指数函数的图像及性质知识要点

合集下载

指数函数图像及其性质

指数函数图像及其性质

0
-1
定义域 值域
R 0,
性 质
(1)过定点(0,1) (2)在R上是增函数
(2)在R上是减函数
探究:比较下列数的大小
1.71x 0.94
x
1.71 1.71
3.1 1
2.5
4 0.94 0.94 1.2
同底数幂比较大小 利用图象的单调性
如何 比较
1、指数函数图象和性质
a>1
6
0<a<1
6 5 4
图 像
-4 -2
5
4
3
3
(0,1)
1 0
2
y=1
2 4 6
2
(0,1)
2 4
y=1
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
1
-4
-2
0
-1
-1
定义域
值域
0,
R
性 (1)过定点(0,1) 质 (2)在R上是增函数 (2)在R上是减函数
2、指数函数的大小比较
人教版高中数学必修1第二章第一节
2.1指数函数图象
及其性质
课前回顾
1、什么样的函数叫指数函数?
x y a (a 0且a 1) 叫做指数函数 一般地,函数 定义域为 R ,值域为(0,) 。
a 为何只
解析式的三 个特点!
能在此 范围内 取值?
指数函数的图象和性质
设问:得到函数图象一般的步骤是什么?研究函数一

8
x
4
2
1.4
1
0.71 0.5 0.25
0.13

11 x yy 22
y 3

指数函数应用知识点总结

指数函数应用知识点总结

指数函数应用知识点总结一、指数函数的基本概念和性质1.1 指数函数的定义指数函数是具有x为独立变量的函数,其定义域为实数集合,通常表示为y = a^x,其中a 为底数,x为指数,a为正实数且不等于1。

1.2 指数函数的基本性质指数函数的基本性质包括:(1)当底数a大于1时,指数函数呈增长趋势;当底数a小于1且大于0时,指数函数呈现下降趋势。

(2)指数函数的图像是以点(0,1)为对称轴的。

(3)当x=0时,指数函数的值始终为1。

(4)指数函数是连续且严格递增或递减的。

1.3 指数函数的导数和积分指数函数的导数为其自身的基数乘以lna,即f'(x)=a^x*lna;而指数函数的不定积分为其自身的函数值除以lna再加上常数项,即∫a^xdx=a^x/lna+C。

1.4 指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数是互为反函数的关系,即a^x=y,当且仅当x=loga(y)。

