3第三章 命题逻辑的推理理论PPT课件
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逻辑学-性质命题及其推理.ppt
命题与判断
判断是对事物情况有所断定（肯定或否定）的思 维形式，是被断定了的命题。 命题是对事物情况的陈述，而判断带有主体断定 的性质，有的还带有情感色彩。
命题和语句
命题与语句之间的关系： 1、只有陈述句、由“是”构成的判断句、疑问句中的反 问句表达命题。
逻辑学没有阶级性。 命题是表达判断的语句。 逻辑学难道有阶级性吗？
有S不是P。 所有S是P。 如果p，则q。 只有p，才q。 或者p，或者q。
SOP SAP p→q p←q p∨q
命题的种类
本身是否 包含其他命题
命题-----------→①简单命题 ②复合命题 简单命题是本身不包含其他命题命题，其变项是 概念。
命题的种类
复合命题是本身包含其他命题的命题，其变项是 命题。 组成复合命题的命题叫肢命题。 联结肢命题构成复合命题的概念叫联结词。 复合命题的不同类型和逻辑性质由联结词决定。
性质命题的类型
模态 性质命题------→实然命题 或然命题 必然命题
模态----反映客观事物之间及事物与其属性之间联系的程 度。 ①实然命题——反映对象事实上具有或不具有某种性质的 命题。其主、谓项间的联系是现实性的，表明某性质是对 象确实具有或不具有的，反映人们确实性的认识。联项一 般用“是（不是） ”、“确实是（不是）”。S（确实） 是（不是）P。
A 差 等 关 系 I
反对关系 矛 盾 盾 矛 系 关 关 系
E 差 等 关 系 O
下反对关系
A、E、I、O间的对当关系
1、A—E:反对关系——不能同真，可以同假。 2、A—O、E—I：矛盾关系——不能同真，不能同假。 3、I—O:下反对关系——不能同假，可以同真。 4、A—I、E—O：差等关系——可以同真，可以同假。 （全称真，特称必真；特称假，全称必假。) 5、单称肯定命题与单称否定命题间是矛盾关系，而不是 反对关系。
离散数学课件03命题逻辑的推理理论
((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
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由定理 3.1可知， 推理正确。
15
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B)
附加律
(2) (A∧B) A
化简律
(3) (A→B)∧A B
假言推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A
拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
析取三段论
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
假言三段论
(7) (AB) ∧ (BC) (A C)
等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B
构造性二难 构造性二难
(特殊形式)
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐精D选)课件pp(t ┐A∨┐C) 破坏性二难16
只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
推理正确，并不能保证结论B一定为真。
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8
例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
正确 不正确
p q p(p→q) q p(q→p)
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
证明是描述推理正确或错误的过程。
要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或 正确的。
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4
命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
命题逻辑的推理理论课件(离散数学)
21
一、自然推理系统P
自然推理系统P由三个部分组成：
1.
字母表：命题变项符号；联结词符号；括
号和逗号。
2.
命题公式。
3.
推理规则。
22
二、推理规则
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB (6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
30
四、附加前提证明法
例6：用附加前提证明法构造证明下面的推
理： 2是素数或合数。若2是素数，则 2 是 无理数。若 2 是无理数，则4不是素数。所 以，如果4是素数，则2是合数。
31
四、附加前提证明法
解： 设 p：2是素数， q：2是合数，
r： 2 是无理数，s：4是素数 推理形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
40
五、归谬法
解：命题符号化
p：小张守第一垒 q：小李向B队投球
r：A队取胜
s：A队成为联赛第一名
推理的形式结构如下：
( p q ) r , r s , s , p 结论： q
前提：
41
五、归谬法
证一：归谬法（略） 证二：直接法 ① r s 前提引入
② s
③r
前提引入
5
前提是有限个公式的集合，而不是序列 。
二、推理的有效性
A1A2… Ak
0 0
B
0 1
推理的有效性 有效 有效
1
1
0
有效
无效
6
二、推理的有效性
定义：若对于每组赋值，当 A1A2…Ak
一、自然推理系统P
自然推理系统P由三个部分组成：
1.
字母表：命题变项符号；联结词符号；括
号和逗号。
2.
命题公式。
3.
