一元二次方程及根的定义
一元二次方程的根与判别式
一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。
1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。
2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。
(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。
(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。
3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。
判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解。
(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。
(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
一元二次方程有根
一元二次方程有根一元二次方程是高中数学中的重要概念，它在代数学中具有广泛的应用。
一元二次方程的根是指方程的解，即使方程等式两边相等成立的数值。
本文将围绕一元二次方程的根展开讨论，并探究其应用。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c均为已知常数，且a ≠ 0。
求解一元二次方程的根可以使用求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据求根公式，一元二次方程可能有两个根、一个根或无解。
接下来，我们将分别讨论这三种情况。
考虑一元二次方程有两个根的情况。
当判别式 D = b^2 - 4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根。
这意味着方程的图像与x轴有两个交点，也就是图像在x轴上切开。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，可以使用求根公式计算出两个根：x1 = 1，x2 = 3。
这两个根分别对应于方程图像在x轴上的两个交点。
考虑一元二次方程有一个根的情况。
当判别式 D = b^2 - 4ac等于0时，方程有一个实数根，也称为重根。
这意味着方程的图像与x 轴只有一个交点，也就是图像在x轴上相切。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，可以使用求根公式计算出一个根：x = 2。
这个根对应于方程图像在x轴上的唯一一个交点。
考虑一元二次方程无解的情况。
当判别式D = b^2 - 4ac小于0时，方程无实数根。
这意味着方程的图像与x轴没有交点，也就是图像在x轴上完全位于上方或下方。
例如，对于方程x^2 + 2x + 2 = 0，可以使用求根公式计算出判别式D = -4，小于0，因此方程无解。
除了求解一元二次方程的根，它还有着广泛的应用。
在物理学中，一元二次方程常常用于描述自由落体运动的轨迹，例如抛物线的模型。
在经济学中，一元二次方程可以用于分析成本、收益和利润之间的关系。
在工程学中，一元二次方程可以用于描述曲线的形状和变化。
1.一元二次方程概念和根
x=1
2、若a b c 0, 则一元二次方程 ax bx c 0必有一解为 .
2
x=-1
3、若4a 2b c 0, 则一元二次方程
2 ax bx c 0必有一解为 x=.
2
4、根据下表的对应值, 试判断一元二次 方程ax bx c 0的一解的范围是 C
m为一切实数
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课堂练习
教材P4 练习1、2
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一元二次方程的解（根）
教学目标
1）理解方程的解的概念；
2）会用方程的解求待定系数。
知识回顾
1.什么是一元二次方程？ 整式方程变形后，只含有一个未知数，并 且未知数的次数是二次，这样的整式方程 叫一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式是怎样的？ a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
基础练习4：
方
2
程
一般形式
二次项 一次项 系 数 系 数
常数 项
3x =5x-1 3 3x2－5 5x＋1＝0
(x+2)(x 1)=6
3
－5
1
1x2 ＋1 x－ 8 ＝ 0
1
1
0 0
－8
4 －4
－7x2 ＋4＝0 2 2 ＋0 x＋4＝0 －7 即－ 7x － 7 4-7x =0 或7x2 － 4＝0 7
x=-7是方程的解
思考
你能否说出下列方程的解 根? 2 1) 3x 27 0 1.一元一次方程只有一个根 2 2) ( x 6) 0 2.一元二次方程有可能 有两个不相等的实数根； 2 3) x 36 0 有两个相等的实数根；
没有实数根。
一元二次方程的根的情况与一元一次方 程有什么不同吗?
一元二次方程的根和判别式
在求解过程中，要注意计算的准确性，避免误差的积累。
对于无理数和复数解，要理解其含义和表示方法。
求解一元二次方程的注意事项
深入学习一元二次方程的理论和应用，掌握各种解法和技巧。
加强数学基础知识和计算能力的训练，为更高层次的学习打下基础。
拓展学习其他类型的一元方程和不等式，提高解决问题的能力。
对未来学习的建议
复根的具体表达式为 $x_1 = -frac{b}{2a} + frac{sqrt{-Delta}}{2a}i$ 和 $x_2 = -frac{b}{2a} - frac{sqrt{-Delta}}{2a}i$，其中 $i$ 是虚数单位。
这种情况下，方程的解在复平面上表现为一对关于实轴对称的点，代表方程的一对共轭复根。
03
在几何问题中，经常需要求解一些最值问题，如点到直线的距离、两直线间的夹角等。通过构造一元二次方程并求解判别式，可以找到这些最值问题的解。
判别式在几何问题中的应用
在物理问题中，经常需要判断物体的运动状态（匀速、加速、减速等）。通过构造一元二次方程并求解判别式，可以确定物体的加速度和速度的变化情况。
无实根（虚根）
05
判别式在解决实际问题中的应用
判断直线与二次曲线的位置关系
01
通过判别式可以确定直线与二次曲线（如圆、椭圆、双曲线等）的交点个数，进而判断它们的位置关系（相切、相交、相离）。
判断二次曲线的形状
02
对于二次曲线的一般方程，通过计算判别式可以判断其形状（椭圆、双曲线、抛物线）。
求解几何最值问题
判断经济模型的稳定性
在经济学中，经常需要判断一些经济模型的稳定性。通过构造一元二次方程并求解判别式，可以确定经济模型的稳定性条件。
一元二次方程及根的定义
元二次方程及根的定义〔曲思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解 程，解方程求出另一个根即可解：将=-代入原方程，得''-解方程，得 」_ 1当'1 ■ -—时，原方程都可化为存-6^+8= 0解方程，得・二0 - 4 . 所以方程的另一个根为 4，-’•或-1.总结升华：以方程的根为载点•综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关 键是要抓住 根”的概念，并以此为突破口•举一反三:【变式i 】已知一元二次方程•「 m -:的一个根是：，求代数式思路点拨：抓住二为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题 解：因为住是方程…」二二--的一个根，所以-I 一 _-L_：u1 一 故 J ■一 J 二匚_、2004tS = — 1 + 曲2005所以-2004a -h r/十1“ 2005 -1 + 应■+ ---.已知关于一的方程■!■■- / -- 1的一个根为2，求另一个根及°的的值，再代回原方—2004c +2丽■-的值.总结升华：方程”即是一个等式”在 等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一 种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验类型二、一元二次方程的解法临2.用直接开平方法解下列方程: 2 2(1)3-27x =0 ； (2)4(1-x) -9=0.2解: (1)27x=3宀丄 $2(2) 4(1-x) =93.用配方法解下列方程：圖 (1) J 「r ； ；(2) / - -J.'. 工 L解: (1)由叮 r ,，得-■ :■，x a -H67 + 31 -32 十？=2004.1— x =-畠±3—4盘-2士屈-1±屈-罷土愿所以A' + ?：==-,故•一 -亠.(2) 由，亠一' :-i - - -得厂- ■:- -F +2屈+ (歼=(励+4(工1②2 = 6?