二维热传导方程有限差分区域分解算法
有限差分法-导热模拟
有限差分法-导热模拟有限差分法（Finite Differential Method ）是基于差分原理的一种数值计算法。
其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数ϕ的泊松方程的问题转换为求解网格节点上ϕ的差分方程组的问题。
一、利用有限差分法离散三维傅立叶热传导微分方程：T z T y T xT t T 2222222∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂αα （1-1）解：将三维温度场域划分为足够小的正方体网格，网格之间距离为h ，图一显示为节0(i,j,k)及其周围的节点1(i-1,j,k)、2(i+1,j,k)、3(i,j-1,k)、4(i,j+1,k)、5(i,j,k-1)、6(i,j,k+1)。
节点上的电位分别用6543210T T T T T T T ，，，，，，表示由有限差分法得：2220122)1()(2)1(2)(0hk j i T k j i T k j i T h T T T x T x x ，，，，，，++--=+-≈∂∂= （1-2） 同理：2240322)1()(2)1(2)(0hk j i T k j i T k j i T h T T T y T y y ，，，，，，++--=+-≈∂∂=（1-3） 2260522)1()(2)1(2)(0hk j i T k j i T k j i T h T T T z T z z ++--=+-≈∂∂=，，，，，，（1-4） 将时间t 划分为足够小的时间段，时间节点之间的距离为g ，则采用有限差分法的后向差分法得：g T T dt dT n n 1--≈ （1-5） Z YX 1(i-1,j,k)0(i,j,k)2(i+1,j,k)3(i,j-1,k)4(i,j+1,k) 5(i,j,k-1) 6(i,j,k)图1 三维节点图将式（1-2）、（1-3）、（1-4）、（1-5）代入式（1-1）得：()2121)()1()1()1()1()1()1()(61)](6)1()1()1()1()1()1([)()(h gr k j i T k j i rT k j i rT k j i rT k j i rT k j i rT k j i rT k j i T r k j i T k j i T k j i T k j i T k j i T k j i T k j i T hg k j i T k j i T n n n n n n n n n n n n n n n n n αα==+---+---+---+⇒-++-+++-+++-=---其中：，，，，，，，，，，，，，，，，传导差分公式上式整理可推出三维热，，，，，，，，，，，，，，，，，，求解完毕。
热传导方程二阶并行区域分解差分算法
热传导方程二阶并行区域分解差分算法
田敏;羊丹平
【期刊名称】《山东大学学报：理学版》
【年(卷),期】2006(41)5
【摘要】提出了一类新的计算热传导方程数值解的并行差分算法.算法基于区域分解和子区域校正,在每个子区域上进行残量修正,各子域之间可以并行计算.证明了算法的收敛性,并且理论分析表明,在每一时间步,只需校正一次或两次,即可达到最优的收敛阶.数值试验表明了算法的有效性和优越性.
【总页数】9页(P12-19)
【关键词】区域分解;子区域校正;单位分解;中心差分格式;热传导方程
【作者】田敏;羊丹平
【作者单位】山东大学数学与系统科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.热传导方程紧差分格式的区域分解算法 [J], 张红梅;岳素芳;许娟
2.热传导方程的一类区域分解差分算法 [J], 张红梅
3.关于热传导方程有限差分区域分解并行算法精度的注记 [J], 万正苏;方春华;张再云
4.热传导方程紧差分格式的区域分解算法 [J], 张红梅;岳素芳;许娟
5.热传导方程的一类新型重叠型并行区域分解有限差分算法 [J], 田敏;羊丹平因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
二维有限差分法
二维有限差分法
二维有限差分法是一种用于求解二维偏微分方程的数值解法。
它将待求解区域分割成有限个网格点，并利用差分近似方法将偏微分方程转化为代数方程组，然后通过迭代求解这个方程组来获得数值解。
具体来说，二维有限差分法将二维区域 $\Omega$ 划分成
$M$ 个横向离散点和 $N$ 个纵向离散点，得到一个 $M \times N$ 的网格。
偏微分方程在网格上被离散化为一组代数方程，其中每个网格点的解被近似表示为该点以及周围点的函数值。
在二维有限差分法中，常用的差分格式包括中心差分、向前差分和向后差分等。
通过差分近似，偏微分方程中的导数被转化为差分系数的线性组合。
然后，可以得到一个线性方程组，其中每个网格点的系数由该点周围网格点的差分系数决定。
解这个线性方程组可以使用迭代方法，如Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代或SOR（逐次超松弛法）迭代等。
迭代过程一般需要设定迭代停止条件，比如迭代次数的上限、残差的收敛精度等。
通过二维有限差分法，可以求解各种边界条件下的二维偏微分方程，比如泊松方程、热传导方程、扩散方程等。
它是一种经典且简单实用的数值方法，广泛应用于科学计算和工程领域。
二维热传导方程的可视化计算
二维热传导方程的可视化计算二维热传导方程是描述二维物体热传导过程的数学模型。
在工程领域中，通过求解二维热传导方程，可以预测物体内部的温度分布，进而进行热设计和优化。
热传导是指物体内部由高温区向低温区传递热量的过程。
