第三讲 同余ppt课件
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第三讲 同余ppt课件
28×541×1993的积除以13的余数是多少？ 考查的同余性质❼
22
课后作业1
对于一个不等于1的整数，用它除967，1000，2001都 得到相同的余数。那么这个整数是多少？
考查的同余性质❶
23
课后作业2
求乘积34×37×41×43除以13所得的余数是多少 考查的同余性质❼
24
21994被7除余几？
19931994÷7的余数是多少 考查的同余性质❻和周期
5
【例题3】
求33335555＋55553333被7除的余数。 考查的同余性质❻和周期
6
【模仿3】
有一个整数，被4除余1，被9除余1，被5除余2，求这个 数最小是多少
考查的带余除法
7
【模仿4】
一 个在整一数个除圆以圈3上余有1，几除十以个5孔余（1如，图是）7的，倍小数明，像求玩这跳个棋数那？样，从a孔出发，沿逆时 针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回a孔，他先试着每隔2孔跳 一步，结果只能跳到b孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到b孔。最后他 每隔6孔跳一步，正好跳回a孔。这个圆圈上共有多少个孔？
考查的同余性质❶或者带余除法
18
【例题3】
今天是星期二，再过991999天是星期几？ 考查的同，除300、242、155，得到的余数相同。这 个整数是多少？
考查的同余性质❼
20
【例题4】
今天是星期日，再过364365天是星期几？ 考查的同余性质❻和周期
21
【模仿4】
求81被n除的余数是例题2考查带余除法模仿2考查的同余性质和周期199319947的余数是多少例题3考查的同余性质和周期求3333555555553333模仿3考查的带余除法在一个圆圈上有几十个孔如图小明像玩跳棋那样从a孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步希望一圈以后能跳回a孔他先试着每隔2孔跳一步结果只能跳到b孔他又试着每隔4孔跳一步也只能跳到b孔
22
课后作业1
对于一个不等于1的整数，用它除967，1000，2001都 得到相同的余数。那么这个整数是多少？
考查的同余性质❶
23
课后作业2
求乘积34×37×41×43除以13所得的余数是多少 考查的同余性质❼
24
21994被7除余几？
19931994÷7的余数是多少 考查的同余性质❻和周期
5
【例题3】
求33335555＋55553333被7除的余数。 考查的同余性质❻和周期
6
【模仿3】
有一个整数，被4除余1，被9除余1，被5除余2，求这个 数最小是多少
考查的带余除法
7
【模仿4】
一 个在整一数个除圆以圈3上余有1，几除十以个5孔余（1如，图是）7的，倍小数明，像求玩这跳个棋数那？样，从a孔出发，沿逆时 针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回a孔，他先试着每隔2孔跳 一步，结果只能跳到b孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到b孔。最后他 每隔6孔跳一步，正好跳回a孔。这个圆圈上共有多少个孔？
考查的同余性质❶或者带余除法
18
【例题3】
今天是星期二，再过991999天是星期几？ 考查的同，除300、242、155，得到的余数相同。这 个整数是多少？
考查的同余性质❼
20
【例题4】
今天是星期日，再过364365天是星期几？ 考查的同余性质❻和周期
21
【模仿4】
求81被n除的余数是例题2考查带余除法模仿2考查的同余性质和周期199319947的余数是多少例题3考查的同余性质和周期求3333555555553333模仿3考查的带余除法在一个圆圈上有几十个孔如图小明像玩跳棋那样从a孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步希望一圈以后能跳回a孔他先试着每隔2孔跳一步结果只能跳到b孔他又试着每隔4孔跳一步也只能跳到b孔
初等数论第三章同余
第三章同余§ 1 同余的概念及其基本性质定义1设m Z，称之为模。
若用m去除两个整数a与b所得的余数相同,则称a, b对模m同余，记作：a b (mod m)；若所得的余数不同，则称a, b对模m不同余，记作： a b(mod m)。
例如，8 1(mod 7)，；所有偶数 a 0(mod 2)，所有奇数 a 1(mod 2)。
同余是整数之间的一种关系，它具有下列性质：1、a a(mod m)； (反身性)2、若a b (mod m)，则b a (mod m);(对称性)3、若a b (mod m)，b c (mod m)，则a c(mod m);(传递性) 故同余关系是等价关系。
定理1 整数a,b对模m同余的充分必要条件是m|(a b)，即卩a b mt，t Z。
证明设 a mq1r1， b mq2r2，0 r1,r2m，则 a b(mod m) r1r2a b m(q1q2) m|(a b)。
