中的一个重要问题，涉及到向量的内积运算和优化问题。

通过合理地使用向量的性质和相关的数学知识，我们可以解决这类问题，为实际应用提供重要的帮助。

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平面数量积最值问题教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习

微专题：平面向量数量积最值问题——2022年高三数学复习微专题微课一、本专题在高考中的地位1.课标对本专题的要求知识内容知识要求了解理解掌握平面向量1.平面向量的实际背景及基本概念（1）向量的实际背景√（2）平面向量的概念和两个向量相等的含义√（3）向量的几何表示√2.向量的线性运算（1）向量加法、减法运算，并理解其几何意义√（2）向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义√（3）向量线性运算的性质及其几何意义√3.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量的基本定理及其意义√（2）平面向量的正交分解及其坐标表示√（3）坐标表示平面向量的加减法与数乘运算√（4）用坐标表示的平面向量共线的条件√4.平面向量数量积（1）平面向量数量积的含义及其物理意义√（2）平面向量的数量积与向量投影的关系√（3）数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算√（4）运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系√5.向量的应用（1）向量法解决某些简单的平面几何问题√（2）向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题√明确《考试大纲》对知识的要求层次。

“理解”“掌握”这两个层次要求的知识点往往是高考命题的首选，尤其是“掌握”，通常高考命题会进行深度挖掘，所以在复习时要重视和强化。

2.近五年全国卷考查情况分析年份题序题型考点明细单独命题综合命题分值难易程度2016年全国卷I(理) 3 选择题向量加法坐标运算与垂直√ 5 易2017年全国卷I(理) 13 填空题向量的模长和数量积应用√ 5 易 2018年全国卷I(理) 6 选择题向量线性运算 √ 5 易 2018年全国卷I(理) 8 选择题抛物线、直线及数量积 √ 5 中 2019年课标全国卷I(理) 7 选择题向量数量积、夹角 √ 5 中 2020年课标全国卷I(理) 14 填空题向量的数量积与模 √ 5 易 2020年课标全国卷I （文）14 填空题向量数量积与向量垂直的充要条件 √ 5 易 2021·新高考Ⅱ卷13填空题向量的数量积与模√5易二、真题回顾1．(2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________． 2．(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a ·b ＝1，则|b |＝________． 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________．4.(2020·课标全国Ⅰ高考)设a ,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .5.(2020·课标全国Ⅱ高考)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,ka -b 与a 垂直,则k = .三．要点提炼考点平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.四．典型例题：例1．(2021·福建六校联考)已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC →·(PB →＋PD →)的最小值为________．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，设P (x ，y )，则PC →＝(2－x ，2－y )，PB →＋PD →＝(2－x ，－y )＋(－x ，2－y )＝(2－2x ，2－2y )，∴PC →·(PB →＋PD →)＝(2－x )(2－2x )＋(2－y )(2－2y )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－12＋2⎝⎛⎭⎫y －322－12＝2⎝⎛⎭⎫x －322＋2⎝⎛⎭⎫y －322－1. ∴当x ＝y ＝32时，PC →·(PB →＋PD →)取得最小值－1.【探究】数量积的计算主要有基底法和坐标法，另外解方程也行，数量积的最值问题往往要用到函数思想和数形结合思想，结合求值域的方法求解．变式练习：1.已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋2MD →|的最小值为________．例2．(2021·益阳模拟考试)如图所示为边长为2的正△ABC ，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在三角形外部作半圆弧BC ︵，点P 在圆弧上运动，则AB →·AP →的取值范围为( )A ．[2，33]B ．[4，33]C ．[2，4]D ．[2，5]答案 D解析由题可知当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，此时AB →·AP →＝|AB →|·|AC →|·cos π3＝2×2×12＝2，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大，此时AB →·AP →＝2×⎝⎛⎭⎫32＋1＝5，所以AB →·AP →的取值范围为[2，5]．故选D.【探究】本题利用数量积的定义，结合数量量积的几何意义AP →在AB →上的投影，当当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大。

高中数学向量的数量积与叉乘的意义及计算方法

高中数学向量的数量积与叉乘的意义及计算方法在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在数学中有广泛的应用，也在物理学、工程学等领域中发挥着重要的作用。

在向量的运算中，数量积和叉乘是两个常见且重要的操作。

本文将重点介绍向量的数量积与叉乘的意义以及计算方法，并通过具体的例题来说明其考点和解题技巧。

一、向量的数量积数量积又称为点积，是两个向量的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

数量积的计算方法如下：设有两个向量a和b，它们的数量积表示为a·b，计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示向量a和b之间的夹角。

数量积的意义在于可以判断两个向量之间的关系。

当两个向量的数量积为正时，表示它们的夹角为锐角；当数量积为负时，表示夹角为钝角；当数量积为零时，表示夹角为直角或两个向量垂直。

例如，有向量a(3, 4)和向量b(1, 2)，求它们的数量积。

解：首先计算向量a和b的模，|a| = √(3^2 + 4^2) = 5，|b| = √(1^2 + 2^2) = √5然后计算向量a和b之间的夹角的余弦值，cosθ = (3*1 + 4*2) / (5*√5) = 11 /(5√5)最后计算数量积，a·b = |a| |b| cosθ = 5 * √5 * (11 / (5√5)) = 11因此，向量a和b的数量积为11，表示它们的夹角为锐角。

二、向量的叉乘叉乘又称为向量积或叉积，是两个向量的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。

叉乘的计算方法如下：设有两个向量a和b，它们的叉乘表示为a×b，计算公式为：a×b = |a| |b| sinθ n 其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示向量a和b之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量。

