初中数学竞赛全辅导第二十二讲 圆幂定理
初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)
初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)初中数学竞赛中，平面几何是一个重要的考点。
以下是一些重要的定理、公式和结论。
三角形面积公式（包括海伦公式）：三角形的面积S可以用以下公式计算：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，$a$，$b$，$c$分别为三角形的三条边长。
另外，三角形的面积也可以用以下公式计算：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$，其中$a$，$b$为两边，$C$为两边之间的夹角。
还有一个海伦公式：$S=\frac{1}{2}ah_a$，其中$h_a$为三角形顶点$A$到边$BC$的垂线长度，$a$为边$BC$的长度。
XXX定理：对于三角形$\triangle ABC$及其底边上的一点$D$，有$AB^2\cdot DC+AC^2\cdot BD-AD^2\cdotBC=BC\cdot DC\cdot BD$。
XXX定理：对于一个内接四边形，其对角线之积等于两组对边乘积之和，即$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$。
逆命题也成立。
同时还有广义托勒密定理：$AB\cdotCD+AD\cdot BC\geq AC\cdot BD$。
蝴蝶定理：如果$AB$是圆$O$的弦，$M$是$AB$的中点，弦$CD$，$EF$经过点$M$，$CF$，$DE$交$AB$于$P$，$Q$，则$MP=QM$。
勾股定理（毕达哥拉斯定理）：对于一个直角三角形，锐角对边的平方等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍；钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍。
同时还有广义勾股定理。
中线定理（巴布斯定理）：对于一个三角形$\triangleABC$，如果$BC$的中点为$P$，则有$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$。
同时，中线的长度可以用以下公式计算：$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$。
数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴
数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴一、圆幂的定义：在平面上，从点P 作半径为r 的圆O 的割线，从P 起到和该圆周相交为止的两线段之积是一个定值，称为点P 对于此圆周的圆幂.圆幂定理：（1）当P 在圆O 外时，点P 对于此圆的幂等于22OP r -； （2）当P 在圆O 内时，点P 对于此圆的幂等于22r OP -；（3）当P 在圆O 上时，规定：点P 对于此圆的幂等于0.二、根轴及其性质 1.根轴的定义：对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，该直线称为这两圆的根轴.2.根轴的性质：（1）若两圆1O 与2O 相离（半径分别为1r ，2r 且12r r ≤），点M 为12O O 的中点，点H 在线段1O M 上，且2221122r r MH O O -=，则此两圆的根轴是过点H 且垂直于12O O 的直线.特别地，当两圆相离且半径相等时，它们的根轴是线段12O O 的中垂线.（2）若两个圆是同心圆，则这两个圆不存在根轴.（3）若两个圆相交，则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴.（4）若两圆相切，则过两圆切点的公切线是它们的根轴.（5）若三个圆的圆心互不相同，则任意两个圆的根轴共三条直线，它们相交于一点或互相平行.（6）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点共线（都在根轴上）. 思考：能否从解析几何的角度看根轴？三、例题例1 如图，设I 和O 分别是ABC ∆的内心和外心，r 和R 分别是ABC ∆的内切圆和外接圆的半径，过I 作ABC ∆的外接圆的弦AK . 求证：（1）IK BK =；（2）2AI IK Rr ⋅=； （3）222OI R Rr =-.（欧拉公式）例2 如图，设圆1O 与圆2O 相离，引它们的一条外公切线切圆1O 于A ，切圆2O 于B ，又引它们的一条内公切线切圆1O 于C ，切圆2O 于D ，求证：（1）AC BD ⊥；（2）直线12O O 是分别以AB ，CD 为直径的圆3O ，4O 的根轴；（3）直线AC 和BD 的交点K 在两圆的连心线12O O 上 .例1K例3（1997年全国联赛）已知两个半径不相等的1O 与2O 相交于M ，N 两点，且1O ，2O 分别与O 内切于S ，T 两点，S ，N ，T三点共线，求证：OM MN ⊥.四、练习题1.点D ，E 为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，分别以BE ，CD 为直径的圆1O 与2O 交于点M ，N .