推理规则。
22
二、推理规则
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB (6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
30
四、附加前提证明法
例6：用附加前提证明法构造证明下面的推
理： 2是素数或合数。若2是素数，则 2 是 无理数。若 2 是无理数，则4不是素数。所 以，如果4是素数，则2是合数。
31
四、附加前提证明法
解： 设 p：2是素数， q：2是合数，
r： 2 是无理数，s：4是素数 推理形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
40
五、归谬法
解：命题符号化
p：小张守第一垒 q：小李向B队投球
r：A队取胜
s：A队成为联赛第一名
推理的形式结构如下：
( p q ) r , r s , s , p 结论： q
前提：
41
五、归谬法
证一：归谬法（略） 证二：直接法 ① r s 前提引入
② s
③r
前提引入
5
前提是有限个公式的集合，而不是序列 。
二、推理的有效性
A1A2… Ak
0 0
B
0 1
推理的有效性 有效 有效
1
1
0
有效
无效
6
二、推理的有效性
定义：若对于每组赋值，当 A1A2…Ak
形式逻辑 第三章 简单命题及其推理(上) 教学PPT课件
▪ 命题是表达判断的语句。
▪ 判断是对思维对象有所断定（肯定或否定）的一种思维形式。
【例1】辩证唯物主义和历史唯物主义是无产阶级的世界观。
【例2】历史决不是少数帝王将相的历史。
▪ 识别一个语句是否表达判断、是否为命题的最基本的标准是
判断的两个基本逻辑特征：
——对思维对象总是有所肯定或有所否定
——任何判断都是或真或假的
【例1】“所有正义的事业都是不可战胜的。”
【例2】“所有被子植物都不是裸子植物。”
3、按质和量的不同结合，将性质命题分为六种
【例1】“中华人民共和国是社会主义国家。”
单称肯定命题：断定某一个别事物具有某种性质的命题。
【例2】“黄河不是我国最长的河流。”
单称否定命题：断定某一个别事物不具有某种性质的命题。
无论谓项P具体代表什么：
▪ 肯定命题“所有（有的）S是P”只是断定了某个数量的
S“是P”，没有具体说明究竟是全部的P还是部分的P，
根据逻辑上通常采取的“从弱原则”，P在其中总是不周
延的。
▪ 否定命题“所有（有的）S不是P”断定了某个数量的
S“不是P”，那么P也一定不是这个数量的S，即把所有
的P都排除在了这些S之外，所以，P在其中是周延的。
特称否定命题：断定一类事物中有对象不具有某种性质的命题。
▪ 特称量项“有些”与“有些”一词的日常用法（“仅仅有些”）有
所不同。
▪ 在逻辑上，特称量项“有些”指“至少有一个”或“存在……”，现
代逻辑中又称“存在命题”；只断定某一类事物中有对象具有或不
具有某种性质，没有表示这一类事物中未被断定的对象情况如何。
就主项说，全称命题是周延的，特称命题是不周延的；就谓
项说，否定命题是周延的，肯定命题是不周延的。
▪ 判断是对思维对象有所断定（肯定或否定）的一种思维形式。
【例1】辩证唯物主义和历史唯物主义是无产阶级的世界观。
【例2】历史决不是少数帝王将相的历史。
▪ 识别一个语句是否表达判断、是否为命题的最基本的标准是
判断的两个基本逻辑特征：
——对思维对象总是有所肯定或有所否定
——任何判断都是或真或假的
【例1】“所有正义的事业都是不可战胜的。”
【例2】“所有被子植物都不是裸子植物。”
3、按质和量的不同结合，将性质命题分为六种
【例1】“中华人民共和国是社会主义国家。”
单称肯定命题：断定某一个别事物具有某种性质的命题。
【例2】“黄河不是我国最长的河流。”
单称否定命题：断定某一个别事物不具有某种性质的命题。
无论谓项P具体代表什么：
▪ 肯定命题“所有（有的）S是P”只是断定了某个数量的
S“是P”，没有具体说明究竟是全部的P还是部分的P，
根据逻辑上通常采取的“从弱原则”，P在其中总是不周
延的。
▪ 否定命题“所有（有的）S不是P”断定了某个数量的
S“不是P”，那么P也一定不是这个数量的S，即把所有
的P都排除在了这些S之外，所以，P在其中是周延的。
特称否定命题：断定一类事物中有对象不具有某种性质的命题。
▪ 特称量项“有些”与“有些”一词的日常用法（“仅仅有些”）有
所不同。
▪ 在逻辑上，特称量项“有些”指“至少有一个”或“存在……”，现
代逻辑中又称“存在命题”；只断定某一类事物中有对象具有或不
具有某种性质，没有表示这一类事物中未被断定的对象情况如何。
就主项说，全称命题是周延的，特称命题是不周延的；就谓
项说，否定命题是周延的，肯定命题是不周延的。
离散数学课件-3-命题逻辑的推理理论
第三章 命题逻辑的推理理论§1 推理的形式结构推理：从前提出发推出结论的思维过程。
前提：已知命题公式集合。
结论：从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
定义设A1, A2, …, A k, B都是命题公式，若命题公式A1∧A2∧…∧A k→B是重言式，则称由前提A1, A2, …, A k推出结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。
推理的形式结构记为{A1,A2,…,A k}A B推理正确，记为{ A1,A2,…,A k }⊨B推理无效，记为{ A1,A2,…,A k }⊭B注①推理正确，结论未必为真。
②推理只注重结构。
例判断下述推理的正确性。
