关于物体在滚动时摩擦力方向的判定

Ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｒｉｃｔｉｏｎ’ｓ Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ａｎ Ｏｂｊｅｃｔ Ｒｏｌｌｉｎｇ
ＷＵ Ｈｏｎｇｙａｎ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ， Ａｎｙａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ａｎｙａｎｇ，Ｈｅｎａｎ，４５５０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓ ｔｒａ ｃｔ： Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｈｏｗ ｔｏ ｊｕｄｇｅ ｔｈｅ ｆｒｉｃｔｉｏｎ’ｓ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ ｒｏｌｌｉｎｇ ｏｂｊｅｃｔ ， ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｔａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｖｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｆｏｒｃｅ ａｃｔ ｏｎ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒｄｓ ： ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ； ｒｏｌｌ； ｆｒｉｃｔｉｏｎ； ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ
２００８ 年
到使物体逆着外力的方向运动的， 故木轴只有
向前的移动。因为外力 Ｆ 使木轴有向前滑动的
趋势， 同时逆时针转动的趋势也存在， 这两种趋
势都使触地点出现一个向后的摩擦力 ｆ， ｆ 的 出
现又使木轴有了顺时针转动的趋势。木轴该如
何转动， 应由 ｆ、Ｆ 的合力矩决定。ｆ 虽然有可能
小于 Ｆ 的水平分力， 但是它对质心的力臂较大，
（ ｂ） 物体（ 圆柱体） 在斜面上做纯滚动时（ 假 设条件能使纯滚动发生） 受到的摩擦力主要是 静摩擦力。因为物体在斜面上有沿斜面下滑的 趋势， 静摩擦力方向沿斜面向上。正是该摩擦力 对圆柱体质心的力矩使其产生了转动， 但减小 了质心运动的加速度。 ２ 物体所受外力确定
图 ３ 受水平外力时示意图
如图 ３ 所示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 有一匀质轮轴， 半径为 Ｒ， 在
（ ａ） 我们知道， 物体在水平接触面上以速度 做纯滚动时， 会慢慢地停下来， 这是由于它质心 的平动与绕质心的转动分别受到了阻力、阻力 矩的结果， 这个阻力就是滚动摩擦力。滚动摩擦 力的产生是由于物体在滚动时与接触面相互挤 压使接触面发生形变的原因， 其方向由接触面
图 ２ 刚性物体滚示意图
收稿日期： ２００８－ ０１－ １５ 作 者 简 介 ： 吴 红 燕（１９５４－ ）， 女 ， 河 南 濮 阳 人 ， 安 阳 师 范 学 院 物 理 学 系 副 教 授 ， 主 要 从 事 基 础 物 理 及 电 子 线 路 教 学 研 究。
加速度 ａ 转动角加速度 β才是真正的加速度。两
者的方向可能是不相同的。但不影响关于 ａ 与
Ｒβ的讨论。
４） 轮子的
拉力作用在质
心 ｏ 的下方时，
可以分析出转