求证：ABC ∆的垂心H 在直线MN 上.1.C例32. （第36届IMO ）设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC ，BD 为直径的圆1O ，2O 交于点X ，Y ，直线XY 交BC 于点Z .若P 为直线XY 上异于Z 的一点，直线CP 与交圆1O 于点C 及M ，直线BP 与交圆2O 于点B 及N . 求证：（1）B ，M ，N ，C 四点共圆； （2）A ，M ，N ，D 四点共圆； （3）AM ，DN ，XY 共点.3. （第40届IMO 国家队选拔题）凸四边形ABCD 的四边满足AB AD CB CD +=+，圆O 分别与凸四边形ABCD 的AB ，BC 两边相切于G ，H 两点，与对角线AC 相交于E ，F 两点.求证：存在另一个过E ，F 两点，且分别与DA ，DC 的延长线相切的圆'O .2.3.BD。
【九年级】九年级数学竞赛圆与圆辅导教案
【九年级】九年级数学竞赛圆与圆辅导教案【例题求解】【例1】如图，⊙ol与半径为4的⊙o2内切于点a，⊙ol经过圆心o2，作⊙o2的直径bc交⊙ol于点d，ef为过点a的公切线，若o2d=，那么∠baf=度．(重庆市中考题)思路点拨直径、公切线、o2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连o2ol必过a点，先求出∠do2a的度数．备注：(1)两圆切线或平行时，公切线或公共弦就是关键的类似“桥梁”的辅助线，它可以并使弦切角与圆周角、圆内直奔四边形的内角与外角以求沟通交流．同时，又就是分解成圆幂定理的关键因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【基准2】例如图，⊙ol与⊙o2外切于点a，两圆的一条外公切线与⊙o1切线于点b，若ab与两圆的另一条外公切线平行，则⊙ol与⊙o2的半径之比是()a．2：5b．1：2c．1：3d．2：3(全国初中数学联赛试题)思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠colo2(或∠do2ol)的度数，为此需寻求∠co1b、∠co1a、∠bo1a的关系．【基准3】例如图，未知⊙ol与⊙o2平行于a、b两点，p就是⊙ol上一点，pb的延长线缴⊙o2于点c，pa交⊙o2于点d，cd的延长线缴⊙ol于点n．(1)过点a作ae∥cn交⊙oll于点e，求证：pa=pe；(2)联结pn，若pb=4，bc=2，谋pn的长．(重庆市中考题)思路指点(1)连ab，充分运用与圆有关的角，证明∠pae=∠pea；(2)pb?pc=pd?pa，追寻pn、pd、pa对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是o，ab是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点d，连结od并延长交大圆于点e，连结be交ac于点f，已知ac=，大、小两圆半径差为2．(1)谋大圆半径短；(2)求线段bf的长；(3)澄清：ec与过b、f、c三点的圆切线．(宜宾市中考题)思路指点(1)设立大圆半径为r，则小圆半径为r-2，创建r的方程；(2)证明△ebc∽△ecf；(3)过b、f、c三点的圆的圆心o′，必在bf上，连o?c，证明∠o′ce=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．【基准5】例如图，aob就是半径为1的单位圆的四分之一，半圆o1的圆心o1在oa 上，并与弧ab内福萨县点a，半圆o2的圆心o2在ob上，并与弧ab内福萨县点b，半圆o1与半圆o2切线，设立两半圆的半径之和为，面积之和为．(1)试建立以为自变量的函数的解析式；(2)求函数的最小值．(太原市竞赛题)思路指点设立两圆半径分别为r、r，对于(1)，，通过变形把r2+r2用“=r+r”的代数式则表示，做出基本辅助线；对于(2)，因=r+r，故是在约束条件下求的最小值，解题的关键就是算出r+r的值域范围．注：如图，半径分别为r、r的⊙ol、⊙o2外切于c，ab，cm分别为两圆的公切线，olo2与ab交于p点，则：(1)ab=2；(2)∠acb=∠olmo2=90°；(3)pc2=pa?pb；(4)sinp=；(5)设c至ab的距离为d，则．学力训练1．未知：⊙ol和⊙o2处设a、b两点，且⊙ol经过点o2，若∠aolb=90°，则∠ao2b的度数就是．2．矩形abcd中，ab=5，bc=12，如果分别以a、c为圆心的两圆相切，点d在圆c内，点b在圆c外，那么圆a的半径r的取值范围．(2021年上海市中考题)3．如图；⊙ol、⊙o2相交于点a、b，现给出4个命题：(1)若ac就是⊙o2的切线且交⊙ol于点c，ad就是⊙ol的切线且交⊙o2于点d，则ab2=bc?bd；(2)连结ab、olo2，若ola=15cm，o2a=20cm，ab=24cm，则olo2=25cm；(3)若ca就是⊙ol的直径，da就是⊙o2的一条非直径的弦，且点d、b不重合，则c、b、d三点无此同一条直线上，(4)若过点a作⊙ol的切线交⊙o2于点d，直线db交⊙ol于点c，直线ca交⊙o2于点e，连结de，则de2=db?dc，则正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)．(厦门市中考题)4．如图，半圆o的直径ab=4，与半圆o内切的动圆ol与ab切于点m，设⊙ol的半径为，am的长为，则与的函数关系是，自变量的取值范围是．(昆明市中考题)5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是()a．