叉乘的意义在于可以得到一个新的向量，该向量垂直于原来的两个向量所在的平面，并且满足右手法则。

向量的数量积结果

向量的数量积结果1. 什么是向量的数量积？在数学中，向量的数量积（也称为点积或内积）是一种用于衡量两个向量之间关系的运算。

向量的数量积可以通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加而得到。

具体而言，对于两个n维向量A和B，它们的数量积定义为：A·B = A1B1 + A2B2 + … + AnBn其中Ai和Bi分别表示向量A和B的第i个分量。

2. 数量积的几何意义数量积在几何上有着重要的意义。

它可以用来计算两个向量之间的夹角，以及判断两个向量是否垂直或平行。

2.1 夹角设向量A和B的数量积为A·B，向量A的模为|A|，向量B的模为|B|，则向量A和B之间的夹角θ可以通过如下公式计算得到：cosθ = (A·B) / (|A||B|)2.2 垂直和平行两个向量A和B垂直的充要条件是它们的数量积为0，即A·B = 0。

而两个向量A和B平行的充要条件是它们的数量积的绝对值等于它们的模的乘积，即|A·B| =|A||B|。

3. 数量积的性质向量的数量积具有一些重要的性质，这些性质使得数量积成为一种有用的工具。

3.1 交换律和分配律数量积满足交换律和分配律，即对于任意向量A、B和C，以及任意标量k，有以下性质成立：•A·B = B·A•(A + B)·C = A·C + B·C•k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)3.2 数量积与向量的模数量积与向量的模之间有着重要的关系。

设向量A的模为|A|，则有以下性质成立：•A·A = |A|^2这一性质可以用来计算向量的模。

3.3 数量积与夹角数量积还与向量夹角有关。

设向量A和B的夹角为θ，则有以下性质成立：•cosθ = (A·B) / (|A||B|)这一性质可以用来计算夹角。

4. 应用向量的数量积在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

巧用向量恒等式求动向量数量积最值或范围

巧用向量恒等式求动向量数量积最值或范围石向阳【摘要】从一道试题出发,运用向量恒等式巧妙地解决了多动点的动向量数量积最值问题;紧接着给出了向量恒等式的几何意义及三角形、平行四边形两种模式;然后从两向量共同的起点为动点、两向量终点为动点、两向量的起点和终点均为动点三个方面举例说明了向量恒等式在求动向量数量积最值或范围问题中的应用;最后从三个方面谈了向量恒等式带来的反思.【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》【年(卷),期】2017(000)010【总页数】3页(P61-63)【关键词】向量恒等式;动点;动向量;数量积最值;数量积范围【作者】石向阳【作者单位】湖南省长沙市雅礼教育集团南雅中学【正文语种】中文众所周知，求向量数量积最值或范围的方法，一般有定义法、基底法、坐标法、几何意义法.相关题目难度中等偏上，综合性大、灵活性强，用上述方法固然可行，但是解题过程较为烦琐.因此，要想快速、简捷地解决向量数量积最值或范围的问题，必须选择恰当的解题方法和解题工具.例1已知MN是边长为的等边三角形ABC的外接圆的一条动弦，MN=4，点P 为△ABC的边上的动点，则的最大值为______.此题由于形式比较新颖，且动点较多，使得大多数的学生束手无策.下面给出一种妙解.解：取MN的中点D，当且仅当△ABC的边上的动点P与动弦MN的中点D重合时取等号.此恒等式的精妙之处在于架起了向量与几何长度（数量）之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合.例2已知a，b，c是同一平面内的三个单位向量，且a⊥b，则的最大值是（）. 【评析】此题首先设a，b，c为同一平面内共起点的三个单位向量，这样三个单位向量的终点就在单位圆上.(c-a)，(c-b)变为共终点的两个向量它们的数量积等于利用向量恒等式，将数量积的最值问题转化为几何线段的最值问题，由于为定值，问题继续转化为求相应三角形的中线CM的最值问题.显然，当C，O，M三点共线且点M在CO的延长线上时取得最大值.下面分两种情况进行分析：【评析】考虑到题目的形式，通过向量恒等式进行处理，立即可得等式但是后续的突破显得困难重重.此题突破的关键在于锐角，锐角的极限状态就是直角，要注意从特殊状态来研究一般状态，即化普通状态为特殊状态进行极限化处理.要注意从极限位置入手，理解极限时的特殊状态，问题的化解会有意想不到的效果.例4如图4，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且点A到两平行直线m，n的距离分别为1，3，点B，C分别在m，n上，且的最大值.解：如图5，连接BC，取BC的中点D，连接AD.【评析】在例4中，我们注意到所求目标为共起点向量数量积的最大值，而由已知条件，我们可以知道BC边上的中线长为故易联系到向量恒等式，从而只需求底边BC的最小值即可.例5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∘AC=3，AB=5，若点A，B分别在直角坐标系的两坐标轴上运动，求的最大值.解：如图6所示，不妨取AC的中点为M，AB的中点为N，由向量恒等式结合三角形边长关系，可得【评析】借用向量恒等式得出等式为定值，长度不定.Rt△ABC虽然在变化，但是它三条边的长度是固定的3，4，5.不妨取斜边AB中点为点N，构造出△MNO，虽然两个顶点M，N在变化，但是两条边MN，ON的长度不变，利用两边之和大于第三边，第三条边OM最大值可求，且在O，N，M三点共线时取得最大值.运用有关三角形边长关系求最值问题也是一个经典的模式，最值往往在三点共线时取到.3.两向量的起点和终点均为动点例6如图7，已知△ABC是边长为的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，点M为△ABC的边上的动点，求的最大值.解：由已知易求得外接圆半径为2.因为圆心O是EF的中点，所以当点M为正三角形ABC三边的中点时，最小值均为1，故的最大值为3.例7已知AB为椭圆的一条动弦，且经过原点，点M为直线3x-4y-15=0上的一个动点，求的最小值.解：连接MO，根据向量恒等式，得问题得到解决.如图8所示，设d为点O到直线3x-4y-15=0的距离，【评析】向量恒等式使用的难点是动点问题，而例6、例7涉及多个动点，使平面向量问题的难度增加，让许多学生束手无策.因此，寻求破解的方法和策略显得尤其重要.가般地，可以通过将动态问题静态化来处理，这样的策略可以使得多动点问题转化为少动点问题，通过类似的转化直至降到一个动点的问题或定点问题，然后再采用“化动为定”的策略，问题便迎刃而解.事实上，向量恒等式源于教材，又高于教材.人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学4（必修）》第109页的例1如下.平行四边形是表示向量加法和向量减法的几何模型，如图9所示，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度的关系吗？所以由①②两式相加，得即平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.事实上，教师只要在这个基础上稍加点拨：观察①②两式的特点，①②两式相加减又会得到什么呢？马上可得稍加整理就会得到（即向量恒等式的平行四边形模式）. 在向量恒等式中，最明显的特征是最左边两向量必须是同起点，共起点两向量夹角所对第三向量的中点通常是临时作的辅助点．动向量数量积的最值或范围问题借助向量恒等式，能巧妙突破多动点的难点；具有三角几何背景的向量问题利用向量恒等式考虑尤为简单，能让一些高难度的题目迎刃而解．向量是连接代数与几何的桥梁，由于向量坐标运算的引入，使得向量与代数的互换运算可以说是深入人心，而与几何的运算联系略显单薄.而向量恒等式恰恰弥补了这个缺憾，可以说向量恒等式应该是把向量的数量积问题用形象的几何图形展示得淋漓尽致.综上所述，在向量教学中我们有必要加强对向量恒等式的教学.【相关文献】［1］林庆望.一类向量数量积最值问题的几种解题策略［J］.中学数学，2013（5）：86-87. ［2］徐道奎.学生处理向量问题的意识缺失及对策分析［J］.中国数学教育（高中版），2016（5）：26-31.。