所以'■ 1 :J故T 二・、：I _ / -C»4.用公式法解下列方程：解：⑴这里'-■L - •并且1屮一［丨:■ - 1(.-_ g ± J&2 _斗舲1 ± VsX = ------------------------ =：----- 所以二-,1+75 冈i—工1二所以 2 , ___________ .(2)将原方程变形为■'■'：-,.-；■2^ -r-4=0(3)将原方程展开并整理得?这里"-1并且•.“ I - - ■:- - ■:-_ £±_4舲 1 ±V33X = _______ : ________ 二_______所以L S -总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握, 我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材5. 用因式分解法解下列方程：曲（3）| 凶］.I | 上l・”rc\ j r■一T解：（1）将原方程变形为______________________________ ，提取公因式，得—，因为上「，所以- 1所以:=•或T — 1二-,⑵直接提取公因式，得肚-现更所以I 1 _|-或Z'i 厂、，（即T " A（3）直接用平方差公式因式分解得［（x 十&） + 2口］［（工 + 总）-加=0所以•或上■■ _ - 它对所以1|—右土 J 带_ 4游 2昉土应x=X 2=l -'(3) x(x-8)=0x i =0, X 2=8. (4) 配方，得2x +12x+32+4=0+4 (x+6)2=4 x+6=2 或 x+6=-2 X 1=-4， X 2=-8.点评：要根据方程的特点灵活选用方法解方程6. 若「 「L ' 一 7 ,求丄匚的值孟思路点拨：观察，把握关键：换元，即把 -I ::看成一个 整体 解：由'：'-|：,得L..!■ I - P〔/+,)-呼=16所以計-举一反三：【变式1】用适当方法解下列方程.(1)2(x+3) 2=X (X +3) ;(2)x 2-2 x+2=0 ;2 2⑶X -8x=0 ;(4)x +12x+32=0.2解: (1)2(x+3) =x(x+3)22(x+3) -x(x+3)=0 (x+3)[2(x+3)-x]=0 (x+3)(x+6)=0 x i =-3, X 2=-6.(2)x 2-2 J x+2=0这里a=1, b=-2宀,c=2b-4ac=(-2-4 >1 X2=12>0故亠L 「或门〕-（舍去）,所以-：'-■-.总结升华：把某一式子”看成一个整体”用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来.类型三、一元二次方程根的判别式的应用7. （武汉）一元二次方程4X2+3X-2=0的根的情况是（）訓A.有两个相等的实数根；B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根；D.没有实数根解析：因为△ =3 -4 >4*2）>0,所以该方程有两个不相等的实数根答案:B.丰宀卄*十孙一一轴2 *8. （重庆）右关于X的一兀一次方程x+x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）^3丄丄丄丄A.m >1-B.m v 1二C.m >-匸D.m v」-思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足-'「.2解：由题意，得△ =1-4 > >-3m）> 0,解得m > -I_.答案:C.举一反三：【变式1】当m为什么值时，关于X的方程，1；'1；；•有实根.思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分仁」、—• |和二 .,两种情形讨论.解：当厂「 4 - °即滋一土乙时，「仪+ 1） - 0，方程为一元一次方程，总有实根;2 __当;」4 / :即T工±2时，方程有根的条件是:△二2佃十1）『一4佃？一4）二尿+ 20工0—• ••当：且记工11时，方程有实根综上所述：当［时，方程有实根•【变式2】若关于x的一兀二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3 > 0的解集(用含a的式子表示).思路点拨：要求ax+3> 0的解集，就是求ax> -3的解集，那么就转化为要判定a的值. _2 2是正、负或0 •因为一兀二次方程(a-2)x -2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)-4(a-2)(a+1) v 0就可求出a的取值范围.解：•• •关于x的一兀二次方程(a-2)x -2ax+a+1=0没有实数根. (-2a^-4(a-2)(a+1)=4a2-4^+4a+8 v 0一满足-丁.■/ ax+3 > 0 即ax> -3.所求不等式的解集为•类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值____ 9.(河北)若x i, X2是一元二次方程2X〔3X+仁0的两个根，则x^+x^的值是()§,,!A.〜B.「C.二D.7思路点拨：本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入x i2+x；，求得其值•但一般不解方程，只要将所求代数式转化成含有X计X2和X1X2的代数式，再整体代入.解：由根与系数关系可得X i+X2=二,X i X2=t , X i2+X22=(x i+X2)2-2x i X2=(二)2-2 X =" 答案:A.总结升华：公式之间的恒等变换要熟练掌握•类型五、一元二次方程的应用临考点讲解：1. 构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键.2. 注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.10. （陕西）在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图•如果要使整个挂图的面积是 5400cm 2,设金色纸边的宽为 xcm ，那么x 满足的方程是（危解析：在矩形挂图的四周镶一条宽为 xcm 的金边，那么挂图的长为 （80+2x ）cm ，?宽为2（50+2x ）cm ，由题意，可得（80+2x ）（50+2x ）=5400，整理得 x +65x-350=0.答案:B.11. （海口）某水果批发商场经销一种高档水果， 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少 20千克，现该商场要保证每天盈利 6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价 多少元庄解：设每千克水果应涨价 x 元，依题意，得（500-20x ）（10+x ）=6000 .2整理，得x -15x + 50=0 .解这个方程，x 1=5, X 2=10 . 要使顾客得到实惠，应取 x=5 . 答：每千克应涨价5元.总结升华：应抓住要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况.12. （深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图），打算一面利用长为 15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽.蹴-33^+130= 0 x 1 = 10.帀=〒:不合题意，舍去.答：花圃的长为13米，宽为10米.A.x +130x-1400=0C.X 2-130X -1400=0B.x +65x-350=0 D.x -64x-1350=0解:设与墙垂直的两边长都为::米，则另一边长13又•••当'1。
一元二次方程定义与根的解析
解：因为a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1 而a(x+m+2)2+b=0与a(x+m)2+b=0形式相同
所以：有方程a(x+m+2)2+b=0的解为
x1+2=-2 x1=-4
x2+2=1 x2=-1
已知a是方程x2-x-1=0的一个根，则a4-3a-2的值为 。
解：
因为a是方程x2-x-1=0 所以有：a2-a-1=0 得： 则a4-3a-2=(a+1)2-3a-2 =a2-a-1 =0
a2=a+1
已知2y2+y-3的值为2，则4y2+2y+1的值为 。
解：2y2+y-3=2可变形得：2y2+y=5 所以：4y2+2y+1=(2y2+y)*2+1 =5*2+1 =11
已知m是方程x2-2013x+1=0的一个根，试求m2-2012m+2013/(m2+1)的值。
解：因为m是方程x2-2013x+1=0 得：m2-2013m+1=0 m2=2013m-1 所以：m2-2012m+2013/(m2+1) =2013m-1-2012m+2013/(2013m-1+1) =m+1/m-1
Hale Waihona Puke 若 (m 2)xm22 3 是一元二次方程，则m=.