动和质心的平 动都是使接触点
图 ４ 受斜向拉力示意图
向前运动， 故摩擦力的方向必然向后。
下面由一个例子说明。
如图 ４ 所示。有一绕有电缆的大木轴， 质量
１） ｖΔｔ－ ωｒΔｔ＞０， 即 ｖΔｔ＞ωｒΔｔ ， 表明轮子质心 的平动距离大于轮子由于转动使质心移动的距 离， 故轮子与地平面的接触点发生了向前的滑
动， 由此判定滑动摩擦力的方向向后。摩擦力将 使轮子的平动速度减小， 同时使转动速度增大。
２） ｖΔｔ－ ωｒΔｔ＜０， ｖΔｔ＜ωｒΔｔ， 同 上 讨 论 ， 轮 子 与地平面的接触点发生了向后的滑动， 故有滑 动摩擦力的方向向前。摩擦力将使轮子的平动 速度增大， 同时使转动速度减小。
离质心为 Ｏ 的上方 ｒ 处受一水平方向拉力 Ｆ 而
发生滚动。这时地面对轮作用的摩擦力方向是
怎样的呢？ 按照前面所说的由判断相对滑动趋
势或相对滑动的方向来确定摩擦力方向的原
则， 就应该首先确定质心速度的 ｖ 大小与方向、
转动角速度 ω的大小与方向， 然后对 ｖ 与 ωｒ 进
行比较， 才能判断摩擦力的方向。否则， 严格地
图 １ 滚动示意图
例如半径为 ｒ 的轮子在地面上滚动， 如图 １ 所示。已知它的质心平动速度为 ｖ， 转动的角速 度 为 ω， 这 表 示 轮 子 在 Δｔ 时 间 内 将 向 前 平 移 ｖΔｔ； 同 时 轮 子 的 最 低 点 将 向 后 移 动 ωｒΔｔ（ 这 里 要求 Δｔ 为无限小量） ； 转动与移动同时发生后， 轮 与 平 面 触 点 的 相 对 滑 动 距 离 将 是 ｖΔｔ－ ωｒΔｔ。 出现的滑动摩擦力的方向可由该式讨论如下：
ｆ＝
Ｉｃｃｏｓθ＋ｍＲｒ
２
（ ６）
ｍＲ ＋Ｉｃ
代入数字得出 ｆ＝４９７４Ｎ
而由题目给出的摩擦系数计算出最大静摩
擦力有 ｆｍａｘ＝μ（ｍｇ－ Ｆｓｉｎθ） ＝０．５（１０３×９．８－ ９８００×ｓｉｎ３００） ＝２４５０Ｎ
两个数值比较说明上述关于木轴只滚不滑 的假定是不成立的。木轴的运动是即滚又滑， 有 ａｃ≠Ｒβ。确定了木轴又滚又滑的状态， 摩擦力有
因此木轴的转动方向并不能判定。我们姑且先
假设它是顺时针的。
据假设列出运动方程：
质心运动定理 Ｆｃｏｓθ－ ｆ＝ｍａｃ
（ ４）
转动定律 ｆＲ－ Ｆｒ＝Ｉｃ β
（ ５）
其中因摩擦力 ｆ 是被动的， 与轮轴的运动状
态有关， 不能确定。方程出现了三个未知量。
要先确定 ｆ 的大小， 若按木轴只滚不滑时，
有 ａｃ＝Ｒβ， 求解方程（ ４） （ ５） 解出：
由上面的讨论可知， 在轮子即滚又滑时， 出 现的摩擦力总是在调整滚动与平动的速度， 使 它们向着 ｖ＝ωｒ 的状态变化， 这也成为我们在某 些问题中判别物体在又滚又滑运动状态下摩擦 力方向的一个经验方法。
３） ｖΔｔ－ ωｒΔｔ＝０， ｖ＝ωｒ， 此时轮子的运动为纯 滚动。物体在纯滚动中受到的摩擦力为滚动摩 擦力或静摩擦力与滚动摩擦力的共同作用， 其 大小和方向要由具体的情况讨论。
安阳工学院学报
１００
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｙａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
２００８ 年
关于物体在滚动时摩擦力方向的判定
吴红燕
（ 安阳师范学院 物理系， 河南 安阳 ４５５０００）
摘 要： 分析了在物体运动状态或所受外力已知的情况下， 物体发生滚动时摩擦力方向的判定问题。
关键词： 平动； 滚动； 摩擦力； 方向
第二期
吴 红 燕 ：关 于 物 体 在 滚 动 时 摩 擦 力 方 向 的 判 定
１０１
