余弦值和正切值教学内容
两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学分析
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、本章知识结构二、教学重点与难点重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和与差的三角函数的十一个公式，并了解他们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础。
难点：两角差的余弦公式的探索与证明。
三、教学建议1、主要概念的教学分析本节内容可分四部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明和初步应用。
两角差的余弦公式联系已学过的三角函数相关知识，采用“夹叙夹议”的方式，引导学生感受教科书中的探索过程，使他们对公式有一个基本了解，并引起寻求适当方法推出公式的欲望（1）回顾求角的余弦方法时，联系向量知识；（2）结合图形，完成运用向量法推导公式的必备条件（3）抓住主要问题及其讨论线索进行探索，反思完善和差公式以两角差的余弦公式为基础，推导其他十个公式推导公式的过程是一个逻辑推理过程，也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程因此，在对照、比较有关的三角函数式过程中，认清其区别和联系2、 例题与习题的教学分析例题分析：情景设置意图：由给出的情景素材，使学生感受实际问题中对研究和（差）角公式的需要。
例1意图：这是通过应用理解公式最基础的练习（1）三角变换关注角的拆分，易于理解（2）由于是具体角，拆分过程容易进行（3）拆分的多样性，决定变换的多样性（4）思考问题，由42615cos +=︒求︒75sin 的值，为后面变换函数种类的思考做出铺垫 例2意图：这是通过应用、理解公式最基础的练习，与例1相比（1）它需要思考使用公式前应作出的必要准备（2）作出必要准备要运用同角三角函数知识例3意图：这是通过应用、理解公式最基础的练习，易引起学生思考)4sin(απ-与)4cos(απ+的结果相同时否具有一般性，进而类比讨论，且为下一题的求解做铺垫例4意图：体现了对公式的全面理解上的要求，即要求学生能够从正、反两个角度使用公式（1）（2）两小题是最简单的公式反用，可培养学生的反用思维以及思维的灵活性；（3）则承上启下，复习、过渡例5意图：这是倍角公式的正用（1）要求学生对“倍”的相对性有一定的认识（2）是学生了解“换元思想”（3）推动学生推理能力的发展例6意图：这是综合性题目，也是和差角公式的应用问题（1）课本中列出两种解法，鼓励学生用不同的思路去思考（2）让学生尝试自主解题并引导他们适当的归纳总结习题分析：P 127页练习1、2搭配例题在课堂上让学生作答完成，3、4课作为课后作业。
人教版初中九年级数学下册《正弦、余弦、正切函数的简单应用》教案
（2）实际问题中的数学建模：学生在解决实际问题时，往往不知道如何构建数学模型，将实际问题转化为数学问题。
突破方法：教师可以引导学生通过分析实际问题，找出其中的关键信息，然后运用正弦、余弦、正切函数构建数学模型。同时，通过举例讲解，让学生了解这一过程。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正弦、余弦、正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版初中九年级数学下册《正弦、余弦、正切函数的简单应用》教案
一、教学内容
本节课选自人教版初中九年级数学下册，章节为《正弦、余弦、正切函数的简单应用》。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其在直角三角形中的应用。
-正弦函数：在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值。
-余弦函数：在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值。
五、教学反思
在本次教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解正弦、余弦、正切函数的简单应用。从导入新课到实践活动，再到小组讨论，我发现学生们在这些环节中的表现各有亮点，也有一些需要改进的地方。
首先，在导入新课环节，通过提出与日常生活密切相关的问题，成功引起了学生的兴趣。他们积极参与，提出了很多有关测量物体高度和距离的想法。这说明实际情景的引入有助于激发学生的学习热情，使他们更愿意投入到新知识的学习中。