向量的数量积与最值范围

第3讲平面向量的数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.[玩转典例]题型一平面向量数量积的计算例1 (2020·上饶模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( ) A.49 B.89 C.269D.263例2 (2015新课标II)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 [玩转跟踪]1.设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72B ．－12C.32D.522.(新课标全国Ⅱ，14)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 题型二利用数量积求射影例3 (湖北，7)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C.－322 D.－3152[玩转跟踪]1．已知向量a ，b 满足a ·(b ＋a )＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.55B ．－55C ．－255D ．－355题型三利用数量积求模长例4 (新课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2C ．3D ．5[玩转跟踪]1．(大纲全国，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2B. 2C ．1D.222. (新课标全国，13)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 题型四利用数量积求夹角例5 (山东，7)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A.2 3B. 3C.0D.－3 [玩转跟踪]1．(重庆，7)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6 题型五利用数量积求解垂直问题例6 已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________． [玩转跟踪]1.(晋冀豫三省一调)已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C.2 5D.10题型六利用数量积求解取值范围例7 (湖南，10)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A.[4，6]B.[19－1，19＋1]C.[23，27 ]D.[7－1，7＋1]例8 （2017新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．2-B ．32-C ．43- D ．1- [玩转跟踪]1.(湖南，9)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A.6B.7C.8D.92.(2020·聊城模拟)在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则P A →·PB →＋P A →·PC →的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1[玩转练习]1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |等于( )A ．2B ．6C ．2 3D ．12 2．(2020·广东一模)a ，b 为平面向量，已知a ＝(2,4)，a －2b ＝(0,8)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.453．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B ．⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4．(2019·贵州省适应性考试)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 的中点，则AB ―→·(AC ―→＋AE ―→)＝( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．205．(多选)(2020·山东高考预测卷)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(7,1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10,5) B ．|b |＝10|a |C ．a ∥(a －b )D ．a 与b 的夹角为45°6．(多选)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA ―→＋AB ―→＋AC ―→＝0，且|OA ―→|＝|AB ―→|，下列结论正确的是( )A.CA ―→在CB ―→方向上的投影长为－3 B.OA ―→·AB ―→＝OA ―→·AC ―→C.CA ―→在CB ―→方向上的投影长为 3 D.OB ―→·AB ―→＝OC ―→·AC ―→7．(2019·福州市质量检测)已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝3|b |，则a 与b 的夹角为________． 8．(2019·郑州市第一次质量预测)已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b方向上的投影为________．9．(一题两空)(2019·山东师大附中二模改编)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________，a ·(a ＋b )＝________.10.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB ―→－t OC ―→)·OC ―→＝0，求t 的值．13．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足向量OP ―→在向量OA ―→上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x －2y ＋5＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．x ＋2y ＋5＝0D ．x －2y －5＝014．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角θ的范围是__________．15．已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝m 2＋m ·n －2. (1)求f (x )的最大值，并求f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，角B 为锐角，且f (B )＝1，b ＝3，若满足条件的△ABC 仅有一解，求a 的取值范围．第4讲平面向量的最值范围问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．题型一平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】【2020河北邯郸摸底】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ⋅的取值范围为【玩转跟踪】1.【2015福建高考试题理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ,若点P 是ABC △ 所在平面内一点,且4AB AC AP ABAC=+,则PB PC 的最大值等于（）.A ．13B ．15C ．19D ．21 题型二平面向量模的取值范围问题设(,)a x y =,则22a a x ==+向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】【2020届宁夏银川一中高三上学期第三次月考】已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（）A ．1B ．2C ．D ．【玩转跟踪】1.【2020届山西省山西大学附中高三10月月考】已知,a b 是平面内互不相等的两个非零向量,且||1,a a b =-与b 的夹角为150,则||b 的取值范围是（）A ．]3,0(B ．[1,3]C ．]2,0(D ．[3,2] 题型三平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则21cos a b a bx θ⋅==⋅+．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为（） A.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B.,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.20,3π⎛⎫⎪⎝⎭【玩转跟踪】1.非零向量满足=,,则的夹角的最小值是．题型四平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】【2020.山东潍坊市期中】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且与的夹角为锐角,则λ的取值范围是．【玩转跟踪】1.【2020届江西省南昌二中高三上学期第三次考试】设向量1e 、2e 满足：122,1e e ==,1e ,2e 的夹角是60︒,若1227te e +与12e te +的夹角为钝角,则t 的范围是（）A ．1(7,)2-- B ．141(7,(,)2---C ．141[7,(,]2---D ．1(,7)(,)2-∞--+∞ 【玩转练习】1．【2020届广西河池高中高三上第五次月考】在ABC ∆中,O 为中线AM 上一个动点,若2AM =,则()OA OB OC ⋅+的最小值是（）A ．2B ．-1C ．-2D ．-4b a ,b a ⋅222b a 2||||=+b a b a与2．【2020届湖南师范大学附中高三上学期月考】已知Rt AOB ∆的面积为1,O 为直角顶点．设向量OA a OA=,OB b OB=,2OP a b =+,则PA PB ⋅的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．【2020届陕西省商洛市商南高中高三上第二次模拟】已知向量,满足：||=3,||=1,|﹣2|≤2,则在上的投影长度的取值范围是（） A ．[0,] B ．（0,] C ．[,1] D ．[,1]4.已知向量)sin ,(cos θθ=a , )1,3(-=b 则|2|b a -的最大值,最小值分别是（） A ．0,24 B ．24,4 C ．16,0 D ．4,05．已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A．⎤⎦B．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦6．设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,||b ________. 7.如图,边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴,y 轴正半轴上移动,则⋅的最大值是．8.【2020届福建省厦门一中高三上学期期中】平面上四点,,,A B C D 满足2,4,6,4AB AC AD AB AC ===⋅=,则DBC ∆面积的最大值为．9．【2020届浙江省慈溪中学高三上学期期中】已知非零向量a ,b ,c 满足1a ≥,2a b a b +=-=,()()3c a c b -⋅-=,则||c 的最小值是 ,最大值是．10. 【2020.河南顶级名校】设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点,,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边,已知2220b b c -+=,则BC AO ⋅的范围是___________．11（2015天津高考理14）在等腰梯形ABCD 中,已知//AB DC ,2AB =,1BC =,60ABC ∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且BE BC λ=,19DF DC λ=,则AE AF ⋅的最小值为 . 12. 在矩形A BCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN ⋅的取值范围是________．。

