3.1.1方程的根与函数的零点教案(优秀教案)
教案(公开课)方程的根与函数的零点_(新)
3.1.1方程的根与函数的零点一、重难点1、教学重点：发现并体会函数的零点与方程的根之间的联系2、教学难点：零点存在性的判定条件及函数零点的应用。
二、教学过程（一）兴趣导入，引入新知引例： 判断下列方程是否有实数根，如有实数根，请求出方程的实数根（1）023=+x ； (2)0322=+-x x （3) 062ln =-+x x思考：一元二次方程)0()0(022≠++=≠=++a c bx ax y a c bx ax 的根与二次函数的图像有什么关系？问题1 填表，观察表格并说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x 轴的结论： 问题 2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交函数图象与x 轴的交点结论：（二）总结归纳，形成概念1.函数的零点： 。
2.方程根与函数零点等价关系：（三）深入理解，巩固新知巩固练习1、求下列函数的零点：34)()1(2+-=x x x f 42)()2(-=x x f 1log )()3(2-=x x f 现在我们回到引例3，你能判断方程062ln =-+x x 是否有实数根吗？（用图象法解决）（四）问题引导，继续探究（零点存在性）探究1： 87P 作出32)(2--=x x x f 的图象，求)1()2(f f 与-的值，观察)1()2(f f ⋅-的符号探究2：观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；)()(b f a f ⋅ 0；在区间[,]b c 上 零点；)()(c f b f ⋅ 0；在区间[,]c d 上 零点；)()(d f c f ⋅ 0.归纳总结： 。
3.零点存在定理： 只存在一个零点？在区间（函数思考：在什么条件下，内只有一个零点；在区间（则函数内有零点，则在区间（）函数（内有零点；在区间（则函数）（请用图像举出反例判断正误：若不正确，),)(),)(,0)()()3(;0)()(),)(2),)(0)()(1b a x f y b a x f y b f a f b f a f b a x f y b a x f y b f a f ==<⋅<⋅==<⋅（五)学以致用，例题巩固 例1、88P 求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数巩固练习：1.函数f(x)=x(x 2-16)的零点为( )Ａ. (0,0),(4,0) Ｂ.0,4 Ｃ. (–4,0),(0,0),(4,0) Ｄ.–4,0,42.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：x 1 2 3 4 5 6 7f (x ) 23 9 –7 11 –5 –12 –26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个A.5个B.4个C.3个D.2个（六）反思小结,感悟收获 一种关系： 两种思想： 三种题型：。
方程的根与函数的零点(精选7篇)
方程的根与函数的零点（精选7篇）方程的根与函数的零点篇1第一课时： 3.1.1教学要求：结合二次函数的图象，推断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；把握零点存在的判定条件.教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，把握零点存在的判定条件.教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.教学过程：一、复习预备：思索：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系？.二、讲授新课：1、探讨函数零点与方程的根的关系：① 探讨：方程x -2x-3=o 的根是什么？函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点?方程x -2x+1=0的根是什么？函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点？方程x -2x+3=0的根是什么？函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点？② 依据以上探讨，让同学自己归纳并发觉得出结论：→推广到y=f(x)呢？一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标.③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.④ 争论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x 轴交点的横坐标的关系？结论：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点⑤ 练习：求下列函数的零点；→ 小结：二次函数零点状况2、教学零点存在性定理及应用：① 探究：作出的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观看f(2)和f(0)的符号②观看下面函数的图象，在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞).③定理：假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.④ 应用：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数. （试争论一些函数值→分别用代数法、几何法）⑤小结：函数零点的求法代数法：求方程的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.⑥ 练习：求函数的零点所在区间.3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理三、巩固练习：1. p97, 1,题 2,题（老师计算机演示，同学回答）2. 求函数的零点所在区间，并画出它的大致图象.3. 求下列函数的零点：；；；.4.已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）假如函数至少有一个零点在原点右侧，求的值.5. 作业：p102, 2题；p125 1题其次课时： 3.1.2用二分法求方程的近似解教学要求：依据详细函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使同学体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学重点：用二分法求方程的近似解.教学重点：恰当的使用信息工具.教学过程：一、复习预备：1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.2. 探究：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？材料：高次多项式方程公式解的探究史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却始终没有胜利，到了十九世纪，依据阿贝尔（abel）和伽罗瓦（galois）的讨论，人们熟悉到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当简单，一般来讲并不相宜作详细计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中非常重要的课题二、讲授新课：1. 教学二分法的思想及步骤：① 出示例：有12个小球，质量匀称，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （让同学们自由发言，找出最好的方法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端肯定有重球其次次，两端各放三个球，低的那一端肯定有重球第三次，两端各放一个球，假如平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？② 探究：的零点所在区间？如何找出这个零点？→ 师生用二分法探究③ 定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)④ 探究：给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：a.确定区间，验证，给定精度ε；b. 求区间的中点；c. 计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；d. 推断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4.2. 教学例题：① 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程2 +3x=7的近似解. （师生共练）② 练习：求函数的一个正数零点（精确到）3. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注意二分法思想三、巩固练习：1. p100, 1,题 2,题； 2. 求方程的解的个数及其大致所在区间.3. 用二分法求的近似值；4. 求方程的实数解个数：；5. 作业：p102 3，4题，阅读p105框图方程的根与函数的零点篇2一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。
高一数学 方程的根与函数的零点精华教案
芯衣州星海市涌泉学校课题3.1.1方程的根与函数的零点三维教学目标知识与才能1.理解函数〔结合二次函数〕零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的断定条件；〔ABC〕2.培养学生的观察才能；〔ABC〕3.培养学生的抽象概括才能。
〔AB〕过程与方法1.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；〔ABC〕2.让学生归纳整理本节所学知识．〔AB〕情感、态度、价值观在函数与方程的联络中体验数学中的转化思想的意义和价值。