性质1 (1)若a i b i (mod m)，a? b2 (mod m)，贝U a i a? b i b2 (mod m)；(2) 若a b c (mod m),贝U a c b (mod m)。
性质2 若a1b1 (mod m)，a2b2 (mod m),贝U a1a2b1b2(mod m);特别地，若 a b (mod m)，贝U ka kb (mod m)。
定理2 若A1kB 1 k (mod m)，x i y i (mod m)，i 1,2, ,k，则 A 1 k x1 11k k xk k B 1 k y1 11kky k k(mod m)；特别地，若a i b i (mod m)，i 0,1,2, ,n，则n a n x n1a n 1x a0 n n 1b n x b n 1x b0 (mod m)。
性质3 若aa1d， b b1d，(d,m) 1， a b(mod m)，则a1 b1 (mod m)。
初等数论同余
富，应用广泛的一个分支．
定义：给定一个正整数m，我们把它叫做模， 如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数 相同，我们就说a,b 对模m同余， 记作 a b(modm). 如果余数不同，我们就说a,b对模m不同余， a b(modm). 记作 注1：上面所说的模m>1,因为m=1对所有整 数就都同余了。
解：∵111111被7整除，
50
∴
11 1 ≡11（mod 7）≡4（mod 7）
50
即余数为4。
33 26 例4：求(257 46) 被50除的余数
解： (25733 46)26 (733 4)26 (7 (72 )16 4)26
(7 4)26 326 3 (35 )5 3 (7)5 3 7 (72 )2
性质5 (1)若 a b(modm).k>0 则 ak bk(modm k)
(2)若a b(modm).d|(a,b,m), d>0 ,则
a b m (mod ). d d d
证:性质5显然.
性质6 若 a b(modm), d m, d 0则
a b(modd ).
证：由已知m|a-b,又d|m,所以d|a-b 性质7 a b(modm).d|(a,b),(d,m)=1 则
§2 同余的应用
1、算术中的整除规律 (1)个位数是偶数的数能被２整除； (2)个位数是０或５的数能被５整除； (3)末两位数能被４（或２５）整除的数能被 ４（或２５）整除； (4)末三位数能被８（或１２５）整除的数能 被８（或１２５）整除；
5)各位数字之和能被３（或９）整除的数能 被３（或９）整除；
6)奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能 被１１整除的数能被１１整除。
小学数学《带余除法与同余》ppt
小试身手
237除以一个大于50的两位数，余数 是6，则合适这个条件的两位数是多少？
答案：如果a被b除得的余 数是n，那么a-n能被b整除所以 用237-6=231，231能被一个两 位数整除，把231分解质因数后 找出大于50的两位数约数即为 所求237-6=231， 231=3×7×11，231的两位数 约数有11，21，77，33，其中 大于50的只有77，所以这个两 位数就是77
【例1】一个两位数去除259， 得到的余数是49，求这个两位数
思路点拨:如果a被b除得的 余数是n，那么a-能被b整除，所 以用259-49=210，210能被一个 两位数整除，把210分解质因数 后找出大于49的两位数约数即 为所求
【解】259-49=210， 210=2×3×5×7，210的两位约 数有10，14，15，21，35，42， 70，其中大于余数49的只有70， 所以这个两位数是70
对于已知整数a和自然数b， 求q和r，使a=bq+r(0≤r<b) 成立的运算叫做有余数的 除法，或称为带余除法， 记为a÷b=q(余r)或 a÷b=q...r
51÷8=6......3，27÷8=3......3,
其中51，27被8除的余数相同， 是同余除法
若整数a,b同除以自然数n的余 数相同，则称a和b对模n同余 （模n即除以n的意思，）这 就是同余除法
【例2】两个整数相除，商5余3，被 除数，除数，商，余数之和为113，求被 除数是多少？
思路点拨：由题意知道等量关 系式：被除数+除数+商+余数=11， 其中商是5，余数是3，所以被除数 +除数+5+3=11，即被除数+除数 =105，根据有余数除法中各部分之 间的关系，被除数=除数×商(5)+余 数（3），可巧设除数为x,则被除数 为5x+3，然后列出方程即可解答
初等数论第三章课件
, n 1)时，每一项3i xi 各取3个值， 3x1 x0共通过3n 1 个数；
② 在这3n 1 个数中，若有 3n 1 xn 1 3n xn x0 =3n xn 3n 1 xn 1 3x1 3x1 x0 3n ( xn xn ) 3n 1 ( xn 1 xn 1 ) 则x0 x0 x0 x0 3 x0 x0 x1 ) 3( x1
同余的一个应用——检查因数的一些方法
A、一整数能被3（9）整除的充要条件是它的十进位 数码的和能被3（9）整除。
证：a Z , 将a写成十进位数的形式： a an10 an 110
n
i n n
n 1
a0 , 0 ai 10.