2b．c．d．6．如图，已知⊙ol、⊙o2相交于a、b两点，且点ol在⊙o2上，过a作⊙oll的切线ac交bol的延长线于点p，交⊙o2于点c，bp交⊙ol于点d，若pd=1，pa=，则ac的长为()a．b．c．d．(武汉市中考题)7．例如图，⊙ol和⊙o2外切于a，pa就是内公切线，bc就是外公切线，b、c就是切点①pb=ab；②∠pba=∠pab；③△pab∽△olab；④pb?pc=ola?o2a．上述结论，正确结论的个数是()a．1b．2c．3d．4(郴州市中考题)8．两圆的半径分别就是和r(r>r)，圆心距为d，若关于的方程存有两个成正比的实数根，则两圆的边线关系就是()a．一定内切b．一定外切c．相交d．内切或外切(连云港市中考题)9．如图，⊙ol和⊙o2内切于点p，过点p的直线交⊙ol于点d，交⊙o2于点e，da 与⊙o2相切，切点为c．（1）澄清：pc平分∠apd；(2)求证：pd?pa=pc2+ac?dc；(3)若pe=3，pa=6，谋pc的长．10．如图，已知⊙ol和⊙o2外切于a，bc是⊙ol和⊙o2的公切线，切点为b、c，连结ba并延长交⊙ol于d，过d点作cb的平行线交⊙o2于e、f，求证：(1)cd是⊙ol的直径；(2)试判断线段bc、be、bf的大小关系，并证明你的结论．(四川省中考题)11．如图，已知a是⊙ol、⊙o2的一个交点，点m是olo2的中点，过点a的直线bc 垂直于ma，分别交⊙ol、⊙o2于b、c．(1)澄清：ab=ac；(2)若ola切⊙o2于点a，弦ab、ac的弦心距分别为dl、d2，求证：dl+d2=o1o2；(3)在(2)的条件下，若dld2=1，设立⊙ol、⊙o2的半径分别为r、r，澄清：r2+r2=r2r2．(山西省中考题)12．未知半径分别为1和2的两个圆外切于点p，则点p至两圆外公切线的距离为．(全国初中数学联赛试题)13．例如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则织成这7根筷子一周的绳子的长度为．(全国初中数学联赛试题)14．例如图，⊙ol和⊙o2内福萨县点p，⊙o2的弦ab经过⊙ol的圆心ol，缴⊙ol 于c、d，若ac：cd：db=3：4：2，则⊙ol与⊙o2的直径之比是()a．2：7b．2：5c．2：3d．1：315．例如图，⊙ol与⊙o2平行，p就是⊙ol上的一点，过p点作两圆的切线，则切线的条数可能将就是()a．1，2b．1，3c．1，2，3d．1，2，3，4(安徽省中考题)16．如图，相等两圆交于a、b两点，过b任作一直线交两圆于m、n，过m、n各引所在圆的切线相交于c，则四边形amcn有下面关系成立()a．存有内切圆并无外接圆b存有外接圆并无内切圆c．既有内切圆，也有外接圆d．以上情况都不对(太原市竞赛题)17．已知：如图，⊙o与相交于a，b两点，点p在⊙o上，⊙o的弦ac切⊙p于点a，cp及其延长线交⊙pp于点d，e，过点e作ef⊥ce交cb的延长线于f．（1）澄清：bc就是⊙p的切线；(2)若cd=2，cb=，求ef的长；(3)若k=pe：ce，与否存有实数k，并使△pbd恰好就是等边三角形?若存有，算出就是的值；若不存有，恳请表明理由．(青岛市中考题)18．例如图，⊙a和⊙b就是外离两圆，⊙a的半径短为2，⊙b的半径短为1，ab=4，p为相连接两圆圆心的线段ab上的一点，pc乌⊙a于点c，pd乌⊙b于点d．(1)若pc=pd，求pb的长；(2)何况线段ab上与否存有一点p，并使pc2+pd2=4？，如果存有，问这样的p点存有几个?并算出pb的值；如果不存有，表明理由；(3)当点f在线段ab上运动到某处，使pc⊥pd时，就有△apc∽△pbd．答：除上述情况外，当点p在线段ab上运动至何处(表明pb的短为多少，或pc、pd具备何种关系)时，这两个三角形仍相近；并推论此时直线cp与ob的边线关系，证明你的结论．(浙江省嘉兴市中考题)19．如图，d、e是△abc边bc上的两点，f是ba延长线上一点，∠dae=∠caf．(1)推论△abd的外接圆与△aec的外接圆的边线关系，并证明你的结论；(2)若△abd的外接圆半径是△aec的外接圆半径的2倍，bc=6，ab=4，求be的长．(全国初中数学联赛试题)20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作方式：方案一：在图甲中，设计一个并使圆锥底面最小，半圆形铁皮以求最充分利用的方案(建议，画示意图)．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)谋方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设立方案二中半圆圆心为o，圆柱两个底面的圆心为o1、o2，圆锥底面的圆心为o3，先行推论以o1、o2、o3、o为顶点的四边形就是什么样的特定四边形，并予以证明．(大连市中考题)。
(完整)圆幂定理讲义(带答案)
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1 / 29圆幂定理STEP 1:进门考理念：1。
检测垂径定理的基本知识点与题型。
2。
垂径定理典型例题的回顾检测。
3. 分析学生圆部分的薄弱环节.(1）例题复习。