二维热传导方程是基于热传导定律和能量守恒定律建立的，它可以描述物体内部温度的时空变化。
二维热传导方程的一般形式如下：∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = α ∂T/∂t其中，T是温度，x和y是空间坐标，t是时间，α是热扩散系数。
为了求解二维热传导方程，需要给定边界条件和初始条件。
边界条件是指在物体表面的温度分布情况，而初始条件是指在初始时刻物体内部各点的温度分布。
通常情况下，我们采用数值方法来求解二维热传导方程，其中最常用的方法是有限差分法。
有限差分法将连续的空间和时间离散化，将二维热传导方程转化为一组离散的代数方程。
在计算机中，可以使用计算软件来实现二维热传导方程的可视化计算。
首先，需要将物体的几何形状离散化为一个个小区域，然后对每个小区域进行温度计算。
在计算过程中，可以使用迭代方法来逐步求解离散方程，直到达到收敛条件。
通过迭代计算，可以得到物体在不同时间点的温度分布情况。
在可视化计算中，可以将温度用不同的颜色表示，从而直观地显示物体内部的温度分布。
通过观察温度分布的变化，可以了解物体的热传导特性，并对其进行优化设计。
除了温度分布的可视化，还可以计算物体的热流量、热传导速率等热学参数。
这些参数对于热设计和工程优化非常重要，可以帮助工程师在设计过程中做出准确的决策。
二维热传导方程的可视化计算在工程领域中具有重要的应用价值。
通过求解二维热传导方程，可以预测物体内部的温度分布，为工程设计提供参考依据。
同时，可视化计算也为工程师提供了直观的数据展示方式，帮助他们更好地理解和分析热传导过程。
有限差分法及热传导数值计算
有限差分法及热传导数值计算有限差分法（finite difference method）是一种常用的数值计算方法，可以用于求解热传导问题。
它基于热传导方程，通过将连续的热传导问题离散化成离散网格上的代数方程组，然后利用数值迭代方法求解方程组，得到热传导问题的数值解。
热传导方程描述了热量在物体内部传导的过程，它可以写成以下形式：∂T/∂t=α∇²T其中，T是温度场的分布，α是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算子。
为了使用有限差分法求解热传导问题，我们需要将时间和空间进行离散化。
时间上，我们将连续的时间区间[0,T]分成N个子区间，每个子区间的长度为Δt，表示为t_i=iΔt，其中i=0,1,2,...,N。
空间上，我们将研究区域Ω划分为M个离散节点，每个节点的坐标为x_j，表示为x_j=jΔx，其中j=0,1,2,...,M。
在离散化后，我们可以用差分近似的方式来近似热传导方程。
对于时间上的导数，我们可以使用前向差分，即∂T(x_j,t_i)/∂t≈(T(x_j,t_{i+1})-T(x_j,t_i))/Δt对于空间上的二阶导数，我们可以使用中心差分，即∇²T(x_j,t_i)≈(T(x_{j-1},t_i)-2T(x_j,t_i)+T(x_{j+1},t_i))/Δx²将上述差分近似带入热传导方程中，我们可以得到如下的差分方程：(T(x_j,t_{i+1})-T(x_j,t_i))/Δt=α*(T(x_{j-1},t_i)-2T(x_j,t_i)+T(x_{j+1},t_i))/Δx²重新整理得到：T(x_j,t_{i+1})=T(x_j,t_i)+α*Δt*(T(x_{j-1},t_i)-2T(x_j,t_i)+T(x_{j+1},t_i))/Δx²这个差分方程可以用于迭代求解热传导问题。
我们可以根据初始条件和边界条件，从t=0的初始时刻开始，按照时间步长Δt进行迭代计算。
第九章_热传导方程的差分解法_郑大昉
类似地,其偏微分用差分近似为: 类似地 其偏微分用差分近似为 近似为
∂ui, j,k ui, j,k+1 − ui, j,k = ∂t τ 2 ∂ ui, j,k ui+1, j,k − 2ui, j,k + ui−1, j,k = 2 ∂x h2 ∂2ui, j,k ui, j+1,k − 2ui, j,k + ui, j−1,k = 2 ∂y h2
∂ui,k ∂x ∂ui,k − ∂x + h
(9-18)
二阶中心差商可近似为 二阶中心差商可近似为: 可近似为
∂2ui,k ∂x
即:
2
=
−
(9-19)
ui+1,k − 2ui,k + ui−1,k ∂2u = 2 2 ∂x i,k h
(9-20)
时间的一阶差商近似为 近似为: 另, 对时间的一阶差商近似为
(9-27)
u(x, y,0) = ϕ(x, y)
(9-28)
其边界条件留待后面给出 边界条件留待后面给出. 留待后面给出
差分方法 仍设空间步长 h 仍设空间步长: 空间步长 时间步长: 时间步长 空间为: 网格. 空间为 N× M 网格
τ
则:
Nh = l,
M =s h
t = kτ , k = 0,1 2,... , x = ih, i = 0,1 N ,..., y = jh, j = 0,1,..., M
∆t
∂u ∆Q = −K(x, y, z, t)∆t∆S ∂n
(9-1)
t1
t2 t1
和
Q =∫ 1
∂u dt ∫∫ K(x, y, z, t) dS ∂n (S)
2有限差分法及热传导数值计算PPT演示课件
t1
1 a11
(b1
a12t2
a13t3 )
t2
1 a 22
(b2
a 21t1 a 23t3 )
1 t3 a 33 (b3 a 31t1 a 32t2 )
•24
（2）假设一组解（迭代初场），记为： t1(0)、t2(0)并、t代3(0) 入迭代方程求得第一 次解
每次计算t1(1)均、t用2(1)、最t3(1新) 值代入。
(1) 平直边界上的节点
如图所示 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若边界上有向 该元体传递的热流密度为q ，据能量守恒定律对该元体有：
