刚体平面运动的动力学方程

2 vc 3 gh 3
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第七章 刚体力学
§7.5.4 滚动摩擦力偶矩
滚动摩擦发生的原因：是物体与接触面处的非弹 性形变引起. 设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变.
FN O
W
FN O FN W
FP
M滚 F
W FP
O
N
如图 FN 对质心产生反向力矩 ——滚动摩擦力矩M滚

1 mR 2 2
W
O F
1 F mg sin 3
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第七章 刚体力学 [例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均 停止转动. 前后轮相距L，与地面的摩擦因数为 .汽车质 心离地面高度为h，与前轮轴水平距离为l .求前后车轮对 地面的压力.
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第七章 刚体力学 [解] 汽车受力如图. 根据质心运动定理 y
FN1
y´
C
FN2
x´
F2
O
F1
x
W FN1 FN2 F F mac
y 轴投影
FN1 FN2 W 0
F1 FN1
F2 FN2
对质心轴的转动定理
( F1 F2 )h FN2 ( L l ) FN1l 0
1 1 2 2 A Δ ( mv I 外 2 c 2 c )
如果刚体不太大，若刚体在运动中只有保守力
作功，则系统的机械能也守恒.
1 1 2 E机 械 mghc mv c I c 2 2 2
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第七章 刚体力学
[例题1]如图，固定斜面倾角为 ，质量为 m 半径为 R
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转
动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动
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第七章 刚体力学
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 · 滑移矢量 (1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去. A
F F
平面运动 = 平动+定轴转动
1.求质心的运动 刚体作平面运动，受力必是平面力 F m a 根据质心运动定律 i c 直角坐标系中的分量式
(7.5.1)
F
ix
macx
F
iy
macy
Fi — 所有外力的矢量和,
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m — 刚体的质量.
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第七章 刚体力学 2. 刚体绕质心的转动 在质心系中刚体作定轴转动. 选质心坐标系 Cx’y’z’ ,设z’为过质心而垂直于固 定平面的轴. 在质心系中
´
0.010~0.018 0.018~0.020 0.035~0.050 0.100~0.250
结冰路面
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0.010~0.030
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第七章 刚体力学 滚动摩擦 << 滑动摩擦
M滚 FN F C
W
F' A
Ff
C
设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为 Ff r M滚 0 M滚 FN Ff F 联立得
与参考点的选择无关. 一般作用于刚体的力等效 于一作用线通过质心的力和一 力偶，这力的方向和大小与原 力相同，而力偶矩等于原力对 质心轴的力矩.
F1
m1
O
d r1 m2 F2 r2
r12
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第七章 刚体力学
§7.5.3 刚体平面运动的动能
动能
动能定理
1 1 2 Ek mv c I c 2 2 2
FN C
W
Ff
驱动轮
Ff
被动轮
M驱 Ffr M滚 0

r
FN
Ff ( M驱 M滚 ) / r M驱 / r
汽车牵引力
M驱 / r
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第七章 刚体力学
[例题4]桑塔纳汽车匀速行驶,汽车横截面积为 S=1.89m2,
空气阻力因数Cv=0.425. 发动机功率为P发=60kW,设经内 部传动机构能量损失10%,空气密度 =1.2258 N· s2/m4. 汽车行驶所受空气阻力 Ff 1 C v Sv 2 求汽车沿水平路 面行驶的最高速率vmax
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第七章 刚体力学
由上面方程可解出
FN1 mg( L l h) / L FN 2 mg( l h) / L
根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为
FN1、FN2 ，但方向向下.
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第七章 刚体力学
[例题3] 在例题1中，设圆柱体自静止开始滚下，求质
M 外i ' M 惯
dLz ' dt
M外i’ — 外力对质心的力矩, M惯 — 惯性力对质心力矩. 又 M惯= 0
dL'z d( I zc z ) I zc z dt dt
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M外i'
第七章 刚体力学
M外i' I zc z'
力学方程.
(7.5.2)
2
[解] 取发动机燃烧物以外的整个汽车为质点系 功 功率
A外 A内 0 P外 P内 0
P外= P发+滚动摩擦力偶矩功率+空气阻力功率P阻
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第七章 刚体力学 不计滚动摩擦力偶矩功率
1 3 P发 C v Svmax 0 2
vmax (2P发 / Cv S )1 / 3 1.7 102 km/h
M滚 FN
——摩擦因数，由实验测.
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第七章 刚体力学
M滚 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势，
从而产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速. 滚动阻力因数´
/ r,
r是轮半径.
表7.2常见汽车轮在几种典型路面上的´ 值 路面类型 良好的沥青或混凝土路面 一般的沥青或混凝土路面 坑洼的卵石路面 泥泞土路（雨季或解冻）
心下落高度 h 时，圆柱体质心的速率. [解] 因为是无滑滚动，静摩 擦力F 不做功，只有重力W 做功，机械能守恒.
1 1 1 2 mgh mv c ( mR 2 ) 2 2 2 2
x´ FN
W
x
y´
C
O
y

F
1 1 2 mv c mR 2 2 2 4
无滑滚动条件
vc R
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第七章 刚体力学
力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力. F1 F2 M力偶 r1 F1 r2 F2 (r1 r2 ) F1 r12 F1
大小
2.力偶和力偶矩
M力偶 r12 sin F Fd
F Ff

r
FN

r
W W
若滚子匀速平动
F FN W

表7.2与表3.2相比，有
F F
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第七章 刚体力学
§7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度
M来自百度文库驱 M滚
FN
Ff M驱 W
FN
C
F
F
M滚
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
B
力作质心轴的力矩使刚体产
生角加速度.
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第七章 刚体力学 (2) 施于刚体的力是滑移矢量 右图中,施于A点的力
F
C B
F ''
F´ 可用施于B点的力F´´
代替,即力可沿作用线滑移.
A
F'
作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线.
估算滚动摩擦力偶矩的功率 滚动摩擦力偶矩的功率 vW ,W为总车重 取 ' 0.01
vmax 1.7 102 km/h
得滚动摩擦力偶矩的功率 7.0 kW
影响最高速度的主要因素是空气阻力.
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的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的 加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力F . [解] 根据质心运动定理
FN W F mac
y
FR I
x´ FN C
x
y 轴上投影
y´
W sin F mac
对质心轴的转动定理 无滑滚动 ac R 2 ac g sin 3
第七章 刚体力学
§7.5 刚体平面运动的动力学
§7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程 §7.5.2 作用于刚体上的力 §7.5.3 刚体平面运动的动能 §7.5.4 滚动摩擦力偶矩 §7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度
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第七章 刚体力学
§7.5 刚体平面运动的动力学
§7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程