1.（2015•夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN=cm．【考点】M3：垂径定理的应用；KQ:勾股定理；T7：解直角三角形．【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E,首先求得CD的长，即OE的长，在直角△A OE中，利用勾股定理求得半径OA的长,则MN即可求解．【解答】解：作CD⊥AB于点D,取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E．在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中,∠B=90°﹣∠A=60°，∴CD=BC•sinB=4×=2(cm), ∴OE=CD=2,在△AOE中，AE=AB=4cm,则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4．2 / 29【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中,常用的方法是转化为解直角三角形．3 / 292.（2017•阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．2cm D．2cm【考点】M2：垂径定理;PB：翻折变换(折叠问题）．【分析】通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA,∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm）,∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．故选:D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．3.（2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a）（a＞3），半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）4 / 295 / 29A ．4B ．C ．D ．【考点】M2：垂径定理;F8：一次函数图象上点的坐标特征；KQ:勾股定理．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】PC⊥x 轴于C ，交AB 于D ，作PE⊥AB 于E ，连结PB ，由于OC=3，PC=a ，易得D 点坐标为（3，3)，则△OCD 为等腰直角三角形,△PED 也为等腰直角三角形．由PE⊥AB ，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE 中,利用勾股定理可计算出PE=1,则PD=PE=,所以a=3+． 【解答】解:作PC⊥x 轴于C,交AB 于D ，作PE⊥AB 于E ，连结PB ，如图，∵⊙P 的圆心坐标是（3，a ）， ∴OC=3，PC=a ，把x=3代入y=x 得y=3， ∴D 点坐标为(3,3）， ∴CD=3,∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴△PED 也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB, ∴AE=BE=AB=×4=2， 在Rt△PBE 中，PB=3, ∴PE=， ∴PD=PE=, ∴a=3+． 故选：B ．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．4.（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A （13，0)，直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．【考点】FI:一次函数综合题．【专题】16 :压轴题．【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4)，求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案．【解答】解：∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4, ∴k（x﹣3）=y﹣4，∵k有无数个值, ∴x﹣3=0,y﹣4=0,解得x=3，y=4，∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4）, ∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A(13，0），∴圆的半径为13,∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24; 故答案为:24．【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置．STEP 2：新课讲解6 / 297 / 291、熟练掌握圆幂定理的基本概念。
北师大版九年级数学下 第22讲 与圆有关的位置关系 中考知识点梳理
知识点四：三角形与圆
5.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
内切圆半径与三角形边的关系：
（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的内切圆（如图b）
①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.
