数学物理方法 复变函数 第三章 幂级数
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03复变函数的幂级数展开
数学物理方法
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f
k 1
k
( z )一般收敛于
假设对应于点z∈ D，级数收敛于f(z)，即
f ( z) f k ( z)
k 1
那么f(z)称为级数的和函数。
数学物理方法
幂级数的定义
k 0
k a ( z z ) 形如 k 的级数称为以z0为中心的幂级数， 0
常数a0,a1,a2,…an，称为该幂级数的系数。
k 1 m 2m ka z ( 1) z k k 0 m0
1 m 2m (arctanz ) ( 1 ) z 2 1 z m 0
k 0
(1) m 1）当k为奇数时 a2 m1 2m 1
(m 0,1,2...)
2）当k为偶数时 a2m 0 (m 0,1,2...)
如果
如果
| ,称级数 w 是绝对收敛的 | w 是收敛的
| w
n 1 n 1
n 1
n
n
|是发散的，而
w 是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ敛的
n 1 n
n 1
n
称级数
w 是条件收敛的，
n
数学物理方法
复变函数项级数的定义
是区域D中的复变函数,如
设 f k ( z) (k 1,2,3,...) 下表达式
复变函数的幂级数表示
一 复变函数项级数 1 定义：设 f k (z )是区域D中的复变函数 则
f
k 1
k
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f k ( z ) ...
称为复变函数项级数，称 Sn ( z) f k ( z) k 1 为级数的前n项和。
n
2 级数收敛和发散的定义：
f ( z)dz f
l l k 1
k
( z ) dz f k ( z )dz
k 1 l
3、幂级数在收敛圆内可逐项求导
f
(n)
( z) f
k 1
(n) k
( z)
3.2 解析函数的泰勒展开
一 定理表述及其证明
定理：设 f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析， 则对圆内的任意z点，f(z)可展为幂级数，
则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。
ck 引入记号 R lim c k k 1
，称为收敛圆半径。
R，则（3.2.1)
意义： ck 若 | z z0 | lim c k k 1 绝对收敛。
另一方面，若 | z z0 | R 则
| ck 1 || z z0 |k 1 ck 1 lim lim R 1 k | c || z z |k k c k 0 k
五、例题
例1 求 1 z z 2 z k 的收敛圆。 z 为复数
(k!) 2 k z 的收敛半径。 例2 （习题4.1.b）求 k 1 (2k!!)
1 k2 k 例3（习题4.1.c）求 (1 ) z 的收敛半径。 k k 1
zk 例4（简明教程35页）求 的收敛半径。 k 0 k!
数学物理方法复变函数第三章幂级数
阿贝尔判别法是通过对幂级数的部分 和进行估计来确定收敛半径的方法， 适用于幂级数的系数随幂次增加而趋 于零的情况。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
复变函数-幂级数
得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工 作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现 在正昂首以待...。”
可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉 里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦 萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之 下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5 月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在 旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿 贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（Christine Kemp）欢 度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗 争一边继续进行数学研究。
(3)存在一点z1≠a,使级数收敛(此时,根据定理4.4 的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对收 敛),另外又存在一点z2,使
发散.(肯定|z2-a|≥|z1-a|);根据推论4.4知,它必在 圆周|z-a|=|z2-a|外部发散.)
在这种情况下,可以证明,存在一个有限正数R, 使得级数(4.3)在圆周|z-a|=R内部绝对收敛,在 圆周|z-a|=R外部发散.R称为此幂级数的收敛半 径;圆|z-a|<R和圆周|z-a|=R分别称为它的收敛 圆和收敛圆周.在第一情形约定R=0;在第二情 形,约定R=+∞,并也称它们为收敛半径.
y
z.2
.
R
z1
o
收敛圆 收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
n0
问题1: 幂级数 cn(z a)n的收敛范围是何区域?
n0
答案: 是以 z a 为中心的圆域.
问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
数学物理方程第三章幂级数展开
1, 1t
t i,
(1 1 t)(n )t i n !(1 1 i)n 1 n !(1 2 e 4 i)n 1 n !2 n 2 1 e (n 4 1 )i
2022/1/233
阜师院数科院
第24页，本讲稿共41页
1 2n2 1e(n41)i(ti)n.