tm1,n tm,n ytm,n1tm,n x
x
y 2
x
2
tm,n1 tm,n y
Φm,n
2xyyqw
0
Байду номын сангаас
xy tm ,n1 4 2 tm 1 ,n tm ,n 1 tm ,n 1 x2 Φ m ,n 2 x q w
非稳态项 的离散有三种不同的格式。如果将函数在节 点(n，i+1)对点(n，i)作泰勒展开，可有
•30
•31
由式(b)可得在点(n，i)处一阶导数的一种差分表示式 , 的向前差分:
类似地，将t在点(n，i-1)对点(n，i)作泰勒展开，可得 的向后差分的表达式：
如果将t在点(n，i+1)及(n，i-1)处的展开式相加，则可得 一阶导数的中心差分的表达式：
qw
y x
•16
(3) 内部角点
如图所示内部角点代表了 3/4 个元体，在同样的假设条 件下有
tm1,ntm,ny tm,n1tm,nx tm,n1tm,n x
x
二维导热微分方程
二维导热微分方程1二维导热微分方程简介在热传导方面，二维导热微分方程是一类非常重要的微分方程。
它可以用来描述物体中温度的变化，并且被广泛应用于静态和动态热传导问题的数学建模和分析。
在本文中，我们将探讨二维导热微分方程的基本定义与性质。
2二维导热微分方程的一般形式考虑一个平板物体在时间t内的温度场u(x,y,t)，其中(x,y)是平面上的点。
物体的热传导简化为二维情况，并忽略热源。
那么，二维导热微分方程可以表示为：\[\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}) \]其中α是热扩散系数。
3二维导热微分方程的解析解一般来说，二维导热微分方程的解析解很难得到。
但是，在某些特殊情况下，它们可以通过分离变量法得到。
假设u(x,y,t)的解可以表示为u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)，进行变量分离，得到：\frac{1}{\alpha T}\frac{d T}{d t}=\frac{1}{X}\frac{d^2 X}{d x^2}+\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{d y^2}\]由于等式右侧只依赖于x,y变量，它等于一个常数-k²，因此我们得到三个方程：\[\frac{d^2X}{d x^2}+k^2X=0,\frac{d^2Y}{d y^2}+k^2Y=0,\frac{d T}{d t}+\alpha k^2T=0\]这三个方程的解分别是：\[X(x)=A\sin kx+B\cos kx,Y(y)=C\sin ky+D\cos ky,T(t)=Ee^{-\alpha k^2t}\]其中A,B,C,D,E是任意常数，因此，u(x,y,t)的一般解为：u(x,y,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}(a_{m,n}\sin{k_mx}\sin{k_n y}e^{-\alpha(k_m^2+k_n^2)t})\]4二维导热微分方程的数值解法由于二维导热微分方程的解析解很难得到，数值解法成为了解决实际问题的主要手段。
二维热传导方程数值解及matlab实现
在热传导学科中，二维热传导方程是一个非常重要的数学模型，用于描述二维热传导过程中温度分布随时间的变化规律。
通过对二维热传导方程的数值解及其在Matlab中的实现，可以更好地理解热传导过程及其在工程学、物理学和地球科学等领域的应用。
让我们来了解一下二维热传导方程的基本形式。
二维热传导方程通常可以表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) $$在这里，$u(x, y, t)$代表温度随空间坐标$(x, y)$和时间$t$的变化，$\alpha$代表热扩散系数。
方程右侧的两项分别表示温度在$x$方向和$y$方向的二阶导数。
通过数值方法对这个方程进行离散化处理，可以得到其数值解。
在进行数值解的求解过程中，一个常用的方法是有限差分法。
有限差分法将空间和时间进行离散化，将连续的问题转化为离散的问题。
通过将偏导数用差分的形式进行逼近，可以得到关于温度在不同空间点和时间点的离散方程，进而通过迭代求解得到数值解。
这里要注意，为了保证数值解的准确性和稳定性，需要对离散化步长进行合理的选择，并对边界条件和初始条件进行适当的处理。
那么，在Matlab中，我们如何实现二维热传导方程的数值解呢？我们可以通过定义空间网格和时间步长来进行离散化处理，然后利用循环结构和矩阵运算来进行迭代求解。
Matlab提供了丰富的矩阵运算和可视化工具，可以方便地实现对二维热传导方程数值解的求解和结果的可视化呈现。
我个人认为，二维热传导方程的数值解及其在Matlab中的实现，不仅仅是一个数学问题，更是一个工程问题。
通过对二维热传导方程的数值解，可以更好地理解热传导过程的规律，为工程实践中的热传导问题提供重要的参考依据。
通过Matlab的实现，可以更好地将数学模型与工程实践相结合，实现对热传导问题的仿真分析和优化设计。
【毕业设计(论文)】二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现
第1章前言1.1问题背景在史策教授的《一维热传导方程有限差分法的MATLAB实现》和曹刚教授的《一维偏微分方程的基本解》中，对偏微分方程的解得MATLAB实现问题进行过研究，但只停留在一维中，而实际中二维和三维的应用更加广泛。
诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。
也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-uhlenbeck过程。