(1) {p, p→q}⊢ q(2) {p, q→p}⊢ q解 (1) p∧(p→q)→q⇔p∧(¬p∨q)→q⇔(p∧¬p)∨(p∧q)→q⇔p∧q→q⇔¬ (p∧q)∨q⇔¬p∨(¬q∨q)⇔¬p∨1⇔1故{p, p→q }⊨ q(2) p∧(q→p)→q让q =0，可得q→p =1，再取p =1可得p∧(q→p)=1 由此得p∧(q→p)→q有成假赋值1 0，故{ p, q→p }⊭ q判断推理正确性：1．真值表法。
2．等值演算法。
3．主析取范式法。
4．构造证明。
例判断下述推理是否正确？（1）若a能被4整除，则a能被2整除。
a能被4整除。
所以a能被2整除。
（2）若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳。
若她去游泳，则她就不去看电影了。
所以，若王小燕没去看电影，则下午气温必超过了30℃。
解(1) p：a能被4整除q：a能被2整除前提：p→q，p结论：q推理的形式结构：{p→q，p} A q前面已证此推理正确。
(2) p：下午气温超过30℃q：王小燕去游泳r：王小燕去看电影前提：p→q, q→¬r结论：¬ r→p推理的形式结构：{p→q，q→¬r} A(¬r→p)因为，(p→q)∧(q→¬ r)→(¬r→p)⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7主析取范式显然不是重言式，故推理不正确。
3第三章 命题逻辑的推理理论
从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 语义(semantics)推理注重内涵的正确性 也就是从真 语义(semantics)推理注重内涵的正确性, 也就是从真 推理注重内涵的正确性, 要推出真的结论来, 的前提出发要推出真的结论来 推理过程考虑得少, 的前提出发要推出真的结论来, 推理过程考虑得少,关 心的是结论的正确性。 心的是结论的正确性。 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 则注重形式上的有效 合某些事先规定的逻辑规则, 结论是严格遵循规则 合某些事先规定的逻辑规则, 若结论是严格遵循规则 有效的 得到的, 那便是有效 得到的, 那便是有效的。 数理逻辑主要采用语法推理, 数理逻辑主要采用语法推理, 它关心的是结论的有效 不关心前提的实际真值, 性，而不关心前提的实际真值, 当然语法推理作为一 种推理方法, 种推理方法, 它必须能反映客观事物中真实存在的逻 辑关系, 语法推理必须保证语义上的正确性 必须保证语义上的正确性。 辑关系, 即 语法推理必须保证语义上的正确性。
3、2.1节给出的24个等值式中的每个都可以 2.1节给出的 个等值式中的每个都可以 节给出的24 派生出两条推理定律。 派生出两条推理定律。 例如：双重否定律 A⇔¬¬A ⇔¬¬A 例如： 可以产生两条推理定律 A⇒¬¬A ¬¬A ¬¬A ¬¬A ⇒A
§3.2 自然推理系统P 自然推理系统P
由上一节知识可知，可以利用真值表法、等值演算法 由上一节知识可知，可以利用真值表法、 真值表法 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 三种方法来判断推理是否正确 但是，当推理中包含的命题变项较多时，以上三种 命题变项较多时 但是，当推理中包含的命题变项较多 方法的演算量太大。因此对于由前提A1, A2,…,Ak推 方法的演算量太大。因此对于由前提A B的正确推理应给出严谨的证明。 正确推理应给出严谨的证明。 证明是一个描述推理过程的命题公式序列， 证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每 是一个描述推理过程的命题公式序列 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 已知前提或者是 到的结论。 到的结论。
命题逻辑的推理理论
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实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
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说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
课件
构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
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实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
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说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
课件
构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
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命题逻辑ppt课件
联结词的优先顺序为：, , , , ; 1:如果出现的联结词同级，又无括号时，则按
从左到右的顺序运算; 2:若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.
