无约束正定几何规划的一种优化算法

（ ） ， 中， ｒｄ ，其 ａ ｅ 表 示 第 ｋ 步 的 真 实 下 降 量 。 ｐｅ Ａ 十 ０ ５ Ａ Ａ ）Ｉ Ａ Ａ ） 其 中 ， ｒｄ — ｔ ． （ Ｘ ， ｔ ｃ （ ｘ ， ｔ ，
令 Ａ ＝ （ ， ｃ） 口 ）× （ｊ 一 （１ ｃ ， Ｃ ） Ｘ一 ｆ ，２ … ，
、Ｕ 上／
并 在相 对弱 的条 件下 证 明 了算法 的全 局 收敛 性 ， 在 实 践应 用 中 ， 具有 比一 般非线 性规 划求解 速度快 、 精 度高 、 占用 内存少 等优 点 。 考虑 如下无 约束 的正定 几何 规划 问题 ：
ｍｉｈ ｔ 一 ∑ ｃＩ ｔ。 ｎ （） Ｔ ，
ｆ ｎ ＋ ０ ５ Ａｘ Ａ ） （ ｘ Ａｔ ｍｉ Ａｔ ． （ ， ｔ Ａ ， ）
值 方法 的 出现 ， 将 把 几 何规 划 推 向新 的阶段 。本 必 文 充分 利用 正定几 何 规 划 的特 点 ， 据 目标 函数 的 根 梯 度和 ｈ ｓｉｎ阵 本 身 具 有 的简 单 的特 殊 表 达 式 ， ｅｓａ 再 结合 信赖 域算 法构造 了一 种新 的特殊算法 。在这
种 算法 中 ， 次迭代 只需 解一 类特殊 的线性 方程组 ， 每
（ ） ｓ（ ｘ ， １ （ ，ｘ） Ｌ１ ： ｔ ｇ（ ） 一 ） Ａｘ ｚｔ 一 ０
（ｘ ，ｔ ｌ 志 Ａ Ａ ）ｌ ≤△
其 ，一 Ｕ， 是 题 ＳＰ 的 格 日 中 ｆ ＂ 问 （ １ 拉 朗 １ｋ Ｏ Ｇ）
ｆ ｎ．１Ｈ—Ｔ ＋Ｏ ５ ｘ Ｈ＿Ｔ ｍｉ ＋Ｔ ｌｄ ．ｄ Ｈ—ｃ ｌｄ ｅ ｋ
：￡ｄ ≤ Ｉ ｌ ｌｌ ｌ
…
这 里称 为辅 助 半 径 限制 ， 中 ｅ＋ 一 （ ， ， 其 ｎ ｏ ０ ０ １ 。假 定 ｄ ，） 是 问题 （ ２ 的解 ， 可得试 探 步 Ｌ） 则
０ 引言
几何 规 划 作 为非 线 性规 划 的一 类 特殊 规划 ， 在 工 程技术 中的应用 十分 广泛 ， 但在近 十几年来 ， 几何 规 划新 的有效 的数 值 求 解 方法 成 果很 少 ， 着 线性 随
规划、 二次规 划 、 凸规划 和非线 性规划 的各种 新 的数
其中， 一ｖ１ ｒ ａ 厂＿ 盯 ， ｂ ＝ｆ２ ｋ ） ｇ 『 １ 令 ｋ ｆ 一ａ （ （ ｋ ｇ
（ 。表 示 ｇ ｚ） 的第 １个分 量 ） 则 Ｈ ＝ 卜一 （ ） ， ＥＢ Ｂ （ ３ ｂ ， 中 Ｉ为 （ ＋１ × （ 口Ｂ ） ／ 其 ｎ ） ＋１ 的单 位 矩 ）
一
阵 。今 令 ｔ一ｆ ｘ ） 则 ｚ 不满 足终止 准则 时 ， （ ， 我们
经过 信赖域 子问题 的转化 ， 考虑 如下子 问题 ：
其 中 ，ｆ， ， ＞Ｏ Ｃ＞Ｏ ａ 为任意 实常数 。 （ ｔ …ｔ） ，ｊ ，“ ２