经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形三条垂直平分线的交点
到三角形的三个顶点的距离相等
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
知识点二：切线的性质与判定
3.切线
的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
初中数学竞赛专题选讲(初三.22)
初中数学竞赛专题选讲（初三.22）辅助圆一、内容提要1.经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2.经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理：①到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义).②一组对角互补的四边形顶点在同一圆上.③一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆.④同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3.画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：①同弧所对的圆周角相等.②圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.③圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系.④圆中成比例线段定理：相交弦定理，切割线定理.4.证明型如ab+cd=m2常用切割线定理二、例题例1.已知：点O是△ABC的外心，BE，CD是高.求证：AO⊥DE证明：延长AO交△ABC的外接圆于F，连接BF.∵O是△ABC的外心∴AF是△ABC外接圆的直径，∠ABF=Rt∠.∵BE，CD是高，∠BDC=∠CEB=Rt∠.∴B，C，E，D四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)∴∠ADE=∠ECB=∠F.∴∠AGD=∠ABF=Rt∠，即AO⊥DE.例2.正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内的一点，且∠OPB=45 ，PA ∶PB=5∶14，则PB=____cm. 解：∵∠OPB=∠OAB=45∴ABOP 四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆) ∴∠APB=∠AOB=Rt ∠.在Rt △APB 中，设PA 为5x ，则PB 是14x. ∴(5x)2+(14x)2=1989. 解得x=3, 14x.＝42. ∴PB=42 (cm).例3.已知：平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，AF ⊥BC 于F. 求证：AB ×AE+CB ×CF=AC 2. 证明：作BG ⊥AC 交AC 于G. ∵CE ⊥AB ， AF ⊥BC.∴A ，F ，B ，G 和B ，E ，C ，G 分别共圆. (对角互补的四边形顶点共圆)根据切割线定理，得 AB ×AE=AG ×AC CB ×CF=CG ×AC∴AB ×AE+CB ×CF=AC(AG+CG)=AC 2.例4.已知：AD 是Rt △ABC 斜边的高，角平分线BE 交AD 于F. 求证：AE 2=AB 2－BE ×BF.分析：根据同角的余角相等，可证AE=AF. 由射影定理AB 2=BD ×BC.故只要证AE ×AF ＝BD ×BC －BE ×BF 创造应用切割线定理的条件，作△ABC 的 外接圆并延长BE 交圆于G ，得 F 、D 、C 、G 四点共圆 . ∴ BD ×BC=BF ×BG .∴右边= BF ×BG .－ BE ×BF=BF(BG －BE)=BF ×EGC从而转为要证AE ×AF= BF ×BG . 即AFEGBF AE只要证△AEG ∽△BFA ……(证明由同学自已完成)例5已知：从⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA ，PB 切点A 和B ，在AB 上任取一点C ，经过点C 作OC 的垂线交PA 于M ，交PB 于N.求证：OM=ON. 证明：连结OA ，OB .∵A ，B 是切点 ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB. 又∵OC ⊥MN.∴A ，M ，C ，O 和B ，N ，O ，C(辅助圆可以不画)根据同弧所对的圆周角相等，得 ∠OAC=∠OMC ， ∠ONC=∠OBC. ∵OA=OB ， ∴∠OAC=∠OBC. ∴∠OMC=∠ONC ， ∴OM=ON.。
2020年九年级数学中考总复习 第22讲 圆的性质课件(23张ppt)
目录
考点一 圆的有关概念及性质 考点二 与圆有关 的定理及推论 考点三 多边形与圆 考点四 与圆的位置关系 考点五 三角形与圆
考点一 圆的有关概念及性质
圆的有关概念 1.圆： (1) 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点
O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的 图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。 (2) 圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点 组成的图形,这个定点叫做_圆__心__,_定长叫做_半__径___; 2.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如AC.
【1】如左图,BC是☉O的直径,点A在圆上,连接 AO, AC, ∠AOB=64°,则∠ACB=___3_2_°____.
【2】如右图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点,
若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为 ( B )
A.60° B.50° C.40° D.20°
3.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，
的度数的一半. 1
如∠DAB=___2__∠DOB
推论: （1）同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角_相__等__;
如∠DAB=_∠__D_C_B_(同弧) , ∠DAB=_∠__C_D__B(等弧 ) （2）半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角______,
90°的圆周角所对的弦是直径. 如∠ADB=_9_0_°_____.
(3)性质：三角形的内心到三角形__三__条__边____的距
离相等.
1
(4)角度关系： ∠BOC = 90°+ 2∠A
练习题 1.如左图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且
OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E， 满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝_2_0_°_．
【初中数学】圆幂定理
【初中数学】圆幂定理圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳，所以目前书上已经把这个定理删除了，也作为补充知识点介绍。
根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：（1）相交弦定理（2）切割线定理（3）割线定理从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。
经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。
圆幂定理是几何学中的一条定理，它描述了一个点与一个圆之间的关系。
具体来说，圆幂定理说明了如果有一条直线通过了一个P点，与一个圆相交于点A和点B，那么这个点P到点A、点B的长度的乘积等于点P到圆心O的距离的平方减去圆的平方的绝对值，即可以表示为：PA·PB=|PO²-r²|（r表示圆的半径）.如何证明这个定理呢？就需要分三种情况讨论，点P与圆的位置关系。