上形变的具体程度而异。当我们把物体视为刚 体时， 形变就只在支持面上发生， 问题讨论相对 简单。如图 ２ 所示， 物体（ 圆柱刚体） 滚动时， 水 平面的变形使圆柱体后面的平面因形变略低于 前方， 使得柱体受到的支持力的作用点向前移 动， 作用力为 Ｎ。将其分解成铅直分量 和水平分 力 Ｐ。我们由图可看到， 正是这水平分量使圆柱 的质心受到阻力减速， 而竖直分量的力矩则是 使圆柱转动减速的阻力矩。
定律与转动定律写出质心加速度 ａ′与转动角加
速度 β′。
Ｆ＝ｍａ′
（１）
Ｆｒ＝Ｉβ′
（２）
式中， ｍ 与 Ｉ 分别是轮轴的质量与轮轴绕质
心的转动惯量， 由两式消去 Ｆ 可得
β′＝
ｍｒ Ｉ
ａ′
写成： β′Ｒ＝ ｍｒＲ ａ′
（３）
Ｉ
讨论 １） 若 ｍｒＲ ＞１， 则 β′Ｒ＞ａ′， 这表示转动 Ｉ
大于平动， 轮子与地平面的接触点发生了向后
说来是不能判断该瞬时的摩擦力方向的。但是
我们通常有这样的条件， 即轮子是由静止开始
平动和转动的， 也就是说初始条件是已知的， 有
ｖ０＝０， ω０＝０， 因而有 ｖ＝ａ， ｔ ω＝βｔ 。要比较 ｖ 与 ωｒ， 只要比较 ａ 和 βＲ 就行了。并且， 为了判断摩擦
力的方向， 可以先假设没有摩擦力， 按质心运动
少？
解： 先定性分析木轴将怎样运动。假设轮轴
与地面无摩擦力， 粗看起来， 木轴在力矩 Ｆｒ 的作
用下将发生逆时针转动， 但在力 Ｆ 的拉动下， 质
心又有向前的加速度， 显然这种情况是不可能
的， 说明无摩擦力的假设是不成立的。故要按有
摩擦力分析。但要明确一点， 摩擦力是不可能大
安阳工学院学报
１０２
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｙａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
滑动， 由此判定滑动摩擦力的方向向前， 故摩擦
力 ｆ 与 Ｆ 方向一致， 将使平动加速， 转动减速， 直
至纯滚动发生。
２）
ｍｒＲ Ｉ
＜１， 则 β′Ｒ＜ａ′， 这 表 示 转 动 小 于 平
动， 轮子与地平面的接触点发生了向前的滑动，
滑动摩擦力的方向与 Ｆ 方向相反， ｆ 将使转动加
速， 使平动减速， 直至纯滚动发生。
ｆ＝ｆｍａｘ＝２４５０Ｎ 代入（ ４） （ ５） 分别求出 ａ＝ Ｆｃｏｓθ－ ｆ ＝６．０３ｍ／ｓ２
ｍ β＝ ｆＲ－ Ｆｒ ＝－ ４．９ｒａｄ／ｓ２
Ｉｃ 角加速度 β为负值表示木轴实际的转动方 向与假设的方向相反， 即木轴是作逆时针转动 的。
参考文献： ［１］漆安慎， 杜婵英．力学［Ｍ］．北京： 高等教育出版社， ２００５． ［２］邓 飞 帆 ， 葛 昆 龄，等．普 通 物 理 疑 难 问 答［Ｍ］．长 沙 ： 湖 南 科学技术出版社， １９８４．
３） 由上知， 当一个轮子的质量 ｍ， 轮半径 Ｒ，
转动惯量 Ｉ 与轮子拉力 Ｆ 的作用位置 ｒ 有关系
ｍｒＲ ＝１ 时， 轮子与地平面间将发生纯滚动。 Ｉ
需要强调的是， 质心加速度 ａ′与转动角加
速 度 β′是 在 假 设 不 出 现 摩 擦 力 时 可 能 的 加 速
度， 在摩擦力判定出以后， 写在运动方程中质心
中图分类号： Ｏ３１３
文献标识码： Ａ
文章编号： １６７３－ ２９２８（ ２００８） ０２－ ０１００－ ０３
在物体的滚动问题中， 摩擦力方向的判别 是力学课程学习中的一个难点。对于平动，摩擦 力总是阻碍接触面之间的相对滑动， 我们就是 据此原则判定摩擦力方向的， 有“总是与物体运 动 方 向 相 反 或 与 相 对 滑 动 的 趋 势 方 向 相 反 ”的 判定方法。在转动问题中， 接触面间的摩擦力也 是 由 “阻 碍 相 对 滑 动 ”的 原 则 来 确 定 的 ， 但 由 于 物体在滚动中既有质心的平动， 又有绕质心的 转动， 因此判断相对滑动方向时， 就不像平动问 题那样简单， 使得摩擦力方向的判定显得困难 了。 １ 物体的运动状况确定