i n
因10 1(mod 3), 故10 1(mod 3), ai 10 ai (mod 3), 从而 ai 10i ai (mod 3),即a ai (mod 3).
n
n 1
3 x1 x
也是模3 =2H+1的绝对最小完全剩余系。（再由 模2H+1的绝对最小完全剩余系具有唯一性得到结论）
① 3n xn 3n 1 xn 1 xi 1, 0,1(i 0,1, 故3n xn 3n 1 xn 1
3x1 x0共有n 1项，当
i ! p( p 1)
( p i 1) Z i! ( p i 1)
当i 1, 2, 故C ip pq,
, p 1时, (i !, p) 1 即p C ip
i ! ( p 1)
( p i 1)，
例3、（ 1）求所有的正整数n，使得2n 1能被7整除； （2）证明：对于任何正整数n，2n +1不能被7整除。
初等数论同余
即奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能 被11整除的数能被11整除.
初等数论同余
规律(7)的证明
证： 100 0 1 (0 m 7)o 1 , d 00 1 (0m 7)od
一般地有 10 i 0 ( 1 )0 i(m 7 )io , 0 d ,1 , n
两边同乘 a i 有并对n+1个式子相加得
初等数论同余
常见模m的完全剩余系(简称完系）
0,1,2,…m-1做模m的最小非负完全剩余系；
当m是双数时，m 2,1,0,1m 21
或 m1,1,0,1m
2
2
当是m单数时，m1 1,0,1 m1 ,
2
2
叫做模m的绝对最小完全剩余系
初等数论同余
定理1：设m是正整数，(a,m)=1,b是任意整数。 若x通过模m的一个完系，则ax+b也通过模m 的完系，即若a0,a1…am-1是模m的完系，则 aa0+b,aa1+b…aam-1+b也是模m的完系。 证：首先因x通过模m的一个完系，所以ax+b 有m个数，若 aixbajxb(mm o),d则有
8a77(m8o)d
两边不同余.所以不相等.即对任意整数 a,8a+7不可能是三个整数的平方.
初等数论同余
例2证明 x2 y2 2006没有整数解.
证:因为一个平方数除以4的余数能为0或者1 所以左边除以4的余数只能是0,1,或3,而右
边除以4的余数为2 不同余,所以不定方程无解.
初等数论同余
性质3、若 a1b1(mm o)d,a2b2(momd). 则有 a1b1b1b2(mm o)d .
200001100200001100剩余类及完全剩余系若m是一个给定的正整数由带余数除法则对任意的整数aqmr则全部整数可分成m个集合k其中r012m1利用相等必同余同余未必相等不同余肯定不相等取模9可判断一些式子是否正确在出现9时可把9去掉这就是弃九法
初等数论同余
规律(7)的证明
证： 100 0 1 (0 m 7)o 1 , d 00 1 (0m 7)od
一般地有 10 i 0 ( 1 )0 i(m 7 )io , 0 d ,1 , n
两边同乘 a i 有并对n+1个式子相加得
初等数论同余
常见模m的完全剩余系(简称完系）
0,1,2,…m-1做模m的最小非负完全剩余系；
当m是双数时，m 2,1,0,1m 21
或 m1,1,0,1m
2
2
当是m单数时，m1 1,0,1 m1 ,
2
2
叫做模m的绝对最小完全剩余系
初等数论同余
定理1：设m是正整数，(a,m)=1,b是任意整数。 若x通过模m的一个完系，则ax+b也通过模m 的完系，即若a0,a1…am-1是模m的完系，则 aa0+b,aa1+b…aam-1+b也是模m的完系。 证：首先因x通过模m的一个完系，所以ax+b 有m个数，若 aixbajxb(mm o),d则有
8a77(m8o)d
两边不同余.所以不相等.即对任意整数 a,8a+7不可能是三个整数的平方.