解析 :
根据一元二次方程的定义得
m-2≠0 所以： m≠2 最高次数为2 m2-2=2 得 m1=2或m2=-2 综合所述 得 m=-2
已知关于x的方程（m+3）xm2-1+2(m-1)x-1=0 （1）M为何值时，它是一元二次方程， （2）m为何值时，它是一元一次方程。
一元二次方程的定义和根
一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。
其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。
对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。
反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。
3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。
4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。
② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。
③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。
（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。
② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。
④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
一元2次方程实数根的判定
一元2次方程实数根的判定
一元2次方程实数根的判定方法是：
当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a
当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a(i是虚数单位)
即Δ大于零，有两个不相等的实根；Δ等于零，有一个实根；Δ小于零，无实根。
因此一元2次方程有实数根，Δ大于或者等于零。
知识拓展
一元二次方程
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。
其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不
是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2 。
、。
一元二次方程的根
初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42-依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）练习题参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。
一元二次方程的定义
• ※ 例6:(1)如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根1和-1
，那么a+b+c=
, a-b+c=
.
(2)已知关于x的一元二次方程
(m-1)x2+2x+m2-1=0有一个根式0，则
m的值为
.
(3)※ 已知m是方程x2-x-1=0的一个 根，求代数式5m2-5m+245的值？
⑧ a2 1 x2 （2a 1）x 5 a 0 （a为常数）
注：看能否化成一般形式.
• ※ 例2：将下列一元二次方程化成一般
形式，并写出其中的二次项系数、一次 项系数和常数项？
1.2x2 1 6x.
2.3x2x1 x3.
3.x2 x 3 3 2 3x.
二、与一元二次方程定义有关的参 数问题
• 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)
一、一元二次方程的定义
• ※ 例1：判断下列方程是不是关于x 的一元二次方程？
① ax2 kx 1 0 (k为常数)
②
4 x 3
1③1 x2 0
④ 5x2 0
⑤ x2 y 0 ⑥ x 32 x - 32
⑦ mx2 3x 2 0 （m为常数）
• 例7:设a,b是方程x2+x-2014=0的两 个实数根(a≠b),求a2+2a+b的值？
当m= 时 ,方程为一元一次方程.
(3)※ 若 m 1x2 mx 4
是关于x的一元二次方程，则m的取
值范围是
.
• ※例5已知方程 2xa xb x2 4 0 是关于x的一元二次方程， a≠0,b≠0, 求a,b的值？
一元二次方程的判别式及跟与系数的关系
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根．这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=−4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b −±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．【例1】（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根． （2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0，c a b −−<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．【例2】（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根，则k 的取值范围为______． 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m 的取值范围是且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．【例3】已知：关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．≤k −1<2且k 1≠2， 由题意，得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩，解得≤k −1<2且k 1≠2；2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠＞－且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【变式3-2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1． 故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20，得()()a b a 22+2+−1≤0．又因为()()a b a 22+2+−1≥0，所以()()a b a 22+2+−1=0，得a =1，b 1=−2．【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a21−2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根， 所以a a 2−3+1=0．所以有a a a 2−2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21−2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．【变式4-2】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=−4，m 2=2．若m =−4，原方程化为x x 2−4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7． 若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==−1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根， 则m m 19+3+2−=02，则m 22=−5，原方程化为x x 22221−+=055，解得x 1=3，x 27=5， ∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375． 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=−，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=−，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=−，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212−++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=−40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a −0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba−<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a −>0，则此方程的两根均为正根；②若ba−<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．【例6】（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12−2⋅−2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12−；⑥x x 2212−；⑦x x 1211−．【解析】（1）−4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7， ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1， ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5，∴x x 12−=，∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==．