〔ABC〕教学内容分析教学重点零点的概念及存在性的断定。
教学难点零点确实定。
教学流程与教学内容一、创设情景，提醒课题1、提出问题：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个详细的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：〔用投影仪给出〕①方程与函数②方程与函数③方程与函数1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立考虑完成解答，观察、考虑、总结、概括得出结论，并进展交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？二、互动交流研讨新知函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点：①〔代数法〕求方程的实数根；②〔几何法〕对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联络起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探究其求法：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探究研究二次函数的零点情况，并进展交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数．〔１〕△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．〔２〕△＝０，方程有两相等实根〔二重根〕，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或者者二阶零点．〔３〕△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探究：〔Ⅰ〕观察二次函数的图象：①在区间上有零点______；_______，_______,·_____0〔＜或者者＞＝〕．②在区间上有零点______；·____0〔＜或者者＞＝〕．〔Ⅱ〕观察下面函数的图象①在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或者者＞＝〕．②在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或者者＞＝〕．③在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或者者＞＝〕．由以上两步探究，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探究，完成解答，并认真考虑．〔AB〕师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，考虑、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进展交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．三、稳固深化，开展思维1．学生在教师指导下完成以下例题〔AB〕例1．求函数f(x)=㏑x＋2x－6的零点个数。
3.1.1方程的根与函数的零点教案(优秀教案)
《方程的根与函数的零点》的助学案高一（8）班 授课教师学习目标：1.掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系； 2零点的概念及零点存在性的判定学习难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.预习案：先来画出几个具体的一元二次方程对应的二次函数的图象，并观察二次函数与x轴交点个数？○1方程0322=--x x 与函数322--=x x y ;○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ;○3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y探究案：探究1：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点． 零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的。
练习：求函数x x y 43-=的零点是不是所有的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都有零点？ ac b 42-=∆ 02=++c bx ax 的实根 )0(2≠++=a c bx ax y 图像与x 轴交点 )0(2≠++=a c bx ax y 有几个零点∆>0∆=0∆<0探究2:观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1在区间()1,2-上有零点吗？______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f •)1(f _____0 （＜或＞）．○2 在区间()4,2上有零点______；)2(f •)4(f ____0 （＜或＞）．观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间()b a ,上______(有/无)零点；)(a f •)(b f _____0（＜或＞）．○2 在区间()c b ,上______(有/无)零点；)(b f •)(c f _____0（＜或＞）．○3 在区间()d c ,上______(有/无)零点；)(c f •)(d f _____0（＜或＞）．○4()a f •()c f _____0（＜或＞）．在区间()c a ,上______(有/无)零点？○5()()d f a f • 0（＜或＞）。
3.1.1《方程的根与函数的零点》教学设计
3.1.1《方程的根与函数的零点》教学设计一、学习内容分析本节课主要教学内容有函数零点的定义和函数零点存在的判定方法(即零点存在定理)，不仅为后继学习做铺垫，而且从中学数学内容结构来看,本课的内容也可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充。
给出函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，用函数的观点统领中学代数知识，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想之下，从这个角度看本节课还应承载建立函数与方程数学思想的任务，具有承前启后的作用，地位至关重要。
“函数的零点”这个概念体现了联系的观点、整体地看问题，通过转化解决问题，蕴涵了数形结合、化归的数学思想。
二、教学目标知识与技能：（1）结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；（2）结合几类基本初等函数的图像特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法。
过程与方法：（1）经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力；（2）通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法。
情感、态度与价值观：（1）让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用；（2）培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯。
三、学情分析高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解，对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用。
对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位。
四、教学重难点：教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。
高中数学人教A版必修1第三章3、1、1方程的根与函数的零点的近似值 - 教案
3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。
二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。
b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。
②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。
探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。
②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。
你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。
（精度为0.1） 课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 （ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为 ；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。
教学设计5：3.1.1 方程的根与函数的零点