我们非常清楚，点与圆的位置关系只有三种：圆外、圆上、圆内。
1、点P在圆外如图，点P在⊙O外部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：如图，延长PO交⊙O与点D.由割线定理可得：PA·PB=PC·PD∵ PC=PO+OC，PD=PO+OD，OC=OD=r∴ PC=PO+r，PD=PO+r∴ PA·PB=（PO+r）（PO-r）∴ PA·PB=PO²-r²=|PO²-r²|2、点P在圆内如图，点P在⊙O内部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：延长PO交⊙O于C、D两点根据相交弦定理，得：PA·PB=PC·PD∵ PC=OC-PO，PD=PO+OD，OD=OC=r∴ PC=r-PO，PD=PO+r∴ PA·PC=（r-OP）（PO+r）∴ PA·PC=r²-PO²=|PO²-r²|3、当点P在圆上通过以上两种情况的证明可得，PA·PB=|PO²-r²|，那么当P点在圆上时，P、A 两点重合，故PA=0，OP=r，所以PA·PB=0，PO²-r²=0，所以也成立。
中考数学第22讲与圆有关的计算复习教案省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖PPT课件
则这个扇形面积为
（结果保留π）
5．（•河北）如图，将长为8cm铁丝 首尾相接
围成半径为2cm扇形．则S扇形=
cm2．
第4页
1．弧长公式：设弧所正确圆心角为 n，所在
圆半径为 R，则弧长为
．
2．扇形面积公式：设扇形圆心角为 ，n所在
圆半径为 ，R 为扇l 形弧长，那么扇
形面积为
或
．
第5页
【知识树】
（1）求证：AC是⊙O切线；
（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成
阴影部分面积．（结果保留π）
第12页
第10页
达标检测
1.（▪自贡）一个扇形半径为8cm，弧长为 （）
c13m6 ，则扇形圆心角为
A．60° B．120° C．150° D．180°
2．（•莱芜）如图，AB为半圆直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，
点A旋转到A′位置，则图中阴影部分面积为（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．
3．（•日照）如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm螺母，点P是FA延长
（）
A．5π B．6π C．8π D．10π
2．（▪东营）如图，已知扇形圆心角为60°，
半径为 3 ，则图中弓形面积为（ ）
A．4 3 3 B． 3 C．2 3 3 D． 3 3
4
4
4
2
3．（▪衡阳）圆心角为120°，弧长为12π扇形半径为（
A．6 ． B．9
C．18 D．36
第2题图 ）
4．（•绥化）一个扇形圆心角为120°，半径为3，
A．
B．
C．
D． π
例3 （•莆田）如图，点D是线段BC中点，分别以点B，C为圆心， BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为 AD上一点，连接BE，CE．
初中数学竞赛重要定理及结论最新版最完整版
初中数学竞赛重要定理、公式及结论陈氏版平面几何篇【三角形面积公式（包括海伦公式）】C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==,其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径,r 为内切圆半径，)(21c b a p ++= 【斯特瓦尔特(Stewart )定理】设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ,则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．【托勒密（Ptolemy ）定理】圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，（逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．【蝴蝶定理】AB 是⊙O 的弦，M 是其中点,弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，则MP =QM ．【勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）】(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．【中线定理（巴布斯定理)】设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+;中线长：222222a c b m a -+=． 【垂线定理】2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---= 【角平分线定理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如△ABC 中,AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理)．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 【正弦定理】R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 【余弦定理】C ab b a c cos 2222-+= A cb b c a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=【张角定理】ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin【圆周角定理】同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．【弦切角定理】弦切角等于夹弧所对的圆周角．【圆幂定理】（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理)：切线长定理:）【射影定理（欧几里得定理）】直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
北师大版九年级数学下 第22讲 与圆有关的位置关系 中考知识点梳理
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.
图形
公共点个数
0个
1个
2个
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
知识点二：切线的性质与判定
3.切线
的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.
4.切线
的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
第22讲与圆有关的位置关系
一、知识清单梳理
知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.
2.直线和圆的位置关系
(完整word版)初中数学竞赛全辅导第二十二讲 圆幂定理