【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【例7】（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得：≤k 74． 由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x xx x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3−2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意． 当x x 12=1时，k 2−3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或−2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾， 故不存在a ，使()()x x x x 12215−2⋅−2=4． 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．【例8】（1）若m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，则m m n 2+2+−1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，则a ab a b 2−+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，∴m n +=−1，m m 2+−1=0，则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1，（2）∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根，∴a a 2+2−5=0，∴a a 2=5−2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，∴a b +=−2，ab =−5，∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=−2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．【例9】（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3． 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．【课后作业】1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________． A ．k 1≥4 B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3．又≥≤m m 1−0⇒1， 故≤m 1−<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0，两种情形讨论：当m 2−4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2−4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0，解得m 5≥−2．∴当m 5≥−2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥−2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2−3=0，k =3，此时方程为x x 2−4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2−5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =−1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2−40， ∴b ac 2−2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根， ∴αβ+=−3，αα2+3−7=0， ∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4，故答案为：4．11 8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+−=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩，解得：m =−1或m =−15且m 9≥−4， ∴ m =−1．韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
第五讲一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
第5讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=．②0∆=⇔方程有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程没有实数根．④⇔≥∆0方程有（两个）实数根典例分析知识点1：求根的判别式的值例1：（1）一元二次方程2x 2﹣4x+1=0的根的判别式的值是 （2）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m ﹣2）x+m ﹣2=0． （1）求根的判别式△的值（用含m 的代数式表示）． （2）当m=4时，求此一元二次方程根．知识点2：利用根的判别式不解方程判断根的情况 例2：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=知识点：利用根的判别式求待定字母系数的取值范围（1）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax﹣3+a=0有实数根，则a ．（2）关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）=0有两个实数根．求m的取值范围；（3）已知分式，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有个．知识点4：利用根的情况判断三角形形状例4：已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．知识点5：利用判别式求最值例5：阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．知识点:6：一元二次方程的简单应用例6：（1）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．（2）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2？ （2）能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么？（3）怎样围才能使围出的矩形场地面积最大？最大面积为多少？请通过计算说明．二、根与系数的关系 1、根与系数的关系如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(此公式的大前提：0∆≥)2、以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=3、根与系数的关系主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．典例分析知识点7：利用方程中各项系数求两根的和与积 例7：不解方程，求下列方程的两根和与积．（1）x 2﹣2x ﹣3=0； （2）3x 2+x ﹣1=0； （3）x 2+4x ﹣1=0．知识点8：已知方程的一个根，求另一个根例8：⑴若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为 ，c = ．（2）已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同． ⑴求k 的值；⑵求方程220x kx +-=的另一个解．知识点9：已知方程，求关于方程的两根的代数式的值 例9：（1）已知方程2350x x +-=的两根为1x 、2x ，则2212x x += ．（2）已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为 ． （3）已知α、β是方程2520x x ++=βααβ的值．（４）如果a ，b 都是质数，且2130a a m -+=，2130b b m -+=，求b aa b+的值．知识点10：根据根与系数的关系确定方程参数的值 例10：（1）设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是＿＿＿＿．（2）已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值.（3）已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
一元二次方程及根的定义
