向量中数量积的最值

2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》向量

中数量积的最值

题目 (2020·调研)如图1，已知AC ＝2，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 同

侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C )，且BM ⊥BN ，则AM →·CN →的最

大值为________．

答案 14

解析 方法一 由题设可知AB ＝BC ＝BN ＝1.

因为点M 在以AB 为直径的半圆上，所以AM ⊥BM ，又BM ⊥BN ，所以AM ∥BN ，若设∠MAB ＝θ，则∠NBC ＝θ.

如题图2，建立平面直角坐标系xBy ，则点A (－1,0)，M (－sin 2θ，sin θcos θ)，C (1,0)，N (cos

θ，sin θ)，所以AM →＝(－sin 2 θ＋1，sin θcos θ)＝(cos 2θ，sin θcos θ)，CN →＝(cos θ－1，sin θ)． 于是，AM →·CN →＝cos 2θ·(cos θ－1)＋sin 2θcos θ

＝cos 3θ－cos 2θ＋(1－cos 2θ)cos θ

＝－cos 2θ＋cos θ＝14－⎝

⎛⎭⎫cos θ－122. 又易知0<θ<π2，所以，当θ＝π3时，可得AM →·CN →的最大值为14

. 评注 上述求解过程的切入点是引入辅助角θ，准确写出点M ，N 的坐标，以便灵活利用平面向量的坐标运算加以求解．

方法二 如题图2，建立平面直角坐标系xBy ，设直线BN 的方程为y ＝kx (k >0)，则因为

BM ⊥BN ，所以直线BM 的方程为y ＝－1k

x . 注意到点N 是直线BN 与以AC 为直径的半圆的交点，所以将y ＝kx 与x 2＋y 2＝1联立，可

求得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2

，k 1＋k 2. 注意到点M 是直线BM 与以AB 为直径的半圆的交点，所以将y ＝－1k x 与⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝14

联

立，可求得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－k 2k 2＋1，k k 2＋1. 又点A (－1,0)，C (1,0)，所以向量

AM →＝⎝⎛⎭⎫1k 2＋1，k k 2＋1，CN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2

－1，k 1＋k 2， 所以AM →·CN →＝1k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2－1＋k k 2＋1·k 1＋k 2

＝1k 2＋1⎝ ⎛⎭

⎪⎫k 2＋11＋k 2－1 ＝11＋k 2－1k 2＋1

＝14－⎝ ⎛⎭

⎪⎫11＋k 2－122， 故当11＋k 2＝12

，即k ＝3时，可得AM →·CN →的最大值为14. 评注 上述求解过程的关键是引入参数k (直线BN 的斜率)，并借助直线和圆的方程，灵活求解点M ，N 的坐标，整个求解过程显然比方法一增加了许多运算量．

方法三 由题设可知AB ＝BC ＝BN ＝1，

因为点M 在以AB 为直径的半圆上，所以AM ⊥BM ，又BM ⊥BN ，所以AM ∥BN ，

所以AM →·BN →＝|AM →|×1×cos 0°＝|AM →|.

因为AM ⊥BM ，AB ＝1，

所以|AM →|＝1×cos ∠MAB ＝cos ∠MAB ，所以

AM →·BC →＝AM →·AB →

＝|AM →|×1×cos ∠MAB ＝|AM →|2.

于是，AM →·CN →＝AM →·(BN →－BC →)

＝AM →·BN →－AM →·BC →

＝|AM →|－|AM →|2＝14－⎝

⎛⎭⎫|AM →|－122. 又0<|AM →|<1，

所以，当|AM →|＝12时，可得AM →·CN →的最大值为14

. 评注 上述求解过程的关键是充分利用平面向量的数量积公式a ·b ＝|a |·|b |cos θ，将目标问题

等价转化为求解关于“|AM →|”的二次函数在区间(0,1)上的最大值．

方法四 如图3，分别延长AM ，CN ，设其交点为E ，并设ME 与大半圆的交点为D ，连接