刚体平面运动的动力学方程

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第7.5节刚体平面运动的动力学

第7.5节刚体平面运动的动力学7.5.1 10m 搞得烟筒因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度。

设倾倒时底部未移动。

可近似认为烟筒为均质杆。

解：烟筒的长度l =10m 。

设烟筒上端到达地面的瞬间，烟筒绕其底部的转动角速度为ω。

在倾倒过程中，只受重力作用，做的功为：mg ⋅½l 。

由刚体定轴转动的动能定理：lgmlI I l mg 323122121=∴==⋅ωω烟筒上端到达地面时的线速度为：s m gl l v /2.17108.933≈⨯⨯===ω7.5.2 用四根质量各为m 长度各为l 的均质细杆制成正方形框架，可围绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点O 是光滑的．最初，框架处于静止且AB 边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB 边达到水平时，框架质心的线速度C v。

以及框架作用于支点的压力N ．解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量：框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。

每根细杆对其本身的质心轴的转动惯量：21210ml I =，细杆的质心与框架的质心的距离为l 21，由平行轴定理：2342210])([4ml l m I I c =⋅+⋅=再由平行轴定理，得框架对通过0点的转轴的转动惯量：237221)(4ml l m I I c =⋅+=(1)求框架质心的线速度v c框架在下摆过程中，只有重力做功，机械能守恒。

选取杆AB 达到水平时框架质心位置位势能零点，得：gll v l h m M I Mgh c lgc c 7321712212214===∴===ωωω（2）求框架对支点的压力N以框架为研究对象，它受到重力M g 和支点的支撑力N 的作用，由质心运动定理：c a M g M N =+取自然坐标系，τ沿水平方向，n 铅直向上，得投影方程：βτττc n c c n n Mh Ma N mgmg mg N mg l gl m h v M Ma Mg N n===+=⇒=⋅===-7372472421732744:ˆ:ˆ在铅直位置时，外力矩为0，故角加速度β=0，==〉N τ = 07.5.3 由长为l ，质量各为m 的均质细杆组成正方形框架，其中一角连于光滑水平转轴O ，转轴与框架所在平面垂直．最初，对角线OP 处于水平，然后从静止开始向下自由摆动．求OP 对角线与水平成450时P 点的速度，并求此时框架对支点的作用力．解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量：框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。

物理竞赛-刚体

选⊙为正
t
0
fR2dt
1 2
m2 R22 (2
20
)
—
—（2）
稳定后两轮边缘线速度大小相等：1R1 2R2 — —（3）
1
m1R110 m2 R220
(m1 m2 )R1
,2
m2 R220 m1R110
(m1 m2 )R2
例、有一长为l、质量为m的匀质细杆，置于光滑水平面上，可绕过中点O的光滑固定竖直轴转动，
5、车轮（圆柱体）的无滑滚动
若滚动车轮边缘上各点与支撑面接触的瞬时，与支撑面无相对滑动，则称车轮作无滑滚动（纯滚动）。
车轮（中心）前进的距离与
转过的角度的关系：
x r dx r d
dt dt
则
vC
r
dvC dt
r d
dt
或 aC r
——无滑滚动的条件
C vC
r
x
车轮上任一点的速度： v vC r
vC
v 2
同时，对C轴合外力矩为0，故角动量守恒：
mv
l 4
( J C杆
J C球
)
y
J C杆
1 12
ml2
m( l )2 4
7 48
m l（2 平行轴定理）
ml
J C球
m( l )2 4
6v
5l
碰且后系系统统以质心将6v以绕v质C 心v2轴向转右动运。动，
5l
C vC
m O
例12、光滑水平桌面上有一半径为R、质量为M的
（r— —该点相对质心C的位矢）
例1、求图示纯滚动中G、B、A相对支撑面的速度。
G点：vG vC rGC 0
▲对无滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触

刚体平面运动微分方程

刚体平面运动微分方程
一般来说，物体运动过程中都受到各种力的作用，此外，如果是连续体，由于运动而产生的声学变化也都会影响运动状态，因此就需要研究物体运动中力和声学变化之间的关系。