热方程及其非线性的推广形式也被应用与影响分析。
在科学和技术发展过程中，科学的理论和科学的实验一直是两种重要的科学方法和手段。
虽然这两种科学方法都有十分重要的作用，但是一些研究对象往往由于他们的特性（例如太大或太小，太快或太慢）不能精确的用理论描述或用实验手段来实现。
自从计算机出现和发展以来，模拟那些不容易观察到的现象，得到实际应用所需要的数值结果，解释各种现象的规律和基本性质。
科学计算在各门自然科学和技术科学与工程科学中其越来越大的作用，在很多重要领域中成为不可缺少的重要工具。
而科学与工程计算中最重要的内容就是求解科学研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组。
解偏微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容，包括一些大型的计算和很多已经成为常规的计算。
为什么它在当代能发挥这样大的作用呢？第一是计算机本身有了很大的发展；第二是数值求解方程的计算法有了很大的发展，这两者对人们计算能力的发展都是十分重要的。
1.2问题现状近三十年来，解偏微分方程的理论和方法有了很大的发展，而且在各个学科技术的领域中应用也愈来愈广泛，在我国，偏微分方程数值解法作为一门课程，不但在计算数学专业，而且也在其他理工科专业的研究生的大学生中开设。
同时，求解热传导方程的数值算法也取得巨大进展，特别是有限差分法方面，此算法的特点是在内边界处设计不同于整体的格式，将全局的隐式计算化为局部的分段隐式计算。
而且精度上更好。
目前，在欧美各国MATLAB的使用十分普及。
在大学的数学、工程和科学系科，MATLAB苏佳园：二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现被用作许多课程的辅助教学手段，MATLAB也成为大学生们必不可少的计算工具，甚至是一项必须掌握的基本技能。
二维抛物方程的有限差分法
二维抛物方程的有限差分法摘要二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。
有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。
本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。
首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。
讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。
其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。
进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。
并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。
通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。
关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式FINITE DIFFERENCE METHOD FORTWO-DIMENSIONAL PARABOLICEQUATIONAbstractTwo-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method for two-dimensional parabolic equation.Firstly, this paper introduces the background and common numerical methods for Parabolic Equation, Background and development of applications. Discusses the basement for the establishment of the finite difference method for parabolic equation And describes the convergence and stability for finite difference method.Secondly, Introduces some of the more common simple differential format,for example, the classical explicit scheme, the classical implicit scheme, Crank-Nicolson implicit scheme, Douglas difference scheme, weighted six implicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper focuses on the classical explicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper takes discusses the derivation convergence,and stability of the format . The paper takes And the heat conduction equation for the numerical example, using the differential method to solve. Through