初等数论同余
例2证明 x2 y2 2006没有整数解.
证:因为一个平方数除以4的余数能为0或者1 所以左边除以4的余数只能是0,1,或3,而右
边除以4的余数为2 不同余,所以不定方程无解.
初等数论同余
性质3、若 a1b1(mm o)d,a2b2(momd). 则有 a1b1b1b2(mm o)d .
200001100200001100剩余类及完全剩余系若m是一个给定的正整数由带余数除法则对任意的整数aqmr则全部整数可分成m个集合k其中r012m1利用相等必同余同余未必相等不同余肯定不相等取模9可判断一些式子是否正确在出现9时可把9去掉这就是弃九法
§3同余课件
77
即7 的个位数是3.
2018/11/3
77
数学与财经学院
18
例8 设n的十进制表示是 13 xy 45 z , 且792n， 求 x，y，z. 解 因为792 = 8×9×11，故 8n，9n及11n。
8|n 8|45 z z 6.
9n 9（1 3 x y 4 5 z ）= 19 x y 9x y 1， (1) 11n 11（z 5 4 y x 3 1） = 3 y x 11（3 y x）。 (2) 即有 x y 1 = 9或18， 3 y x = 0或11
第三章
同 余
• 教学目的和要求 • （1）熟练掌握同余的基本概念及性质。 • （2）熟练掌握剩余类、完全剩余系、简 化剩余系和欧拉函数的概念及其性质。 • （3）熟练掌握欧拉定理、费马定理和解 某些同余问题。 • 本章是初等数论的核心内容，是学生必须 掌握的基础知识。
2018/11/3
数学与财经学院
如： 21 6mod5, 43 7mod10, 3 8mod2
2018/11/3
数学与财经学院
4
§3.1
同余的概念及其基本性质
2、判断a,b对模m同余 ①定义 ②定理1 整数a,b对m同余的充要条件是
m (a b),即a b mt, t Z
注：下面的三个表示是等价的：
解方程组，得到x = 8，y = 0，z = 6。
2018/11/3
数学与财经学院
19
五、弃九法〔验算计算结果〕
若ab c, 则有 ab a b c(mod9)
应用这种方法可以验算较大整数的乘法。 例9. 验算 28997×39495＝1145236415是否正确。
即7 的个位数是3.
2018/11/3
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例8 设n的十进制表示是 13 xy 45 z , 且792n， 求 x，y，z. 解 因为792 = 8×9×11，故 8n，9n及11n。
8|n 8|45 z z 6.
9n 9（1 3 x y 4 5 z ）= 19 x y 9x y 1， (1) 11n 11（z 5 4 y x 3 1） = 3 y x 11（3 y x）。 (2) 即有 x y 1 = 9或18， 3 y x = 0或11
第三章
同 余
• 教学目的和要求 • （1）熟练掌握同余的基本概念及性质。 • （2）熟练掌握剩余类、完全剩余系、简 化剩余系和欧拉函数的概念及其性质。 • （3）熟练掌握欧拉定理、费马定理和解 某些同余问题。 • 本章是初等数论的核心内容，是学生必须 掌握的基础知识。
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如： 21 6mod5, 43 7mod10, 3 8mod2
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§3.1
同余的概念及其基本性质
2、判断a,b对模m同余 ①定义 ②定理1 整数a,b对m同余的充要条件是
m (a b),即a b mt, t Z
注：下面的三个表示是等价的：
解方程组，得到x = 8，y = 0，z = 6。
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五、弃九法〔验算计算结果〕
若ab c, 则有 ab a b c(mod9)
应用这种方法可以验算较大整数的乘法。 例9. 验算 28997×39495＝1145236415是否正确。
信息安全数学基础课件 第3章 同余式
从而
M
' j
M
j
b
j
0
(mod mi )
1 j k, j i,
x
M
' i
M
i
bi
bi
(mod mi ),
i 1, 2,, k,
故
x
M1' M1b1
M
' 2
M
2
b2
M
' k
M
k
bk
(mod m)
是同余式组的解.