21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析

【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步运用基本不等式求其最值问题; 第三步得出结论。

例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式．【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步运用向量的数量积的性质求解；第三步得出结论。

专题一平面向量的极化恒等式(含解析)

专题八平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．1．极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD ，O 是对角线交点．则：(1)AB →·AD →＝14[|AC |2－|BD |2]．3．三角形模式：如图(2)，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．考点一平面向量数量积的定值问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．【例题选讲】[例1] (1)(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A 解析通法由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．极化恒等式 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14(10－6)＝1．(2) (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．AABC图(2)答案－16 解析因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16．(3)如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝( )A ．13B ．7C ．5D ．3答案 C 解析连接AP ，BP ，则PM →＝P A →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(P A →＋AM →)·(PB →－AM →)＝P A →·PB →－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5．(4)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________．答案 32 解析连结EG ，FH ，交于点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32．(5) (2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案 78 解析极化恒等式法设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1．联立解得n 2＝58，m 2＝138．因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78．即BE →·CE →＝78．坐标法以直线BC 为x 轴，过点D 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，如图：设A (3a ，3b )，B (－c ，0)，C (－c ，0)，则有E (2a ，2b )，F (a ，b ) BA →·CA →＝(3a ＋c ，3b )·(3a －c ，3b )＝9a 2－c 2＋9b 2＝4 BF →·CF →＝(a ＋c ，b )·(a －c ，b )＝a 2－c 2＋b 2＝－1，则a 2＋b 2＝58，c 2＝138BE →·CE →＝()2a －c ，2b ·()2a －c ，2b ＝4a 2－c 2＋4b 2＝78．基向量 BA →·CA →＝(DA →－DB →)(DA →－DC →)＝4AD →2－BC →24＝36FD →2－BC →24＝4，BF →·CF →＝(DF →－DB →)(DF →－DC →)＝4FD →2－BC →24＝－1，因此FD →2＝58，BC →＝132，BE →·CE →＝(DE →－DB →)(DE →－DC →)＝4ED →2－BC →24＝16FD →2－BC →24＝78．(6)在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．BC答案 4 解析过A 点作AE 平行于DC ，交BC 于E ，取BE 中点F ，连接AF ，过D 点作DH 平行于AC ，交BC 延长线于H ，E 为BH 中点，连接DE ，22212AB DC AB AE AF BF AF ⋅=⋅=-=-=，AC ⋅ 2224BD DB DH BE DE DE =-⋅=-=-，又1FE BE BF =-=，AD ∥BC ，则四边形ADEF 为平行四边形，AF DE =，1AC BD ∴⋅=．B【对点训练】1．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________．1．答案 1 解析取AE 中点O ，设|AE |＝x (0≤x ≤1)，则|AO |＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO |2－|AO |2＝12＋⎝⎛⎭⎫12x 2 －14x 2＝1． 2．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝ ( )A ．1B ．116C ．14D ．－122．答案 B 解析取AO 中点Q ，连接PQ ，AP →·OP →＝P A →·PO →＝PQ 2－AQ 2＝516－14＝116．3．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是________．3．答案 9 解析因为AB →·AD →＝AO →2－OD →2＝9－OD →2＝－7⇒OD →2＝16，所以BC →·DC →＝CO →2－OD →2＝25 －16＝9．4．已知点A ，B 分别在直线x ＝3，x ＝1上，|OA →－OB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，OA →·OB →的值是_____． A ．0 B ．2 C ．3 D ．64．答案 C 解析如图，点A ，B 分别在直线x ＝1，x ＝3上，|AB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，AB 的中点在x 轴上，OA →·OB →＝OM →2－BM →2＝4－4＝0．5．在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于( ) A ．16 B ．29 C ．1318 D ．135．答案 C 解析解法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝13，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos60°＝⎝⎛⎭⎫132＋12－2×13×1×12＝79，即AD ＝73，同理可得AE ＝73，在△ADE 中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE ＝79＋79－⎝⎛⎭⎫1322×73×73＝1314，所以AD →·AE →＝|AD →|·|AE →|cos ∠DAE ＝73×73×1314＝1318．解法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A ⎝⎛⎭⎫，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD →＝(－16，－32)，AE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318．极化恒等式法取DE 中点F ，连接AF ，则AD →·AE →＝|AF |2－|DF |2＝34－136＝1318．6．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．2696．答案 B 解析坐标法由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109．极化恒等式法取EF 中点M ，连接AM ，则AE →·AF →＝|AM |2－|EM |2＝54－536＝109．7．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是( )A ．44B ．22C ．24D ．727．答案 B 解析如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ，AP →·BP →＝EP 2－AE 2＝EP 2－16＝2，∴EP ＝32，又∵CP →＝3PD →，AE →＝EB →，AB →＝DC →，∴AE ＝2DP ，即△F AE 中，DP 为中位线，AF ＝2AD ＝10，AE ＝12AB ＝4，FE ＝2PE ＝62，AP 2＝40，AD →·AB →＝AF →·AE →＝AP 2－EP 2＝40－(32)2＝22．8．如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝2AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________．A BD CE F8．答案 4 解析取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，则BE ⊥AE ，∴BE ＝23．在△DEB 中．FN ∥12EB ．∴FN＝3．BF →·DE →＝2FB →·FD →＝2(FN 2－DN 2)＝4．AB DCE FN9．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点，若CD ⊥AD ，垂足为E ，则EB →·EC →＝________．9．答案－277 解析由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2 AB ·AC ·cos120°＝19，即BC ＝19，因为AB →·AC →AD 2－CD 2＝|AB |·|AC |·cos120°＝－3，所以|AD |＝72，因为S △ABC ＝2S △ADC ，则12|AB |·|AC |·sin120°＝2·12|AD ||CE |，解得|CE |＝3217，在Rt △DEC 中，|DE |＝CD 2－CE 2＝5714，所以EB →·EC →＝|ED |2－|CD |2＝－277．