numerical examples, the classical explicit scheme is relatively simple for calculation, with more stringent stability conditions; and alternating direction implicit scheme is unconditionally stable.Keywords:Two-dimensional Parabolic Equation; Finite-Difference Method; Eclassical Explicit Scheme; Alternating Direction Implicit Scheme目录摘要 (I)Abstract (II)1绪论 (1)1.1课题背景 (1)1.2发展概况 (1)1.2.1抛物型方程的常见数值解法 (1)1.2.2有限差分方法的发展 (2)1.3差分格式建立的基础 (3)1.3.1区域剖分 (3)1.3.2差商代替微商 (3)1.3.3差商代替微商格式的误差分析 (4)1.4本文主要研究容 (5)2显式差分格式 (7)2.1常系数热传导方程的古典显式格式 (7)2.1.1古典显式格式格式的推导 (7)2.1.3古典显式格式的算法步骤 (8)3隐式差分格式 (10)3.1古典隐式格式 (10)3.2 Crank-Nicolson隐式格式 (12)3.3 Douglas差分格式 (13)3.4加权六点隐式格式 (14)3.5交替方向隐式格式 (15)3.5.1 Peaceman-Rachford格式 (15)3.5.2 Rachford-Mitchell格式 (15)3.5.3 Mitchell-Fairweather格式 (15)3.5.4交替方向隐式格式的算法步骤 (16)4实例分析与结果分析 (17)4.1算例 (17)4.1.1已知有精确解的热传导问题 (17)4.1.2未知精确解的热传导问题 (19)4.2结果分析 (20)5稳定性探究与分析 (21)5.1稳定性问题的提出 (21)5.2 几种分析稳定性的方法 (21)5.3 r变化对稳定性的探究 (23)5.3.1 古典显式格式的稳定性 (23)5.3.2 P-R格式格式的稳定性 (24)结语 (26)参考文献 (27)附录P-R格式的C++实现代码 (28)致谢 (30)1绪论1.1课题背景抛物方程是一类特殊的偏微分方程，二维抛物方程的一般形式为u Lu t∂=∂ (1-1) 其中1212((,,))((,,))(,,)(,,)(,,)u u u u u u L a x y t a x y t b x y t b x y t C x y t x x y y x y∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂ 120,0,0a a C >>≥。
二维热传导方程 matlab
二维热传导方程是描述二维热传导过程的数学模型，它在工程、物理、地球科学等领域都有重要应用。
在实际工程问题中，我们经常需要求解二维热传导方程，以预测物体表面的温度分布、热量传递速率等参数。
Matlab是一个强大的数学软件，通过Matlab我们可以很方便地求解二维热传导方程，并得到预期的结果。
一、二维热传导方程的基本形式二维热传导方程可以用偏微分方程的形式表示为：∂u/∂t = k(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u(x, y, t)是温度分布随时间和空间的变化，k是热传导系数。
二、Matlab中求解二维热传导方程的方法在Matlab中，我们可以采用有限差分法（finite difference method）求解二维热传导方程。
有限差分法将偏微分方程离散化，转化为代数方程组，然后通过迭代求解得到数值解。
具体步骤如下：1. 离散化空间和时间变量，将连续的空间区域和时间区间分割成若干个小区间。
2. 利用二阶中心差分格式对二维热传导方程进行离散化，得到代数方程组。
3. 利用Matlab中的矩阵运算和迭代方法，求解代数方程组，得到数值解。
三、Matlab代码示例下面是一个简单的Matlab代码示例，用于求解二维热传导方程：```matlab定义参数和初始条件Lx = 1; Ly = 1; 区域大小Nx = 100; Ny = 100; 离散化网格数T = 1; 总时间Nt = 100; 时间步数k = 1; 热传导系数dx = Lx/Nx; dy = Ly/Ny;dt = T/Nt;x = 0:dx:Lx; y = 0:dy:Ly;[X, Y] = meshgrid(x, y);u = sin(pi*X).*sin(pi*Y); 初始温度分布迭代求解for n = 1:Ntun = u;for i = 2:Nx-1for j = 2:Ny-1u(i, j) = un(i, j) + k*dt/dx^2*(un(i+1, j)-2*un(i, j)+un(i-1, j)) + k*dt/dy^2*(un(i, j+1)-2*un(i, j)+un(i, j-1));endendend可视化结果figure;surf(X, Y, u);xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('Temperature');```以上代码首先定义了区域大小、离散化网格数、总时间、热传导系数等参数，然后利用有限差分法进行迭代求解，最后利用Matlab绘制了温度分布的三维图像。
第九章 热传导方程的差分解法
2
x
2
u
2
y
2
u
2
z
2
)
其中: Kc.
9.2 一维热传导方程的差分解法
u t u
2
一维热传导方程:
x
2
,
0 ,0 t T