12
3.2 中国剩余定理
(解的唯一性)若x, x '都是同余式组的解,则
x bi x ' (mod mi ), i 1, 2,, k
72
35
1
23 (mod105) 15 1 2
15
3.2 中国剩余定理
练习 求解同余式
x 1(mod2) x 1(mod3) x 6(mod7)
除数 余数 最小公倍数 衍数 乘率 各总
答数
21
21 1 1 211
3
1
2 3 7 42
14
2
x 21 28 216 114 2
13 (mod 42)
第3章 同余式
3.1 基本概念及一次同余式 3.2 中国剩余定理 3.3 高次同余式的解数及解法 3.4 高次同余式的一般解法
2018-5-17
计算机科学与技术学院
1
3.1 基本概念及一次同余式
定义1 设m是一个正整数,f ( x)为多项式
f ( x) an xn an1 xn1 a1 x a0
3.1 基本概念及一次同余式
例1 x5 x 1 0 (mod 7) 是首项系数为1的 模7同余式.因
《同余的性质》课件
i 1
i 1
n
n
2) ai bi (mod m)
i 1
i 1
3 .若 a b c (m m )则 o ,a d c b (m m )o
证 ： a b c (m o d m )mcabm(cb)a
a ( c b ) ( m o d m ) .
(2)类似（1）的证明
( 3 ) Q 1 0 1 ( m o d 1 1 ) , 1 0 2 1 ( m o d 1 1 ) ， L ， 1 0 n ( 1 ) n ( m o d 1 1 )
N [ ( 1 ) n a n ( 1 ) n 1 a n 1 L ( 1 ) 1 a 1 a 0 ] ( m o d 1 1 )
6. a b (mod m)，k > 0，kN ，则 1）ak bk (mod mk)；
2 )ab(m o dm ),其 中 d|a ,d|b ,d|m dd d
证 ： ab (m o d m )m|ab m k|k(ab) a k b k ( m o d m k ) .
a1 b1(modm),a2 b2(modm) a1 b1 mt1,a2 b2 mt2,t1,t2 Z a1 a2 b1 b2 mt,tZ a1 a2 (b1 b2)(modm)
推广： 若ai bi (mod m), i 1, 2,L n, 则
n
n
1) kiai kibi (mod m),
证 ： ab (m o d m )m|abd|ab ab (m o d d).
9. 若a b (mod m) ，则 (a, m) = (b, m)； 证 ： am q 1r (a ,m ) (m ,r), 同 理 ， b m q 2 r (b ,m ) (m ,r).
初等数论第三章同余
这 时 ， 有 4 0 4 6(m o d 6 ), 但 2 0 2 3(m o d 6 ) 不 成 立 ！
⑥ a b c (m o d m ) a c b (m o d m )
证 ： a b c (m o d m ) m c a b
m ( c b ) a a ( c b )(m o d m ).
① a b (mod m)，dm，d > 0 a b (mod d)；
证 ： a b (m o d m )
d |a b
a b (m o d d ).
② a b (mod m)，k > 0，kN ak bk (mod mk)；
证 ： a b (m o d m ) m | a b
证 ： a b (m o d m i ) m i a b [ m 1 , , m k ] a b .
④ a b (mod m) (a, m) = (b, m)；
证 ： a m q1 r
( a , m ) ( m , r ),
同 理 ， b m q 2 r ( b , m ) ( m , r ).
n n1
a1 10 a 0
1
(1)
i
3、9 的整除特征 ——各位上的数字之和能被3（9）整除
10 1 m od(3)
a a n 10 a1 10 a 0 a n a1 a 0 m od ( 3 )
n
例1
检查5874192、435693 能否被3（9）整除。
证 ： a b (m o d m )
d |a b
a b (m o d d ).
⑥ a b c (m o d m ) a c b (m o d m )
证 ： a b c (m o d m ) m c a b
m ( c b ) a a ( c b )(m o d m ).
① a b (mod m)，dm，d > 0 a b (mod d)；
证 ： a b (m o d m )
d |a b
a b (m o d d ).
② a b (mod m)，k > 0，kN ak bk (mod mk)；
证 ： a b (m o d m ) m | a b
证 ： a b (m o d m i ) m i a b [ m 1 , , m k ] a b .
④ a b (mod m) (a, m) = (b, m)；
证 ： a m q1 r
( a , m ) ( m , r ),
同 理 ， b m q 2 r ( b , m ) ( m , r ).
n n1
a1 10 a 0
1
(1)
i
3、9 的整除特征 ——各位上的数字之和能被3（9）整除
10 1 m od(3)
a a n 10 a1 10 a 0 a n a1 a 0 m od ( 3 )
n
例1
检查5874192、435693 能否被3（9）整除。
证 ： a b (m o d m )
d |a b
a b (m o d d ).