【例题求解】【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．(成都市中考题)思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516 (全国初中数学联赛题) 思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．(北京市海淀区中考题)思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE(四川省竞赛题)思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=D E，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB 的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．(成都市中考题)思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△A EB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学力训练1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．(绍兴市中考题)2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=C D=2，则CE= ．(天津市中考题)4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( ) A ．6．4 B ．3．2 C ．3．6 D ．8(苏州市中考题)5．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．22(昆明市中考题)6．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(福州市中考题)7．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ． (1)若∠B =30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．(绍兴市中考题)⌒⌒⌒8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长． (北京市崇文区中考题)9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根． (1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数． (山西省中考题)10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．(山东省临沂市中考题)11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23D ．1 14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD 于E ，B E 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．(太原市竞赛题)15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ． (1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC (四川省中考题)16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长． (国家理科实验班招生试题)17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值． (全国初中数学竞赛题)参考答案。
圆幂定理及其在竞赛中的应用
竞赛强基２０２４年１月下半月㊀㊀㊀圆幂定理及其在竞赛中的应用◉吉林师范大学数学与计算机学院㊀张战举㊀㊀摘要:奥林匹克数学这一名词由苏联人所创,发展至今已经成为一种风靡全球的文化现象．而在各种数学竞赛中,几何内容始终占据着重要位置,蕴含着奥林匹克数学的深刻内涵,其中圆幂定理更是解决奥林匹克几何问题的最重要工具之一,也与其他许多著名几何问题有着紧密联系．本文中从几何和代数两个角度解释圆幂定理,并利用圆幂定理解决奥林匹克几何中的两个问题．关键词:圆幂定理;数学竞赛㊀㊀我们先从几何角度开始讨论:圆幂定理是相交弦定理㊁割线定理㊁切割线定理三者的统称．下面分别证明这三个小定理[１]．１相交弦定理如图１所示,设平面内有一圆Γ和一点P ,点P位于Γ内,任意两条直线分别交Γ于A ,B 和C ,D 两点,则P A P B ＝P C P D ．图１㊀㊀㊀图２证明:如图２所示,连接A D ,B C ．由同弧所对的圆周角相等,得øB C D ＝øD A B ,且øC B A ＝øA D B ．所以әC B P ʐәA D P ．根据相似三角形三边成比例,得P A ʒP C ＝P D ʒP B ．因此P A P B ＝P C P D ．２割线定理图３如图３所示,设平面内有一圆Γ和一点P 且点P 在Γ外,过P 的任意两条直线分别交圆于A ,B和C ,D 两点,连接A D ,B C ,则有P A P B ＝P C P D ．证明:因为øP B C ＝øP D A ,所以әP B C ʐәP D A ,于是可以得到P A P C ＝P DP B．因此P A P B ＝P C P B ．３切割线定理图４如图４,设平面内有一圆心为O 的圆Γ和一点P ．且点P 在Γ外,设任意一条直线过点P 且与圆相交于A ,B 两点,过点P 的另一条直线与圆切于点T ．连接A T ,O T ,A O ,则P T ２＝P A P B ．证明:因为øP T O ＝９０ʎ,所以øA T O ＝９０ʎ－øP T A ．所以øA O T ＝１８０ʎ－２(９０ʎ－øP T A )＝２øP T A ,可得øT B A ＝１２øA O T ＝øP T A ．易得әP T A ʐәP B T ,所以P T P B ＝P AP T．因此P T ２＝P A P B ．４圆幂的代数意义上述证明过程也是证明四点共圆很好的方法,这里不展开叙述．接下来从代数的角度讨论,通过代数的计算去感受何为 圆的幂 ,注重感受圆幂的代数意义．分别考虑点P 在圆外㊁圆内㊁圆上三种情况．４．１点P在圆外图５如图５所示,设在平面直角坐标系中有一圆Γ和一点P ,圆心为O (a ,b ),半径为r ．点P (x ０,y ０)在圆外,过点P 的任意两条直线与Γ相交于点A ,B和E ,F ．过P 和圆心O 的直线与Γ交于点C 和D ．设Γ的一条切线过点P 切圆于点T ,则P A P B ＝P E P F ＝P T ２＝P C P D ．２８２０２４年１月下半月㊀竞赛强基㊀㊀㊀㊀因为P C ＝O P －r ,P D ＝O P ＋r ,所以P AP B ＝P E P F ＝P T ２＝O P ２－r ２．由勾股定理,得P T ２＝O P ２－r ２．由于圆的标准方程为(x －a )２＋(y ＋b )２－r ２＝０,由两点间的距离公式,可得O P ２＝(x ０－a )２＋(y ０－b )２,所以点P 对圆的幂(x ０－a )２＋(y ０－b )２－r ２＝O P ２－r ２．因为O P ＞r ,所以O P ２－r ２＞０[２]．４．２点P 在圆上显然对于圆Γ(O ,r )上的任意点对该圆的幂为０．４．３点P 在圆内如果点P 在圆内,是否和点P 在圆外的情况类似呢我们接下来讨论点P 在圆内的情况．图６如图６所示,设在平面直角坐标系中圆Γ的半径为r ,圆心为O (a ,b ),P (x ０,y ０)．任意一条直线过点P (在圆内)交圆于E 和F 两点,过点P 和圆心O 的直线交Γ于C 和D 两点．设过点P 且垂直于直径C D 的极小弦与Γ交于A 和B 两点．可以发现P C P D ＝P E P F ＝P A P B ．由P A ＝P B ,得P A P B ＝P B ２＝O B ２－O P ２＝r ２－O P ２．而由两点间的距离公式,可得到点P 对圆的幂(x ０－a )２＋(y ０－b )２－r ２＝O P ２－r ２．因为O P ＜r ,所以O P ２－r ２＜０．因此,可得r ２－O P ２＝|O P ２－r ２|[３]．这样就得到了圆的幂的代数意义:对于所有过点P 和圆心O 的直线与圆交于A ,B 两点,O P ２－r２均为定值,此定值反映了点对圆的性质,我们把此定值称为点P 对圆的幂．当P 在圆外时,P 对圆的幂大于０;而P 在圆内时,P 对圆的幂小于０,且P A P B ＝|O P ２－r ２|;当点P 在圆上时,点P 对圆的幂等于０．５圆幂定理在竞赛题中的应用以上是从几何和代数的角度分别对圆幂定理的讨论,下面我们通过一个奥林匹克竞赛中的问题趁热打铁,感受圆幂定理在几何证明与代数运算之间的联系．这是一道２０１１年国际奥林匹克数学竞赛的预选题:图７题目㊀如图７所示,设A １A ２A ３A ４是四点不共圆的四边形．设O １和r １分别为三角形A ２A ３A ４的外接圆ω１的圆心和半径,类似地定义圆ω２,ω３,ω４的圆心O ２,O ３,O ４和半径r ２,r ３,r ４．证明:１O １A ２１－r ２１＋１O ２A ２２－r ２２＋１O ３A ２３－r ２３＋１O ４A ２４－４２＝０．证明:设点M 是对角线A １A ３和A ２A ４的交点．设x ,y ,z 和w 分别是由点M 到A １,A ２,A ３,A ４的长度．设B １是A １A ３与圆ω１的另一个交点,类似地定义B ２,B ３和B ４．