1t n0
Rln i(m an)1/nln im 2n2 1e(n41)i 1/n2
则圆上的幂级数为
C' C
z
z0
() a 0 a 1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )2
而
1
1
2i z
有界，
利用柯西公式得
2 1 iC ' ( z )d 2 1 iC 'a 0z0 d 2 1 iC 'a 1 ( z z0 )d 2 1 iC 'a 2 ( z z0 )2 d
ak (z z0) k
k0
(3.2.2)
满足
lk i m akak1zz zz0 0kk1lk i m aakk1 zz0 1
则实幂级数 (3.2.2) 收敛，且复幂级数 (3.2.1) 绝对收敛。
2022/1/23
阜师院数科院
第10页，本讲稿共41页
lk i m akak1zz zz0 0kk1lk i m aakk1 zz0 1
k 1
收敛圆 z 1
实际上对于
z 1 1 z2 z4 ( 1 )kz2 k 1 1 z2
4. 幂级数的积分表示
利用柯西公式
在一个比收敛圆 C 内稍小的圆 C’ 中幂级数绝对一
致收敛，故可沿这个圆逐项积分。
2022/1/23
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复变函数的幂级数展开
数学物理方法
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f 1 ( z) f 2 ( z) f 3 ( z) ... f k ( z) ...
称为复变函数项级数,记为 为级数的前n项部分和.
f
k 1
k
( z ) ,称 S n ( z )
f
k 1
n
n
( z)
数学物理方法
级数收敛和发散的定义
S n ( z0 ) 存在,则称级数 若对于z0∈ D,极限nlim 在z0处收敛; S n ( z0 )不存在,则称级数 若极限 nlim 处发散.
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开
补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定 理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
数学物理方法电子教案第三章
第三章 幂级数展开§3.1 复数项级数(一) 复数项级数 1.复数项级数定义 复数项级数：()1.1.3..., (211)++++=∑∞=k k kw w w w，级数中每一项都可分为实部和虚部k k k iv u w +=那么，∑∑∑∞=∞=∞=+=111k k k k k k v i u w 即一个复数项级数可以用两个实数项级数来表示。
这样，实数项级数的许多性质都可以用到复数项级数中。
2. 复数项级数收敛的柯西判据复数项级数(3.1.1)收敛的充分必要条件是，对于任一给定的正数ε，必有N 存在，使得n>N时，,1ε<∑++=pn n k kw其中，p 为任意正整数。
3. 复数项级数的绝对收敛如果复数项级数(3.1.1)各项的模(正实数)组成的级数)3.1.3( (1)221∑∑∞=∞=+=k k k k kv u w收敛，就把复数项级数(3.1.1)叫做绝对收敛。
◆ 绝对收敛的复数项级数必是收敛的◆ 绝对收敛的级数各项先后次序可以改变，其和并不因此改变。
4. 两个绝对收敛的复数项级数之积仍然绝对收敛n n m mk kk k q pqp •=•∑∑∑∞=∞=∞=1,11(二) 复变项级数(函数项级数) 1. 复变项级数定义()()()()()6.1.3..., (2)11++++=∑∞=z w z w z w z w kk k它的各项是z 的函数。
2.复变项级数收敛如果在某个区域B (或某根曲线 l )上所有的点，级数(3.1.6)都收敛，就叫做在B (或l )上收敛。
3.复变项级数收敛的柯西判据及一致收敛复变项级数(3.1.6) 在某个区域B (或某根曲线 l )上收敛的充分必要条件是，在B (或l )上各点z, 对于任一给定的小正数ε，必有()εN 存在，使得()εN n >时，(),1ε<∑++=pn n k kz w 式中p 为任意正整数。
复变函数解析函数的幂级数表示法
又 n (a n a ) i (bn b ) (a n a ) 2 (bn b ) 2 an a n 故 a n a , bn b. lim lim
n n
bn b n
n 0 n n 0
n 0
3. 收敛圆与收敛半径
由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：
(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。
( iii ) 0, 使 得 cn n收 敛,
4. 收敛半径的求法
1 / 0 cn1 定理2 若 lim ，则 R 0 (比值法) n cn 0 cn 1 z n 1 cn 1 证明 ( i ) 0, lim lim z z n n n c cn z n 1 当 z 1时,即 z 时, cn z n绝 对 收 敛 ；
---级数的部分和 若z0 D lim sn ( z0 ) s( z0 ), 称 级数 1)在z0收 敛, (
n
其 和为 ( z0 ), sn ( z0 )不 存在 ， 称 级数 )发 散, s lim (1
n
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数
s( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )＋ ---级数(1)的和函数
n 1 n 1 n 1 n 1
2 2 证明 n an ibn an bn 2 2 an an bn , 2 2 bn an bn
n n
数学物理方法第3章幂级数-2016
1. 根式法 2.比值法 3.奇点法 4.逐项微分或逐项积分法
44
1. 根式法
由根式判别法可知，若 (3.2.4)
(3.2.5)
45
46
2. 比值法
由比值判别法得
(3.2.7)
47
3. 奇点法
既然幂级数在收敛圆内解析(见幂级数在收敛 圆内的性质1)，因此幂级数在收敛圆周上或 在收敛圆周外(无限接近收敛圆周）必有奇 点．
若级数 则称级数
在z点收敛， 在z点绝对收敛.