在力学分析中，相对论块集体动力学（Classical Dynamics）是最基本的物理系统，它描述了物体运动的微分方程，从而可以求出物体的运动状态。

平面运动动力学是指物体运动过程中的动力学分析，可以用来描述物体在平面上的运动状态，包括具体的位置、速度、加速度等。

可以使用牛顿第二定律将机械力和物体加速度联系起来，写成机械力和物体加速度的微分方程，它的形式为：
F=m·a，
其中F表示机械力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。

物体在平面上的运动还会受到一些拖拽力的影响，比如阻力和空气阻力等，如果将拖拽力也考虑在内，则可以将上述方程修正为：
其中b表示拖拽力，v表示物体运动状态时的速度。

此外，如果物体处于受到旋转力作用的情况下，则可以将其表述为：
F=m·a+b·v+c·(ω×r)，
其中c表示旋转抗力，ω表示旋转角速度，r表示物体圆心到物体某一点的距离。

由此可以得到物体平面运动的微分方程：
其中Δp表示物体加速度变化，F表示物体受到机械及其拖拽力和旋转抗力的作用。

从而可以根据上述微分方程，求出物体在平面上运动过程中的状态和性质，从而又可以了解物体在机械及其拖拽力和旋转抗力作用下，在平面上的运行状态。

刚体的平面运动

• 当f=0°时,vA与vBA 均垂直于OB连 • 线，vA与vBA也垂直于vB，按速度平行四 • 边形合成法则，应有 • vB＝0。
•当f=90°时，vA与vB方向一致， •vBA垂直于AB，其速度平行四边形应为一直线， •显然有 vB＝vA＝rw •而 vBA＝0。 •则此时杆AB的角速度wAB为零，
•
例1 曲柄连杆机构如图所示，OA=r，AB=1.73r。如曲柄OA以匀角速度w转动，求当f=60°、0°和 90°时点B的速度。 • 解：连杆AB作平面运动，以点A为基点，点B的速度为 • vB＝vA＋vBA
• 点B的速度为 vB＝vA＋vBA • 其中 vA＝rw，方向与OA垂直， • vB 沿OB方向， vBA与AB垂直。 • 可以作出其速度平行四边形。当f=60°时，由于AB=1.73OA，OA恰好与AB垂直，其速度平行四边形如图所示，解出 : vB＝vA/cos30°＝1.15rw
• • • •
单独轮子作平面运动时，可在轮心O′处固连一个平动坐标系x′o′y′，同样可把轮子这种较为复杂的平面运动分解为平动和转动两种简单运动。
一、研究平面运动的方法
• 1、动坐标系 • 对于任意的平面图形，可在图形上任取一点 O′为基点作为动系原点，建立跟随基点平动的坐标系x′o′y′。 • 于是平面图形S的绝对运动可看成是： • 跟随基点的平动和绕基点的转动的合成。

若图形上某点I vI＝0 ，选此点
为基点，则其它各点的速度

vB＝vI＋vBI＝vBI
• 2、瞬时速度中心 • ①定义：一般情况下，在每一瞬时，平面图形上 • 都唯一地存在一个速度为零的点。此点称为瞬时速度中心。

②证明：如果点M在vA的垂线AN上（由vA到AN的转向与图形的转向一致），由图中看出，vA和vMA 在同一直线，而方向相反，故vM 的大小为 vM=vA－w·AM

动力学3-刚体平面运动微分方程_2019

第7章取x为广义坐标
mx mg sin F
0 N mg cos
x R
质
1 mR2 FR
y
点
2
系
x
动力
x 2 g sin
3
O
学
F 1 mg sin
3
C A mg
N mg cos
N
F
x
第7章
质点系动力学
讨论:
0 F 1 mg sin 0
ml
2
YB
l 2
sin

XA
l 2
cos
(c)
第7章
质点系动力学
例1
解
m
l 2
(
cos

2
sin )

XA
(a)
m
l 2
(
sin

2
cos
)