3.1.1方程的根与函数的零点●三维目标1．知识与技能(1)结合二次函数的图象，理解零点的定义及方程的根与函数的零点的等价条件，学会判断函数零点的存在性及零点的个数，从而体会函数的零点与方程的根的联系；(2)理解并会运用函数在某个区间上存在零点的判定方法．2．过程与方法培养学生观察、思考、分析、猜想、验证的能力，并从中体验从特殊到一般思想及函数与方程思想．3．情感、态度与价值观从函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值．●重点难点重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．难点：探究发现函数零点的存在性．重难点的突破：以学生熟悉的二次函数图象和二次方程为平台，通过让学生观察方程和函数形式上的联系，引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想，为探索零点存在定理做好铺垫．在此基础上，以学生熟悉的一次函数、二次函数为载体，运用数形结合的思想，借助多媒体，以动态的形式演示函数值在零点附近的变化规律，通过学生的观察、思考、交流、探索归纳出连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内一定有零点的条件：f(a)·f(b)<0，并通过范例及变式训练对零点存在的判定条件加以训练，突出重点的同时化解难点．课标解读1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点) 2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点) 知识1函数的零点【问题导思】1．函数f(x)在[－5,2]上的图象如图所示，根据图象你能否得出方程f(x)＝0的根？【提示】由图可知f(x)＝0的根分别为－4，－2,1.2．函数y ＝f (x )的零点是点吗？为什么？【提示】 不是．函数的零点的本质是方程f (x )＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，函数值为零．3．函数y ＝x 2有零点吗？【提示】 有．∵x ＝0时y ＝0.∴函数y ＝x 2有零点，是0.(1)定义：对于函数y ＝f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几何意义：函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标就是函数y ＝f (x )的零点．方程5x ＋6＝0的根、函数y ＝5x ＋6的零点、函数y ＝5x ＋6的图象之间有何关系？ 【提示】 方程5x ＋6＝0的根为x ＝－65，函数y ＝5x ＋6的零点也是x ＝－65，函数y＝5x ＋6的图象与x 轴交点横坐标也是－65.即，三者均相同．方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．观察问题1中的函数图象，零点－4,2,1两侧附近的函数值的符号有何特征？【提示】 在－4两侧附近函数值左负右正，在－2两侧附近函数值左正右负，在1两侧附近函数值左负右正．即：每个零点两侧附近的函数值均异号．如果函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根.例1 (1)f (x )＝x 2＋7x ＋6； (2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)； (3)f (x )＝2x －1－3； (4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.【思路探究】 分别解方程f (x )＝0得函数的零点．【自主解答】 (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或x ＝－6， 所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26. (4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.规律方法求函数零点的两种方法(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．变式训练已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝log n (mx ＋1)的零点． 【解】 由题可知f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2，则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3m ＋11×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝2.所以函数y ＝log n (mx ＋1)的解析式为y ＝log 2(－2x ＋1)， 要求其零点，则log 2(－2x ＋1)＝0，解得x ＝0. 所以函数y ＝log 2(－2x ＋1)的零点为0.类型2判断函数零点所在区间例2.(x )＝2x －1x 的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，2 【思路探究】 求解本题的关键是验证所给区间(a ，b )是否满足f (a )·f (b )<0. 【自主解答】 ∵f (x )＝2x －1x ，且f (1)＝2－1＝1>0，f ⎝⎛⎭⎫12＝2－2<0， ∴f (1)·f ⎝⎛⎭⎫12<0，∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内存在零点． 【答案】 B 规律方法1．判定函数在某区间(a ，b )上是否有零点，关键有两点：一是曲线是否是连续不断的；二是f (a )与f (b )是否异号．2．当函数y ＝f (x )的图象在闭区间[a ，b ]上不是连续曲线或不满足f (a )·f (b )<0时，函数在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．3．判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判：所得把函数值相乘，并进行符号判断．(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．变式训练方程⎝⎛⎭⎫13x ＝x 12有解x 0，则所在的区间是( ) A ．(2,3) B ．(1,2) C ．(0,1)D ．(－1,0)【解析】 令f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －x 12.∵f (0)＝⎝⎛⎭⎫130－0＝1>0， f (1)＝⎝⎛⎭⎫131－1＝－23<0，∴f (0)·f (1)<0. ∴方程⎝⎛⎭⎫13x ＝x 12的解x 0所在的区间为(0,1)． 【答案】 C类型3判断函数零点的个数例3.函数f (x )＝x －3＋ln x 的零点个数．【思路探究】 思路一 令g （x ）＝3－x ，h （x ）＝ln x →画出g （x ），h （x ）的图象→交点个数即为零点个数思路二 零点存在性定理→验证f （x ）的单调性→作出判断 【自主解答】 法一 令f (x )＝x －3＋ln x ＝0，则ln x ＝3－x ， 在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝ln x 与y ＝－x ＋3的图象， 如图所示：由图可知函数y ＝ln x ，y ＝－x ＋3的图象只有一个交点，即函数f (x )＝x －3＋ln x 只有一个零点．法二 因为f (3)＝ln3>0，f (2)＝－1＋ln2＝ln 2e<0，所以f (3)·f (2)<0，说明函数f (x )＝x －3＋ln x 在区间(2,3)内有零点． 又f (x )＝x －3＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点． 规律方法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程f (x )＝0，方程f (x )＝0解的个数就是函数f (x )零点的个数．(2)直接作出函数f (x )的图象，图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )零点的个数． (3)化函数的零点个数问题为方程g (x )＝h (x )的解的个数问题，在同一坐标系下作出y ＝g (x )和y ＝h (x )的图象，利用图象判定方程根的个数；(4)若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在性定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义域内单调．变式训练二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．无法确定【解析】 ∵Δ＝b 2－4ac ，a ·c <0，∴Δ>0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个根，故函数有两个零点．【答案】 B一元二次方程根的分布问题典例（12分)关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根；(2)方程有一正一负根； (3)两根都大于1；(4)一根大于1，一根小于1.【思路点拨】 题意→画草图→转换为数量关系→求解 【规范解答】 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，(1)∵方程有一根，∴a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即x ＝－12，符合题意；当a ≠0时，Δ＝4(a ＋1)2－4a (a －1)＝0，∴a ＝－13. 2分(2)因为方程有一正一负两根，所以由韦达定理两根之积a －1a <0且Δ>0，解得0<a <1. 4分 (3)方程两根都大于1，f (x )图象大致如图，(1) (2)6分所以必须满足： ⎩⎨⎧a >0Δ>02（a ＋1）2a >1f （1）>0或⎩⎨⎧a <0Δ>02（a ＋1）2a >1f （1）<0.解得a ∈∅.所以不存在实数a ，使方程两根都大于1. 8分(4)因为方程有一根大于1，一根小于1. f (x )图象大致如图，(3) (4)10分所以必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0f （1）<0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0f （1）>0解得a >0. 12分 思维启迪解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．(2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．