指数函数和对数函数之间可以相互转化。

1.5 指数函数的极限性质当x趋向无穷大时,指数函数a^x的极限为正无穷;当x趋向负无穷大时,指数函数a^x 的极限为0。

二、指数函数在现实生活中的具体应用2.1 指数函数在金融领域的应用(1)复利计算:复利是利息按期计算并加到本金中再计算利息的计息方式。

其数学模型即为指数函数,为A=P*(1+r/n)^(nt)其中,P为本金,r为年利率,n为计息次数,t为存款年限,A为本金加利息后的总额。

(2)经济增长模型:指数函数也常用于描述国民经济的增长趋势,GDP增长率等指标都可以用指数函数来描述其增长趋势。

2.2 指数函数在生物学领域的应用(1)细菌繁殖模型:细菌在合适的环境条件下,其繁殖数量会呈指数增长。

这种繁殖数量可以用指数函数来描述。

(2)人口增长模型:在一个封闭的系统中,人口增长也可以通过指数函数来描述。

2.3 指数函数在物理学领域的应用(1)放射性衰变模型:放射性元素的衰变可以用指数函数来描述。

指数,对数,幂函数的图像和性质

指数,对数,幂函数的图像和性质

指数函数的图像是一条向上开口的曲线,通常表示为y=a^x(a>0,a≠1)。

指数函数的性质有:
1.在y 轴上的截距为1。

2.对于不同的指数函数,它们的图像形状是相同的,只有位置不同。

如果改变指数函数的
指数,则会改变函数的斜率,即函数图像会发生平移。

3.对于相同的指数函数,如果改变函数的系数,则会改变函数的尺度,即函数图像会发生
伸缩。

对数函数的图像是一条向右开口的曲线,通常表示为y=loga(x)(a>0,a≠1)。

对数函数的性质有:
1.在y 轴上的截距为0。

2.对于不同的对数函数,它们的图像形状是相同的,只有位置不同。

如果改变对数函数的
底数,则会改变函数的斜率,即函数图像会发生平移。

3.对于相同的对数函数,如果改变函数的系数,则会改变函数的尺度,即函数图像会发生
伸缩。

幂函数的图像可以是一条向上开口的曲线,也可以是一条向右开口的曲线,通常表示为y=x^n(n为常数)。

幂函数的性质有:
1.当n>0 时,幂函数的图像是一条向上开口的曲线。

2.当n<0 时,幂函数的图像是一条向右开口的曲线。

3.当n=0 时,幂函数的图像是一条水平直线。

4.幂函数的图像在y 轴上的截距为1。

5.对于不同的幂函数,它们的图像形状是相同的,只有位置不同。

如果改变幂函数的指数,
则会改变函数的斜率,即函数图像会发生平移。

6.对于相同的幂函数,如果改变函数的系数,则会改变函数的尺度,即函数图像会发生伸
缩。

指数函数对数函数幂函数的图像与性质

指数函数对数函数幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念(2).两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ;②a a nn =)((注意a 必须使n a 有意义)。

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。

(2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a 〉0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );。

n 为奇数 n 为偶数3.指数函数的图象与性质 y=a x a 〉10〈a 〈1图象定义域 R 值域 (0,+∞)性质(1)过定点(0,1) (2)当x 〉0时,y 〉1; x 〈0时,0〈y<1(2) 当x 〉0时,0〈y 〈1; x<0时, y>1(3)在(-∞,+∞)上是增函数(3)在(—∞,+∞)上是减函数注:如图所示,是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x ,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系?提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1>d 1>1〉a 1〉b 1,∴c 〉d 〉1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。

(二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义如果(01)xa N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log Na x =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。

指数函数图像及性质

指数函数图像及性质

指数函数图像及性质
指数函数图像的特征就是“J”形的曲线,它可用来表示水平和垂直运动的加速度和内能释放。

指数函数可以表示非常多种物理或生物学现象。

指数函数图像具有以下性质:
1. 指数函数图像以指数增长和指数衰减。

即曲线是从左向右张开的,以及从右向左收缩的。

2. 一般情况下,指数函数图像会通过坐标原点(0,0),如果不是,则说明指数函数图像是一条平行曲线。

3. 在每一个定义域,指数函数图像的斜率最大值为1,但是随着x的增加,它的斜率越来越小,趋近于0。

4. 在不同的定义域,指数函数图像的形状也有所不同,一般数学家会把它们分成“快速增长函数”和“减速函数”,其中前者的最大斜率大于1而后者的最大斜率小于1。

5. 对于指数函数图像,从右向左看斜率是负值,而从左向右看又会变成正值。

6. 有时候,指数函数图像会拐到右上或者右下方,这时候说明指数函数正在发挥它的作用。

7. 指数函数的绝对值有三种情况,即增加,减少和突然增加,这种情况受到外部因素的影响。

8. 指数函数图像在平行于y轴的负半轴上,其值会无限接近0,而在平行于y轴的正半轴上,其值会无限增长。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念(2).两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ;②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。

(2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注:如图所示,是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系?提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。

(二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。

(2)几种常见对数2、对数的性质与运算法则(1)对数的性质(0,1a a >≠且):①1log 0a =,②lo g 1aa =,③lo g Na a N =,④lo g N a aN =。

2.1.2指数函数图象及性质(二)

2.1.2指数函数图象及性质(二)

若把函数 f ( x ) 的图象向左平移2 个单位, y=3(x+2)2 则得到函数 ____________ 的图象; 若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位, y=3x2-3 则得到函数 _________ 的图象; 若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位, y=3x2+4 则得到函数 _________ 的图象.
C. 0 a 1, 且 b 0 B. a 1, 且 b 0 D. a 1, 且 b 0
y
o
x
0 a 1, 1 b 1 0,
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二) y ( 1 ) x 作出函数图象,求定义域、 例1. 已知函数 2 y ( 1 )| x| 的关系. 值域,并探讨与图象 2
y
2
o -2
- x 1
x
所以当x<0时, f ( x ) 2
主页
.
§2.1.2指数函数及其性质(二)
1.图像过定点问题
由于函数y=ax(a>0,且a≠1)恒经过定点 (0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题
例2.函数y=ax-3+2(a>0,且a≠1)必经 过哪个定点? (3, 3)
点评:函数y=ax-3+2的图象恒过定点(3,3),实 际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平 移2个单位得到.
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二)
【1】函数y=ax+5-1(a>0,且a≠1)必经 过哪个定点? ( 5, 0)
【2】函数 y a b=____. 1
x b
2 恒过定点(1,3)则
1 ) x12 2 x1 , f ( x ) ( 1 ) x22 2 x 2 , 则 f ( x1 ) ( 5 2 5