B10．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝5，若AD →·BC →＝15．则AC →·BD →的值为________．10．答案解析极化恒等式如图，取, , , AB AC CD BD 中点, , , H I J K ，四边形ABCD 中，易知, , EF KI HJ 三线共点于O ，2215154AD BC HK HI HO IO ⋅=⇒⋅==-，又4AC BD HE HF ⋅=⋅=()224HO FO -，在EFI ∆中，12,2EF EI FI ===，由中线长公式知214IO =,从而24HO =，AC BD ⋅=14(4)142-=．基向量法2EF AB DC =+，22242EF AB DC AB DC ∴=++⋅， AB DC EF =又=1,1AB DC ∴⋅=，15 ()()15AD BC AC CD BD DC ⋅=∴+⋅+=，，则2AC BD AC DC CD BD DC ⋅+⋅+⋅-15=，可化为()()515AC BD AB BC DC CD BC CD ⋅++⋅+⋅+-=，15, AC BD AB DC ⋅+⋅= AC BD ⋅故=14．BCADE OF考点二平面向量数量积的最值(范围)问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．【例题选讲】[例1](1)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________．答案－98 解析 a ·b ＝18[(2a ＋b )2－(2a －b )2]＝18[|2a ＋b |2－|2a －b |2]≥02－328＝－98．当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，< a ，b >＝π时，a ·b 取最小值－98．(2)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．答案214解析坐标法以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图：则A ()0，3，C ()c ，0，B ()b ，2，则AB →＝()b ，－1，AC →＝()c ，－3，从而()b ＋c 2＋()－42＝52，即()b ＋c 2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤()b ＋c 24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立．极化恒等式连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD 2－BD 2，又AD ＝12||AB →＋AC →＝52，故AB →·AC →＝254－BD 2＝254－14BC 2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →) max ＝214．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案 B 解析方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．极化恒等式法设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝2PD →·P A →＝2|PM→|2－12|AD →|2＝2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．BC(4)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是________．答案 [－2，6] 解析取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：P A →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以P A →·PB →∈[－2，6]．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析通法以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213．极化恒等式法设圆心为O ，由题得AB ＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由极化恒等式得PC →·P A →＝PM →2－AM →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM 最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213．(6)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．答案 23 解析取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC→2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝23．另解取BC 边的中点M ，连接PM ，设点P 到BC 边的距离为h ．则S △ABC ＝12·||BC →·2h ＝2⇒||BC→＝2h，PM ≥h ，所以PB →·PC →＋BC →2＝⎝⎛⎭⎫PM →2－14BC →2＋BC →2＝PM →2＋34BC →2＝PM →2＋3h 2≥h 2＋3h2≥23(当且仅当||PM →＝h ，h 2＝3时，等号成立)【对点训练】1．已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( )A ．－14B ．－13C ．－12D ．－11．答案 C 解析 P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得，PO →·PC →＝|PD |2－|CD |2＝|PD |2－14，又|PD |2min ＝0，∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12．2．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]2．答案 A 解析建立平面直角坐标系如图所示，可得O (0，0)，A (－2，0)，C (－1，0)，设B (2cos θ， 2sin θ)．θ∈[0，2π)．则CO →·CB →＝(1，0)·(2cos θ＋1，2sin θ)＝2cos θ＋1∈[－1，3]．故选A ．极化恒等式法连接OB ，取OB 的中D ，连接CD ，则CO →·CB →＝|CD |2－|BD |2＝CD 2－1，又|CD |2min ＝0，∴CO →·CB →的最小值为－1．|CD |2max ＝2，∴CO →·CB →的最大值为3．3．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值为________．3．答案－116 解析取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，于是只要求求PD 的最小值即可，由图可知，当PD ⊥AB ，时，PD ＝34，即所求最小值为－116．4．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．4．答案 16 132 解析第1空因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1．因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16．第2空通法在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332．以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72．又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN→＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132．所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132．极化恒等式法如图，取MN 的中点P ，连接PD ，则DM →·DN →＝PD →2－MP →2＝PD →2－14，当PD →⊥BC →时，|PD→|2取最小值274，所以DM →·DN →的最小值为132．BC5．在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN ⋅的最小值为34，则cos ∠ACB ＝________．5．答案解析取MN 的中点P ，则由极化恒等式得2221144CM CN CP MN CP ⋅=-=-，∵ CM CN ⋅的最小值为34，∴min 1CP =，由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小，如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH ＝1，又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sin A =14，所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）．6．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________． 6．答案 [－9，0] 解析如图，MA →·MB →＝MO →2－AO →2＝MO →2－16，∵|OG →|≤|OM →|≤|OC →|，∴7≤|OM →|≤4，∴MA →·MB →的取值范围是[－9，0]．7．如图，设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围为______． 7．答案 [0，16] 解析如图取CD 的中点E ，连接PE ，PC →·PD →＝PE →2－DE →2＝OE →2－2，2≤|PE →|≤25，所以PC →·PD →的取值范围为[0，16]．8．已知正△ABC 内接于半径为2的圆O ，AE 交圆O 于点F ，则F A →·FB →的取值范围是________．8．