抛物线的焦点弦性质
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设( A x1,y1),( B x2,y2)则y1 y2 p 2 . C
B
y1 py1 p p y= x,x=- 联立得C (- ,) x1 2 2 2x1
py1 py1 p y1 y2 yc - 2 y2 y1 2x1 y1 y1 2 2p
2
BC || X 轴
例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和 抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),
x
2 y12 y2 p4 p2 x1x2 (定值) 2 2p 2p 4p 4
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;
解:过A,B点作准线的垂线,垂足 为P, Q
p p p P( , y1 ), Q( , y2 ), F ( ,0) 2 2 2
o
B`
F B
x
O
x
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
证明:如图, M M1 A A1 B B1 2 AF BF 2 AB 2
l A1
y
A F M
X
故以AB为直径的圆与准线相切. M1 O
思考:焦点弦何时最短? 过焦点的所有弦中,通径最短
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 1 1 2
p p 7) AF X 1 BF X 2 2 2
AF
BF
p
p p X1 X 2 1 1 1 1 2 2 p p p p AF BF X1 X2 X 1 X 2 2 2 2 2 x1 x2 p x1 x2 p 2 2 p p p p2 p x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2y) A 2 4 4 4 2 x1 x2 p 2 p O F ( x1 x2 p ) p B 2
2
y
2p ( x 2 p) y1 y2
∴ AB过定点T(2p, 0).
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB, (3) 求弦AB中点P的轨迹方程;
2p 2p A( 2 , ) (3)设OA∶y = kx,代入y2=2px 得: k 0, k k
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ 证明: 思路分析 y x x p |AB|=|AF|+|BF|= 1 2
A
() 1 900 时,k不存在, p p 易得A( ,p),B( ,-p), 2 2 2p A B =2P= sin 2 900
0
O B
θ F
x
p (2) 90 时,斜率k tan ,直线方程为y tan (x ) 2 2p 然后联立方程组用韦达定理得 A B p x1 x2 sin 2
∴ 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (4)求△AOB面积的最小值;
(4)
S AOB S AOM S BOM 1 | OT | (| y1 | | y2 |) p(| y1 | | y2 |) 2
法二:由题知AB不与x轴平行 p 设AB方程为x my ,(m R) 2 y 2 2 px p 2 p y 2 p (my ) 2 x my 2 y
即:y 2 pmy p 0
2 2
A
Βιβλιοθήκη Baidu y1 y2 p (定值)
2
O
F B
k AB
3
∴ 点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0, 0)).
7. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程.
法二:∵ AB过定点T(2p, 0). ∴ ∠OMT=90, 又OT为定线段 ∴ M在以OT为直径的圆上 ∴ 点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0). 评注:此类问题要充分利用(2)的结论.
2. 求证:直线AB过定点;
3. 求弦AB中点P的轨迹方程;
4. 求△AOB面积的最小值;
5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB,
(1) 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;
[解答] (1)设A(x1, y1),B(x2, y2),中点P(x0, y0),
y1 2 p y12 1 y1 k OC kOA p y1 x1 y1 x1 2
OC || OA且共点O, 直线AC过点O
二、抛物线中的直角三角形问题 例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的 两点,且OA⊥OB,
1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;
小结:
在求轨迹方程问题中易于出错是对轨 迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此,在 求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法 分子”掺杂其中,应将其剔除;另一方面 又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”, 应将其找回。
2 p | y1 y2 | 4 p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时,等号成立.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一:设M(x3, y3), 则 kOM 3 x3 x
x3 AB : y y3 ( x x3 ) y3 y3 y3 即x ( y y3 ) x3代入y 2 2 px得 x3 2 2 py3 2 py3 2, 2 由 (1) 知, y y =-4 p y y 2 px3 0, 1 2 x3 x3 2 2 py3 2 px3 4 p 2 整理得:x32+y32 -2px3=0, x3
O
B1
5 1 4 6 3
F
X
B
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(3)x1x2=p2/4;
0
y1y2=-p2;
y
证明:思路分析:韦达定理
A
p y1 y2 - p ,x1 x2 ; 4
2
p p 易得A( ,p),B( ,-p), 2 2 2
二、抛物线的焦点弦性质
例1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
y
抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
A
(1)|AB|=x1+x2+p
(3)x1x2=p2/4;
(2)通径长为2 p
y1y2=-p2;
O B
θ F
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
kOA y1 y2 , kOB x1 x2
∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1,∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y12 = 2px1,y22 = 2px2
y1 y2 y1 y2 0 2p 2p
2 2
∵ y1≠0, y2≠0, ∴ y1y2=4p2 ∴ x1x2=4p2.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB,
x
例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和 抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴. y 证明 : 设直线AB的方程 : A p x my , 代入y 2 2 px, 得 2 O F y 2 2 pmy p 2 0.