9
2. 绝对收敛级数的判别法
级数
的每一项是正实数，故
绝对收敛的判别法就是正项级数的判别法:
达朗贝尔(d’Alembert)判别法;
柯西判别法; 高斯(Gauss)判别法
10
11
3. 绝对收敛级数的性质
绝对收敛级数可随意交换各项的次序，所得 级数仍绝对收敛且级数和不变． 两个绝对收敛级数 和 可逐项相乘，所得级数仍为绝对收敛级数， 且收敛于S'S" ，即
由魏尔斯特拉斯定理可得， 在D内解析，且可逐项求导任意多次． 这表明，幂级数 代表一个解析函数
42
在收敛圆内
性质2 幂级数可沿收敛圆内任意曲线 l 逐项积分
证明 既然幂级数在收敛圆内满足一致收敛级数性 质2要求的条件：
(1)、幂级数在收敛圆内的任意曲线l 上一致收敛于 S(z)(根据阿贝尔定理）；
则称
在D(或l上)一致收敛于S(z)．
注意： N(e) 与 z 无关。
16
设级数
定义在区域D(或曲线l)上．
2. 级数一致收敛的充要条件： 任给 e>0，存在与z无关的正整数N(e)，使当 n>N(e)时，对任意自然数p,有
第三章 幂级数展开
f (z) ak (z z0 )k k
其中 ak
1
2i
C
(
f
( ) d
z0 ) k 1
，C
为环域
R2
z z0
R1
内任意闭曲线，积分沿逆时针。
证明：如图 3.3 所示，对任意给定的 z R2 z z0 R1，
总存在 R2 R2 R1 R1 ，使得 z R2 z z0 R1 ，
f (z) 1
f ( )d
2i CR1 z
1
1
1
1
z ( z0 ) (z z0 ) ( z0 ) 1 z z0
z0
z
在
C R1
内部，
在
C R1
上，
z
z0 z0
1
1 z
1 z0
k 0
z
z0 z0
k
z z0 k k0 z0 k1
Ñ f (z) 1
k0 (2k )!
例 3. 在 z0 1的邻域上把 f (z) ln z 展开为泰勒级数。
解： f (z) ln z 的奇点为 z 0 ，所以其泰勒级数的收
敛圆为 z 1 1，收敛半径为 R 1
f (1) ln1 2ni
f (z) 1 ， f (1) 1， f (z) 1 ，
z
3! 5! 7!
sin z
如果定义：
f
(z)
z
z0
1
z 1
则： f (z) 在整个复平面上解析，其泰勒级数为：
f (z) 1 1 z2 1 z4 1 z6 3! 5! 7!
例
2.
在 z0
1的邻域上把函数
f (z)
1 (z 1)( z 2)
数学物理方法1课件——第三章 解析函数的幂级数展开
级数收敛的充分必要条件，也称柯西收敛判据。
定理二：收敛的充分必要条件（2）
∞
∑ 设wn = un + ivn (n = 0,1, 2...) 则级数 wn 收敛的充分必
∞
∞
n=0
∑ ∑ 要条件是 un 和 vn 都收敛，其中un和vn都是实数。
n=0
n=0
定理三：收敛的必要条件
n+ p
∑ 对于 wn+1 + wn+2 + ... + wn+ p =
代换运算：
∞
∑ 当 z < R 时，f (z) = an zn , n=0
又当 z < R 时，g(z)解析，且 g ( z) < r
则，当 z < R时，
f
⎡⎣ g
( z)⎤⎦
=
∞
∑ an
⎡⎣g ( z )⎤⎦n
n=0
§ 3.3 泰勒级数展开
幂级数的和函数是一个解析函数。
定理四：绝对收敛级数重排序不改变其和
| w1 | + | w2 | + | w3 | + | w4 | + | w5 | + =| w1 | + | w3 | + | w2 | + | w5 | + | w4 | +
2. 复变函数项级数
∞
∑ wk (z) = w0 (z) + w1(z) + .... + wk (z) + .....
