全等三角形模型(教案)

ﻬ教学过程一、课堂导入【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗？【思考】△ＡBD≌△AＣEﻬ二、复习预习【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角,作法如下:如图，∠AOＢ是一个任意角,在边OA,OB上分别取OＭ=ＯＮ.移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠ＡOＢ的角平分线，为什么?请你说明理由.ﻬ【解答】OP平分∠AOＢ理由如下:∵OM=ON,ＰM=PＮ，OP＝OＰ∴△MOP≌△NOＰ（SSS）∴∠ＭOP=∠NOP∴OP平分∠MON(即OＰ是∠AOB的角平分线)三、知识讲解考点1全等三角形性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等,对应边上的高、中线相等,对应角的平分线相等。

ﻬ考点2全等三角形的判定：所有三角形SAS、ASA、AAS、ＳSS;直角三角形ＨＬﻬ四、例题精析【例题1】【题干】如图，正方形ABＣD中,E、F分别为ＢC、CD上的点,且AＥ⊥ＢF，垂足为点Ｇ．求证:AE=BＦ.【答案】证明:∵正方形ＡＢCD，∴∠ＡＢC=∠C=90°，ＡB＝BＣ．∵ＡE⊥BF,∴∠ＡGB=∠BAG+∠AＢG=90°，∵∠ＡＢＧ+∠CBＦ＝90°,∴∠BAG＝∠CBF.在△ＡＢE和△BCF中,BAE CBF AB CBABE BCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ＡBE≌△ＢCF(ASA),∴AE＝BF．【解析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系,AB与ＢC的关系,根据两直线垂直,可得∠AGB的度数,根据直角三角形锐角的关系,可得∠ＡＢG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CＢＦ的关系，根据ASＡ,可得△A ＢE≌△BCF,根据全等三角形的性质,可得答案．ﻬ【例题2】【题干】如图,四边形ABCＤ是正方形,ＢE⊥BF,BE=ＢF,EＦ与BＣ交于点G.（1）求证：AE=CＦ;（2)求证:AE⊥CF.ﻬ 【答案】（１）证明：∵四边形ＡB ＣD 是正方形，∴∠ABC=90°，AB=B Ｃ,∵BE⊥BF,∴∠FBE=９0°,∵∠ABE+∠EBC=９０°,∠ＣBF+∠EBC=９０°,∴∠ABE ＝∠ＣBF ，在△AEB 和△CFB 中，AB BCABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB ≌△ＣFB(SAS ）,∴AE=ＣＦ．(２)延长AE 交ＢC 于Ｏ,交ＣＦ于H,∵△AＥB≌△CFB,∴∠ＢAE＝∠BCＦ，∵∠ＡBC=９0°,∴∠ＢＡE+∠ＡOB＝9０°,∵∠AＯB=∠COH,∴∠ＢCＦ＋∠CＯH=90°，∴∠CＨO=90°,∴AE⊥CF【解析】（1)利用△AＥB≌△ＣFB来求证ＡE＝CF.（２）利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明. ﻬ【例题3】【题干】（２０1４•顺义区一模)已知:如图1,△ＭNＱ中，ＭQ≠ＮＱ．(１)请你以ＭＮ为一边，在MN的同侧构造一个与△ＭＮQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法;(2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题:如图２,在四边形ABＣＤ中，∠ACB+∠CＡＤ=18０°,∠B＝∠D.求证：CＤ=AＢ.ﻬ【答案】：(1）如图1，以N 为圆心，以MＱ为半径画圆弧;以M 为圆心,以NQ 为半径画圆弧;两圆弧的交点即为所求．主要根据“SＳS”判定三角形的全等．（2）如图３，延长DＡ至E,使得ＡＥ=CB,连结CE.