2 px y1 2 px1 y1 y2 2 px 2 px1 y y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p 2 y1 2 px1 , y1 y2 4 p2 y y1 y2 y1 y2
(2) 求证:直线AB过定点;
[解答](2)∵ y12=2px1,y22=2px2∴ (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2)
y1 y2 2p x1 x2 y1 y2
k AB
2p y1 y2
2p 直 线AB : y y1 ( x x1 ) y1 y2
1 当AB x轴时,
O B
F
x
20 AB斜率存在时设为k,(k 0)
2
y p 2 py 2 消元得y 2 ( p )即y p2 0 k 2 k 2 2 2 y1 y1 p 2 y1 y2 - p ;x1 x2 2 p 2 p 4
p 则直线AB方程为y=k(x- ) 代入抛物线方程y2 2 px 2
2p 2p 4p
令y 0得 y y1 y2 2 px 2 px1
2 1
因为y21 2 px1,y1y2 =-2ps代入上式得 x s 直线AB必过点(s, 0)
B
l
M
y2=2 px
x
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(2)过B作BC⊥准线l,垂足为C,则AC过原点yO共线.
证明 : 设直线AB的方程 : p x my , 代入y 2 2 px, 得 2 y 2 2 pmy p 2 0.
O C
F
B A
设( A x1,y1),( B x2,y2)则y1 y2 p 2 . 2 p p p B || X 轴 C (- ,y2), 即C (- , ) 2 2 y1 p2
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1 1 2 (7) AF BF p
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线 相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(1)|AB|=x1+x2+p
y
(2)通径长为2p
y
A` A
A F B
B1
B
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
证明:如图, 1=2 3,4=5 6, 又1 3 4 5 180 ,
0
A1
y
2
A
1 4 900,即AFB 900
1 同理, k
以代k得B(2pk2, -2pk) .
1 2 x p ( k ) 0 k2 y p( 1 k ) 0 k
1 1 2 k 2 (k ) 2 k k
2
x0 y0 2 ( ) 2 p p
即 y02 = px0-2p2,
P
y
法3:利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90° 。
A
PF QF
Q
O
F
x
PF QF 0 即( p, y1 ) ( p, y2 ) 0
p 2 y1 y2 0
即y1 y2 p 2
B
p2 易得:x1 x2 4
练习 (1).若直线过定点M(s,0)(s>0)与抛物线 y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=2ps. 证明:设AB 的方程为x=my+s (m∈R) 代入抛物线得y2-2pmy-2ps=0, 2 2 y12 y2 ( 2 ps) 2 y1 y2 2ps x1 x2 s 2 (2). 若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2), 且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证:直线过定点 (s,0)(s>0) y1 y2 2p y 21 2 px1 相减得k AB 证明: x1 x2 y1 y2 y 2 2 2 px2 y 2p A 直线AB方程为y y1 (x x1) y1 y2
B
y1 py1 p p y= x,x=- 联立得C (- ,) x1 2 2 2x1
py1 py1 p y1 y2 yc - 2 y2 y1 2x1 y1 y1 2 2p
2
BC || X 轴
例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和 抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),
x
2 y12 y2 p4 p2 x1x2 (定值) 2 2p 2p 4p 4
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;
解:过A,B点作准线的垂线,垂足 为P, Q
p p p P( , y1 ), Q( , y2 ), F ( ,0) 2 2 2
o
B`
F B
x
O
x
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
证明:如图, M M1 A A1 B B1 2 AF BF 2 AB 2
l A1
y
A F M
X
故以AB为直径的圆与准线相切. M1 O
思考:焦点弦何时最短? 过焦点的所有弦中,通径最短
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 1 1 2
p p 7) AF X 1 BF X 2 2 2
AF
BF
p
p p X1 X 2 1 1 1 1 2 2 p p p p AF BF X1 X2 X 1 X 2 2 2 2 2 x1 x2 p x1 x2 p 2 2 p p p p2 p x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2y) A 2 4 4 4 2 x1 x2 p 2 p O F ( x1 x2 p ) p B 2
2
y
2p ( x 2 p) y1 y2
∴ AB过定点T(2p, 0).
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB, (3) 求弦AB中点P的轨迹方程;
2p 2p A( 2 , ) (3)设OA∶y = kx,代入y2=2px 得: k 0, k k
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ 证明: 思路分析 y x x p |AB|=|AF|+|BF|= 1 2
A
() 1 900 时,k不存在, p p 易得A( ,p),B( ,-p), 2 2 2p A B =2P= sin 2 900
0
O B
θ F
x
p (2) 90 时,斜率k tan ,直线方程为y tan (x ) 2 2p 然后联立方程组用韦达定理得 A B p x1 x2 sin 2
∴ 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (4)求△AOB面积的最小值;
(4)
S AOB S AOM S BOM 1 | OT | (| y1 | | y2 |) p(| y1 | | y2 |) 2
法二:由题知AB不与x轴平行 p 设AB方程为x my ,(m R) 2 y 2 2 px p 2 p y 2 p (my ) 2 x my 2 y
即:y 2 pmy p 0
2 2
A
Βιβλιοθήκη Baidu y1 y2 p (定值)
2
O
F B
k AB
3
∴ 点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0, 0)).
7. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程.