(3)写出由题意得到的不等式．(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意．这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时要注意条件的完备性．课堂小结1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．当堂达标1．函数y ＝4x －2的零点是( ) A ．2 B ．(－2,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0D.12【解析】 令y ＝4x －2＝0得x ＝12，故函数y ＝4x －2的零点是12.【答案】 D2．以下函数在区间(0,2)上必有零点的是()A．y＝x－3 B．y＝2xC．y＝x3D．y＝lg x【解析】画出A、B、C、D四个选项的函数图象可知，只有D选项中y＝lg x在区间(0,2)上有零点．【答案】 D3．已知函数y＝f(x)有零点，下列说法不正确的是()A．f(0)＝0B．方程f(x)＝0有实根C．函数f(x)的图象与x轴有交点D．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根【解析】函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点，且函数f(x)的零点即是方程f(x)＝0的根．故B、C、D都正确；A不正确，因为f(0)不一定为0.【答案】 A4．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．【解】由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.∴f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.∴函数f(x)其余的零点是2.课后检测一、选择题1．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解【解析】∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但未必函数y ＝f(x)在(－1,3)上有实数解．【答案】 D2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.【答案】 C3．函数f(x)＝ln x＋2x－8的零点所在区间为()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)【解析】∵f(4)＝ln4＋2×4－8＝ln4>0，f(3)＝ln3＋2×3－8<0，∴f(4)·f(3)<0.又f(x)在(3,4)上连续，∴f(x)在区间(3,4)内有零点．【答案】 C4．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0【解析】根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B、D错．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)内有两个零点，故A错，C正确．【答案】 C5．若函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有()A．一个B．两个C．至少两个D．无法判断【解析】依据给出的函数性质，易知f(－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f(x)有两个零点．【答案】 B二、填空题6．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．【解析】由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a>0，即a<1.【答案】(－∞，1)7．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 【解析】 由题意可知f (2)＝2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)＝0，∴x ＝0或x ＝－12.【答案】 0或－128．函数f (x )＝x 2－4x －2的零点是________．【解析】 本题易认为函数的零点有两个，即由x 2－4＝0求出x ＝±2，事实上x ＝2不在函数的定义域内．【答案】 －2 三、解答题9．方程x 2－(k ＋2)x ＋1－3k ＝0有两个不等实根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，求实数k 的取值范围．【解】 因为方程x 2－(k ＋2)x ＋1－3k ＝0有两个不等实根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，所以设f (x )＝x 2－(k ＋2)x ＋1－3k ，画出函数的大致图象如图．据图象有f (0)＝1－3k >0，且f (1)＝－4k <0，且f (2)＝1－5k >0，所以0<k <15.所以实数k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪0<k <15. 10．判断函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 【解】 令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示， 有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点．11．若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的值． 【解】 (1)若a ＝0，则f (x )＝－x －1为一次函数，易知函数只有一个零点．(2)若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根．故判别式Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上所述，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点.。
教学案例《方程的根与函数的零点》
《方程的根与函数的零点》教学案例肃南一中程斌斌一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。
函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。
在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。
就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。
之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。
总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。
二学生学习情况分析地理位置：学生大多来自基层，学生接触面较窄，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。
程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高的学生占少数。
知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。
数学：3.1.1《方程的根与函数的零点》教案(新人教A版必修1)1
课题：§3.1.1方程的根与函数的零点（教案）【课 型】新授课 【教学目标】（一）知识与技能：1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系,掌握函数零点存在性判定定理。
2．培养学生自主发现、探究实践的能力。
（二）过程与方法：通过研究具体二次函数，探究函数存在零点条件和存在零点的判定方法。
从具体到一般的认知过程中培养学生自主发现、探究实践的能力，并渗透相关的数学思想。
（三）情感态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值，树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，并初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。
鼓励学生通过观察类比提高发现、分析、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。
【教学重点】体会函数的零点与方程的根之间的关系，掌握函数零点存在定理, 能结合图象求解零点问题。
【教学难点】 1、引导学生探究发现函数零点的概念及零点定理。
2、函数零点个数的确定。
【教学过程】设置情景 提出问题【动手】求解下列一元二次方程①2230x x --= ②2210x x -+= ③2230x x -+= 【动手】画出下列函数的图象，①223y x x =-- ②221y x x =-+ ③223y x x =-+【设问】1.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠形式和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的解析式有什么关系？2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？3.方程()0f x = 与函数()y f x = 之间存在哪些关系？分析问题 寻找规律【观察】1。
当①223y x x =--、②221y x x =-+、③223y x x =-+中的y 值等于零时，分别得的什么？【结论】当二次函数①223y x x =--、②221y x x =-+、③223y x x =-+中的y 等于0 时，即可得到一元二次方程①2230x x --=、②2210x x -+=、 ③2230x x -+=。
3.1.1--方程的根与函数的零点教案
价值观
在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.