元二次方程及根的定义〔曲思路点拨：抓住二为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题 解：因为住是方程…」二二--的一个根，所以-I 一 _-L_：u1 一 故 J ■一 J 二匚_、2004tS = — 1 + 曲2005所以-2004a -h r/十1“ 2005 -1 + 应■+ --.已知关于一的方程■!■■- / - - 1的一个根为2，求另一个根及°的思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解 的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可解：将=-代入原方程，得''-解方程，得 」_ 1当'1 ■ -—时，原方程都可化为存-6^+8= 0解方程，得・二0 - 4. 总结升华： 以方程的根为载点•综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住 根”的概念，并以此为突破口举一反三:【变式1】已知一元二次方程「二二.1 I 的一个根是：；：，求代数式—2004c +所以方程的另一个根为 4，-’•或-1.总结升华：方程”即是一个等式”在 等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一 种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验类型二、一元二次方程的解法临2.用直接开平方法解下列方程: 2 2(1)3-27x =0 ； (2)4(1-x) -9=0.2解: (1)27x=3宀丄 $2(2) 4(1-x) =93.用配方法解下列方程：圖 (1) J 「r ； ； (2) /- -J.'. 工 L解: (1)由叮 r ,，得-■:■，x a -H67 + 31 -32 十？=2004.1— x =-畠±3—4盘-2士屈-1±屈-罷土愿所以A' + ?：==-,故•一 -亠.(2) 由，亠一' :-i - - -得厂- ■:- -F +2屈+ (歼=(励+4(工1②2 = 6?所以'■ 1 :J故T 二・、：I _ / -C»4.用公式法解下列方程：解：⑴这里'-■L - •并且1屮一［丨:■ - 1(.-_ g ± J&2 _斗舲1 ± VsX = ------------------------ =：---- 所以二-,1+75 冈i—工1二所以 2 , ___________ .(2)将原方程变形为■'■'：-,.-；■2^ -r-4=0这里"-1并且•.“ I - - ■:--■:-_ £ ± _4舲 1 ± V33X = _______ : ________ 二 _______ 所以LS -总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点， 要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材5. 用因式分解法解下列方程：曲⑴ '，\ ； ⑵… ■-（3）|凶］.I | 上 l ・”rc\ j r ■一 T解：（1）将原方程变形为 ___________________________ ，提取公因式，得 —，因为上 「，所以- 1所以:=•或T — 1二-,⑵直接提取公因式，得肚-现更所以I 1 _|-或Z'i 厂、，（即T " A（3）直接用平方差公式因式分解得所以1|(3)将原方程展开并整理得?［（x 十&） + 2口］［（工 + 总）-加=0所以•或上■■ _ -举一反三：【变式1】用适当方法解下列方程. (1)2(x+3) 2=X (X +3) ;(2)x 2-2 x+2=0 ;2 2⑶X -8x=0 ;(4)x +12x+32=0.2解: (1)2(x+3) =x(x+3)22(x+3) -x(x+3)=0 (x+3)[2(x+3)-x]=0 (x+3)(x+6)=0 x i =-3, X 2=-6.—右土 J 带_ 4游 2昉土应x=X 2=l -'(3) x(x-8)=0x i =0, X 2=8. (4) 配方，得2x +12x+32+4=0+4 (x+6)2=4 x+6=2 或 x+6=-2 X 1=-4， X 2=-8.点评：要根据方程的特点灵活选用方法解方程6. 若「「L ' 一 7 ,求丄匚的值孟思路点拨：观察，把握关键：换元，即把 -I ::看成一个 整体 解：由'：'-|：,得L..!■ I - P〔/+,)-呼=16所以計-(2)x 2-2 J x+2=0这里a=1, b=-2宀, c=2b-4ac=(-2-4 >1 X2=12>0故亠L 「或门〕-（舍去）,所以-：'-■-.总结升华：把某一式子”看成一个整体”用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来.类型三、一元二次方程根的判别式的应用7. （武汉）一元二次方程4X2+3X-2=0的根的情况是（）訓A.有两个相等的实数根；B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根；D.没有实数根解析：因为△ =3 -4 >4*2）>0,所以该方程有两个不相等的实数根答案:B.丰宀卄*十孙一 2 *8. （重庆）右关于X的一兀一次方程x+x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）^3丄丄丄丄A.m >1-B.m v 1二C.m >-匸D.m v」-思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足-'「.2解：由题意，得△ =1-4 > >-3m）> 0,解得m > -I_.答案:C.举一反三：【变式1】当m为什么值时，关于X的方程，1；'1；；•有实根.思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分仁」、—• |和二 .,两种情形讨论.解：当厂「 4 - °即滋一土乙时，「仪+ 1） - 0，方程为一元一次方程，总有实根;2 __当;」4 / :即T工±2时，方程有根的条件是:△二2佃十1）『一4佃？一4）二尿+ 20工0—• ••当：且记工11时，方程有实根综上所述：当［时，方程有实根•【变式2】若关于x的一兀二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3 > 0的解集(用含a的式子表示).思路点拨：要求ax+3 > 0的解集，就是求ax> -3的解集，那么就转化为要判定a的值. _2 2是正、负或0•因为一兀二次方程(a-2)x -2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)-4(a-2)(a+1) v 0就可求出a 的取值范围.解：•• •关于x的一兀二次方程(a-2)x -2ax+a+1=0没有实数根. (-2a^-4(a-2)(a+1)=4a2-4^+4a+8 v 0一满足-丁.■/ ax+3 > 0 即ax> -3.所求不等式的解集为•类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值____ 9.(河北)若x i, X2是一元二次方程2X〔3X+仁0的两个根，则x^+x^的值是()§,,!A.〜B.「C.二D.7思路点拨：本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入x i2+x；，求得其值•但一般不解方程，只要将所求代数式转化成含有X计X2和X1X2的代数式，再整体代入.解：由根与系数关系可得X i+X2=二,X i X2=t , X i2+X22=(x i+X2)2-2x i X2=(二)2-2 X =" 答案:A.总结升华：公式之间的恒等变换要熟练掌握•类型五、一元二次方程的应用临考点讲解：1. 构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键.2. 注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.C» 10.（陕西）在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是 5400cm 2,设金色纸边的宽为 xcm ，那么x 满足的方程是（危解析：在矩形挂图的四周镶一条宽为 xcm 的金边，那么挂图的长为（80+2x ）cm ，?宽为2（50+2x ）cm ，由题意，可得（80+2x ）（50+2x ）=5400，整理得 x +65x-350=0. 答案:B.11. （海口）某水果批发商场经销一种高档水果， 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利 6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元庄解：设每千克水果应涨价 x 元，依题意，得（500-20x ）（10+x ）=6000 .2整理，得x -15x + 50=0 .解这个方程，x 1=5, X 2=10 . 要使顾客得到实惠，应取 x=5 . 答：每千克应涨价5元.总结升华：应抓住要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况.12. （深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图），打算一面利用长为 15米的仓库墙面，三面利用长为 33米的旧围栏，求花圃的长和宽.蹴-33^+130= 0 x 1 = 10.帀=〒:不合题意，舍去.答：花圃的长为13米，宽为10米.A.x +130x-1400=0C.X 2-130X -1400=0B.x +65x-350=0 D.x -64x-1350=0解:设与墙垂直的两边长都为::米，则另一边长13又•••当'1。
一元二次方程的解和根的区别
一元二次方程的解和根的区别一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，a ≠ 0。
解和根是解决方程的结果，但在数学中，解和根有着不同的含义和用法。
解的概念出现在方程的求解过程中，表示方程的解集，也就是满足方程的所有实数或复数的集合。
对于一元二次方程，根据韦达定理（Vieta's formulas），方程的解可以通过以下公式求得：x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在一元二次方程中，可能存在三种情况：1.当(b^2 - 4ac) > 0时，方程有两个实数解，解集为{x1, x2}；2.当(b^2 - 4ac) = 0时，方程有两个相等的实数解，解集为{x1 = x2}；3.当(b^2 - 4ac) < 0时，方程没有实数解，但存在两个互为共轭的复数解，解集为{x1 = (-b + √(4ac - b^2)i) / (2a), x2 = (-b- √(4ac - b^2)i) / (2a)}根的概念源于方程与函数的关系。
在代数学中，根是指函数在给定值时的零点或者函数与坐标轴（通常是x轴）的交点。
对一元二次方程，也就是求解方程时使方程等式左边取0的值。
换句话说，根是方程的解在数轴上的对应点。
根的个数与方程的解的个数是一致的，但是根的分类更加简单明确。
对一元二次方程，根据韦达定理，我们可以得到以下结论：1.当(b^2 - 4ac) > 0时，方程有两个实数根，在数轴上分别对应两个不同的点；2.当(b^2 - 4ac) = 0时，方程有一个实数根，在数轴上对应一个重复的点；3.当(b^2 - 4ac) < 0时，方程没有实数根，但在复数域内有两个互为共轭的根，在复平面上对应两个不同的点。
总结起来，解是方程的所有满足条件的实数或复数的集合，而根是方程在数轴上的零点或者复平面上的交点。
解给出了方程的所有值，而根只是方程的交点和零点的位置。
一元二次方程及根的定义
