高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.1映射与函数
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课时授课计划
课次序号:01
一、课题:§1.1 映射与函数
二、课型:新授课
三、目的要求:1.了解集合与映射的有关概念;
2.理解函数的概念,了解函数的四种特性;
3.理解复合函数的概念,了解反函数的概念;
4.熟悉基本初等函数的性质及其图形;
5.会建立简单实际问题的函数关系式.
四、教学重点:函数的概念,函数的各种性态.
教学难点:反函数、复合函数、分段函数的理解.
五、教学方法及手段:启发式教学,传统教学与多媒体教学相结合.
六、参考资料:1.《高等数学释疑解难》,工科数学课程教学指导委员会编,
高等教育出版社;
2.《高等数学教与学参考》,张宏志主编,西北工业大学出版社.
七、作业:习题1–1 3(1),6(4)(7),9(1)
八、授课记录:
九、授课效果分析:
第一章函数与极限
第一节映射与函数
高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念,集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念,在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.
一、集合
1. 集合的概念
集合是数学中的一个最基本的概念.一般地,我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合,简称集.组成集合的事物称为该集合的元素.例如,某大学一年级学生的全体组成一个集合,其中的每一个学生为该集合的一个元素;自然数的全体组成自然数集合,每个自然数是它的元素,等等.
通常我们用大写的英文字母A,B,C,…表示集合;用小写的英文字母a,b,c,…表示集合的元素.若a是集合A的元素,则称a属于A,记作a∈A;否则称a不属于A,记
作a∉A(或a∈A).
含有有限个元素的集合称为有限集;不含任何元素的集合称为空集,用∅表示;不是有限集也不是空集的集合称为无限集.例如,某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集;
全体实数组成的集合是无限集;方程2x+1=0的实根组成的集合是空集.
集合的表示方法:一种是列举法,即将集合的元素一一列举出来,写在一个花括号内.例如,所有正整数组成的集合可以表示为N={1,2,…,n,…}.另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质,即将具有性质p(x)的元素x所组成的集合A记作
A ={x|x具有性质p(x)}.
例如,正整数集N也可表示成N={n|n =1,2,3,…};
又如A={(x,y)|2x+2y=1,x,y为实数}表示xOy平面单位圆周上点的集合.
2. 集合的运算
设A,B是两个集合,若A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集,记作A⊆B (或B⊇A);若A⊆B,且有元素a∈b,但a∉A,则说A是B的真子集,记作A⊂B.对任何集A,规定∅⊆A.若A ⊆B,且B⊇A,则称集A与B相等,记作A=B.由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集,记作A∪B,即
A∪B={x|x∈A或x∈B}.
由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集,记作A∩B,即
A∩B={x|x∈A且x∈B}.
由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集,记作A\B,即
A\B={x|x∈A但x∉B}.
如图1-1所示阴影部分.
图1-1
在研究某个问题时,如果所考虑的一切集都是某个集X的子集,则称X为基本集或全集..X中的任何集A关于X的差集X\A称为A的补集(或余集),记作c A.
集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:
设A,B,C为三个任意集合,则下列法则成立:
(1)交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;
(2)结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C),
(A∩B)∩C=A∩(B∩C);
(3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),
(A\B)∩C=(A∩C)\(B∩C);
(4)幂等律A∪A=A,A∩A=A;
(5)吸收律A∪∅=A,A∩∅=∅.
设A i(i=1,2,…)为一列集合,则下列法则成立:
(1)若A i⊆C(i=1,2,…),则
1i
i
A
∞
=
⊆C;
(2)若A i⊇C(i=1,2,…),则
1i
i
A
∞
=
⊇C.
设X为基本集,A i(i=1,2,…)为一列集合,则
1
c i
i
A ∞
=
⎛⎫ ⎪⎝⎭=
1
c
i
i
A
∞
=
,
1
c
i
i
A
∞
=
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
1
c
i
i
A
∞
=
.
3. 区间与邻域
(1)区间
设a和b都是实数,将满足不等式a<x<b的所有实数组成的数集称为开区间,记作(a,b).即(a,b)={x|a<x<b},a和b称为开区间(a,b)的端点,这里a∉(a,b)且b∉(a,b).
类似地,称数集[a,b]={x|a≤x≤b}为闭区间,a和b也称为闭区间[a,b]的端点,这里a∈[a,b]且b∈[a,b].
称数集[a,b)={x|a≤x<b}和(a,b]={x|a<x≤b}为半开半闭区间.
以上这些区间都称为有限区间.数b-a称为区间的长度.此外还有无限区间:
(-∞,+∞)={x|-∞<x<+∞}=R,
(-∞,b]={x|-∞<x≤b},
(-∞,b)={x|-∞<x<b},
[a,+∞)={x|a≤x<+∞},