法二:∵ AB过定点T(2p, 0). ∴ ∠OMT=90, 又OT为定线段 ∴ M在以OT为直径的圆上 ∴ 点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0). 评注:此类问题要充分利用(2)的结论.
2. 求证:直线AB过定点;
3. 求弦AB中点P的轨迹方程;
4. 求△AOB面积的最小值;
5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB,
(1) 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;
[解答] (1)设A(x1, y1),B(x2, y2),中点P(x0, y0),
y1 2 p y12 1 y1 k OC kOA p y1 x1 y1 x1 2
OC || OA且共点O, 直线AC过点O
二、抛物线中的直角三角形问题 例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的 两点,且OA⊥OB,
1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;
小结:
在求轨迹方程问题中易于出错是对轨 迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此,在 求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法 分子”掺杂其中,应将其剔除;另一方面 又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”, 应将其找回。
2 p | y1 y2 | 4 p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时,等号成立.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一:设M(x3, y3), 则 kOM 3 x3 x
x3 AB : y y3 ( x x3 ) y3 y3 y3 即x ( y y3 ) x3代入y 2 2 px得 x3 2 2 py3 2 py3 2, 2 由 (1) 知, y y =-4 p y y 2 px3 0, 1 2 x3 x3 2 2 py3 2 px3 4 p 2 整理得:x32+y32 -2px3=0, x3
O
B1
5 1 4 6 3
F
X
B
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(3)x1x2=p2/4;
0
y1y2=-p2;
y
证明:思路分析:韦达定理
A
p y1 y2 - p ,x1 x2 ; 4
2
p p 易得A( ,p),B( ,-p), 2 2 2
二、抛物线的焦点弦性质
例1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
y
抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
A
(1)|AB|=x1+x2+p
(3)x1x2=p2/4;
(2)通径长为2 p
y1y2=-p2;
O B
θ F
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
kOA y1 y2 , kOB x1 x2
∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1,∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y12 = 2px1,y22 = 2px2
y1 y2 y1 y2 0 2p 2p
2 2
∵ y1≠0, y2≠0, ∴ y1y2=4p2 ∴ x1x2=4p2.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB,
x
例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和 抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴. y 证明 : 设直线AB的方程 : A p x my , 代入y 2 2 px, 得 2 O F y 2 2 pmy p 2 0.
2 px y1 2 px1 y1 y2 2 px 2 px1 y y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p 2 y1 2 px1 , y1 y2 4 p2 y y1 y2 y1 y2
(2) 求证:直线AB过定点;
[解答](2)∵ y12=2px1,y22=2px2∴ (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2)
y1 y2 2p x1 x2 y1 y2
k AB
2p y1 y2
2p 直 线AB : y y1 ( x x1 ) y1 y2
1 当AB x轴时,
O B
F
x
20 AB斜率存在时设为k,(k 0)
2
y p 2 py 2 消元得y 2 ( p )即y p2 0 k 2 k 2 2 2 y1 y1 p 2 y1 y2 - p ;x1 x2 2 p 2 p 4
p 则直线AB方程为y=k(x- ) 代入抛物线方程y2 2 px 2
2p 2p 4p
令y 0得 y y1 y2 2 px 2 px1
2 1
因为y21 2 px1,y1y2 =-2ps代入上式得 x s 直线AB必过点(s, 0)
B
l
M
y2=2 px
x
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(2)过B作BC⊥准线l,垂足为C,则AC过原点yO共线.
证明 : 设直线AB的方程 : p x my , 代入y 2 2 px, 得 2 y 2 2 pmy p 2 0.
O C
F
B A
设( A x1,y1),( B x2,y2)则y1 y2 p 2 . 2 p p p B || X 轴 C (- ,y2), 即C (- , ) 2 2 y1 p2
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1 1 2 (7) AF BF p
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线 相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(1)|AB|=x1+x2+p
y
(2)通径长为2p
y
A` A
A F B
B1
B
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
证明:如图, 1=2 3,4=5 6, 又1 3 4 5 180 ,
0
A1
y
2
A
1 4 900,即AFB 900
1 同理, k
以代k得B(2pk2, -2pk) .
1 2 x p ( k ) 0 k2 y p( 1 k ) 0 k
1 1 2 k 2 (k ) 2 k k
2
x0 y0 2 ( ) 2 p p
即 y02 = px0-2p2,
P
y
法3:利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90° 。
A
PF QF
Q
O
F
x
PF QF 0 即( p, y1 ) ( p, y2 ) 0
p 2 y1 y2 0
即y1 y2 p 2
B
p2 易得:x1 x2 4
练习 (1).若直线过定点M(s,0)(s>0)与抛物线 y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=2ps. 证明:设AB 的方程为x=my+s (m∈R) 代入抛物线得y2-2pmy-2ps=0, 2 2 y12 y2 ( 2 ps) 2 y1 y2 2ps x1 x2 s 2 (2). 若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2), 且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证:直线过定点 (s,0)(s>0) y1 y2 2p y 21 2 px1 相减得k AB 证明: x1 x2 y1 y2 y 2 2 2 px2 y 2p A 直线AB方程为y y1 (x x1) y1 y2