初等数论§3同余PPT课件
注：若没有条件(c, m) = 1，即为TH2③的逆命题， 不能成立。
反例：取m=6,c=2,a=20,b=23.
这 时 ， 有 4 0 4 6 ( m o d 6 ) , 但 2 0 2 3 ( m o d 6 ) 不 成 立 ！
2021/1/16
-
8
⑥ a b c ( m o d m ) a c b ( m o d m )
分母丌含质因数2戒51212101010101212ab1075定理3有理数能表示为纯循环小数10由euler定理可知有正整数k使得10因此存在整数q使得1010的形式而且a101076定理4设a不b是正整数0此处不是丌全为零的正整数其中丌循环的位数码个数是因此由定理3可以表示成纯循环小数
第三章 同 余
由75-312+289＝52，所以75312289能被13整除，但不 能被7，11整除。
2021/1/16
-
12
例 3.求 777的 个 位 数 .
解 ： 7 1 3 ( m o d 1 0 ) , 7 2 1 ( m o d 1 0 ) , 7 4 1 ( m o d 1 0 )
记777 74kr,则 有 777 74kr(74)k 7r17r(mod10) 故 只 须 考 虑 7 7 被 4 除 得 的 余 数 r , 即 7 7 7 7 r ( m o d 1 0 ) 由 7 1 1 ( m o d 4 ) , 7 2 1 ( m o d 4 ) , 7 6 1 ( m o d 4 ) , 7 7 1 3 (m o d 4 ) ， r 3 所以777 7r 7 3 72 7 ( 1 ) ( 3 ) 3 ( m o d 1 0 ) . 即 777的 个 位 数 是 3.
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反例：取m=6,c=2,a=20,b=23.
这 时 ， 有 4 0 4 6 ( m o d 6 ) , 但 2 0 2 3 ( m o d 6 ) 不 成 立 ！
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⑥ a b c ( m o d m ) a c b ( m o d m )
分母丌含质因数2戒51212101010101212ab1075定理3有理数能表示为纯循环小数10由euler定理可知有正整数k使得10因此存在整数q使得1010的形式而且a101076定理4设a不b是正整数0此处不是丌全为零的正整数其中丌循环的位数码个数是因此由定理3可以表示成纯循环小数
第三章 同 余
由75-312+289＝52，所以75312289能被13整除，但不 能被7，11整除。
2021/1/16
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12
例 3.求 777的 个 位 数 .
解 ： 7 1 3 ( m o d 1 0 ) , 7 2 1 ( m o d 1 0 ) , 7 4 1 ( m o d 1 0 )
记777 74kr,则 有 777 74kr(74)k 7r17r(mod10) 故 只 须 考 虑 7 7 被 4 除 得 的 余 数 r , 即 7 7 7 7 r ( m o d 1 0 ) 由 7 1 1 ( m o d 4 ) , 7 2 1 ( m o d 4 ) , 7 6 1 ( m o d 4 ) , 7 7 1 3 (m o d 4 ) ， r 3 所以777 7r 7 3 72 7 ( 1 ) ( 3 ) 3 ( m o d 1 0 ) . 即 777的 个 位 数 是 3.