元二次方程及根的定义S1.已知关于的方程—- . L + M的一个根为 2 ,求另一个根及J的值.⅛思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解程，解方程求出另一个根即可•解：将第=2代入原方程，得^" 1/的值，再代回原方解方程，得-当『1二二-时，原方程都可化为X2 -6x+S = O解方程，得'二二：所以方程的另一个根为 4 ,丁」或-1.总结升华：以方程的根为载点•综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住根”的概念，并以此为突破口•举一反三：【变式1】已知一元二次方程m .-:的一个根是「：，求代数式-2004口 +2005思路点拨：抓住」为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题；-的值.解：因为」是方程「「的一个根，所以；'：-.∣L√∣1 H,-200⅛ +所以2005 L r ..=-l + tι +2005 2005Λ…丨.总结升华：方程”即是一个等式”在等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验类型二、一元二次方程的解法⅛2.用直接开平方法解下列方程:2 2(1) 3-27x =O ；(2)4(1-x) -9=0.2解: (1)27x=3丄92(2)4(1-x) =93.用配方法解下列方程：馬⑴_- : ；(2)「「—八u.解：⑴由'-ι:'.'.'''，得H-U1匸—厂，所以 --二, 故•「二一.二二 .⑵由■ ■ ■ ■- ^11得「，「I-jx 3+272x+(√2)2 = (√2)a +4,(X +7∑)1 = 6,所以-VCP 4.用公式法解下列方程：⅛解：⑴这里r — ■-并且- ■-⅛±√⅛a -4αc1±√5X U ------------------------- = ------------ 所以 J.. -(2) 将原方程变形为=^∣2r b 二 2工=-∙7∑护—4 他二 2'-4χj∑χ(√∑)二 12, -⅛±√⅛2-⅛c-2±λ∕12 -1±√3-√2±√6所以；■--■ -∣∙2 ；•_ J 炳 _ √2 √6码二一—+—» ¾ --—-—所以J - - -.(3) 将原方程展开并整理得一二 .■--.，故"1⑵匚.“^..∙. - -.^所以这里 < -- ,I ,并且「一 .一「一：- ■_ 1√33_ 1 √33Xi = _ + ------ J阳=_ — --------所以 二 二 '--.总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点, 我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材5. 用因式分解法解下列方程：嗚⑴J :匚L:⑶解：(1)将原方程变形为，提取公因式，得，因为一 ■ 11，所以、；打」所以；—1〕或 - I.-' 故 < -Z W 二 L(2) 直接提取公因式，得 (x-⅛-3) + x]=0所以「 H 或：；-，(即」」：：=•；29可二3吗=-故-.(3) 直接用平方差公式因式分解得[(盂 + a) + 2a ] [(X+a) - ⅛] = 0 即匚二.二工所以.∙. T \；-"或.1 乂 .. 故，二込乙X .所以-肿-4“ _1±更2a4要求熟练掌握,它对举一反三：【变式1】用适当方法解下列方程.(1)2(x+3) 2=χ(χ+3) ;(2)χ2-2 t ∙l x+2=0 ; 2 2⑶X -8x=0 ;(4)x +12x+32=0.2解: (1)2(x+3) =x(x+3)22(x+3) -x(x+3)=0 (x+3)[2(x+3)-x]=0 (x+3)(x+6)=0 x ι=-3 , x 2=-6 .b-4ac=(-2)2-4 × >2=12>0j±肿-4血 2击±価X=丄】 = -(3) x(x-8)=0x ι=0 , x 2=8. (4) 配方，得2X +12x+32+4=0+4 (x+6)2=4 x+6=2 或 x+6=-2 X ι=-4， x 2=-8 .点评：要根据方程的特点灵活选用方法解方程6. 若 ■■■ - - ∣'- 二，求一；J 的值• 思路点拨：观察，把握关键：换元，即把 一J 看成一个 整体解：由二，得C?+fiV-4(?+i a )+4 = 16,[(/+沪)-2卜16,所以- 士」,X 2= J 」-IJ -I2(2)x -2 tj -'x+2=0这里 a=1, b=-2c=2故八丨：一或打丨：一 L （舍去）, 所以I : 一 r .'.总结升华：把某一式子”看成一个整体”用换元的思想转化为方程求解，这种转化与 化归的意识要建立起来.类型三、一元二次方程根的判别式的应用⅛7. （武汉）一元二次方程4X 2+3X -2=0的根的情况是（济A.有两个相等的实数根； B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根；D.没有实数根解析：因为△ =3 -4 ××-2） >0,所以该方程有两个不相等的实数根 答案:B.08.（重庆）若关于X 的一元二次方程χ2+χ-3m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）忌i思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足2解：由题意，得△ =1-4 × ×-3m) > 0,解得m > -. 答案:C.举一反三：【变式1】当m 为什么值时，关于 X 的方程.灯一 严■■ J：；亠-二 ' 有实根.思路点拨： 题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分 ：：•- .1和；-」I 两种情形讨论.解：当-- I 即：—-时，; ,方程为一元一次方程，总有实根；当-'1 / :即二；龙时，方程有根的条件是：∆ = [2(ffi+1)]2-4P-4) = 8^+20≥0丄c•••当 -且 时，方程有实根.m > —综上所述：当［时，方程有实根_ 2丄B. m V __丄C. m >- ]_【变式2】若关于X 的一兀二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3 > 0的解集 (用含a 的式子表示).思路点拨：要求ax+3 > 0的解集，就是求 ax > -3的解集，那么就转化为要判定a 的值._I 2 2是正、负或0•因为一兀二次方程(a-2)x -2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)-4(a-2)(a+1) V 0就 可求出a 的取值范围.解：T 关于X 的一兀二次方程(a-2)x -2ax+a+1=0没有实数根.∕∙ (-2a^-4(a-2)(a+1)=4a 2-4^+4a+8 V 0一满足「1 — _ ■.■/ax+3 > 0 即 ax > -33a3X C —•所求不等式的解集为.类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值S9.(河北)若x ι, X 2是一兀二次方程 2χl3χ+仁0的两个根，则 x^+x^的值是()屈59 ∏A.B.C. :D.7思路点拨：本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入 X 12+X 22,求得其值•但一般不解方程，只要将所求代数式转化成含有X 计X 2和X 1X 2的代数式，再整体代入.31 3 £ 5解：由根与系数关系可得 X l +X 2= - , X l X 2=J , X 12+X 22 = (X 1+X 2)2-2X 1 X 2=( - )2-2 ×='.答案:A.总结升华：公式之间的恒等变换要熟练掌握.类型五、一元二次方程的应用S考点讲解：1. 构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通 过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键.2. 注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简 洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.C 10.（陕西）在一幅长80cm ,宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图•如果要使整个挂图的面积是 5400cm 2,设金色纸边的宽为 XCm ，那么X 满足的方程是（）l .^^'A 2 2A.x +130x-1400=0B.x +65x-350=0C.x -130x-1400=0D.x -64x-1350=0解析：在矩形挂图的四周镶一条宽为 XCm 的金边，那么挂图的长为（80+2X ）Cm ，?宽为2（50+2X）Cm ,由题意，可得（80+2x）（50+2x）=5400 ,整理得X +65x-350=0. 答案:B.C11.（海口）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？⅛解：设每千克水果应涨价X元，依题意，得（500-20x）（10+x）=6000 .2整理，得X -15x + 50=0 .解这个方程，X1=5, X2=10 .要使顾客得到实惠，应取x=5 .答：每千克应涨价5元.总结升华：应抓住要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况.12.（深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽.⅛解：设与墙垂直的两边长都为：米，则另一边长米，依题意得、工2z1 33x+130 = O X l= 10, ¾ =—1 2 2又∙.∙当;R--时，… ∙l .l - j 113当一丄时，「「：」13X二i—•••-不合题意，舍去.•••答：花圃的长为13米，宽为10米.。
一元二次方程及其根的性质
一元二次方程及其根的性质一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，它是关于未知数的二次方程。
在本文中，我们将探讨一元二次方程的定义以及其根的性质。
一、一元二次方程的定义一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的实数系数，且a ≠ 0。
其中，x代表未知数，a、b、c分别代表方程中二次、一次和常数项的系数。
二、一元二次方程的根一元二次方程的解即为方程的根。
一元二次方程的根可能存在以下情况：1. 两个不同的实数根：当一元二次方程的判别式b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不同的实数根。