∵∠ACB＋∠ＣAD=1８0°，∠ＤAＣDAC ＋∠EAC=180°∴∠BＡＣＢCＡ=∠EＡＣ在△EＡＣ和△BAC中，AE CEAC CAEAC BCN=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AECEAＣ≌△BCA （ＳAＳ)，∴∠B＝∠Ｅ，AB=CE∵∠Ｂ=∠Ｄ,∴∠D=∠Ｅ,∴CＤ=ＣE，∴CD=ＡB．【解析】（1)以点Ｎ为圆心,以MＱ长度为半径画弧,以点M为圆心，以ＮQ长度为半径画弧，两弧交于一点F,则△MNF 为所画三角形．（2）延长DA至E,使得AE=CB,连结ＣE．证明△EＡC≌△BCＡ,得：∠B ＝∠Ｅ，AB=CE，根据等量代换可以求得答案．ﻬ【例题4】【题干】问题背景:如图1:在四边形ＡBCD中,AB＝AD,∠ＢAＤ=１20°,∠B=∠ADC=90°．E，F分别是ＢC,ＣD上的点．且∠ＥAＦ=60°.探究图中线段BE，EF,FＤ之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长ＦＤ到点Ｇ.使DG＝BE.连结AG,先证明△ABＥ≌△ADG，再证明△AＥＦ≌△AGF,可得出结论，他的结论应是;ﻬ五、课堂运用【基础】1．在平面内正方形ＡBCＤ与正方形ＣＥＦH如图放置,连ＤE，ＢH,两线交于M.求证：（1)BH=DE.(２)BH⊥DE．ﻬ 【答案】证明:（1）在正方形ABCD 与正方形CEFH 中，BC=CD,CＥ=CH,∠BCD ＝∠ECH ＝90°，∴∠BCD+∠ＤCH=∠ＥCH+∠DCH,即∠BC Ｈ=∠DCE,在△BCH 和△DCE 中,BC CDBCH DCE CE CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCH ≌△DCE （SAS),∴B Ｈ=D Ｅ；(2）∵△BCH≌△ＤCE,∴∠CＢH＝∠CDE,又∵∠CGB=∠MＧD，∴∠DMB＝∠BCD=90°,∴ＢＨ⊥DE.【解析】（1)根据正方形的性质可得BC=CD,CE=ＣH,∠BCD=∠EＣH=90°，然后求出∠BＣＨ＝∠DＣE,再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等,根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ＣBH=∠CDE,然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠ＢＣＤ=９0°，再根据垂直的定义证明即可.２.(1）操作发现如图１,在等边△ABＣ中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C)，连接ＡM，以AＭ为边作等边△AＭＮ,连接CN，猜想∠ＡＢC与∠AＣＮ有何数量关系？并证明你的结论;(2)类比探究如图2,在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点Ｃ），其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.【答案】（1）∵在等边△ABC中，AB=AC,∠BAC=∠BＡM+∠MＡＣ＝60°在等边△ＡMN中，AM=AＮ,∠ＭＡＮ=∠NAC+∠ＭAC=６0°∴∠ＢＡＭ=∠ＮＡC=6０°-∠MAC,在△AＢM和△ACＮ中，AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABＭ≌△ACＮ（SＡS）,∴∠AＢC=∠ACN．（2)∵在等边△ＡBC中，AＢ=AC,∠BAM＝∠BAC+∠ＭAC=60°＋∠ＭAＣ在等边△AＭN中，AM=ＡN,∠NＡC=∠NＡM+∠MAＣ＝６0°+∠ＭＡC,∴∠BＡM＝∠NAC＝60°+∠MAC,在△ABM和△ACＮ中,AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AＢM≌△ACN(SＡS），∴∠AＢＣ=∠ACN.