对于ω１来说,点A １对圆的幂为O １A ２１－r ２１＝A １B １ A １A ３,由相交弦定理,得M B １ M A ３＝M A ２ M A ４．因为M A １,M A ２,M A ３,M A ４分别为x ,y ,z ,w ,则M B １＝y w z ,可得O １A ２１－r ２１＝(x －y w z)(x ＋z )＝x ＋z z(x z －y w )．对于圆ω２来说,点A ２对圆的幂A ２B ２ A ２A ４＝r ２２－O ２A ２２＝－(O ２A ２２－r ２２)．由相交弦定理,得M B ２ M A ４＝M A １ M A ３,则M B ２＝x z２．所以O ２A ２２－r ２２的值为－A ２B ２ A ２A ４＝－(x z２－y ) (y w －x z )＝y ＋ww (yw －x z )．对另外两个圆的幂进行相同的计算,可以得到ð４i ＝１１O i A i ２－r i２＝１x z －y w (z x ＋z －w y ＋w ＋x x ＋z －y y ＋w )＝１x y －yw (x ＋zx ＋z －w ＋yw ＋y )＝０．证明完毕．需要注意的是,当涉及很多圆幂的计算时,点的位置不同对应的情况也不同,在处理符号问题时一定要细心[４]．参考文献:[１]朱成万．圆幂定理与著名几何问题的联系及解题妙用[J ]．中学数学研究(华南师范大学版),２０２１(１９):４３Ｇ４６．[２]周春荔．圆幂定理(下)[J ]．中学生数学,２０１８(２０):３０Ｇ３１．[３]周春荔．圆幂定理(上)[J ]．中学生数学,２０１８(１８):３７Ｇ３８．[４]陈波．从圆幂定理到圆锥曲线幂定理[J ]．数学教学,２０１６(５):４２Ｇ４５．Z３８。
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【例题求解】
【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．
(成都市中考题) 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长．
注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：
(1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；
(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．
【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．
415 D ．5
16 (全国初中数学联赛题) 思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．
注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．
【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．
(北京市海淀区中考题)
思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程．
【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE
(四川省竞赛题)
思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=D E，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．
注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．
需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．
【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB 的延长线于点F，BF＝4．
求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．
(成都市中考题)
思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△A EB入手．
注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：
(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．
(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．
(3)将以上分析组合，寻找联系．
学力训练
1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．
(绍兴市中考题)
2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．
3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=C D=2，则CE= ．
(天津市中考题)
4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( ) A ．6．4 B ．3．2 C ．3．6 D ．8
(苏州市中考题)
5．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )
A ．28
B ．26
C ．24
D ．22
(昆明市中考题)
6．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、
PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2
=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
(福州市中考题)
7．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ． (1)若∠B =30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；
(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．
(绍兴市中考题)
⌒
⌒
⌒
8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=
3
2
，求⊙O 的半径的长． (北京市崇文区中考题)
9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根． (1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数． (山西省中考题)
10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．
(山东省临沂市中考题)
11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．
12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，
则PH=( )
A ．
a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3
a
13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )
A ．
21 B ．215- C ．2
3
D ．1 14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，C
E ⊥AD 于E ，B E 交⊙O 于
F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．
(太原市竞赛题)
15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ． (1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC (四川省中考题)
16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长． (国家理科实验班招生试题)
17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的
值． (全国初中数学竞赛题)
参考答案。