此时，方程的解可通过求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a来得到。
2. 两个相等的实数根：当一元二次方程的判别式b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，方程的解可通过求根公式x = -b / (2a)来得到。
3. 两个共轭复数根：当一元二次方程的判别式b^2 - 4ac < 0时，方程的解为两个共轭复数根。
此时，方程的解可通过求根公式x = (-b ±i√(4ac - b^2)) / 2a来得到，其中i代表虚数单位。
三、一元二次方程根的性质一元二次方程的根有一些重要的性质，下面我们将逐一讨论：1. 和与积的关系：设一元二次方程的两个根分别为x1和x2，根据求根公式可知，x1 + x2 = -b / a，x1 * x2 = c / a。
也就是说，一元二次方程根的和等于系数b的相反数除以系数a，根的积等于常数项c除以系数a。
2. 根的判断：一元二次方程的判别式b^2 - 4ac可用来判断方程根的情况。
a. 当判别式大于0时，方程有两个不同的实数根。
b. 当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根。
c. 当判别式小于0时，方程有两个共轭复数根。
3. 顶点坐标：一元二次方程对应的抛物线的顶点坐标可通过计算公式x = -b / (2a)得到。
一元二次根式的要求-概述说明以及解释
一元二次根式的要求-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分可以从以下角度入手：一元二次根式是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
它是一种形式为\sqrt{ax^2 + bx + c} 的根式，其中a、b、c 是实数，且a 不等于零。
一元二次根式的重要性在于它能够描述许多与二次方程相关的问题，如抛物线的形状、曲线的最值点等。
研究一元二次根式需要了解其定义和性质。
在定义方面，一元二次根式是由含有二次项、一次项和常数项的二次方程所引出的。
它的形式为\sqrt{ax^2 + bx + c}，其中a、b、c 分别代表二次项、一次项和常数项。
一元二次根式的性质包括可分解性、求值方式和运算规则等。
了解一元二次根式的要求对于深入理解它的应用至关重要。
首先，我们需要掌握一元二次根式的解法，即如何求出一元二次根式的值。
其次，要了解一元二次根式的图像特点，包括抛物线的开口方向、顶点坐标等。
最后，还需要熟悉一元二次根式的运算规则，如加法、减法、乘法和除法等。
这些要求能够帮助我们更好地应用一元二次根式解决实际问题。
掌握一元二次根式的要求具有重要意义。
一方面，它是理解更复杂的数学概念的基础，如高次根式、复数根式等。
另一方面，一元二次根式广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，能够帮助我们解决涉及到二次方程的实际问题。
因此，深入理解并掌握一元二次根式的要求是我们学习数学和应用数学的必备知识。
总之，一元二次根式作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过学习一元二次根式的定义、性质和要求，我们可以更好地理解和应用它，为解决实际问题提供有力的工具和方法。
1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分，下面将对各部分的内容进行详细介绍。
引言部分将从概述、文章结构和目的三个方面进行阐述。
在概述部分，我们将简要介绍一元二次根式的基本概念和重要性，以引起读者的兴趣。
接着，在文章结构部分，我们将说明本文的组织结构和内容安排。
一元二次方程两根异号_概述说明以及解释
一元二次方程两根异号概述说明以及解释1. 引言1.1 概述一元二次方程是数学中非常重要的一个概念，解决了许多实际问题。
在一元二次方程中，存在着不同种类的根，其中之一是异号根。
异号根指的是方程的两个根具有相反的符号，一个为正数，一个为负数。
本文将对一元二次方程中存在异号根的概念进行详细阐述，并介绍解决这类问题的方法和步骤。
1.2 文章结构本文分为引言、正文、示例与解释、总结与讨论以及结尾陈述与致谢等几个部分。
首先，在引言部分介绍文章的目的和整体结构。
接下来，在正文部分，我们将详细阐述一元二次方程的定义和形式，并深入探讨异号根在方程中的含义和特征。
然后，我们将介绍解决一元二次方程中异号根问题的具体方法和步骤。
在示例与解释部分，我们将给出几个具体案例来说明求解具有异号根的一元二次方程在实际应用中的意义。
接着，在总结与讨论部分，对本文内容进行总结，并展开深入讨论与扩展思考。
最后，在结尾陈述与致谢等部分，我们将进行结尾陈述并表达对相关研究和贡献的致谢。
1.3 目的本文的目的是深入解释一元二次方程中异号根的概念和特征，并介绍解决这类问题的方法和步骤。
通过具体案例的讲解，帮助读者理解一元二次方程中异号根的实际应用，并提供有关教育和科研方面的意义与建议。
通过详细阐述和讨论，增强读者对一元二次方程以及异号根相关知识的理解，为进一步研究和应用奠定基础。
2. 正文：2.1 一元二次方程的定义和形式：一元二次方程是指只含有一个未知数的二次项及以下的多项式方程。
其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
2.2 异号根的含义与特征：异号根是指一元二次方程在求解时得到两个不相等的实数解，它们具有相反的符号。
当一元二次方程的判别式D=b^2-4ac大于0时，方程有两个实数根且这两个根异号；当D=0时，方程有一个实数根；当D小于0时，方程无实数根。
2.3 解决异号根的方法和步骤：要解决一元二次方程存在异号根的问题，可以按照以下步骤进行推导和计算：步骤1：给定一元二次方程ax^2 + bx + c = 0；步骤2：计算判别式D = b^2 - 4ac；步骤3：判断判别式D是否大于0；- 若D大于0，则继续进行下一步；- 若D等于0，则表示仅有一个实数根；- 若D小于0，则表示无实数根。
一元二次方程判别式以及根与系数关系
一元二次方程判别式以及根与系数关系知识总结1．一元二次方程的根的判别式(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况由b 2－4ac 来确定．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ＝b 2－4ac .注意：要想利用根的判别式求解方程，首先要将方程化为一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，以便确定a ，b ，c 并代入b 2－4ac 计算． (2)一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系①利用根的判别式判定根的情况．一般地，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根．②根据方程根的情况，确定Δ的取值范围．当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.注意：①如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时b 2－4ac ≥0，切勿丢掉等号．②当b 2－4ac ＜0时，方程在实数范围内无解(无实数根)，但在复数范围内方程仍有两个解，这将在高中阶段学习．【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)2x 2＋3x －4＝0；(2)3x 2＋2＝26x ；(3)ax 2＋bx ＝0(a ≠0)；(4)ax 2＋c ＝0(a ≠0)．（3）利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则b 2－4ac ＞0；若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，则b 2－4ac ＝0.从而根据关于字母系数的方程或不等式求出字母系数的值或取值范围．在运用时应注意前提条件：必须是一元二次方程且符合其一般形式．【例2】已知关于x 的方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值，并解这个方程．【例3】当k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2＋9＝12x ，(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？2．一元二次方程的根与系数的关系（1）如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件： ①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a ≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a ≠0.(2)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .【例4】不解方程，说明一元二次方程2x 2＋4x ＝1必有实数根，并求出两根之和与两根之积．（2）利用根与系数的关系确定一元二次方程若x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根． 注意：(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 【例5】已知一个关于x 的一元二次方程，它的两根为2和6，请你写出这个一元二次方程．总结：已知两根求一元二次方程，其一般步骤是：①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，求出所要求的方程．【例6】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．（3）利用一元二次方程根与系数的关系求关于两根x 1，x 2的代数式的值已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则求含有x 1，x 2的代数式的值时，其方法是把含x 1，x 2的代数式通过转化，变为用x 1＋x 2，x 1x 2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形：①21x ＋22x ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；②1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2；③(x 1＋a )(x 2＋a )＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2；④|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.【例7】已知方程2x 2＋5x －6＝0的两个根为x 1，x 2，求下列代数式的值．(1)(x 1－2)(x 2－2)；(2)x 2x 1＋x 1x 2.（4）已知含未知常数m 的一元二次方程两根关系式，求未知常数m 。