指数与指数函数图像及性质(学生版)

指数与指数函数图像及性质(学生版)

指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1.根式(1)如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ,且*∈N n 。

(2)如果a x n=,当n 为奇数时,n a x =;当n 为偶数时,n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ,且*∈N n 。

(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。

,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ,且*∈N n 。

2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点:①分数指数幂是根式的另一种表示形式; ②根式与分数指数幂可以进行互化; ③0的正分数指数幂等于0; ④0的负分数指数幂无意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0;② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0;③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

4.指数函数的概念:一般地,函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R 。

5.指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂,a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指数,规定:1a a =;2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数;3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数,=a a αβαβ(). 【例1】计算下列各式的值.(1(2(3;(4)a b >.【变式1】 求下列各式的值:(1*1,n n N >∈且);(2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为( )A .5B .C .﹣D .﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0+148=________.题型二 根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时,0;b a > 2. 0a ≠时, 01a =; 3. 若,r s a a =则r s =;4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>; 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=,求下列各式的值.(1)11a a -+;(2)22a a -+;(3)22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根,且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <,求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=,求33221122a aa a----的值.【变式4】(1)已知122+=xa,求xx xx a a a a --++33;(2)已知a x=+-13,求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值:(1)246347625---+-;(2)()2x 3442<--+-x x x ;(3)12121751531311++-+++++++n n ;(4)()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式:(1)121316324(1243)27162(8)--+-+-;(2)化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛;(3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算:()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数,求实数a 的值。

知识讲解_指数函数及其性质_基础

知识讲解_指数函数及其性质_基础

指数函数及其性质要点一、指数函数的概念:函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,a 为常数,函数定义域为R. 要点诠释:(1)形式上的严格性:只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数.像23xy =⋅,12xy =,31xy =+等函数都不是指数函数.(2)为什么规定底数a 大于零且不等于1:①如果0a =,则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时,a 恒等于,时,a 无意义.②如果0a <,则对于一些函数,比如(4)xy =-,当11,,24x x ==⋅⋅⋅时,在实数范围内函数值不存在.③如果1a =,则11xy ==是个常量,就没研究的必要了. 要点二、指数函数的图象及性质:y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ,值域 (0,+∞)②a 0=1, 即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点 ③a x =a ,即x=1时,y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时,a x >1 x>0时,0<a x <1⑤x<0时,0<a x <1 x>0时,a x >1⑥ 既不是奇函数,也不是偶函数(1)当底数大小不定时,必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。