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19931994÷7的余数是多少 考查的同余性质❻和周期
5
【例题3】
求33335555＋55553333被7除的余数。 考查的同余性质❻和周期
6
【模仿3】
有一个整数，被4除余1，被9除余1，被5除余2，求这个 数最小是多少
考查的带余除法
7
【模仿4】
一 个在整一数个除圆以圈3上余有1，几除十以个5孔余（1如，图是）7的，倍小数明，像求玩这跳个棋数那？样，从a孔出发，沿逆时 针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回a孔，他先试着每隔2孔跳 一步，结果只能跳到b孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到b孔。最后他 每隔6孔跳一步，正好跳回a孔。这个圆圈上共有多少个孔？
课后作业3
考查带余除法和周期
25
课后作业4
2008²÷7的余数是多少？ 考查同余性质❻
26
考查的同余性质❶或者带余除法
18
【例题3】
今天是星期二，再过991999天是星期几？ 考查的同余性质❻
19
ห้องสมุดไป่ตู้模仿3】
【1个整数，除300、242、155，得到的余数相同。这 个整数是多少？
考查的同余性质❼
20
【例题4】
今天是星期日，再过364365天是星期几？ 考查的同余性质❻和周期
21
【模仿4】
28×541×1993的积除以13的余数是多少？ 考查的同余性质❼
22
课后作业1
对于一个不等于1的整数，用它除967，1000，2001都 得到相同的余数。那么这个整数是多少？
考查的同余性质❶
23
课后作业2
求乘积34×37×41×43除以13所得的余数是多少 考查的同余性质❼
24
21994被7除余几？
8
课后作业1
今天是星期日，再过364365天是星期几？
9
课后作业2
甲数除以4余1，乙数除以4余2，甲、乙数的和除以4余几？ 考查的带余除法
10
课后作业4
有一个整数，被11除余5，被13除余5， 被19除余15，这个数最小是多少？
考查的带余除法
11
课后作业5
9个小朋友围成一圈，若把359颗花生平均分给他们，最后剩下几 颗？
第3讲 同余问题
1
【例题1】
有一个2003位数，它的各位数字都是1，这个数除以7， 余数是多少？
考查的周期
2
【模仿1】
已知69,90,125被N除，余数相同。求81被N除的余数是 几？
考查的同余性质❶
3
【例题2】
甲数除以5余3，乙数除以5余4，甲、乙数的和除以5余 几？
考查带余除法
4
【模仿2】
12
谢谢大家
13
第五讲 牛吃草
14
【模仿1】
考查的
①②③④
15
【模仿1】
考查的
①②③④
16
【例题2】
数713,1103，830,947被一个数除所得余数相同（余数 不为0）。求这个除数。
考查的同余性质❶
17
【模仿2】
三个整数492，2241，3195分别除以同一个整数，所得 的余数都是15，这个除数是多少？
5
【例题3】
求33335555＋55553333被7除的余数。 考查的同余性质❻和周期
6
【模仿3】
有一个整数，被4除余1，被9除余1，被5除余2，求这个 数最小是多少
考查的带余除法
7
【模仿4】
一 个在整一数个除圆以圈3上余有1，几除十以个5孔余（1如，图是）7的，倍小数明，像求玩这跳个棋数那？样，从a孔出发，沿逆时 针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回a孔，他先试着每隔2孔跳 一步，结果只能跳到b孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到b孔。最后他 每隔6孔跳一步，正好跳回a孔。这个圆圈上共有多少个孔？
课后作业3
考查带余除法和周期
25
课后作业4
2008²÷7的余数是多少？ 考查同余性质❻
26
考查的同余性质❶或者带余除法
18
【例题3】
今天是星期二，再过991999天是星期几？ 考查的同余性质❻
19
ห้องสมุดไป่ตู้模仿3】
【1个整数，除300、242、155，得到的余数相同。这 个整数是多少？
考查的同余性质❼
20
【例题4】
今天是星期日，再过364365天是星期几？ 考查的同余性质❻和周期
21
【模仿4】
28×541×1993的积除以13的余数是多少？ 考查的同余性质❼
22
课后作业1
对于一个不等于1的整数，用它除967，1000，2001都 得到相同的余数。那么这个整数是多少？
考查的同余性质❶
23
课后作业2
求乘积34×37×41×43除以13所得的余数是多少 考查的同余性质❼
24
21994被7除余几？
8
课后作业1
今天是星期日，再过364365天是星期几？
9
课后作业2
甲数除以4余1，乙数除以4余2，甲、乙数的和除以4余几？ 考查的带余除法
10
课后作业4
有一个整数，被11除余5，被13除余5， 被19除余15，这个数最小是多少？
考查的带余除法
11
课后作业5
9个小朋友围成一圈，若把359颗花生平均分给他们，最后剩下几 颗？
第3讲 同余问题
1
【例题1】
有一个2003位数，它的各位数字都是1，这个数除以7， 余数是多少？
考查的周期
2
【模仿1】
已知69,90,125被N除，余数相同。求81被N除的余数是 几？
考查的同余性质❶
3
【例题2】
甲数除以5余3，乙数除以5余4，甲、乙数的和除以5余 几？
考查带余除法
4
【模仿2】
12
谢谢大家
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第五讲 牛吃草
14
【模仿1】
考查的
①②③④
15
【模仿1】
考查的
①②③④
16
【例题2】
数713,1103，830,947被一个数除所得余数相同（余数 不为0）。求这个除数。
考查的同余性质❶
17
【模仿2】
三个整数492，2241，3195分别除以同一个整数，所得 的余数都是15，这个除数是多少？