n=0
x < 1 时收敛，而当 x ≥ 1 时发散。因此收敛域为 (-1,1)
柯西一致收敛准则（充分必要条件）：
数学物理方法-复变函数-第三章-幂级数
收敛域
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
数学物理方法 第三章 幂级数展开
wuxia@
y
∞ 1 1 1 1 1 ∞ 1 例： ∑ Re z ⋅ 2k = ∑ x ⋅ 2k = x ∑ 2k k =1 k =1 k =1 ∞
i D1 D2
1 n+ p 1 1 2 若级数收敛，则∀ε > 0, 要求 | ∑ k |< ε o x x k = n +1 2 N与x有关，当x → 0时，N (ε , x) → ∞, 在D1上找不到最大的N， D1上收敛但不一致。 D 2上，x > 1, ∃N (ε ,1), D 2上一致收敛，
上次课复习
柯西Cauchy定理
单连区域柯西定理：
如果函数f(z)在闭单通区域B上解析，则沿B上的 任一分段光滑闭合曲线l，有
∫ f ( z )dz = 0
l
复通区域柯西定理：
如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则
∫ f ( z )dz + ∑ ∫
l i =1
n
li
f ( z )dz = 0
wuxia@
k +1 1 k 1
ak +1 1 = lim | | R1 = R1 < 1 k →∞ ak R
wuxia@
k =1
收敛，则幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛。
例1：求幂级数1 + t + t 2 + ⋯ + t k + ⋯的收敛圆，t为复变数。 解： ak ak = 1, R = lim | |= 1 k →∞ a k +1 收敛圆以t = 0为圆心，R = 1,圆内表示为 | t |< 1 说明： 其实，本例是几何级数，公比为t， t k = 1 + t + t 2 + ⋯ + t n ∑
y
∞ 1 1 1 1 1 ∞ 1 例： ∑ Re z ⋅ 2k = ∑ x ⋅ 2k = x ∑ 2k k =1 k =1 k =1 ∞
i D1 D2
1 n+ p 1 1 2 若级数收敛，则∀ε > 0, 要求 | ∑ k |< ε o x x k = n +1 2 N与x有关，当x → 0时，N (ε , x) → ∞, 在D1上找不到最大的N， D1上收敛但不一致。 D 2上，x > 1, ∃N (ε ,1), D 2上一致收敛，
上次课复习
柯西Cauchy定理
单连区域柯西定理：
如果函数f(z)在闭单通区域B上解析，则沿B上的 任一分段光滑闭合曲线l，有
∫ f ( z )dz = 0
l
复通区域柯西定理：
如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则
∫ f ( z )dz + ∑ ∫
l i =1
n
li
f ( z )dz = 0
wuxia@
k +1 1 k 1
ak +1 1 = lim | | R1 = R1 < 1 k →∞ ak R
wuxia@
k =1
收敛，则幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛。
例1：求幂级数1 + t + t 2 + ⋯ + t k + ⋯的收敛圆，t为复变数。 解： ak ak = 1, R = lim | |= 1 k →∞ a k +1 收敛圆以t = 0为圆心，R = 1,圆内表示为 | t |< 1 说明： 其实，本例是几何级数，公比为t， t k = 1 + t + t 2 + ⋯ + t n ∑
数学物理方法3幂级数展开
的称为复数项级数，其中 wk uk是复ivk数。
2 部分和 级数前面n项的和
n
n
n
sn wk uk i vk
k 0
k 0
k 0
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)有复数极限s
(3.1)
即若
lim
n
sn
s(
)
5
则称复数项级数(3.1)收敛于s,且称s为(3.1)的和,写成
s wn n1
级k 0数，因此可用正项级数的k 0 比值判别法和根式判别法确
16
定收敛半径 R。
(1) 比值判别法
lim
k
ak1(z z0 )k1 ak (z z0 )k
z z0
lim
k
ak 1 ak
r 1 r r 1
z z0
lim
k
ak 1 ak
1 即有: z z0
lim k
ak ak 1
n p
wn p wk k n1
(3) 绝对收敛定义
若 wk
u2 k
v2 k
收敛，则称
wk 绝对收敛
k 0
k 0
k 0
注1： 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不
改变其绝对收敛性,亦不改变其和.
注2： 级数 wk 绝对收敛的充分必要条件是实数项级数
k 0
uk 与 vk 都绝对收敛。
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
, z
所以当 z 1时级数收敛.
7
3.复数项级数收敛的条件
(1) 定理 级数 wn (un ivn ) 收敛的充要条件
n1
n1
un 和 vn 都收敛.