初值问题 u ( x , 0 ) ( x ), | x | 初值条件: 初边值混合问题 初值条件: u ( x , 0 ) ( x ), 0 xl 边值条件:(关于边界点x=0和x=l) 第一类. u ( 0, t ) g ( t )
其中g1(t), g2(t), 1(t), 2(t) 为给定函数, 要求 1(t), 2(t) , 且不同时为零.
设空间的步长为 h, 时间的步长为 . 把空间和时间离散化:
x i x 0 ih , i 0,1, 2, ...; t k t 0 k , k 0,1, 2, ...
9.3 二维热传导方程的差分解法
u t u
2
内部无热源均匀介质中二维热传导方程:
( u
2
x
2
y
2
)
0 x l, 0 y s, 0 t T
初值条件: u ( x , y , 0) ( x , y ) 边值条件视具体情况而定. 设空间的步长为 h, 时间的步长为 . 设Nh=l, Mh=s, 把时间和空间离散化:
u i 1, j , k 2 u i , j , k u i 1, j , k h
2
u i , j ,k x
2
2
u i , j ,k y
数值计算方法解决二维热传导方程问题研究
数值计算方法解决二维热传导方程问题研究概述：热传导方程是描述物体中温度分布随时间演化的常见方程之一。
解决热传导方程的问题在工程、科学及实际应用中具有重要的意义。
然而，解析解往往难以得到，因此我们需要借助数值计算方法来求解这类问题。
本文将研究使用数值计算方法解决二维热传导方程问题，并介绍常用的数值方法及其应用。
引言：热传导方程是描述物体中温度分布的偏微分方程，通常形式为：∂u/∂t =α(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)，其中u(x, y, t)表示温度分布，α为热扩散系数。
本文将研究如何使用数值计算方法求解该方程的初始值问题。
数值方法介绍：1. 空间离散化在二维情况下，我们将区域划分为网格点，并对温度进行离散化。
常用的方法有有限差分法和有限元法。
有限差分法将二维空间离散化为矩形网格，根据差分近似导数并代入热传导方程，得到离散的方程组。
有限元法则通过将区域分解为多个小区域，利用试探函数对温度进行表示，在每个小区域内代入试探函数并求解线性方程组来得到温度分布。
2. 时间离散化对时间进行离散化也是求解二维热传导方程的重要步骤。
常用的方法有显式方法和隐式方法。
显式方法使用差分公式来逐步推进时间，从而求解温度在每个时间步长上的值。
隐式方法则利用迭代算法来求解线性方程组，通过反复迭代使得解逼近真实解。
数值方法应用与优缺点分析：1. 有限差分法有限差分法是最常用的数值方法之一，简单易于实现。
它将二维空间划分为网格点，并利用中心差分公式来近似偏导数。
在时间方向上，显式差分方法使用向前差分公式，而隐式差分方法则使用向后差分公式。
有限差分法的优点是计算效率高，在稳定性和精度上具有较好的表现，但对于非线性问题的处理稍显困难。
2. 有限元法有限元法是一种更为复杂的数值计算方法，对于复杂的边界条件和几何形状具有较好的适应性。
它将区域分解为小区域，并在每个小区域内引入试探函数。
通过求解线性方程组，可以得到温度的离散解。
二维稳态辐射传输方程的有限差分求解法
二维稳态辐射传输方程的有限差分求解法1 二维稳态辐射传输方程二维稳态辐射传输方程是研究辐射热传输问题的基础理论。
它描述物体辐射传输特性，准确地反映了空间、波长、温度等的热力学状态，常用于测量、模拟和描述光谱特性。
它不仅用于物体多光谱特性的研究，在无线电、声学、热学等行业也有广泛的应用。
求解二维稳态辐射传输方程，是热传输问题解决的基础，是目前比较受重视的热物理学问题。
2 有限差分求解法有限差分求解法(FDM: Finite Difference Method)是一种既简单又可用的求解方法，用来模拟复杂的物理问题，包括各种边界介质问题。
其基本思想是将边界条件描述的问题，分为数学问题的离散网格，然后对每个网格单元进行计算，最终将离散的解合成连续的数值解。
由于有了解的结构化，对相对复杂、难以分析的边界介质问题，可以得到较好的数值解，由此形成有限差差分求解方法。
有限差分求解法应用于二维稳态辐射传输方程时，针对空间导数和温度导数是微分方程可以采用空间抽样法进行求解。
把温度分布函数和透射辐射函数分别抽样为N×N个离散点，在每一个点处分别得到温度分布和透射辐射分布的多项式函数，然后建立有限区域的温度分布和传热分布的迭代形式，以及有限区域的传热和流动多角面的迭代形式。
有了以上离散网格，再使用有限元法或集成覆盖法即可求解得到连续的数值解。
3 稳定性分析稳定性分析是有限差分求解法成功实现的关键，其目的是检验有限差分法算法的有效性和准确性。
一般来说，有限差分求解法采用合适的时间步长和空间步长才能保证求解结果的稳定性。
对于二维稳态辐射传输方程，可以求解步长的最大值，得到稳定的精度和收敛性「CFL条件」，然后采用稳定性分析来确定系数当采用这个条件时能够得到准确解。
4 结论有限差分求解法是模拟复杂物理系统的一种有效方法，其结构简单、计算速度快，广为应用于边界介质传热问题，在二维稳态辐射传热中也有宝贵的应用，另外采用正确的稳定性分析，可以保证得到精确的求解结果，尤其在介质传输场景中，能够准确的反应空间的增长、温度的变化以及流量的流动等。
2二维传热差分算法分析及通用计算程序实现
文章编号：ＩＯＤ２１１２４ｆ０００６｝０２一ｆ跏７０２化学工程师ＣｈⅧｃａｌＥｎ目ｎ∞ｒ２００６年２月二维传热差分算法分析及通用计算程序实现孙怀宇，王祝敏（沈阳化工学院化学工程学院．辽宁沈阳１１０１４２）摘要：在对用有限差分法计算：维稳态传热的过程及算法进行分析的基础上，研究了用于描述差分节点及其关系的数据结构，井研究了自动生成热量衡算方程组的方法。