(2)当01a <<时,,0x y →+∞→;当1a >时,0x y →-∞→。

当1a >时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快。

当01a <<时,a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减的速度越快。

(3)指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 (1)① xy a = ②xy b = ③x y c = ④x y d =则:0<b <a <1<d <c又即:x ∈(0,+∞)时,x x x x b a d c <<< (底大幂大) x ∈(-∞,0)时,x x x x b a d c >>> (2)特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像:要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:①若0A B A B ->⇔>;0A B A B -<⇔<;0A B A B -=⇔=; ②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断1A B >,或1AB<即可. 【典型例题】类型一、指数函数的概念例1.函数2(33)xy a a a =-+是指数函数,求a 的值. 【答案】2【解析】由2(33)xy a a a =-+是指数函数,可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且,所以2a =.【总结升华】判断一个函数是否为指数函数:(1)切入点:利用指数函数的定义来判断;(2)关键点:一个函数是指数函数要求系数为1,底数是大于0且不等于1的常数,指数必须是自变量x .举一反三:【变式1】指出下列函数哪些是指数函数(1)4xy =;(2)4y x =;(3)4xy =-;(4)(4)xy =-;(5)1(21)(1)2xy a a a =->≠且;(6)4x y -=.【答案】(1)(5)(6)【解析】(1)(5)(6)为指数函数.其中(6)4x y -==14x⎛⎫ ⎪⎝⎭,符合指数函数的定义,而(2)中底数x 不是常数,而4不是变数;(3)是-1与指数函数4x 的乘积;(4)中底数40-<,所以不是指数函数.类型二、函数的定义域、值域 例2.求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy =+;(2)y=4x -2x +1;(4)y =为大于1的常数)【答案】(1)R ,(0,1);(2)R [+∞,43);(3)1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞;(4)(-∞,-1)∪[1,+∞) [1,a)∪(a ,+∞)【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ,3x ≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++,又∵ 3x >0, 1+3x >1, ∴ 10113x <<+, ∴ 11013x-<-<+,∴ 101113x<-<+, ∴值域为(0,1). (2)定义域为R ,43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ,∵ 2x >0, ∴ 212=x即 x=-1时,y 取最小值43,同时y 可以取一切大于43的实数,∴ 值域为[+∞,43). (3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥,即21233x --≥,又函数3x y =是增函数,所以212x -≥-,即12x ≥-,即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,值域是[)0,+∞.(4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞), 又∵111011≠+-≥+-x x x x 且,∴ a ay a y x x x x≠=≥=-+-+1121121且, ∴值域为[1,a)∪(a ,+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件,第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三:【变式1】求下列函数的定义域: (1)2-12x y =(2)y =(3)y =(4)0,1)y a a =>≠【答案】(1)R ;(2)(]-3∞,;(3)[)0,+∞;(4)a>1时,(]-0∞,;0<a<1时,[)0+∞,【解析】(1)R(2)要使原式有意义,需满足3-x ≥0,即3x ≤,即(]-3∞,.(3) 为使得原函数有意义,需满足2x -1≥0,即2x ≥1,故x ≥0,即[)0,+∞(4) 为使得原函数有意义,需满足10xa -≥,即1xa ≤,所以a>1时,(]-0∞,;0<a<1时,[)0+∞,.【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性,根据所给的同底指数幂的大小关系,结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用例3.讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性,并求其值域.【思路点拨】对于x ∈R ,22103x x-⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立,因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调区间.此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果.【答案】函数()f x 在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数 (0,3] 【解析】解法一:∵函数()f x 的定义域为(-∞,+∞),设x 1、x 2∈(-∞,+∞)且有x 1<x 2,∴222221()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭,211211()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭,222222121212121122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)当x 1<x 2<1时,x 1+x 2<2,即有x 1+x 2-2<0.又∵x 2-x 1>0,∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)<0,则知2121()(2)113x x x x -+-⎛⎫> ⎪⎝⎭.又对于x ∈R ,()0f x >恒成立,∴21()()f x f x >. ∴函数()f x 在(-∞,1)上单调递增.(2)当1≤x 1<x 2时,x 1+x 2>2,即有x 1+x 2-2>0. 又∵x 2-x 1>0,∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)>0,则知2121()(2)1013x x x x -+-⎛⎫<< ⎪⎝⎭.∴21()()f x f x <.∴函数()f x 在[1,+∞)上单调递减.综上,函数()f x 在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数.∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥-1,1013<<,221110333x x--⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∴函数()f x 的值域为(0,3].解法二:∵函数()f x 的下义域为R ,令u=x 2-2x ,则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭.∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1,在(―∞,1]上是减函数,1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数,∴函数()f x 在(-∞,1]内为增函数.又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数,而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1,+∞)上是增函数,∴函数()f x 在[1,+∞)上是减函数.值域的求法同解法一.【总结升华】由本例可知,研究()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法,比用定义法要简便些,一般地有:即当a >1时,()f x y a=的单调性与()y f x =的单调性相同;当0<a <1时,()f x y a=的单调与()y f x =的单调性相反.举一反三:【变式1】求函数2323xx y -+-=的单调区间及值域.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增,在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为:u=-x 2+3x-2, y=3u ;[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间; [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2, y=3u ,其中y=3u 为R 上的单调增函数,u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增, u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减, 则2323xx y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增,在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x 2+3x-22311()244x =--+≤, 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].【变式2】求函数2-2()(01)xxf x a a a =>≠其中,且的单调区间.【解析】当a>1时,外层函数y=a u 在()-∞+∞,上为增函数,内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞,上为减函数,在区间[)1+∞,上为增函数,故函数2-2()(-1)x xf x a =∞在区间,上为减函数,在区间[)1+∞,上为增函数; 当0<a<1时,外层函数y=a u 在()-∞+∞,上为减函数,内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞,上为减函数,在区间[)1+∞,上为增函数,故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞,上为增函数,在区间[)1,+∞上为减函数.例4.证明函数1()(1)1x xa f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。