答案 [0，6] 解析取AB 的中点D 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：F A →·FB →＝|FD |2－|AD |2＝|FD |2－3，因为F 在劣弧BC 上，所以当F 在点C 处时，|FD |max ＝3，当F 在点B 处时， |PD |min ＝3，所以P A →·PB →∈[0，6]．9．已知AB 是半径为4的圆O 的一条弦，圆心O 到弦AB 的距离为1，P 是圆O 上的动点，则P A →·PB →的取值范围为_________．9．答案 [－6，10] 解析极化恒等式法设AB 的中点为C ，连接CP ，则P A →·PB →＝|PC →|2－|AC →|2＝|PC →|2－15．|PC →|2－15≥25－15＝10，|PC →|2－15≤9－15＝－6．10．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，且MN ＝2，则AM →·AN →的最小值为________．10．答案 15 解析取K 为MN 中点，由极化恒等式，AM →·AN →＝|AK |2－1，显然K 的轨迹是以点C 为圆心，1为半径的圆周在矩形内部的圆弧，所以|AK |min ＝5－1＝4，所以AM →·AN →的最小值为15．AD11．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA →·CB →的最大值为________．11．答案 32解析设D 是AB 的中点，连接CD ，点O 是△ABC 的外心，连接DO 并延长交圆O 于C ´，由△ABC ´是等边三角形，∵AD ＝32，∴C ´D ＝32，则CA →·CB →＝|CD →|2－|DA →|2＝|CD →|2－(32)2≤|C ´D →|2－34＝(32)2－34＝32．∴(CA →·CB →)max ＝32．12．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC12．答案 D 解析如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE ．根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2．又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则|PD →|≥|P 0D →|恒成立，必有DP 0⊥AB ．因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC ．13．在正方形ABCD 中，AB ＝1，A ，D 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OC →·OB →的最大值为______．13．答案 2 解析如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，OC →·OB →＝OE →2－BE →2＝OE →2－14，而|OE →|≤|OF →|＋|FE →|＝12||AD →|＋|FE →||＝12＋1＝32，当且仅当O ，F ，E 三点共线时取等号．，所以OC →·OB →的最大值为2．14．在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →最小值为________． 14．答案154 解析设EF 的中点为M ，连接CM ，则|CM →|＝12，即点M 在如图所示的圆弧上，则DE →·DF → ＝|DM →|2－|EM →|2＝|DM →|2－14≥||CD |－12|2－14＝154．ABC DE M15．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，若点A ，B 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OA →·OC →的最大值为________．15．答案 18 解析如图取AC 的中点M ，取AB 的中点N ，则OA →·OC →＝OM →2－AM →2＝OM →2－(32)2≤(ON →2－NM →2)－(32)2＝(2＋52)2－(32)2＝18．16．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 为AB 的中点，以A 为圆心，AF 为半径作弧交AD 于E ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC →·PD →的最小值为______．16．答案 5－25 解析如图取CD 的中点M ，PC →·PD →＝PM 2－DM 2＝PM 2－1，而|PM |＋1＝|PM |＋|AP |≥|AM |＝5，当且仅当P ，Q 重合时等号成立，所以PC →·PD →的最小值为(5－1)2－1＝5－25．C17．如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，AD ⊥BD ，|AD →|＝3，∠BAD ＝π6，CM →＝12(CA →＋CB →)，CN →＝12(CD →＋CA →)，则CM →·CN →的最大值为________．ABCDMN17．答案13＋44 解析设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，CM →·CN →＝|CG →|2－|GN →|2＝|CG →|2－116， ∵|CG →|≤|CH →|＋|HG →|＝12＋134，∴CM →·CN →≤(12＋134)2－116＝13＋44．所以CM →·CN →的最大值为13＋44．AB CD MNG H18．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23．若点M 为边BC上的动点，则AM →·DM →的最小值为________．B C18．答案214解析设E 是AD 的中点，作EN ⊥BC 于N ，延长CB 交DA 的延长线于F ，由题意可得： FD ＝3CD ＝6，FC ＝2CD ＝43，∴BF ＝23，∴AB ＝2，F A ＝4，∴AD ＝2，EN AB ＝EF F A ＝54，EN ＝52．则AM →·DM →＝MA →·MD →＝|ME →|2－|EA →|2＝|ME →|2－1≥EN 2－1＝(52)2－1＝214．∴AM →·DM →＝214．另解设E 是AD 的中点，作EF ⊥BC 于F ，作AG ⊥EF 于G ，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∴四边形ABCD 共圆，如图，由圆的对称性及∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23，可知∠BCA ＝∠DCA ＝30°，∴AB ＝2，∵∠GAE ＝30°，∴GE ＝12，∴EF ＝2＋12＝52，则AM →·DM →＝MA →·MD →＝|ME →|2－|EA →|2＝|ME →|2－1≥EN 2－1＝(52)2－1＝214．∴AM →·DM →＝214．C19．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．19．答案2116解析通法如图，以D 为坐标原点建立直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0，0)，A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE →＝(－1，y )，BE →＝⎝⎛⎭⎫－32，y －32，所以AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝⎛⎭⎫y －342＋2116，所以当y ＝34时，AE →·BE→有最小值2116．极化恒等式法如图，取AB 的中点P ，连接PE ，则AE →·BE →＝PE →2－AP →2＝PE →2－14，当PE →⊥CD →时，|PE→|取最小值，由几何关系可知，此时，PE →2＝2516，所以DM →·DN →的最小值为2116．20．如图，圆O 为Rt △ABC 的内切圆，已知AC ＝3，BC ＝4，C ＝π2，过圆心O 的直线l 交圆于P ，Q 两点，则BP →·CQ →的取值范围为________．20．答案 [－7，1] 解析易知，圆的半径为1，BP →·CQ →＝(BC →＋CP →)·CQ →＝BC →·CQ →＋CP →·CQ →＝CP →·CQ →－CB →·CQ →，CP →·CQ →＝CO →2－OP →2＝2－1＝1．CB →·CQ →＝|CB →||CQ →|cos ∠BCQ ＝2|CQ →|cos ∠BCQ ，(|CQ →|cos ∠BCQ )min ＝0，(|CQ →|cos ∠BCQ )max ＝4．所以BP →·CQ →的取值范围为[－7，1]．21．在三棱锥S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，点M 为三棱锥S －ABC 的外接球面上任意一点，则MA →·MB →的最大值为________．21．答案 23＋2 解析如图，MA →·MB →＝MO 1→2－2．当M ，A ，B 在同一个大圆上且MO 1⊥AB ，点M 与线段AB 在球心的异侧时，|MO 1→|最大，又2R ＝22＋22＋22＝23，所以R ＝3．|MO 1→|max ＝3＋1，MO 1→2－2的最大值为23＋2．A22．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________．22．答案 [0，2] 解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为23．当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1．由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0，2]．23．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为________．23．答案－34解析如图取AB 的中点为D ，连接CD ，则CA →·CB →＝|CD →|2－1＝λ，|CD →|＝1＋λ，()－1≤λ<0，又由点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，故1＋λ≤12，则负数λ的最大值为－34．24．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．824．答案 C 解析如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max ＝254，∴OP →·FP →的最大值为6．。