基于此方法开发了一维传热计算程序，程序支持交互没汁传热网络，能够自动生成传热方程组并求解方程组＝关键词：传热计算；有限差分；计算方法中图分类号：ＴＱ０２１３文献标识码：ＡＡＩｌａｌ辨。
ｆ丘ｄｔｅｄｍｒｅｎｃｅｍｅ曲。
ｄｆｏｒｔｗ０一ｄｉｍｅ蛹帅ｈ船ｔｌｒ哪ｓ蛔‘鲫Ｉｄｄｅｖｄ唧即ｔ０ｆａ础ｒ∞掣ｐ】ｑ乒踟ＳＵＮＨｕ撕一ｖｕ．ＷＡＮＧＺｈｕ—ｍｉｎ（ＤｅｐａＩ蜘咖０ｆｏ帅ｄＥ【ｌ舯ｅｃｎｎｇ，ｓｈ朗ｙ“Ｗｌｌ武ｉｍｆｅ０ｆ０ｌ“面ｃ—Ｒｈｏｌｏ盯ｔＳｈ。
ｌｖａｌｌｇ１１０１４２．ｃ拉岫）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅ（）ＩＩｍｌａｌｙ血１９ｔｈｅｐ‘０ｃｅ（１ＬＲ址１ｄａＩｉｔ｝ｌＩｒｌｅｔｉｃｏｆｈ岫一ｄｉｍ即鲥蚰ｓｔｅａｄｙ８ｂｋｈｅａｔｔｒａｌｌ如ｒｂｙｎＩｌｉｋｄｉｆ玷∞ｎｃｅｍｅ小０（】，ｔｈｅｄａｂｓｔ兀】ｃｎ此ｉｓ出ｓｉ丹ｌｄＩｏｄｅ蝌ｉｐｔｄｉ舴ｒｅｍｅｎｏｄｅｓａｎｄｔｈｅｌｒＩ幽Ⅱｏｎ出ｐ．Ｉｎａｄ由ｊｏⅡ，吐他ｍｅｄｌｏｄ话陀黑ａ耐Ｌ。
ｄｔ０ａｕｔｏｍａｔｉｃｇ即珊ｔｅｏｑｕａ￡；ｏⅡｓｓ毗０ｔｈ船＆嘣ａｒＩｃｅｓｙ￥㈣．Ｕｓｉｎｇｄｉｓｌｎｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｎ帅～ｄＢ狞ｎｓｉｏｉｌｈｅａｔ—ｔｒａｎ出ｒ龇１ａｌｙ出ｐ３９ｒａｍ诂ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ，ｉｌ８１１Ｈ”ｒＬｓｒⅢＬｕａｌｄｅｓ研０ｆｈｅ吐曲ｎ出ｒｒ剐ｅｓａｎｄ画ｄｓ．ａｎｄ证ｃ册ａｕ咖ｎａ№ｇｅｒＩ啪ｔｅｔ１１ｅｈｅａｔ一劬珊丘ｒ。
ｑ１１ａ６０ｎｓｓｅｔ丑ＩＩｄｄ化ＩＩｓｏｈｅａｎｄ舯１ｗｉｌＫｅｖＨ啦出：ｈｅａｔ—ｔｒａｌｌｓｆｅｒｍｌａｌｙ出；６枷把ｄｉ仃ｊ工ｅｎ∽；ｃｏｍｐｕ埘ｉｏｎｍｅ山ｔｘｌ工程中经常进行的传热计算，一般包括物体内导热及物体与外界的对流传热，问题的复杂性主要体现在不规则的几何形状和复杂的边界条件。
有限差分法解热传导问题
y
0Hale Waihona Puke y xx y 4tm,n
2tm1,n
2x
qw
tm,n1
tm,n1
Φm,n
x2
1
(2) 外部角点
qw
y 2
tm1,n tm,n x
y 2 qw
x 2
qw
x 2
tm,n1 y
tm,n
Φ m,n
x 2
y 2
x2 m,n
x 2
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
建立离散方程
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t x 2
2t y 2
v
0
其节点方程为：
ti1, j
2ti, j
x2
＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
建立离散方程
内部节点：Φm1,n Φm1,n Φm,n1 Φm,n1 0
(m,n+1)
y
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
y
y o
(m-1,n)
x
x
(m, n) (m,n-1)
x
(m+1,n)
建立离散方程
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
NDSolve[{D[u[x,t],t]=D[u[x,t],{x,2}],u[x,0]=-x*(1x),Derivative[1,0][u][0,t]=0,Derivative[1,0][u][1,t]=3u[1,t],u,{x,0,1},{t,0,0.3}]
CP090-计算物理热传导方程的差分解法
t T
（9.6）
9.2 一维热传导方程的差分解法
边界条件： 3、 第三类边界条件：
u (, t ) x (t )u (, t ) g (t ) u (l , t ) (t )u (l , t ) g (t ) x
其中， (t )
9.1 热传导方程概述
四、三维非齐次热传导方程 由能量守恒定律，即
Q Q Q
可得：
或
u t dt V [c t ( Ku) F ]dV u c ( Ku ) F ( x, y, z, t ) t
t
（9.1）
式（9.1）称为各向同性介质有热源的热传导方程，也叫三维 非齐次热传导方程。
9.1 热传导方程概述
五、三维齐次热传导方程 当介质均匀（ c 、 和 K 为常数） 内无热源（ F ( x, y, z, t ) ）时： 、V
u c Ku, t
上式可表示为：
其中 x y z
u K u u u ( ) t c x y z
9.2 一维热传导方程的差分解法
例 9.1 求热传导方程混合问题：
u u t x u ( x,) x( x) u (, t ) , u (, t )
x , t x t
的数值解，取 N=10，h=0.1,计算到 k=36 为止。
9.2 一维热传导方程的差分解法
2、差分格式的稳定条件
h
3、具体步骤 （1）给定 , l , h, , T ； （2）计算 h / , N l / h, M T / ；
二位热传导方程第二类边界有限差分法
这是一个关于热传导方程的问题，可以使用有限差分法进行求解。
首先，我们需要定义一个二维热传导方程：
∂u/∂t = α (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)
其中，u表示温度，t表示时间，x和y表示空间坐标，α表示热扩散率。
然后，我们可以使用第二类边界有限差分法来求解这个方程。
将方程进行离散化处理，得到如下的差分方程：
u_i,j^(n+1) = u_i,j^n + Δt/α * [(u_i+1,j^n - 2u_i,j^n + u_i-1,j^n)/Δx² + (u_i,j+1^n - 2u_i,j^n + u_i,j-1^n)/Δy²]