指数函数的图象和性质

指数函数的图象和性质

1
1
练习:比较大小 a3和a 2,(a 0, a 1)
方法总结
(1)构造函数法:要点是利用函数的单调性,数的特征是同底不同 指(包括可以化为同底的),若底数是参变量要注意分类讨论。比 较两个同底数幂的大小时,可以构造一个指数函数,再利用指数函数的 单调性即可比较大小. (2)搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。 比较两个不同底数幂的大小时,通常引入第三个数作参照.
分析:(1)因为该城市人口呈指数增长,而同一指数函数 的倍增期是相同的,所以可以从图象中选取适当的点计算 倍增期.(2)要计算20年后的人口数,关键是要找到20年与 倍增期的数量关系. 解:(1)观察图,发现该城市人口经过20年约为10万人,经过40年 约为20万人,即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年, 所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)因为倍增期为 20年,所以每经过20年,人口将翻一番.因此,从80万人开始, 经过20年,该城市人口大约会增长到160万人.
x
用描点法作函数y (1)x 和y (1)x的图象.

2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
数 y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
图 y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
象 y (1)x 2
特 征
y (1)x 3
y
O
思考:若不用描点法, 这两个函数的图象又该 如何作出呢?
底数a由大变小时函数图像在第一象限内按__顺__
时针方向旋转.
问题三:图象中有哪些特殊的点?
答:四个图象都经过点_(_0_,1_) .
a>1

指数函数的图象与性质指数函数知识梳理指数函数运算法则公式

指数函数的图象与性质指数函数知识梳理指数函数运算法则公式

指数函数的图象与性质•指数函数y=a x(a>0,且a≠1)的图象和性质:0<a<1 a>1 图像图像定义域R值域(0,+∞)恒过定点图像恒过定点(0,1),即当x等于0时,y=1单调性在(∞,+∞)上是减函数在(∞,+∞)上是增函数函数值的变化规律当x<0时,y>1 当x<0时,0<y<1当x=0时,y=1 当x=0时,y=1当x>0时,0<y<1 当x>0时,y>1•底数对指数函数的影响:①在同一坐标系内分别作函数的图象,易看出:当a>l时,底数越大,函数图象在第一象限越靠近y轴;同样地,当0<a<l时,底数越小,函数图象在第一象限越靠近x轴.②底数对函数值的影响如图.③当a>0,且a≠l时,函数与函数y=的图象关于y轴对称。

利用指数函数的性质比较大小:若底数相同而指数不同,用指数函数的单调性比较:若底数不同而指数相同,用作商法比较;若底数、指数均不同,借助中间量,同时要注意结合图象及特殊值,•指数函数图象的应用:函数的图象是直观地表示函数的一种方法.函数的很多性质,可以从图象上一览无余.数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象.利用指数函数的图象,可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题.高中数学必修之指数函数知识梳理知识点1.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,1/2,1/3的指数函数的图象.3体会指数函数是一类重要的函数模型.知识梳理1.根式的性质2.有理指数幂考点1:指数幂的运算[规律方法] 1.指数幂的运算,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.考点2:指数函数的图象及应用[规律方法]指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1) ,【1,1/a】(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.[规律方法] 1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.2.解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解.3.探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致.总结思想与方法1.根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较。

指数函数的图像及性质

指数函数的图像及性质

∴1-3c>3a-1,即3c+3a<2. 【答案】 D
求与指数函数有关的函数的定义域与值域
求下列函数的定义域和值域:
(1) y=( 1 )2x-x2;(2)y=9x+2×3x-1.
2
思路点拨:这是与指数函数有关的复合函数,可以利 用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域,对于 形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2)).
素材2.1 设函数f x =a- (a 0且a 1),
x
若f 2 = 4,则a = f (2)与f 1的大小关系 是 ;

xa x 2 函数y = 0 a 1的 | x| 图象的大致形状是

解析:
1由f 2 4,得a
-2
1 4,所以a , 2
另一部分是:y=3x
(x<0)
向左平移
1个单位
y=3x+1 (x<-1).
图象如图:
(2)由图象知函数在(-∞,-1]上是增函数,
在(-1,+∞)上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高
在作函数图象时,首先要研究函数与某一
基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
考点探究
点评: 利用单调性可以解决与指数函数有关的值域 问题.指数函数本身是非奇非偶函数,但是与指数函数有
关的一些函数则可能是奇函数或偶函数.要注意使用相关
的概念和性质解决问题.
考点探究
2 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.