教学重点
理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法.
教学难点
数形结合思想，转化化归思想的培养与应用
知识结构与教学设计
一、引入课题
二、新课教学
1.函数零点的定义
2.函数y=f(x)有零点的等价转换
3.函数零点存在性定理
y=ax2+bx+c
(a>0)的零点
有两个零点
有一个零点
没有零点
二、讲授新课：
1.函数零点的定义：
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
2.函数y=f(x)有零点的等价转换
函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
注：函数的零点不是点，而是函数所对应的方程的根，或是函数图像与X轴交点的横坐标。它具有数与形的双重意义
思考1：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是间断的，上述定理适应吗？
思考2：反过来，函数y=f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？
思考3:满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗?还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点?
4.判断函数零点的方法:
①代数法：求方程 的实数根；
在区间 上零点；f(b)·f(c)0；
在区间 上零点；f(c)·f(d)0.
3.函数零点存在性定理
如果①函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且②有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
3.1.1方程的根与函数的零点(教学设计)
3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）一、教材分析《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书 A 版必修1第三章《函数的应用》第一节的第一课时，主要内容是函数 零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理， 是一节概念课．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要． 二、教学目标【知识与技能】理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件． 【过程与方法】零点存在性的判定．【情感、态度、价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 教学重点难点：重点 零点的概念及存在性的判定． 难点 零点的确定． 三 教学环节设计 【教学过程】（一）创设情境，感知概念 实例引入解下列方程并作出相应的函数图像 2x-4=0;y=2x-4（二）探究1：观察几个具体的一元二次方程的根与二次函数，完成下表： 填空：方程 x 2-2x -3=0 x 2-2x +1=0 x 2-2x +3=0 根 x 1=-1，x 2=3 x 1=x 2=1 无实数根函数 y =x 2-2x -3 y =x 2-2x +1 y =x 2-2x +3图象图象与x 轴的交点两个交点： (-1,0)，(3,0)一个交点：(1,0)没有交点问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式Δ Δ＞0Δ＝0 Δ＜042-2-4 3 -1 1 2 Oxy 4 2-2 -43 -1 1 2 Ox y 4 2-23 -1 1 2 Ox y方程ax 2+bx +c =0 (a >0)的根 两个不相等的实数根x 1、x 2有两个相等的实数根x 1 = x 2没有实数根函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象函数的图象与x 轴的交点 两个交点： (x 1,0)，(x 2,0) 一个交点：(x 1,0) 无交点问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？师生互动：由一元二次方程抽象出一般方程，由二次函数抽象出一般函数，得出一般的结论：方程f (x )＝0有几个根，y ＝f (x )的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．（三）辨析讨论，深化概念概念：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 即兴练习：函数f (x )=x (x 2－16)的零点为 （ D ） A ．(0，0)，(4，0) B ．0，4 C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D ．–4，0，4 说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f (x )＝0的根．问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．探究2：如何求函数的零点？练习1：求下列函数的零点 (1)y=3x- 3 (2)y=log2x小结：求函数零点的步骤：（1）令f(x)=0；（2）解方程f(x)=0；（3）写出零点. 练习2：函数f (x )=x 2-4的零点为（ ） A ．(2，0) B ．2C ．(–2，0)，(2，0)D ．–2，2练习3：求下列函数的零点O xyx 1 x 2Oyxx 1 Ox y（1）f(x)=-x2+3x+4 （2）f(x)=lg(x2+4x-4)小结：（1）求函数的零点可以转化成求对应方程的根；（2）零点对于函数而言，根对于方程而言. （四）实例探究，归纳定理 零点存在性定理的探索．问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？ 观察函数的图象：①在区间(a ，b )上___(有/无)零点；f (a )·f (b ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b ，c )上___(有/无)零点；f (b )·f (c ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c ，d )上___(有/无)零点；f (c )·f (d ) ___ 0（“＜”或“＞”）．完成课本87P 的探究，归纳函数零点存在的条件.【零点存在性定理】如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f (x )=log 2x ，x ∈[12，2]； （2）f (x )=e x -1+4x -4，x ∈[0，1]．（五）正反例证，熟悉定理 定理辨析与灵活运用例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有且仅有一个零点． （ × ）（2）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )≥0，则f (x )在区间(a ，b )内没有零点． （ × ）（3）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]满足f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内存在零点．（ × ） 例题讲解例2：求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n ，n +1](n ∈Z )． 解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x 、f (x )的对应值表和图象．x1 2 3 4 5 6 7 8 9 f (x ) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2c bd ax O y由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f (x )在区间(2，3)内有零点．问题8：如何说明零点的唯一性？又由于函数f (x )在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f (x )在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：x 1 2 3 4 f (x ) － － ＋ ＋结合函数的单调性，f (x )在区间(2，3)内有唯一的零点． 解法3（函数交点法）：将方程ln x ＋2x －6=0化为ln x =6-2x ，分别画出g(x )=ln x 与h(x )=6-2x 的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．由图可知f (x )在区间(2，3)内有唯一的零点． 练习：（1）已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：x 1 2 3 4 5 6 7 f (x ) 23 9 －7 11 －5 －12 －26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 （ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个（六）课堂小结（学生谈谈本节课学习的收获）（七）布置作业：习题3.1A 组 26O xy 2 1 3 4g (x )h (x )。
高一数学教案3.1.1方程的根与函数的零点公开课教案
3.1.1方程的根与函数的零点公开课教案教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2、理解函数的零点与方程的联系。
3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。
教学重点、难点：1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。
2、难点：函数零点存在的条件。
教学过程：1、问题引入探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
一元二次方程方程的根二次函数图像与x轴的交点x2-2x-3=0x1=-1，x2=3y=x2-2x-3（-1，0），（3，0）x2-2x+1=0x1=x2=1y=x2-2x+1（1，0）x2-2x+3=0无实数根y=x2-2x+3无交点（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像归纳：（1）如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x 轴没有交点；（2）如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。
反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。
2、函数的零点（1）概念对于函数y=f(x)(x∈d),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈d)的零点。
（2）意义方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点（3）求函数的零点①代数法：求方程f(x)=0的实数根②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
3、函数零点的存在性（1）二次函数的零点△=b2-4acax2+bx+c=0的实数根y=ax2+bx+c的零点数△﹥0有两个不等的实数根x1、x2两个零点x1、 x2△=0有两个相等的实数根x1=x2一个零点x1（或x2）。
3.1.1--方程的根与函数的零点教案
课题：3.1.1方程的根与函数的零点
课型
新授课
课时
1
教学目标
知识技能
（1）理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系.