YB

mg
(b)
1 ml2
12
YB
l 2
sin

XA
l 2
cos
(c)
将式(a)和(b)代入(c)：

3g 2l

C
yC B
x P xC
第7章
质点系动力学
解法三：动量矩定理
以A为矩心，动量矩定理：
J A

1 ml2
3

mg
1 2
l
以B为矩心，动量矩定理：
JB

1 ml2
3

mg
1l 2
TAl
求解

3g 2l

4.1 刚体平面运动-运动分解

刚体的平面运动-运动分解刚体的平面运动刚体在运动过程中，其上任意一点到某一固定平面的距离保持不变。

M NS A 1A 2 A若用一与固定平面M 平行的平面N 去截割刚体得平面图形S ，该平面图形S 始终在平面N 内运动。

垂直于图形S 的任一条直线A 1A 2作平动。

刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面内的运动。

研究刚体的平面运动研究平面图形的运动12()()A A x f t y f t ==刚体平面运动方程点A 、B 是平面图形上的任意两点，AB 位置确定，平面图形的位置也唯一确定。

3()f t φ= 由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形中的A 点固定不动，则刚体将作定轴转动；如果线段AB 的方位不变（即ϕ =常数），则刚体将作平动。

用什么方法研究刚体的平面运动？如果汽车沿直线行驶，车轮作平面运动。

建立动参考系x’o’y’,随车身一起平动。

轮相对轮心做转动刚体的平面运动分解为随平动参考系的平动（牵连运动）与绕基点的“定轴”转动（相对运动）。

SA ϕ x ' y ' O ' ϕ' 刚体的平面运动(绝对运动)随同基点的平动(牵连运动) 绕着基点的转动(相对运动) 刚体的平面运动分解与合成xy o S Aϕx ' y 'O ' 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）∆r A ≠ ∆r B ， v A ≠ v B ， a A ≠ a B—随基点的平动部分与基点的选择有关△ϕ1=△ϕ2=△ϕωA = ω B = ωαA = α B = α—绕基点的转动部分与基点的选择无关基点选择对运动分析有何影响？凡涉及到平面运动图形转动的角速度和角加速度时，不必强调基点，就是平面图形的绝对角速度和角加速度。

O ABθ ϕSA ϕ x ' y ' O ' ϕ' 刚体的平面运动(绝对运动)随同基点的平动(牵连运动) 绕着基点的转动(相对运动) 刚体的平面运动分解与合成xy o S Aϕx ' y 'O '思考题刚体的平动和定轴转动均是刚体平面运动的特例，对吗？有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）。

《理论力学》第八章刚体的平面运动

刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有连续性，即刚体上任意一点的运动轨迹都是连续的。
刚体的平面运动具有周期性，即刚体的运动轨迹可以是周期性的。
刚体的平面运动具有对称性，即刚体的运动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位于一个固定的圆周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。

第四章刚体的平面运动

vB = vA cot ϕ
vA vBA = sin ϕ
vBA vA ωAB = = l l sin ϕ
例2 如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为 ω=5rad/s。求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
解：1 、 BD作平面运动
2 2 vC = vB − vCB ≈1.299m s
方向沿BD杆向右
2、速度投影定理
由
r r r vB = vA + vBA
沿AB连线方向上投影
r r ( vB ) AB = ( vA ) AB
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。
例5 如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。求：此瞬时点E的速度。
由速度投影定理得
vB sin β = vC cos β
vC = vB tan β = rω0 tan β
圆轮瞬心在E 圆轮瞬心在E点
vA = vB = rω0
vC rω0 ωC = = tan β R R
§4-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
A ：基点
Ax ' y '
：平移坐标系
r r rt rn aB = ae + ar + ar r r rt rn aB = aA + aBA + aBA
va= vB
ve= vA
vr= vAB
r r r v =v +v
B A
BA

常见刚体运动的动力学分析方法

常见刚体运动的动力学分析方法刚体是指在运动过程中保持形状不变的物体，它的运动可以通过动力学分析方法来研究。

本文将介绍常见的刚体运动的动力学分析方法。

一、平面刚体运动的动力学分析方法在平面刚体运动中，刚体在平面上的运动可以分解为质心运动和绕质心的旋转运动。

常见的动力学分析方法包括线动量定理、角动量定理和动能定理。

1. 线动量定理线动量定理描述了刚体在平面上的线动量变化与合外力矩之间的关系。

根据线动量定理，刚体在一个时间间隔内的线动量变化等于作用在刚体上的合外力矩乘上时间间隔。

线动量定理的数学表达式为：Δp= ∑F⃗ ×Δt，其中Δp表示线动量的变化量，F⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。