注意: 本书中使用的 括号全为圆括号（）.
20
2.2 命题公式
▪ 命题变项与合式公式 ▪ 公式的赋值 ▪ 真值表 ▪ 命题的分类
重言式 矛盾式 可满足式
17
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
否则非 可以理解为 才 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件 见课本中注意的两点事项
15
例 设 p:天冷，q:小王穿羽绒服，
将下列命题符号化
(1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷. (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服. (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候.
可满足式定义 6:真值表定义及构造步骤
31
随堂练习
1：写出命题、简单命题的定义。 2：用符号定义五个联结词及其各自取值情况。 3：写出蕴涵式的定义，分析前件与后件的关系，
列出对应的语言表达形式。 4：写出遇到析取联结词二义性时的判断方式及对应
符号表示。 5：列出下面公式的真值表，说明各公式的层次
从左到右的顺序运算; 2:若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.
注意: 本书中使用的 括号全为圆括号（）.
20
2.2 命题公式
▪ 命题变项与合式公式 ▪ 公式的赋值 ▪ 真值表 ▪ 命题的分类
重言式 矛盾式 可满足式
17
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
否则非 可以理解为 才 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件 见课本中注意的两点事项
15
例 设 p:天冷，q:小王穿羽绒服，
将下列命题符号化
(1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷. (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服. (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候.
可满足式定义 6:真值表定义及构造步骤
31
随堂练习
1：写出命题、简单命题的定义。 2：用符号定义五个联结词及其各自取值情况。 3：写出蕴涵式的定义，分析前件与后件的关系，
列出对应的语言表达形式。 4：写出遇到析取联结词二义性时的判断方式及对应
符号表示。 5：列出下面公式的真值表，说明各公式的层次
03命题逻辑的推理理论 ppt课件
2020/12/27
15
推理的形式结构
(1) 设={ A1, A2, …, Ak}，记为┣B。
(2) A1A2…AkB
(3)
前提： 结论：
A1, B
A2,
…
, Ak
说明 当推理正确时， 形式（1）记为 ╞ B。
形式（2）记为A1A2…AkB。 表示蕴涵式为重言式。
2020/12/27
16
判断有效结论的常用方法
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
前提引入
⑤q
前提引入
⑥ p∧q
③⑤合取
⑦r
④⑥假言推理
2020/12/27
34
例题
例3.6 在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队 未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名 ；小张守第一垒。因此，小李没有向B队投球。
构造证明：
2020/12/27
24
自然推理系统的定义
（7）拒取式规则
AB B A
（8） 假言三段论规则
AB BC AC
（9）析取三段论规则
AB B A
2020/12/27
25
自然推理系统的定义
（10）构造性二难推理规则
AB CD AC BD
（11）破坏性二难推理规则
AB CD BD AC
命题逻辑 PPT课件
• 课堂练习 习题3.1 1, 2.
小结
命题的概念 命题的真值
原子命题与复合命题 逻辑常量与逻辑变量
第3章 命题逻辑
3.2 逻辑联结词
本讲内容
1 2
p, pq, pq
pq, pq, pq
pq, pq, p q
n
3
3.2 逻辑联结词
• 逻辑联结词就是逻辑运算:
– 复合命题是由原子命题构成的, 它需要联结词. – 给定了原子命题, 使用逻辑联结词可以构成复 合命题.
第3章 命题逻辑
3.1 命题的有关概念来自本讲内容1 2
3
什么是命题 命题的真值
原子命题与复合命题
逻辑常量与逻辑变量
4
• 命题之间的
逻辑关系
• 还有些什么关系?
– 认知关系: 我知道… – 偏好关系: 他喜欢… – ……
Chapter 3 命题逻辑
• 逻辑学是研究思维形式及思维规律尤其是 推理的学科.
• 3. 原子命题与复合命题
• 若一个命题不包含有更小的命题, 则称其为原子命 题(atom){当时认为原子最小?}或简单命题, 否则称 为复合命题(compound proposition). 原子命题 是命题逻辑研究的基本单位, 区分原子命题在后面 命题的符号化时是很重要的.
• 通常用小写英文字母p, q, r, s,…或带下标p1, p2, p3, …等来表示原子命题, 如用p: 2 + 3 = 5, q: 今天 我们上课.