（2）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想.
过程方法
由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化与化归思想和探究问题的能力.
探究二:
二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是什么？
观察函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=
x2-2x-3在区间【-2，1】上有零点，计算f(-2)·f(1)
你能发现这个乘积有什么特点吗？在区间【2,4】上是
否也有这个特点呢？
观察下面函数 的图象，
在区间 上零点；f(a)·f(b)0；
思考1：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是间断的，上述定理适应吗？
思考2：反过来，函数y=f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？
思考3:满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗?还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点?
4.判断函数零点的方法:
①代数法：求方程 的实数根；
4.如果y=x2+mx+m+3的一个零点在原点，则它的另一个零点是（A）
A.3 B.-3 C. D.
5.如果函数f(x)=x2-ax+1仅有一个零点，则a= .
6.若函数f(x)=ax2-x-1,仅有一个零点，则a=0或 .
五.小结：问题1：你可以想到用什么方法来判断函数的零点？
问题2：你是如何来确定零点所在区间的？
3.1.1方程的根与函数的零点 教案
3.1.1 方程的根与函数的零点教案1. 教学目标本课程旨在使学生了解方程的根与函数的零点的概念，并能够灵活运用相关知识解决实际问题。
具体目标如下：•了解方程的根与函数的零点的定义；•能够找到方程的根与函数的零点；•能够应用方程的根与函数的零点解决实际问题；•培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
2. 教学内容2.1 方程的根与函数的零点的定义•方程的根：对于方程f(f) = 0，f是方程的根是指当f = f时，方程成立。
•函数的零点：对于函数f(f)，f是函数的零点是指当f(f) = 0，即函数在f = f处取得零值。
2.2 方程的根的求解•方程的根的存在性：介绍方程根的存在性判断方法，例如奇偶效应等。
•方程的根的求解方法：介绍常见的求根方法，如因式分解、配方法、公式法等。
•方程根的重数：定义方程根的重数，了解重根的概念。
2.3 函数的零点的求解•函数的零点的求解方法：介绍几种常见的求零点的方法，如图像法、几何意义法、代数法等。
•函数零点的性质：介绍零点的性质，如唯一性、存在性和多个零点等。
3. 教学过程3.1 导入与提问通过展示一道实际问题，引出方程的根与函数的零点的概念，并提问学生是否了解这些概念。
3.2 概念讲解分别介绍方程的根与函数的零点的定义，并与实际问题进行对比，使学生更好地理解。
3.3 方程的根的求解通过实例演示和练习题的讲解，引导学生掌握方程根的存在性判断方法和求解方法，并加深对重根概念的理解。
3.4 函数的零点的求解介绍函数零点的求解方法，并通过实例演示和练习题的讲解，让学生熟练运用求零点的方法。
3.5 实际问题的应用通过一个或多个实际问题的案例分析，引导学生应用所学的方程的根与函数的零点的知识解决实际问题，培养学生的问题解决能力。
4. 教学评价4.1 课堂练习在课堂上进行几道练习题，既可以检验学生的掌握程度，又可以帮助学生巩固所学知识。
4.2 作业布置布置一些作业题，要求学生独立完成，并在下节课前交回，以检验学生对方程的根与函数的零点的理解情况。
《方程的根与函数的零点》教学设计
0 ） 的 根 与 y= ax2+bx+c (a>0） B、D A、C 体会到“类比-归纳- 自
的 图 象 以 及 图 E、J D、F 应用”的过程，感悟 制
像与 x 轴的交
具体到抽象的研究方10
课件 2，3 点 推 广 到 一 般
法
分
4，6 方 程 和 一 般 函
钟
7，8 数，进而归纳函
（表格和 数 零 点 并 举 例
一般方程 f(x)=0
相应的函数 y=f(x)
方程的根和函数 图像与 x 轴的 关系
是
注意方程没有
实数根和函数图
否
像与 x 轴无交点。
二、总结归纳，形成概念 出示概念
对于函数 y=f(x), 我 们 把 使 f(x)=0 的实数 x 叫 做函数 y=f(x)的零 点。
零点是一 个数。
出示三个等价 关系
A（1,2）
B（2,3）
C（3,4）
D（4,5）
教学过程结构：
一、问题导入
课
堂
出示问题
教
学
过
出示问题
程
结
构
出示问题
的
设
计
开始
X2－2x－3=0 X2－2x+1=0 X2－2x+3=0
y=X2－2x－3 y=X2－2x+1 y=X2－2x+3
ax2+bx+c=0(a≠0）
y= ax2+bx+c (a>0）
联系二次函数与一元二次方程之间的关系，从而 读懂函数的零点与方程的根之间的关系，进而理 解连续函数在某区间上存在零点的判断方法。 引导学生学习二次函数与一元二次方程的关系， 进而发现方程的根与函数零点的关系并发现函数 存在零点的方法。
3.1《函数与方程-方程的根与函数的零点》教案(新人教必修1)
课题：§ 3.1.1 方程的根与函数的零点教课目的：知识与技术理解函数（联合二次函数）零点的观点，领悟函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判断条件．过程与方法零点存在性的判断．感情、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转变思想的意义和价值．教课要点：要点零点的观点及存在性的判断．难点零点确实定．教课程序与环节设计：创建情境联合二次函数引入课题．组织研究二次函数的零点及零点存在性的．试试练习零点存在性为练习要点．研究研究进一步研究函数零点存在性的判断．作业回馈要点放在零点的存在性判断及零点确实定上．课外活动研究二次函数在零点、零点以内及零点外的函数值符号，并试试进行系统的总结．教课过程与操作设计：环节教课内容设置先来察看几个详细的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：122x30 与函数 y x22x3○方程 x创22 2 x10 与函数 y x22x1○方程 x设322x30与函数 y x22x3○方程 x情境师生双边互动师：指引学生解方程，画函数图象，剖析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的观点．