椭圆及其标准方程学案

《§8.1.1 椭圆及其标准方程》学案
一、学习目标：
1.理解并掌握椭圆的定义、焦距
2.掌握椭圆的标准方程及其推导方法 二、问题的提出
2005年10月12日上午9时，“神舟六号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问： “神舟六号”载人飞船的运行轨道是什么？(神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公里的圆形轨道.)
问题1：什么叫圆?
问题2：如果将圆的定义中的”一个定点”改为”两个定点”,也就是说将”到一个定点的距离等于定长”改述为:到两个定点的距离之和等于定长,那么点的集合又是什么呢?
三、自学指导：
任务一：1、做实验：阅读P102第一段内容，尝试动手画图。

材料：作业本大小纸张、一段细绳、两颗图钉、一支铅笔。

把绳子的两端分开固定在两个定点21F F 、上，保持拉紧状态，移动铅笔，请思考 （1）笔尖画出的轨迹是什么图形？
（2）在一次实验过程中，绳长改变了吗？21F F 、的位置改变了吗？ （3）改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ （4）绳长能小于两图钉之间的距离吗？
2、结论：绳长记为a 2，两定点间的距离记为c 2(c ≠0). （1）当c a 22>时，轨迹是 ；
（2）当c a 22=时，轨迹是 ； （3）当c a 22<时，轨迹是 .
3、椭圆的定义：平面内与两个定点21F F 、的 等于 （大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个 叫做椭圆的焦点， 的距离叫做椭圆的焦距。

翻译为数学语言：a MF MF 2
21=+（常数）（221F ）
焦点： 焦距： （一般用2c 表示） 任务二：阅读P102--103内容，尝式推导“椭圆的方程”。

1．回顾求曲线方程的一般步骤：（1） （2） （3） 2. 椭圆标准方程的推导过程
（1）建系、设点：取通过焦点21F F 的直线为 ，线段21F F 的垂直平分线为 ，建立平面直角坐标系。

设椭圆上的一点为M(x,y)，椭圆的焦距为2c(c>0), 则焦点
1F (-c,0)、2F (c,0). 则 .
( 2) 列方程：用坐标表示点M 满足的条件 . （3）化简方程： 思路1：直接平方 思路2：
我们选择思路2：得右边将左边的一个根式移到为化简这个方程
,, 将这个方程两边平方，得： .
整理得
，上式两边再平方，得 .
,22222222c a a y a x c a -=+-整理得设 得 两边同时除以22b a 得 （0>>b a ）此方程叫做椭圆的标准方程. 它表示：① 椭圆的焦点在 ② ③
3.如何推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？ 如右图所示：椭圆焦点21F F 、在y 轴上,点,0(1F -b a 、的意义同上. 由椭圆的定义得 所得椭圆标准方程为： .
它表示的椭圆 ①焦点在 ② 焦点是 ③ 思考一: 椭圆标准方程中三个参数a 、b 、c 的关系怎样?
思考二: 如何由标准方程判定焦点位置?
四、自学检测：
1. 已知椭圆方程为 ，则(1) a= , b= , c= ; (2) 焦点在 轴上,其焦点坐标为 , 焦距为 。

(3) 若C 为椭圆上一点，21F F 、分别为椭圆的左、右焦点，并且1CF =2,则2CF = .
2.
判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。

五、小结：请说出本节课你的收获？
x
PF |||1+222221)(||,)(||c y x PF c y x PF -+=++=a c y x c y x 2)()(222
2=-++++116
2522=+y x ),0(222>=-b b c a 222)(y c x a cx a +-=-116
25)1(22=+y x 1
16
)2(22
=+x y 6
23)3(22=+y x。