令 ｔ ｘ， 则上 述 问题可 转化 为 ：Ｓ Ｐ ： ＝ｅ （Ｇ ）
ｍｉ ｆ ｘ 一 ∑ ｃ （ 口 Ｘｆ ｎ （） 』 ） Ｐ
，一 １ ｌ； Ｊ
（Ｘ ， ｔ Ａ Ｔ Ａ） 一 Ｈ＿ Ｔ 设 ａ ｅ ｆ（ Ｉ Ａ ） ｆ ｌｄ ， ｒｄ 一 ｚ＋ ｘ 一
（ ｌ Ｘ２ … ｚ ） ｅ 一 （ ， ｚ ， ， Ｔ， Ｐ１ ， ｅ ） ｉ ｌ ２， 挖 … Ｔ， — ， … ，
＝１ ２ … ， 可 利 用 矩 阵 的 四则 运算 获得 （ ，， 则 ） 的梯 度 向量和 二 阶导数矩 阵分别 为 ：
引人变量 ｔ将 （ ＧＰ 转化 为 ： ， Ｓ ）
（ Ｐ ｛厂） ≤ Ｓ １ ｓ （一 ｏ Ｇ ｔｚ
经过这 样转 化 ， 得 通 过 极 小 化 过 程 ， 最 优 点 处 使 在
“ ” 然 成 立 ， ｇ — ｇ（ ＾ ， — Ｇ（ ＾ ， ｋ 一 必 记 ｔ ｚ ） ｚ ） Ｂ 一
ｉ １ 篇 一１
乘子， 取 一 １ （Ｉ Ｉ ／ Ｉ 】 ＋１ ， 里 规 定 Ｈ一 表 示 ｇ ）这 － 矩 阵 Ｈ 划 去 第 １行 所 得 的矩 阵 ， （ ｘ ， ｔ 一 令 Ａ Ａ） Ｈ一 ｄ 则 子问题 （ １ 又等 价于下 述子 问题 ： ， Ｌ）
，Ｔ ‘ ）、
３／７ ７ 学 院 ｔＴ ｃ 自然 ａ学 版 ）２ １ ０ ０ Ｖ 卷 第 Ｎ ． ０． Ｊ Ｃ ａ ｇｈ ｎＩ学． ｅｈ （ 科． ｃ． ｄ．０年１ ，ｌ１１ ， ｏ ４ ． 春ｎ ｃ ｕ ｓ报 （． Ｎ ｔＳｉＥ ｉ） ２ 第 ｌｏ． ４期 ｎ １
： 墨
ＣＮ ２ １ ２ ／ ２ － ３ ３ Ｎ
无 约束 正 定几 何 规 划 的一 种 优 化 算法
山文 绪 ， 书 杰 景
（ 河南理 工大学 数学与 信息科 学学 院 ， 焦作 ４ ４ ０ ） ５ ０ ３
摘
要 ： 于 正定 几何 规划 ， 对 我们 充分 利用 了几何规
ｇ（ ｚ）一 Ａ ｉ ｇ（ ｊ ｅ ｚ， （ ｄ ａ ） Ａ Ｇ ｚ）一 Ａ ｉ ｇ（ ｊ ｄａ Ｃ） ｄｉ ｇ ｅ ＊ Ａ ａ （ Ａ）
ｆ ｉ ｍ ｎｔ
中图分 类号 ： ２ １ Ｏ ２
文献标 志码 ： Ａ
文 章 编 号 ： ０ ９８ ８ （０ ０ ０ —１ ６０ １ ０ －９ ４ ２ １ ）４０ ２ －３
（ ） 一１ ， （ ， ） 并对 Ｂ 进行 Ｈｏ ｓｈ ｌｅ 变换 ： Ｉ ｕ ｅ ｏｄ ｒ
Ｈ Ｂ 一 （ ｌ ０， Ｏ 口， … ）
划 的特 殊性 ， 在求 解 非 线性 等 式 约束 的信赖 域 算 法 的启发 下 ， 立 了一种 新 的算 法 ， 建 并在 相对 弱的条件 下 ， 们证 明 了这 种算 法 的全 局收 敛性 。 我 关 键词 ： 几何 规 划 ； 信赖 域算 法 ； 线性方程 组； 全局 收
敛 性