生：独立思虑达成解答，察看、思虑、总结、归纳得出结论，并进行沟通．师：上述结论推行到一般的一元二次方程和二次函数又如何？函数零点的观点：关于函数 y f ( x)( x D ) ，把使 f ( x)0 成立的实数 x 叫做函数 y f (x)( x D ) 的零点．函数零点的意义：师：指引学生认真领会左侧的这段文字，感悟此中的思想方法．函数 y f ( x)的零点就是方程 f ( x)0 实数根，亦即函数y f ( x) 的图象与x 轴交点的横坐组标．生：认真谛解函数零点即：的意义，并依据函数零方程 f (x) 0有实数根函数 y f ( x)的点的意义研究其求法：织图象与 x 轴有交点函数 y f ( x) 有零点．1代数法；○○几何法．2探函数零点的求法：求函数 y f ( x) 的零点：0 的实数根；○（代数法）求方程 f (x)1究○ （几何法）关于不可以用求根公式的方程，2能够将它与函数y f ( x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．二次函数的零点：师：指引学生运用函数零点的意义研究二次二次函数函数零点的状况．y ax 2bx c(a0) ．１）△＞０，方程ax2bx c0 有两不等环节组织探究教课内容设置实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程 ax 2bx c有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程 ax 2 bx c 0 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点．零点存在性的研究：（Ⅰ）察看二次函数 f ( x)x22x 3 的图象：2,1] 上有零点______；○在区间[1f (2)_______ ，f (1)_______,f (2) · f (1) _____0（＜或＞）．○在区间 [2,4] 上有零点______；2f (2) · f (4) ____0（＜或＞）．（Ⅱ）察看下边函数y f ( x) 的图象师生双边互动生：依据函数零点的意义研究研究二次函数的零点状况，并进行交流，总结归纳形成结论．生：剖析函数，按提示研究，达成解答，并认真思虑．师：指引学生联合函数图象，剖析函数在区间端点上的函数值的符号状况，与函数零点能否存在之间的关系．生：联合函数图象，思虑、议论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行沟通、评析．○1在区间 [a,b] 上______(有/无)零点；f (a) · f (b) _____0（＜或＞）．○2在区间 [b,c] 上______(有/无)零点；f (b) · f (c) _____0（＜或＞）．○3在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点；f (c) · f (d ) _____0（＜或＞）．由以上两步研究，你能够得出什么样的结论？如何利用函数零点存在性定理，判定函数在某给定区间上能否存在零点．师：指引学生理解函数零点存在定理，剖析此中各条件的作用．环节教课内容设置例 1．求函数f ( x)ln x2x 6 的零点个数．问题：例1 ）你能够想到什么方法来判断函数零点个数？题2 ）判断函数的单一性，由单一性你能得该函研数的单一性拥有什么特征？究例 2．求函数y x32x 2x 2 ，并画出它的大概图象．1．利用函数图象判断以下方程有没有根，有几个根：（ 1）x23x50；（ 2）2x(x2) 3 ；尝（ 3）x24x 4 ；试（ 4）5x22x3x2 5 ．练 2 ．利用函数的图象，指出以下函数零点所在师生互动设计师：指引学生研究判断函数零点的方法，指出能够借助计算机或计算器来画函数的图象，联合图象对函数有一个零点形成直观的认识．生：借助计算机或计算器画出函数的图象，联合图象确立零点所在的区间，而后利用函数单一性判断零点的个数．师：联合图象观察零点所在的大概区间与个数，联合函数的单一性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基天性质（特别是单一性）在确立函数零点习的大概区间：（ 1）f ( x)（ 2）f ( x)（ 3）f ( x)（ 4）f ( x)x 33x 5 ；2x ln( x2) 3 ；e x 14x 4 ；3(x2)( x3)( x 4) x ．中的重要作用．1．已知f ( x)2x47 x317 x258 x 24 ，请研究方程 f (x)0 的根．假如方程有根，指出每探个根所在的区间（区间长度不超出1）．究2．设函数f (x) 2x ax1．与（ 1 ）利用计算机研究a 2 和 a 3 时函数发现f ( x) 的零点个数；（2）当a R时，函数f ( x)的零点是如何分布的？环节作业回馈课外活动教课内容设置1．教材 P108习题 3． 1（ A 组）第 1、 2 题；2．求以下函数的零点：（ 1）y x25x 4 ；（ 2）y x2x20 ；（ 3）y(x1)(x2 3 1)xf ( x) ( x 22)( x23x 2) ．3．求以下函数的零点，图象极点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（ 1）y 1 x2 2 x 1；3（ 2）y2x24x 1．4．已知f (x)2(m 1) x24mx2m 1 ：（ 1 ）m为什么值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2）假如函数起码有一个零点在原点右边，求 m 的值．5．求以下函数的定义域：（ 1）y x29；（ 2）234；y x x（ 3）y x24x12研究 y ax2bx c ， ax2bx c 0 ，ax 2bx c0 ， ax2bx c0 的互相关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果试试用一种系统的、简短的方式总结表达．师生互动设计考虑列表，建议画出图象帮助剖析．收获谈谈方程的根与函数的零点的关系，并给出判与定方程在某个区产存在根的基本步骤．体会。
高中数学 3.1.1《方程的根与函数的零点1》教案 新人教A版必修1
高中数学 3.1.1《方程的根与函数的零点1》教案 新人教A 版必修1四、教学过程【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。