2. 角动量定理角动量定理描述了刚体在平面上围绕质心旋转时的角动量变化与合外力矩之间的关系。

根据角动量定理，刚体在一个时间间隔内的角动量变化等于作用在刚体上的合外力矩乘上时间间隔。

角动量定理的数学表达式为：ΔL = ∑τ⃗ ×Δt，其中ΔL表示角动量的变化量，τ⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。

3. 动能定理动能定理描述了刚体在平面上的动能变化与合外力矩之间的关系。

根据动能定理，刚体在一个时间间隔内的动能变化等于作用在刚体上的合外力矩与刚体的质量乘积乘上时间间隔。

动能定理的数学表达式为：ΔE = ∑τ⃗ ×Δθ，其中ΔE表示动能的变化量，τ⃗表示合外力矩，Δθ表示角位移。

二、空间刚体运动的动力学分析方法在空间刚体运动中，刚体在三维空间上的运动可以分解为质心运动和绕质心的旋转运动。

常见的动力学分析方法包括动量矩定理、角动量矩定理和动能定理。

1. 动量矩定理动量矩定理描述了刚体在空间上的动量矩变化与合外力和合外力矩之间的关系。

根据动量矩定理，刚体在一个时间间隔内的动量矩变化等于作用在刚体上的合外力和合外力矩乘上时间间隔。

动量矩定理的数学表达式为：ΔL = ∑M⃗ ×Δt，其中ΔL表示动量矩的变化量，M⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。

刚体的运动方程

(欧勒运动学方程)
若：已知 ω 1 , ω 2 , ω 3
& & & 则：计算 ϕ , ψ , θ
讨论：对于对称陀螺，两个主轴可在平面 x1 x 2 上任意选取，则：取 ox1 沿oN方向 ⇒
& ψ =0& 于是有： ω Nhomakorabea = θ
& & & ω 2 = φ sin θ ω 3 = φ sin θ + ψ
又
rc
∑m r = ∑m
a a a
a a
=0
⇒ 则
∑m r
a
a a
=0
d & 0 + ∑ (ra × ma ra ) = ∑ ra × Fa 外 dt a a
⇒
d & ∑ (ra × mara ) = ∑ ra × Fa 外 dt a a
令
& L( o ) = ∑ ra × ma ra
a
M ( o ) = ∑ ra × Fae
ϕ ：刚体绕固定轴oz转过的角度——进动角； & ϕ ：进动角速度——沿oz方向
& ψ
ψ ：刚体绕 ox3 转过的角度——自转角；
：自转角速度——沿 ox3 方向。
ox θ ： 3 和oz间的夹角——章动角； θ& ：章动角速度——沿oN方向。
1． & 在 x1 x 2平面，在 θ 由图：
x1 , x 2 , x3 的分量 θ&1 , θ&2 , θ&3 。
dω d ' ω d 'ω = + ω×ω = [ ] dt dt dt
⇒
dv 0 & = w + a + 2ω × v + ω × r + ω × (ω × r ) dt

理论力学08_4刚体平面运动微分方程

6 刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可简化成刚体的平面图形S 在某一固定平面内的运动，用3个独立坐标描述。

作用在刚体上的外力可简化为S 平面内的一平面力系F i (=1, 2,…,n )。

设坐标系Oxy 为固定的惯性参考系，Cx ′ y ′为质心平移坐标系，如图8-6所示。

平面图形的运动可用质心坐标x C , y C 和绕质心的转动角ϕ描述。

刚体的绝对运动可分解成跟随质心的平移和相对质心平移坐标系的转动。

由动量定理所述，刚体跟随质心的平移仅与外力系的主矢有关，由质点系相对质心的动量矩定理可知，刚体相对质心平移坐标系的运动仅与外力系对质心的主矩有关。

于是，由式(8.1.11)可写出y C x C F ym F x m R R ,==&&&& (8.1.55) 式中m 为刚体的质量，F R x , F R y 分别是外力系的主矢在y x ,方向上的分量。

由式(8.1.54)在垂直于平面图形S 方向上的投影，可得Cz CzM tL =d d (8.1.56) 其中M Cz 是外力系对通过质心且垂直于平面图形S 的轴之矩的代数和。