2 部分和 级数前面n项的和
n
n
n
sn wk uk i vk
k 0
k 0
k 0
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)有复数极限s
(3.1)
即若
lim
n
sn
s(
)
5
则称复数项级数(3.1)收敛于s,且称s为(3.1)的和,写成
s wn n1
级k 0数，因此可用正项级数的k 0 比值判别法和根式判别法确
16
定收敛半径 R。
(1) 比值判别法
lim
k
ak1(z z0 )k1 ak (z z0 )k
z z0
lim
k
ak 1 ak
r 1 r r 1
z z0
lim
k
ak 1 ak
1 即有: z z0
lim k
ak ak 1
n p
wn p wk k n1
(3) 绝对收敛定义
若 wk
u2 k
v2 k
收敛，则称
wk 绝对收敛
k 0
k 0
k 0
注1： 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不
改变其绝对收敛性,亦不改变其和.
注2： 级数 wk 绝对收敛的充分必要条件是实数项级数
k 0
uk 与 vk 都绝对收敛。
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
, z
所以当 z 1时级数收敛.
7
3.复数项级数收敛的条件
(1) 定理 级数 wn (un ivn ) 收敛的充要条件
n1
n1
un 和 vn 都收敛.
复变函数-幂级数
1 (5) 1 z z2 1 z ( 1)n z n ( 1)n z n , ( z 1)
n 0
,
数学学院
例3 解
求对数函数的主值 ln(1 z ) 在z=0点的Taylor级数.
1 1 z z 2 ( 1)n z n ( 1)n z n , 1 z n 0 n 1 2 1 3 ( 1) n1 ln(1 z ) z z z z , 2 3 n1 ( 1)n n1 ln(1 z ) z , ( z 1) n 1 n 0
( 1)
2! 3! ( 1)( n 1) n z , ( z 1) n!
z
( 1)( 2)
数学学院
例7
解
e 求 1 z 的麦克劳林展开式. 2 n z z 1 z 2 3 1 z z z , e 1 z 2! n! 1 z z2 2z 3 ez z 1 1 2! 3! 1 z 1 1 1 1 2! 3! 1 1 1 1 1 1 2! 1 3! 1 1 1 1 1 2! 3! 1 1 1 1 2! 1 3! 1 1 1 2! 3!
z
,
数学学院
例8
z 将函数 f ( z ) 在 z0 1 处展开 成Taylor级数， z 1
并指出该级数的收敛范围. 1 1 z 1 1 1 1 1 解 2 1 z 1 1 z 1 z 2 z 1 2 1 k z 1 k z 1 1 ( 1) ( ) 1 y 2 2 k 0 2
z z z
K n 1 0 0
f d
n
1 2 i
z z z
n 0
,
数学学院
例3 解
求对数函数的主值 ln(1 z ) 在z=0点的Taylor级数.
1 1 z z 2 ( 1)n z n ( 1)n z n , 1 z n 0 n 1 2 1 3 ( 1) n1 ln(1 z ) z z z z , 2 3 n1 ( 1)n n1 ln(1 z ) z , ( z 1) n 1 n 0
( 1)
2! 3! ( 1)( n 1) n z , ( z 1) n!
z
( 1)( 2)
数学学院
例7
解
e 求 1 z 的麦克劳林展开式. 2 n z z 1 z 2 3 1 z z z , e 1 z 2! n! 1 z z2 2z 3 ez z 1 1 2! 3! 1 z 1 1 1 1 2! 3! 1 1 1 1 1 1 2! 1 3! 1 1 1 1 1 2! 3! 1 1 1 1 2! 1 3! 1 1 1 2! 3!
z
,
数学学院
例8
z 将函数 f ( z ) 在 z0 1 处展开 成Taylor级数， z 1
并指出该级数的收敛范围. 1 1 z 1 1 1 1 1 解 2 1 z 1 1 z 1 z 2 z 1 2 1 k z 1 k z 1 1 ( 1) ( ) 1 y 2 2 k 0 2
z z z
K n 1 0 0
f d
n
1 2 i
z z z
复变函数-幂级数
1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱 尔（Auguste Leopold Crelle 1780-1856）。他与 斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用 数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包 括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。
1826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒 让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故事， 人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太腼腆， 不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然没有像克 莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的研究工作。 撰写了“关于一类极广泛的超越函数的一般性质”的 论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中， 非常自信地说：“...已确定在下个月的科学院例会上 宣读我的论文,由柯西审阅,恐怕还没有来
得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工 作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现 在正昂首以待...。”
可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉 里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦 萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之 下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5 月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在 旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿 贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（Christine Kemp）欢 度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗 争一边继续进行数学研究。
e,
故收敛半径 R 1 . e
例4 求 (1 i)n zn的收敛半径.
n0
解 因为 1 i 2(cos i sin )
4
4
cn (1 i)n (
2)n
e
n 4
i
;
i
2e 4 ,
lim cn1 n cn