高考数学专题二微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题

专题二平面向量、三角函数与解三角形
微专题19
平面向量的数量积及最值与范围问题
考情分析
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难度较大.
＝x－322＋(y－2)2－245.
又x－322＋(y－2)2 表示圆 x2＋y2＝1 上一点到点32，2距离的平方，圆心(0,0)到点32，2的距离为52，所以P→A·P→B∈52－12－245，52＋12－245，即P→A·P→B∈[－4,6].
跟踪训练2 (1)如图，已知 AOB 是半径为 4，圆心角为π2的扇形，点 E，
(2)已知向量 a，b 满足a－b＝3，a＝2b，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 θ，则 cos θ 的最小值为
A.45
√B.35
C.13
D.25
令b2＝t，则a2＝4b2＝4t，则a－b2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9，由 5t－9＝2a·b≤2ab＝4t 得 t≤9，由 5t－9＝2a·b≥－2ab＝－4t 得 t≥1，所以 1≤t≤9，a＋b＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 10t－9，所以 cos θ＝aa＋＋bb·aa－－bb＝ 1a02t－－b92×3＝ 10tt－9＝ 10tt－2 9，令 y＝10tt－2 9，显然 y>0，t2－10yt＋9y＝0，
解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.

平面向量中的最值和范围问题

平面向量中的最值和范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．考点1、向量的模的范围例1、(1) 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,1,2==BC AD ,P 是腰DC 上的+的最小值为____________.(2)（2011辽宁卷理）若c b a ,,均为单位向量，且0=⋅b a ，0))((≤--c b c a b -+最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2(3)（2010浙江卷理）已知平面向量），（，βααβα≠≠01=，且α与αβ-的夹角为120°的取值范围是_____________ .变式：已知平面向量α，β满足||||1αβ==，且α与βα-的夹角为120︒，则|(1)2|t t αβ-+()t R ∈的取值范围是；小结1、模的范围或最值常见方法：①通过|a →|2=a →2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法．考点2、向量夹角的范围例2、已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法．考点3、向量数量积的范围例3、(1)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PB PA ⋅的最小值为( ) (A) 24+- (B) 23+- (C) 224+- (D) 223+-(2)如右图，在梯形ABCD 中，DA=AB=BC =12CD =1.点P 在阴影区域（含边界）中运动，则AP →·BD→的取值范围是；小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法；④a →·b →=(a →+b →2)2-(a →-b →2)2．考点4、向量的系数问题：例4、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⌒上变动.若OC →=xOA →+yOB →其中x ，y ∈R ，则x +y 的最大值是______.小结4、向量系数问题的一般处理方法：①点乘法；②几何法；③整体法．变式：已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是（） A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．（1，2）专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题1、（2011全国新课标理）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（） A.14,p p B.13,p p C.23,p p D.24,p p2、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （）A ．12B ．1C ．32D ．523、(201宁波市期末)在ABC∆中，D 为B C 中点，若120=∠A ，，则AD 的最小值是（）A.21 B.23C.2D.224、（2011福建卷）已知O 是坐标原点，点A （－1,1）若点M （x,y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x ，上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（）A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[－1，2] 5、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，P , Q 是正方体内部及面上的两个动点，则PQ AM ⋅的最大值是（） A.21 B.1 C.23D.456、（2011全国大纲理）设向量c b a ,,满足1==b a ，21-=⋅b a ，060,=--c b c a ，则c 的最大值等于（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．17、如图，在直角梯形ABCD 中，，动点P在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设，则的取值范围是( )O A BCEFxy A. B. C. D.8、（2012安徽卷）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则b a ⋅的最小值是_____；9、已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为；10、（2012北京卷）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为____ __；11、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则OE OF ⋅的最大值为；12、如图，线段AB 长度为2，点,A B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐标原点，则OD OC •的范围是 .11题图 12题图13、（2012上海卷理）在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ ；。