• 例3-1 判断下列语句是否是命题.
• (1) 辽宁舰是中国的第一首艘航空母舰. • (2) 我喜欢智能手机和平板电脑 . • (3) x > 3. • (4)立正！
• (5)这朵花真漂亮！
小结
命题的概念 命题的真值
原子命题与复合命题 逻辑常量与逻辑变量
第3章 命题逻辑
3.2 逻辑联结词
本讲内容
1 2
p, pq, pq
pq, pq, pq
pq, pq, p q
n
3
3.2 逻辑联结词
• 逻辑联结词就是逻辑运算:
– 复合命题是由原子命题构成的, 它需要联结词. – 给定了原子命题, 使用逻辑联结词可以构成复 合命题.
第3章 命题逻辑
3.1 命题的有关概念来自本讲内容1 2
3
什么是命题 命题的真值
原子命题与复合命题
逻辑常量与逻辑变量
4
• 命题之间的
逻辑关系
• 还有些什么关系?
– 认知关系: 我知道… – 偏好关系: 他喜欢… – ……
Chapter 3 命题逻辑
• 逻辑学是研究思维形式及思维规律尤其是 推理的学科.
• 3. 原子命题与复合命题
• 若一个命题不包含有更小的命题, 则称其为原子命 题(atom){当时认为原子最小?}或简单命题, 否则称 为复合命题(compound proposition). 原子命题 是命题逻辑研究的基本单位, 区分原子命题在后面 命题的符号化时是很重要的.
• 通常用小写英文字母p, q, r, s,…或带下标p1, p2, p3, …等来表示原子命题, 如用p: 2 + 3 = 5, q: 今天 我们上课.
• 例3-1 判断下列语句是否是命题.
• (1) 辽宁舰是中国的第一首艘航空母舰. • (2) 我喜欢智能手机和平板电脑 . • (3) x > 3. • (4)立正！
• (5)这朵花真漂亮！
离散数学 第3章 命题逻辑的推理理论
例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数. 用附加前提证明法构造证明 （1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 2 是无理数，s：4 是素数 （2）形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
结论（不正确）是对的 方法四 直接观察出 10 是成假赋值
解（2）答案：推理正确 方法一 方法二 方法三 方法四 真值表法（自己做） 等值演算法（自己做） 主析取范式法（自己做） P 系统中构造证明 ① pr ② rp ③ qr ④ qp （前提引入） （①置换） （前提引入） （③②假言三段论）
（8） 假言三段论规则： AB BC AC （9） 析取三段论规则： AB B A （10） 构造性二难推理规则： AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则： AB CD BD AC （12）合取引入规则： A B AB
三、P 中的证明 例 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤ q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取 此证明的序列长为 8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q) 是有效结论。
例
判断下面推理是否正确：
(1)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 4 整除。所以 a 能被 2 整除。 (2)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 2 整除。所以 a 能被 4 整除。 (3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳 了。 (4)若下午气温超过 30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不 去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了 30℃。
离散数学第三章 命题逻辑的推理理论
3
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
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练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
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练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论
判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所 以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。 在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为 附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为 附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所 以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则 （2）结论引入规则（隐规则） （3）置换规则：等值置换 （4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B） （6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）破坏性二难推理规则 （12）合取引入规则
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27.11.2020
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8.构造性二难 (A→B)∧(C→D)∧( A∨C) (B∨D)
(特殊形式) (A→B)∧( A→B)∧( A∨ A) B
9.破坏性二难 (A→B)∧(C→D)∧( B∨ D)
( A∨ C)
判断推理是否正确，上述三种方法演算量太大， 故而应给出严谨的证明。证明是一个描述推理过程 的命题公式的序列，其中的每个公式或者是已知前 提，或者由某些前提应用推理规则得到的结论.要构 造出严谨的证明必须在形式系统中证明。
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3
3.1 推理的形式结构
关于定义3.1的说明： （1）由前提A1，A2，…Ak 推 B 的推理
记作{A1，A2，…Ak}├B,称为推理的形式结构。 若推理正确，记作{A1，A2，…Ak}|=B ，
否则：记作{A1，A2，…Ak}|≠B。
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4
3.1 推理的形式结构
1
0
1
1
结论: (1) 式正确. (2)式推理不正确.
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定理3.1 命题公式A1，A2，…Ak 推 B 的推理正确当 且仅当 (A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak) B为重言式。
（证明参见课本）
本书中, 一般采用(A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak) B作为推 理的形式结构, 并且把它写成下面的形式.