而ϕ&C Cz J L =，J C 是刚体对于通过质心且垂直于平面图形S 的轴的转动惯量。

应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得到了三个动力学方程，给出了三个广义坐标x C , y C 和ϕ的封闭方程组，用以解决刚体的平面运动问题。

动力学方程组m (8.1.57)Cz C ni iy C n i ix C M J F ym F x ===∑∑==ϕ&&&&&&,,11称为刚体平面运动微分方程组。

给出相应的初始条件，例如，t ＝0时，刚体质心的位置分别为x C 0和y C 0，质心在初始时的速度分别为和，平面图形S 在初始时的角位移和角速度分别为ϕ0C x &0C y&0和0ϕ&。

物理-刚体平面运动动力学

一、刚体平面运动的动力学方程
【平面运动】刚体上各点均在平面ຫໍສະໝຸດ 运动，且这些平面均与一固定平面平行。
例：圆柱体沿直线路径的滚动。
一、刚体平面运动的动力学方程
刚体的平面运动可分解为
随质心的平动绕过质心且垂直于固定平面的轴的转动
ω C
一、刚体平面运动的动力学方程
1、质心的运动
——刚体的质量 ——合外力
2l
故有
N2
f
Wl Pl1 2l
cot
梯子不滑动的条件 f N1
Wl Pl1 cot (W P) 2l
线的垂直距离为l. 求: 质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力.
F l
ac
Rm
f
随堂练习
圆柱在竖直面内作平面运动。由质心运动定理：
F f maC
又由对质心轴的转动定理：
Fl fR 1 mR 2
2
纯滚动的运动学判据 aC R
以上三式联立，可解得
2F(R 3mR 2
l)；
f (R 2l) F 3R
则梯子的倾角？
Mq Ogf
x
随堂练习
设梯子不滑动时与地面的夹角为q， y N2 C
水平方向的力平衡： N 2 f 竖直方向的力平衡： N1 W P
为简化计算，取C为力矩的参考点，
2 fl sin Wl cos Pl1 cos
m g
l1 N1
Mq x
Ogf
解之得
f Wl Pl1 cot
由质心的运动定理决定
C
aC
——代表刚体作整体平移运动的加速度
一、刚体平面运动的动力学方程
对刚体的平面运动 y
在固定平面投影
Fx
m

7.5刚体平面运动的动力学方程

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第七章刚体力学
力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力. F1 F2 M 力偶 r1 F1 r2 F2 ( r1 r2 ) F1 r12 F1
大小
2.力偶和力偶矩
M力偶 r12 sin Fd
表7.2与表3.2相比，有

F F
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第七章刚体力学
§7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度
FN
M滚驱 M滚
Ff M驱 W
FN
C
F
F
M滚
FN C
W F f
驱动轮
Ff
被动轮
M 驱 Ffr M 滚 0
平面运动 = 平动+定轴转动
1.求质心的运动刚体作平面运动，受力必是平面力根据质心运动定律 Fi m ac 直角坐标系中的分量式
(7.5.1)
F
ix
ma cx
F
iy
ma cy
Fi — 所有外力的矢量和,
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m — 刚体的质量.
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第七章刚体力学 2. 刚体绕质心的转动在质心系中刚体作定轴转动. 选质心坐标系 Cx’y’z’ ,设z’为过质心而垂直于固定平面的轴. 在质心系中
的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力F . [解] 根据质心运动定理 FN W F mac y 轴上投影
x´ FN C
x
y´ y
W sin F ma c
对质心轴的转动定理无滑滚动 ac R 2 ac g sin 3

大学物理课件理论力学第六章刚体的平面运动

刚体运动时，其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变．也就是说，刚体上任一点都在与某固定平面平行的平面内运动．这种运动称为刚体的平面运动．
2
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动．
注意：（1）平面运动刚体内各点的运动是不同的；（2）不能把平面运动与平动混为一谈。
3
请看动画
4
二、刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动
A1A2作平动 A点代表A1A2的运动．．．．．． S代表刚体的运动
因此，在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度．
5
三．运动方程
为了确定平面图形的运动，取静系Oxy，在图形上任取一点O’（称为基点），并取任一线段O’A，只要确定了O’A的位
平面图形的运动可以看成是绕它的一系列速度瞬心作瞬时转动。注意：速度瞬心的加速度不为于零。 4．确定速度瞬心位置的方法
①已知图形上一点的速度vA 和图形角
速度，则速度瞬心
AI vA / , AI vA 且I在 vA顺转向绕A点转90º的方向一侧。
②已知一平面图形在固定面上作无滑动的
滚动（或称纯滚动）, 则图形与固定面的接触点I为速度瞬心。
18
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直．
此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角
速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称
为瞬时平动. (此时各点的加速度不相等)
对④(a)的情况，若vA＝vB，也是瞬时平动．
19
例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动．