一元二次方程的两个不相等的负根_概述说明
一元二次方程的两个不相等的负根概述说明1. 引言1.1 概述本文主要讨论一元二次方程中存在两个不相等的负根的情况及其相关意义。
一元二次方程是高中数学中的重要概念，它以形如ax^2 + bx + c = 0的形式出现。
而解这种方程是求出其中的根，即能够使方程成立的x值。
在一元二次方程中，大多数情况下我们只讨论有实根或者有两个不相等实根的情况，但存在着另一种特殊情况，即存在两个不相等的负根。
本文将对这种情况进行详细分析，并探讨具体案例、应用以及在数学领域中的重要性。
1.2 文章结构本文共分为五个部分。
首先是引言部分，在这部分我们将简要介绍文章所涉及的主题和目标。
接下来，在第二部分中我们将定义一元二次方程并推导求根公式，从理论层面解释了为什么会存在两个不相等负根。
在第三部分中，我们将通过具体案例进行深入分析和解释。
这些案例包括解决实际问题中出现的一元二次方程、利用图像解释两个不相等负根的意义以及探讨数学模型化问题求解过程中出现两个不相等负根的原因和影响。
在第四部分中，我们将重点阐述两个不相等负根在数学领域中的应用与重要性。
这包括物理学和经济学中一元二次方程的举例以及其他领域对一元二次方程解有两个不相等负根的分析。
最后，在结论部分，我们将总结文章中涉及到的关键点，并展望未来对于此主题研究和进一步探索的可能性。
1.3 目的本文旨在深入探讨一元二次方程中存在两个不相等负根的情况，并说明其对实际问题与数学领域的意义。
通过分析具体案例、应用和相关领域研究，希望读者能够更全面地了解和理解一元二次方程及其解根特点。
同时，本文也为未来相关研究提供了参考和展望。
2. 一元二次方程的定义与求根公式2.1 一元二次方程的定义及特点一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c为已知常数且a ≠0。
它是一个二次多项式方程，其中x表示未知数。
一元二次方程具有以下特点：- 方程中最高次幂为2，即含有二次项；- 方程只含有一个未知数x；- 方程中的系数a、b和c可以是任意实数，但系数a不能为零。
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一元二次方程及根的定义
1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及的值.
思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可.
解：将代入原方程，得
即
解方程，得
当时，原方程都可化为
解方程，得.
所以方程的另一个根为4，或-1.
总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口.
举一反三：
【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式
的值.
思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题.
解：因为是方程的一个根,
所以,
故,
,
所以.
.
总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验.
类型二、一元二次方程的解法
2.用直接开平方法解下列方程：
(1)3-27x2=0；(2)4(1-x)2-9=0.
解：(1)27x2=3
.
(2)4(1-x)2=9
3.用配方法解下列方程：
(1)；(2).
解：(1)由，
得，
，
，
所以，
故.
(2)由，
得，
，
，
所以
故
4.用公式法解下列方程：
(1)；(2)；(3). 解：(1)这里
并且
所以，
所以，.
(2)将原方程变形为，
则
，
所以，
所以.
(3)将原方程展开并整理得，
这里，
并且，
所以.
所以.
总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材.
5.用因式分解法解下列方程：
(1)；(2)；
(3).
解：(1)将原方程变形为，
提取公因式，得，
因为，所以
所以或，
故
(2)直接提取公因式，得
所以或，(即
故.
(3)直接用平方差公式因式分解得
即
所以或
故.
举一反三：
【变式1】用适当方法解下列方程．
(1)2(x+3)2=x(x+3)；(2)x2-2x+2=0；
(3)x2-8x=0；(4)x2+12x+32=0.
解：(1)2(x+3)2=x(x+3)
2(x+3)2-x(x+3)=0
(x+3)[2(x+3)-x]=0
(x+3)(x+6)=0
x1=-3，x2=-6．
(2)x2-2x+2=0
这里a=1，b=-2，c=2
b2-4ac=(-2)2-4×1×2=12＞0
x==
x1=+，x2=-
(3)x(x-8)=0
x1=0，x2=8．
(4)配方，得
x2+12x+32+4=0+4
(x+6)2=4
x+6=2或x+6=-2
x1=-4，x2=-8．
点评:要根据方程的特点灵活选用方法解方程.
6.若，求的值.
思路点拨：观察，把握关键：换元，即把看成一个“整体”.解：由，
得，
，
，
所以，
故或(舍去)，
所以.
总结升华：把某一“式子”看成一个“整体”，用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来.
类型三、一元二次方程根的判别式的应用
7.(武汉)一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根;
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根;
D.没有实数根
解析:因为△=32-4×4×(-2)＞0，所以该方程有两个不相等的实数根.
答案:B.
8.(重庆)若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A.m＞
B.m＜
C.m＞-
D.m＜-
思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足.
解:由题意，得△=12-4×1×(-3m)＞0，
解得m＞-.
答案:C.
举一反三：
【变式1】当m为什么值时，关于x的方程有实根.
思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分和两种情形讨论.
解：当即时，，方程为一元一次方程，总有实根；
当即时，方程有根的条件是：
，解得
∴当且时，方程有实根.
综上所述：当时，方程有实根.
【变式2】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)．
思路点拨：要求ax+3＞0的解集，就是求ax＞-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)＜0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8＜0
∴满足
∵ax+3＞0即ax＞-3
∴所求不等式的解集为.
类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值
9.(河北)若x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是( )
A. B. C. D.7
思路点拨:本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入x12+x22，求得其值.但一般不解方程，只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式，再整体代入.
解:由根与系数关系可得x1+x2=，x1·x2=，x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=()2-2×=.
答案:A.
总结升华:公式之间的恒等变换要熟练掌握.
类型五、一元二次方程的应用
考点讲解：
1．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体
问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．
2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要
对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．
10.(陕西)在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )
A.x2+130x-1400=0
B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1400=0
D.x2-64x-1350=0
解析:在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边，那么挂图的长为(80+2x)cm，•宽为(50+2x)cm，由题意，可得(80+2x)(50+2x)=5400，整理得x2+65x-350=0.
答案:B.
11.(海口)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
解：设每千克水果应涨价x元，依题意，得(500-20x)(10+x)=6000．
整理，得x2-15x＋50=0．解这个方程，x1=5，x2=10．
要使顾客得到实惠，应取x=5．
答：每千克应涨价5元．
总结升华：应抓住“要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况．
12.(深圳南山区)课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃(如图)，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．
解：设与墙垂直的两边长都为米，则另一边长为
米，依题意得
又∵当时，
当时，
∴不合题意，舍去．∴.
答：花圃的长为13米，宽为10米．。