5
3.1 推理的形式结构
（3）推理正确, 并不能保证结论B一定为真, 这与数 学上的推理是不同的.
判断下列推理是否正确 (1) {p,pq}├q (2) {p,qp}├q
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6
3.1 推理的形式结构
pq
00 01 10 11
p∧(pq) q
0
0
0
1
0
0
1
1
p∧(qp) q
0
0
0
1
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3、若下午气温超过30◦C，则王小燕必去游泳。若她 去游泳，她就不去看电影了。所以，若王小燕没去 看电影，下午气温必超过了30◦C。
p：下午气温超过30◦C q：王小燕去游泳 r：王小燕去看电影
前提：p q，q r
结论： r p
形式结构： ((p q)(q r)) ( r p)
((p∧q )∨(q∧q)) p (p∧q ) p (p∧q )∨p p∨q∨ p 1
所以，推理正确，即((p∨q)∧q) p
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（3）主析取范式法： ((p ∨ q) ∧ q) p ((p ∨ q) ∧q) ∨ p (p ∨ q) ∨ q ∨ p ( p ∧ q ) ∨ q ∨ p (p∧ q )∨q∧(p∨p)∨p∧(q∨q ) (p∧q )∨(q∧p)∨(q∧p)∨(p∧q)∨( p∧q ) m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3
(2)对于任一组赋值，前提和结论的取值有以下四种情 况： ① {A1，A2，…Ak}为0，B为0。 ② {A1，A2，…Ak}为0，B为1。 ③ {A1，A2，…Ak}为1，B为0。 ④ {A1，A2，…Ak}为1，B为1。
结论: ① ② ④ 情况下的推理是正确的. ③ 情况下的推理是错误的.
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<AX(I)，R(I)>为I 的形式演算系统
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自然推理系统 P 定义如下： 1、字母表
（1）命题变项符号：p,q,r,… （2）联结词符号： ，∧，∨，， （3）括号与逗号：() , 2、合式公式 定义同1.6
3、推理规则
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推理规则
所以，推理正确，即((p∨q)∧q) p
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例：判断下列推理是否正确。 2、若a能被4整除，则天下雨。现在天下雨，所以a能
被4整除。 设 p： a能被4整除。q：天下雨。则， 前提：p q , q 结论：p 推理的形式结构： ((p q) ∧ q) p
答案： 此推理不正确
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推理定律
1.附加律
A (A ∨B)
2.化简律
(A ∧ B) A
3.假言推理 (A→B) ∧ A B
4.拒取式
(A→B) ∧ B A
5.析取三段论 (A ∨B) ∧ B A
6.假言三段论 (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
7.等价三段论 (A B) ∧(B C) ((A C)
第三章 命题逻辑的推理理论
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1
3.1 推理的形式结构
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程. 本节所要研究的内容是以什么样的形式来进行 推理, 什么样的推理过程才是正确的推理过程, 也 就是说什么样的推理才是有效的推理.
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2
3.1 推理的形式结构
定义3.1 设A1,A2,…,Ak,B都是命题公式，若对于 A1,A2,…,Ak,B中出现的命题变项的任意一组赋值， 或者A1∧A2∧ … ∧Ak为假，或者当A1∧A2∧ … ∧Ak 为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,Ak推出B 的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。
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3.2 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下列四个部分组成： （1）非空的字母表集，记作A（I）。 （2）A(I)符号构造的合式公式集，记作E(I)。 （3）E(I)中一些特殊的公式组成的公理集,记作AX(I)。 （4）推理规则集，记作R(I)。 可以将I 记作为4元组<A(I),E(I),AX(I),R(I)> 其中< A(I)，E(I) >是I 的形式语言系统
前提：p , p q 结论：q 推理的形式结构： (p ∧(p q)) q
27.11.(p q)) q为重言式即可。 三种方式证明：真值表、 等值演算、 主析取范式。 例：判断下列推理是否正确。 1、今天小李或去网吧或去教室。他没去教室，所以
他去网吧了。 设 p：小李去网吧。q：小李去教室。则
前提：p ∨ q , q 结论：p 推理的形式结构： ((p ∨ q) ∧ q) p
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（1）真值表
p q p∨q q (p∨q)∧q
00 0 1
0
01 1 0
0
10 1 1
1
11 1 0
0
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((p∨q)∧q) p 1 1 1 1
10
（2）等值演算法： ((p∨q) ∧q) p