指数函数的图象及性质

指数函数的图象及性质

指数函数一、根式与分数指数幂1. 根式定义根式:一般地,若x n=a(a为非负实数,n为正整数),则x叫做a的n次方根,记作或。

其中,n叫做根指数,a叫做被开方数。

2. 根式性质当n为奇数时,正数的n次方根为正数,负数的n次方根为负数。

当n为偶数时,正数的n次方根有两个,互为相反数;负数没有偶次方根。

0的任何次方根都是0。

3. 根式运算化简:通过因式分解、合并同类项等方法将复杂的根式化简为最简形式。

求值:将根号下的数按照因数分解的形式写出,然后求出完全平方数的平方根,最后相乘得到最终结果。

和(差):将根式化为最简形式后,合并同类项。

积(商):合并同类项,分解各个项,然后化简得到最终结果。

4. 分数指数幂定义分数指数幂:一个数的指数为分数,如(a>0,m,n∈N∗且n>1),其中a的次幂等于n次根号下a的m次方,即。

二、分数指数幂的运算性质1、同底数幂相乘:底数相同,指数相加2、同底数幂相除:底数相同,指数相减3、幂的乘方:指数相乘4、任何非零数的0次幂都等于15、负指数幂表示倒数三、实数指数幂的运算及其性质1、实数指数幂的基本概念实数指数幂指的是形如 a n 的数,其中 a 为实数(且 a≠0),n 为实数。

实数指数幂包括正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂以及无理数指数幂。

2、运算性质同底数幂相乘:a m•a n=a m+n同底数幂相除:a m/a n=a m−n(a≠0)幂的乘方:(a m)n=a mn分数指数幂:(a>0,m,n 为正整数,n>1)负整数指数幂:(a≠0)零指数幂:a0=1(a≠0)四、无理数指数幂有理数指数幂逼近无理数指数幂的原理,基于数学中的极限思想和连续性概念。

由于无理数无法直接表示为两个整数的比,我们需要通过一系列越来越接近该无理数的有理数来逼近它,从而计算出对应的指数幂值。

这一过程体现了数学中的逼近和极限思想,是微积分等更高层次数学的基础。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第10讲指数函数的图像及性质
一、学习目标
1.理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点,掌握指数函数的性质
2.在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用.
3. 逐步渗透数形结合的数学思想方法
二、重点难点
1.教学重点:利用函数的单调性求最值
2.教学难点:函数在给定区间上的最大(小)值
第一部分知识梳理
讨论:
1
2()
2
x x
y y
==
与的图象关于y轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗?
②利用电脑软件画出
11
5,3,(),()
35
x x x x
y y y y
====的函数图象.
问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从图上看x
y a
=(a>1)与x
y a
=(0<a<1)两函数图象的特征.
问题2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.
x
问题3:指数函数x y a =(a >0且a ≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系
5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[,]x a b f x a 上,()=(a >0且a ≠1)值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或
(2)若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R;
(3)对于指数函数()x f x a =(a >0且a ≠1),总有(1);f a =
(4)当a >1时,若1x <2x ,则1()f x <2()f x ;
例1:(P 66例7)比较下列各题中的个值的大小
(1)1.72.5 与 1.7
3 ( 2 )0.10.8-与0.20.8
- ( 3 ) 1.70.3 与 0.9
3.1 1、已知0.70.90.8
0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c .
2. 比较1
132a a 与的大小(a >0且a ≠0). x y d =的图象,判断,,,a b c d 与1的大小关系;
(2)设31212,,x x y a y a +-==其中a >0,a ≠1,确定x 为何值时,有:
①12y y = ②1y >2y
(3)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的34
,写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式,若要使存留的污垢,不超过原有的1%,则少要漂洗几次(此题为人教社B 版101页第6题). 归纳小结:本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住a >1或0<a <时x y a =的图象,在此基
础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用,形如x y ka =(a >0且a ≠1).。

相关文档
最新文档