【解析】（１)由全等三角形可以判定ＡB＝ＡＣ，AM=AN,即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC＝∠ACN；（2）和（1）同理，由全等三角形可以判定AB=AC,ＡM＝AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠AＢC＝∠ＣＡN．ﻬ【巩固】１.如图，△ＡBＣ和△AＤＥ都是等腰三角形,且∠BAＣ=90°，∠DＡE＝90°,B，C,Ｄ在同一条直线上．求证：ＢD=CＥ．【答案】∵△AＢＣ和△ADE都是等腰直角三角形，∴AD=ＡE,ＡB＝AC, 又∵∠EＡC=90°+∠CAD，∠DAＢ＝9０°+∠CAＤ,∴∠DAB=∠EＡＣ,∵在△ADB和△ＡEC中AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADB≌△AEＣ(SAS)，∴BＤ=CE．【解析】求出AD=ＡE,AＢ=AC,∠DAB＝∠ＥAＣ，根据SAS证出△ADB≌△ＡEC即可.2.如图,△ABC与△BＥF都是等边三角形,D是BＣ上一点,且ＣD＝BＥ，求证：∠ＥＤB=∠CＡD．【答案】如图,过点D作DG∥ＡB交AC于Ｇ，∵△AＢC是等边三角形，∴∠ＧDC＝∠AＢC＝∠C=6０°,AC＝BC，∴△CDG是等边三角形，∴ＤG=ＣＤ=CG,∠ＡＧD=１20°,∴BD=AG,∵CD＝ＢＥ，∴BE=DＧ，又∵△BEF是等边三角形∴∠EBF=６0°,∴∠EBＤ=∠DGA=１20°,在△EBD和△ＤＧA中．BD AGEBD AGDEB DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴△EBD≌△ＤGＡ（SＡS）,∴∠ＥDB=∠CAD．【解析】过点D作DG∥AB交AC于G,求出∠EBD=∠AGD=1２0°，ＢＤ=AG,根据SAS证△EBD≌△DＧA,根据全等三角形的性质推出即可.【拔高】正方形ABCD中,点Ｅ、Ｆ分别是边AＤ、ＡB的中点,连接EF.（1)如图１,若点G是边BＣ的中点,连接FG，则EF与FＧ关系为: ；(2)如图2,若点P为BC延长线上一动点,连接FP，将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转９0°，得到线段FQ,连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论．（3）若点P为CＢ延长线上一动点,按照(2)中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BＦ、EQ、ＢP三者之间的数量关系：．【答案】（1）∵点Ｅ、F分别是边AD、ＡB的中点，G是BC的中点,∴ＡE=ＡＦ=BF=BＧ,在△AEF和△ＢFG中,AE BGA BAF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ＡEF≌△BFG（SAS）,∴EF=FG,∠AFE=∠ＢFG=45°，∴EF⊥ＦG，EＦ=FG；（２）ＢＦ+EＱ=ＢP.理由：如图2,取BC的中点Ｇ，连接FＧ，则EF⊥FG，EＦ＝FG，∴∠１+∠2＝９0°，又∵∠２+∠３=90°,∴∠1=∠3,在△FQE 和△FPG 中,13FQ FPEF FG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FQE ≌△FPG （S ＡS ）， ∴QE ＝PG 且BF=BG,∵BG+ＧP=ＢP,∴BF+EQ=BP ；(3）如图3所示,ＢＦ+B Ｐ=E Ｑ.【解析】（1）根据线段中点的定义求出A Ｅ=ＡF=BF=BG ，然后利用“边角边”证明△AEF 和△ＢF Ｇ全等，根据全等三角形对应边相等可得EF ＝ＦG ，全等三角形对应角相等可得∠A ＦE=∠B ＦG ＝45°，再求出∠E ＦG=90°，然后根据垂直的定义证明即可；(2）取BC 的中点G,连接ＦG,根据同角的余角相等求出∠１＝∠3，然后利用“边角边”证明△FQE 和△FPG 全等，根据全等三角形对应边相等可得ＱE=FG,BF=BG ，再根据BG+GP=ＢP 等量代换即可得证;(３)根据题意作出图形,然后同(２）的思路求解即可.ﻬ课程小结1.全等三角形的性质2．全等三角形的判定。