概率论与数理统计1-4事件的独立性

X X E( X ) ,Y Y E(Y ) ,
E( X ) 0, E(Y ) 0,
=
D( X )
D(Y )
Cov( X ,Y ) E( X Y ) E( X ) E(Y ) E( X Y )
=
X E
E(
X
)Y
E(Y
)
D( X )
D( Y )
Cov( X ,Y ) .
pk 3/8 2/8 3/8
Y -1 0 1
pk 3/8 2/8 3/8
E( X ) (1) 3 0 2 1 3 0 同理 E(Y ) 0
8
8
8
②说明E(：XY虽)然 iC,io1v1(xXi y,Yj p)i=j 0P，1{X但81P0{}X0
10,Y101} P{8Y 0} 8
00
数
对于一个二维随机向量（X，Y），期望和方差只反
映了它们各自的平均取值与相对于其均值的偏离程度，没
有反映出X与Y之间的相互关系。 字
注意到公式 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
特 若X、Y相互独立, E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0，
D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 征
2)用简单公式 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
例1 设r.vX和Y的联合分布律为
X Y -1 0 1
-1 1 8 1 8 1 8
求Cov(X,Y)
解：用公式 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
0
1
18 18
0
18
18 18
①可求出(X,Y)关于X，Y的边缘分布律
X -1 0 1
特
⑵ ρXY 是没有单位的量，只与两个r.v有关，能更好地反映 X与Y之间的关系。
征2、性质：
1） XY 1; 2) XY 1 a,b(b 0),使P{Y a bX } 1
=相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.
=
9
证： 对任意的a,b,令
刻画了Y与a+bX的偏离程度
e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2 -2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)
D(X )
征
D(Y
)
D
X
E(
X
)
DX E(X )
D( X ) 1
D( X )
D(X )
D( X )
=
通常把由 r.v X 构造r.v Y的过程叫做对r.v X 标准化。
注意:更重要的是要知道如何将一个随机变量标准化.
=
3
§3 协方差和相关系数 Covariance and
correlation coefficient
字 (3)泊松分布: E(X )
D(X)=
(4)正态分布: E(X )
特
(5)均匀分布: E(X ) a b
2
征 (6) 指数分布
E(X) 1
= (5) 切比雪夫不等式
D(X)= 2
(b a)2 D(X)=
12
1
D( X ) 2
设r.vX具有均值E(X)= ,方差D(X)=2，则对 >0 ,有不等式
复习：方差
数 （1）定义：D（X）= E X E( X )2
（2）计算：
字 方法1：由定义 方差是函数g( X ) X E( X ) 2的期望
方法2: D( X ) E( X 2 ) E( X )2
特 （3）性质：
征
1. 设C是常数,则D(C)=0;
2. 若k是常数,则D(kX)=k2 D(X);
=
3. 若X1与X2 独立，则D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);
一般地： D(X1+X2)= D(X1)+D(X2) + 2 E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}。
=
1
（4）常见分布的方差：
(1)(0-1)分布: E(X ) p
数 (2) 二项分布: E(X ) np
D(X)=p (1-p ) D(X)=np(1-p)
可以发现 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 这个数在一定程度上反 映了X与Y之间的关系，称为X与Y的协方差。
=
=
5
一、协方差
1、定义: 设(X,Y)是一随机向量，称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
为X与Y的协方差,记作Cov（X，Y）或XY，即
Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
D( X ) D(Y )
8
二、相关系数 (correlation coefficient)
数 1、定义:设(X,Y)是一随机向量，当D(X)>0, D(Y)>0,则称数值
记作 XY
COV ( X ,Y )
D( X ) D(Y )
为X,Y的线性相关系数，简称相关系数.
字注：⑴ 相关系数也就是标准化的随机变量X*，Y*的协方差。
数 要使Y与X的某个线性函数a+bX最为接近,就是要找a,b使得误差 平方e值最小. 将e视为关于a,b的二元函数，求驻点：
=
P
X
2 2
P
X
2
1 2
.
2
P99T10： 设E(X),D(X)均存在,且D(X) ≠0
数
令Ywk.baidu.com
X
E(X ) ,
D( X )
证明E(Y)=0,D(Y)=1
字 证明:根据数学期望与方差的性质:
特
E(Y
)
E
X
E(
X
)
EX
E(X
)
E( X )
E(X
)
0
D( X )
D( X )
( 2)2
1 81
0
0
0
P1{X101,Y
0
0}1P1{X1
8 16
0}0 P{Y
0}
88 88
∴ Cov(X,Y)=0-0=0 即X与Y不独立。
3、性质ⅰ) Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(对称性)
ⅱ) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y), a,b是任意常数；
数
ⅲ) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)
注：协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，
字
但它还受X与Y本身的系数影响. 例如：
Cov(10X, 10Y)=100Cov(X,Y) 标准化的协方差称为 特 实际上，10X与10Y之间的关系和X与Y之X，间Y的的关相系关应系一数致。
为了克服这一缺点，将协方差标准化，即在计算协方差时，
征 先对X与Y进行标准化.即:
说明 ①对于r. vX,Y， D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
②意义: 协方差是刻划r.vX与Y间取值的相互关系的数
字特征.显然: Cov(X,X)=D(X)
若X、Y相互独立
Cov(X,Y)=0,
2、计算方法
1)用定义式 Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}