其中，u_i,j^(n) 表示在时刻n，坐标为(i, j) 处的温度值，Δt 表示时间步长，Δx 和Δy 表示空间步长。
我们可以使用这个差分方程来迭代求解温度场的变化。
需要注意的是，在边界处需要考虑边界条件。
具体的边界条件可以根据实际问题的需求进行设定。
以上就是使用第二类边界有限差分法求解二维热传导方程的基本步骤。
二维热传导方程的解法
二维热传导方程的解法热传导是指物体内部的热量由高温处向低温处自然传递的现象。
而热传导方程就是描述热传导现象的数学方程。
在物理学中，二维热传导方程是一个很重要的方程，它可以用来描述各种具有二维几何形状的物体内部的热传导性质。
本文将介绍二维热传导方程的解法。
一、二维热传导方程的建立二维热传导方程的建立需要满足两个条件：1. 假设物体是均匀的，即密度、比热和热导率在整个物体内是不变的；2. 假设物体的热量是由热传导引起的。
根据热传导定律，可以得到二维热传导方程：$${\partial u\over\partial t} =\ alpha({\partial^2u\over\partial x^2}+ {\partial^2u\over\partial y^2}) $$其中，$\alpha$为热扩散系数，$u$为物体内的温度场，$x,y$分别为物体内的两个空间坐标，$t$为时间。
二、格点法格点法是一种数学工具，它可以通过将物体划分成许多个小区域来离散化二维热传导方程，从而得到数值解。
通过将物体划分成的小区域称为格点，每个格点的温度可以根据它周围格点的温度值进行计算。
使用格点法求解二维热传导方程的基本步骤如下：1. 将物体划分成 $N\times N$ 个格点，每个格点的大小为$\Delta x\times\Delta y$；2. 将时间划分成若干个离散时间步长 $\Delta t$，并设定初值条件 $u(x,y,0)=f(x,y)$；3. 根据离散化的二维热传导方程对每个格点的温度进行更新，即$${u_{i,j}^{n+1}-u_{i,j}^n\over\Delta t} ={\alpha\over\Deltax^2}(u_{i+1,j}^n-2u_{i,j}^n+u_{i-1,j}^n) +{\alpha\over\Deltay^2}(u_{i,j+1}^n-2u_{i,j}^n+u_{i,j-1}^n) $$4. 循环迭代，重复步骤 3 直到达到约定的终止条件。
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二维热传导方程有限差分区域分解算法
作者：吕桂霞， 马富明， Lü Guixia， Ma Fuming
作者单位：吕桂霞,Lü Guixia(北京应用物理与计算数学研究所计算物理实验室,北京,100088)， 马富明,Ma Fuming(吉林大学数学科学学院,长春,130012)
刊名：
数值计算与计算机应用
英文刊名：JOURNAL ON NUMERICAL METHODS AND COMPUTER APPLICATIONS
年，卷(期)：2006,27(2)
被引用次数：4次
1.V K Saul'yev Integration of equations of parabolic type by method of nets 1964
2.郭本瑜偏微分方程的差分方法 1985
3.Wan Zhengsu;Zhang Baolin;Chen Guangnan Design and Analysis of Finite Difference Domain Decomposition Algorithms for the Two-dimensional Heat Equation[外文会议] 2002
4.吕桂霞;马富明抛物方程的一类并行差分格式[期刊论文]-吉林大学学报(理学版) 2002(04)
5.张宝琳;申卫东热传导方程有限差分区域分解算法的若干注记[期刊论文]-数值计算与计算机应用 2002(02)
6.张宝琳;谷同祥;莫则尧数值并行计算原理与方法 1999
7.张宝琳热传导方程的有限差分区域分裂显-隐算法的注记 1998(03)
8.C N Dawson;Q Du;T F Dupont A finite difference domain decomposition algorithm for numerical solution of the heat equation 1991
1.杨彬.林乐宇.王南迪.王欣二维热传导方程的可视化计算[期刊论文]-天津师范大学学报(自然科学版)
2004,24(1)
2.吕桂霞.马富明.Lü Guixia.Ma Fuming一类无结构三角网上抛物方程的有限差分区域分解算法[期刊论文]-计算数学2006,28(1)
3.赵良抛物方程的有限差分区域分解算法[学位论文]2008
4.张宝琳.申卫东热传导方程有限差分区域分解算法的若干注记[期刊论文]-数值计算与计算机应用2002,23(2)
5.王婷.WANG Ting热传导方程的一类有限差分区域分解显-隐算法[期刊论文]-山东大学学报(理学版)2006,41(5)
6.刘继军二维热传导方程的三层显式差分格式[期刊论文]-应用数学和力学2003,24(5)
1.汪学海基于双层位势的非定常扩散方程的虚边界元解法[期刊论文]-河南城建学院学报 2011(2)
2.李宛珊.王文洽二维热传导方程的有限差分区域分解算法[期刊论文]-山东大学学报：理学版 2011(12)
3.张培茹.赵凤群.周千.何静二维偏微分方程的小波配点法[期刊论文]-西安理工大学学报 2010(1)
4.汪学海.吴胤林非定常扩散方程的虚边界元解法[期刊论文]-北京工商大学学报（自然科学版） 2008(6)
本文链接：/Periodical_szjsyjsjyy200602003.aspx。