刚体的定轴转动和平面运动微分方程

（c）
（d）
（e）
二、刚体的平面运动微分方程
应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，可建立起刚体平面运
动微分方程，研究刚体平面运动的动力学问题。
设刚体具有质量对称平面，在该平面内受到平面力系
F1(e) ，F2(e) ，F3(e) ，，Fn(e) 的作用，刚体将在该平面内运动。
根据运动学，平面运动可分解为随基点的平动
（e）
（4）根据刚体平面运动微分方程，可得
maCx FB
（f）
maCx FA mg
（g）
J C FAl cos FB l sin
（h）
将式（d）、式（e）分别代入式（f）、式（g）得
FB m( 2l cos l sin )
（i）
FA mg m( 2l sin l cos )
由于轴承 A ，B 处的约束力的对于 z 轴的力矩
等于零，根据刚体对 z 轴的动量矩定理，有
dLz
M z ( F (e) )
dt
d
J z M z ( F (e) )
dt
图10-18
或
J z M z ( F (e) )
（10-24）
d2
J z 2 M z ( F (e) )
n
MaC F (e)

d
(e)
( J C ) M C (F )
dt
图10-21
式中，M为刚体的质量；J 为刚体对质心C的转动惯量。
将上面第一式写成投影的形式，并注意到
C
d 2 xC
d 2 yC
d
aCx 2 ，aC y 2 ，

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第七章刚体力学 [解] 汽车受力如图. 根据质心运动定理 y
FN1
y´
C
FN2
x´
F2
O
F1
x
W FN1 FN2 F F mac
y 轴投影
FN1 FN2 W 0
F1 FN1
F2 FN2
对质心轴的转动定理
( F1 F2 )h FN2 ( L l ) FN1l 0
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转
动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动
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第七章刚体力学
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 · 滑移矢量 (1) 施于刚体的力的特点施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去. A
F F
心下落高度 h 时，圆柱体质心的速率. [解] 因为是无滑滚动，静摩擦力F 不做功，只有重力W 做功，机械能守恒.
1 1 1 2 mgh mv c ( mR 2 ) 2 2 2 2
x´ FN
W
x
y´
C
O
y

F
1 1 2 mv c mR 2 2 2 4
无滑滚动条件
vc R
与参考点的选择无关. 一般作用于刚体的力等效于一作用线通过质心的力和一力偶，这力的方向和大小与原力相同，而力偶矩等于原力对质心轴的力矩.
F1
m1
O
d r1 m2 F2 r2
r12
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第七章刚体力学
§7.5.3 刚体平面运动的动能
动能
动能定理
1 1 2 Ek mv c I c 2 2 2
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第七章刚体力学
由上面方程可解出
FN1 mg( L l h) / L FN 2 mg( l h) / L
根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为
FN1、FN2 ，但方向向下.
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第七章刚体力学
[例题3] 在例题1中，设圆柱体自静止开始滚下，求质
2
[解] 取发动机燃烧物以外的整个汽车为质点系功功率
A外 A内 0 P外 P内 0
P外= P发+滚动摩擦力偶矩功率+空气阻力功率P阻
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第七章刚体力学不计滚动摩擦力偶矩功率
1 3 P发 C v Svmax 0 2
vmax (2P发 / Cv S )1 / 3 1.7 102 km/h
M 外i ' M 惯
dLz ' dt
M外i’ — 外力对质心的力矩, M惯 — 惯性力对质心力矩. 又 M惯= 0
dL'z d( I zc z ) I zc z dt dt
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M外i'
第七章刚体力学
M外i' I zc z'
力学方程.
(7.5.2)
第七章刚体力学
§7.5 刚体平面运动的动力学
§7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程 §7.5.2 作用于刚体上的力 §7.5.3 刚体平面运动的动能 §7.5.4 滚动摩擦力偶矩 §7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度
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第七章刚体力学
§7.5 刚体平面运动的动力学
§7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程
的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力F . [解] 根据质心运动定理
FN W F mac
y
FR I
x´ FN C
x
y 轴上投影
y´
W sin F mac
对质心轴的转动定理无滑滚动 ac R 2 ac g sin 3
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第七章刚体力学
力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力. F1 F2 M力偶 r1 F1 r2 F2 (r1 r2 ) F1 r12 F1
大小
2.力偶和力偶矩
M力偶 r12 sin F Fd