用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）2230x x --=；（2）062ln =-+x x .学生活动：回答，思考解法。
教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。
对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答。
教师活动：用屏幕显示函数223y x x =--的图象。
学生活动：观察图像，思考作答。
教师活动：我们来认真地对比一下。
用屏幕显示表格，让学生填写2230x x --=的实数根和函数图象与x 轴的交点。
学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x 轴交点的横坐标的结论。
教师活动：我们就把使方程成立的实数x 称做函数的零点．【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。
板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点）。
教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？学生活动：对比定义，思考作答。
教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答。
教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。
板书（方程的根与函数零点的等价关系）。
教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。
如果已知函数y=f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答。
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《方程的根与函数的零点》的助学案
高一（8）班 授课教师
学习目标：1.掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系； 2零点的概念及零点存在性的判定
学习难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.
预习案：先来画出几个具体的一元二次方程对应的二次函数的图象，并观察二次函数与x
轴交点个数？○
1方程0322=--x x 与函数322--=x x y ;○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ;○
3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y
探究案：
探究1：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点． 零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的。
练习：求函数x x y 43-=的零点
是不是所有的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都有零点？ ac b 42-=∆ 02=++c bx ax 的实根 )0(2≠++=a c bx ax y 图像与x 轴交点 )
0(2≠++=a c bx ax y 有几个零点
∆>0
∆=0
∆<0
探究2:观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：
○1在区间()1,2-上有零点吗？______；=-)2(f _______，
=)1(f _______,)2(-f •)1(f _____0 （＜或＞）．
○2 在区间()4,2上有零点______；)2(f •)4(f ____0 （＜或＞）．
观察下面函数)(x f y =的图象
○1 在区间()b a ,上______(有/无)零点；)(a f •)(b f _____0（＜或＞）．
○2 在区间()c b ,上______(有/无)零点；)(b f •)(c f _____0（＜或＞）．
○3 在区间()d c ,上______(有/无)零点；)(c f •)(d f _____0（＜或＞）．
○4()a f •()c f _____0（＜或＞）．在区间()c a ,上______(有/无)零点？
○5()()d f a f • 0（＜或＞）。
思考：若函数)(x f y =满足()()0<•n f m f ，在区间],[n m 上一定有零点吗？
若函数)(x f y =满足()()0>•n f m f ，在区间],[n m 上一定有零点吗？
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
训练案
1、判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：
（1）已知函数y=f(x)在区间[a ，b]上连续，且f(a )·f(b)<0，则f(x)在区间
(a ，b)内有且仅有一个零点。
（ ）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a ，b]上连续，且f(a )·f(b )≥0，则f(x)在区间
(a ，b)内没有零点。
（ ）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a ，b]满足f(a )·f(b)<0，则f(x)在区间(a ，b)
内存在零点。
（ ）
2.求函数f(x)＝lnx ＋2x －6零点的个数。
课堂总结
当堂检测：
1求下列函数的零点：
（1）302++-=x x y ； （2）)23)(2()(2
2+--=x x x x f
2.若函数y=f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0， f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是 （ ）
A.函数f(x)在区间（0，1）内有零点
B.函数f(x)在区间（1，2）内有零点
C.函数f(x)在区间（0，2）内有零点
D.函数f(x)在区间（0，4）内有零点
3．函数x e x f x 1
)(-=的零点所在的区间是（ ）
（A ） （0，21） （B ）（21
，1）
（C ）（1，23） （D ）（23
，1）
4.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点2,求函数
g(x)=bx2-ax 的零点。