高中数学向量的数量积

高中数学向量的数量积向量的数量积是高中数学中的一个重要概念，学生在学习该概念时，首先需要理解它的定义、规律以及具体应用。

本文将从以下三个方面对向量的数量积做出详细介绍：向量的数量积定义及其性质、向量的数量积的几何意义、向量的数量积的具体应用。

一、向量的数量积定义及其性质：向量的数量积又称为点积，它是在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，两个向量的数量积。

“数量积”是指两个向量相乘之后的结果，结果是一个标量。

设 OX 和 OY 是平面直角坐标系中的两条坐标轴，分别表示实数轴和虚数轴，原点 O 是两条坐标轴的交点。

设有两个向量 a 和 b，a = (x1,y1)，b = (x2, y2)，则向量 a 和 b 的数量积记作 a·b = x1x2 + y1y2。

向量的数量积有下面几个重要性质：1. 交换律：a·b = b·a。

2. 数量积为0的条件：若 a·b = 0，则向量 a 与向量 b 垂直。

3. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c。

4. 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中 k 为实数。

5. 数量积的平方长度：a·a = |a|²，其中 |a| 表示向量 a 的长度。

二、向量的数量积的几何意义：在平面直角坐标系中，向量的数量积还可以解释为向量 a 在向量 b 上的投影的长度。

具体地说，向量 a 在向量 b 上的投影长度为a·cosθ，其中θ是向量 a 与向量 b 之间的夹角。

因此，向量的数量积还可以解释为：若两个向量夹角为α，则它们之间的夹角余弦值为它们数量积除以它们长度的乘积，即：cosα = a·b / |a||b|。

三、向量的数量积的具体应用：向量的数量积在数学中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 求向量的模长：|a| = √(a·a)，其中a为向量。

向量的数量积与向量积的计算

向量的数量积与向量积的计算在向量的数学运算中，常常涉及到数量积和向量积的计算。

这两种运算方法在解决问题中具有不同的作用和应用。

本文将重点讨论向量的数量积与向量积的计算方法及其相关特性。

1. 向量的数量积计算方法向量的数量积也称为点积或内积，表示为A·B，其中A和B分别为两个向量。

向量的数量积计算方法如下：设A = (x1, y1, z1) 和 B = (x2, y2, z2) 为两个三维向量，则它们的数量积可以通过下列公式计算得出：A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2其中，x1、y1、z1分别为向量A在x、y、z轴上的分量，x2、y2、z2分别为向量B在x、y、z轴上的分量。

2. 向量的向量积计算方法向量的向量积也称为叉积或外积，表示为A × B，同样A和B为两个向量。

向量的向量积计算方法如下：设A = (x1, y1, z1) 和 B = (x2, y2, z2) 为两个三维向量，则它们的向量积可以通过下列公式计算得出：A ×B = (y1z2 - y2z1)i - (x1z2 - x2z1)j + (x1y2 - x2y1)k其中，i、j、k为标准基向量，分别表示x、y、z轴上的单位向量。

3. 数量积与向量积的特性数量积和向量积具有一些特性，这些特性在实际应用中发挥着重要的作用。

3.1 数量积的特性数量积满足以下特性：- A·B = B·A，即数量积满足交换律；- A·A ≥ 0，且A·A = 0，当且仅当A为零向量时，数量积为0；- 若 A·B = 0，则A与B垂直或其中至少有一个为零向量。

3.2 向量积的特性向量积满足以下特性：- A × B = -B × A，即向量积满足反交换律；- 向量积的模可以表示为 A × B = |A||B|sinθ，其中θ为A、B夹角的大小；- A × B垂直于向量A和向量B所在的平面；- 若向量A和向量B线性相关，则它们的向量积为零向量。

向量的数量积与向量积的定义与性质

向量的数量积与向量积的定义与性质向量在数学和物理学中有着广泛的应用，其中向量的数量积和向量积是两个重要的概念。

本文将对向量的数量积和向量积进行定义和探讨，并介绍它们的性质。

一、向量的数量积的定义与性质向量的数量积又称点乘或内积，表示为“A·B”。

给定两个向量A和B，如果A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，则A·B=a1b1+a2b2+a3b3。

数量积的计算结果是一个标量。

数量积有以下几个性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 结合律：k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中k为标量4. 数量积与向量的夹角：A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B之间的夹角通过数量积，我们可以计算出向量的模、角度以及判断向量的正交性等。

二、向量积的定义与性质向量积又称叉乘或外积，表示为“A×B”。

给定两个向量A和B，向量积A×B的方向是垂直于A和B所在平面上的，并符合右手法则。

向量积的计算结果是一个向量。

向量积的计算方法是：A×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)向量积有以下几个性质：1. 交换律：A×B = -B×A2. 分配律：A×(B + C) = A×B + A×C3. 结合律：k(A×B) = (kA)×B = A×(kB)，其中k为标量4. 零向量：如果向量A与B平行或其中一个为零向量，则A×B=05. 向量积与向量的夹角：|A×B| = |A| |B| sinθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B之间的夹角向量积常用于计算平面或空间中的面积、体积以及判断向量的平行性和垂直性等。