1 mR 2 2
W
O F
1 F mg sin 3
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第七章刚体力学 [例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均停止转动. 前后轮相距L，与地面的摩擦因数为 .汽车质心离地面高度为h，与前轮轴水平距离为l .求前后车轮对地面的压力.
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1 1 2 2 A Δ ( mv I 外 2 c 2 c )
如果刚体不太大，若刚体在运动中只有保守力
作功，则系统的机械能也守恒.
1 1 2 E机械 mghc mv c I c 2 2 2
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第七章刚体力学
[例题1]如图，固定斜面倾角为，质量为 m 半径为 R
估算滚动摩擦力偶矩的功率滚动摩擦力偶矩的功率 vW ,W为总车重取 ' 0.01
vmax 1.7 102 km/h
得滚动摩擦力偶矩的功率 7.0 kW
影响最高速度的主要因素是空气阻力.
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平面运动 = 平动+定轴转动
1.求质心的运动刚体作平面运动，受力必是平面力 F m a 根据质心运动定律 i c 直角坐标系中的分量式
பைடு நூலகம்
(7.5.1)
F
ix
macx
F
iy
macy
Fi — 所有外力的矢量和,
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m — 刚体的质量.
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第七章刚体力学 2. 刚体绕质心的转动在质心系中刚体作定轴转动. 选质心坐标系 Cx’y’z’ ,设z’为过质心而垂直于固定平面的轴. 在质心系中
作用力通过质心，对质心轴上的力矩为零，使刚体产生平动.
B
力作质心轴的力矩使刚体产
生角加速度.
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第七章刚体力学 (2) 施于刚体的力是滑移矢量右图中,施于A点的力
F
C B
F ''
F´ 可用施于B点的力F´´
代替,即力可沿作用线滑移.
A
F'
作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线.
2 vc 3 gh 3
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第七章刚体力学
§7.5.4 滚动摩擦力偶矩
滚动摩擦发生的原因：是物体与接触面处的非弹性形变引起. 设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变.
FN O
W
FN O FN W
FP
M滚 F
W FP
O
N
如图 FN 对质心产生反向力矩 ——滚动摩擦力矩M滚
FN C
W
Ff
驱动轮
Ff
被动轮
M驱 Ffr M滚 0

r
FN
Ff ( M驱 M滚 ) / r M驱 / r
汽车牵引力
M驱 / r
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第七章刚体力学
[例题4]桑塔纳汽车匀速行驶,汽车横截面积为 S=1.89m2,
空气阻力因数Cv=0.425. 发动机功率为P发=60kW,设经内部传动机构能量损失10%,空气密度 =1.2258 N· s2/m4. 汽车行驶所受空气阻力 Ff 1 C v Sv 2 求汽车沿水平路面行驶的最高速率vmax
´
0.010~0.018 0.018~0.020 0.035~0.050 0.100~0.250
结冰路面
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0.010~0.030
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第七章刚体力学滚动摩擦 << 滑动摩擦
M滚 FN F C
W
F' A
Ff
C
设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为 Ff r M滚 0 M滚 FN Ff F 联立得
M滚 FN
——摩擦因数，由实验测.
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第七章刚体力学
M滚使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势，
从而产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速. 滚动阻力因数´
/ r,
r是轮半径.
表7.2常见汽车轮在几种典型路面上的´ 值路面类型良好的沥青或混凝土路面一般的沥青或混凝土路面坑洼的卵石路面泥泞土路（雨季或解冻）
F Ff

r
FN

r
W W
若滚子匀速平动
F FN W

表7.2与表3.2相比，有
F F
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第七章刚体力学
§7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度
M滚驱 M滚
FN
Ff M驱 W
FN
C
F
F
M滚