数学教案设计：正切和余切
数学教案设计：正切和余切教学目标：1. 理解正切和余切的定义及其在直角三角形中的应用。
2. 学会使用计算器计算正切和余切值。
3. 能够解决实际问题，如在直角三角形中求解未知角度的正切和余切值。
教学重点：1. 正切和余切的定义及其在直角三角形中的应用。
2. 使用计算器计算正切和余切值。
教学难点：1. 正切和余切的定义及其在直角三角形中的应用。
教具准备：1. 直角三角形教具。
2. 计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾正弦和余弦的概念，复习它们在直角三角形中的应用。
2. 提问：同学们，我们已经学习了正弦和余弦，你们知道正切和余切吗？它们又是如何定义的呢？二、正切和余切的定义及性质（10分钟）1. 讲解正切的定义：正切是指直角三角形中，对边与邻边的比值。
2. 讲解余切的定义：余切是指直角三角形中，邻边与对边的比值。
3. 通过示例，让学生理解正切和余切的性质，如周期性、奇偶性等。
三、正切和余切的计算（10分钟）1. 教授如何使用计算器计算正切和余切值。
2. 让学生进行实际操作，使用计算器计算不同角度的正切和余切值。
四、正切和余切的应用（10分钟）1. 举例讲解正切和余切在实际问题中的应用，如在直角三角形中求解未知角度。
2. 让学生进行练习，解决一些实际问题。
五、课堂小结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结正切和余切的定义、性质及应用。
2. 鼓励学生提问，解答他们的疑问。
教学反思：本节课通过讲解、示例、练习等方式，让学生掌握了正切和余切的定义、性质及应用。
在教学过程中，要注意引导学生主动参与，提高他们的动手操作能力和解决问题的能力。
也要关注学生的学习情况，及时解答他们的疑问，确保他们能够牢固掌握所学知识。
六、正切和余切的图形表示（10分钟）1. 利用直角三角形教具，让学生直观地理解正切和余切的图形表示。
2. 讲解正切和余切线的概念，让学生了解如何通过正切和余切线来表示一个角的正切和余切值。
常用角度的正弦余弦正切值教案
常用角度的正弦余弦正切值教案过去学习初中数学时，我们都会遇到三角函数的学习，其中就包括正弦、余弦和正切函数。
这些函数在数学中的应用非常广泛，在几何学、物理学、工程学等领域都有重要的作用。
为了更好地理解和掌握这些函数，我们需要通过一定的教学方法和教案来进行学习。
一、教学目标：1. 了解正弦、余弦和正切函数的定义和性质。
2. 掌握常用角度的正弦、余弦和正切值。
3. 能够应用三角函数解决实际问题。
二、教学重点和难点：1. 理解和记忆正弦、余弦和正切函数的定义和性质。
2. 掌握常用角度的正弦、余弦和正切值的计算方法。
3. 能够灵活应用三角函数解决实际问题。
三、教学准备：1. 教师准备：(1) 精心准备教案和讲解材料。
(2) 准备投影仪、教学PPT等教具和多媒体资料。
四、教学过程：1. 引入部分：(1) 利用一些有趣的例子，引导学生了解三角函数的概念。
可以通过绳子、直角三角形等实物或图形来辅助说明。
(2) 引导学生思考：如何计算一个角的正弦、余弦和正切值？2. 知识讲解：(1) 介绍正弦、余弦和正切函数的定义和性质。
通过示意图和公式的形式来进行讲解，并与实际生活中的场景相联系，增强学生的理解和记忆。
(2) 引导学生记忆常用角度的正弦、余弦和正切值，可以通过表格、图示等形式来进行展示。
(3) 重点讲解特殊角的正弦、余弦和正切值的计算方法，如30°、45°、60°等。
(4) 引导学生通过计算器等工具来验证计算结果，并进行练习。
3. 实际应用：(1) 结合几何学、物理学、工程学等实际问题，引导学生应用三角函数来求解相关的长度、面积、速度、力等问题，加深学生对三角函数的理解和应用能力。
(2) 要求学生认真分析问题，确定所给条件和所求结果之间的联系，合理选择并应用三角函数进行计算。
4. 拓展与延伸：(1) 引导学生思考三角函数的周期性和奇偶性，通过图像的展示来加深印象。
(2) 引导学生探索其他角度的正弦、余弦和正切值，并辅以实际例子进行讲解。
数学教案设计：正切和余切
数学教案设计：正切和余切教学目标：1. 理解正切和余切的定义及它们之间的关系。
2. 学会使用直角三角形和单位圆来计算正切和余切值。
3. 能够解决实际问题，运用正切和余切进行角度的计算和转换。
教学重点：1. 正切和余切的定义及它们之间的关系。
2. 使用直角三角形和单位圆来计算正切和余切值。
教学难点：1. 正切和余切的转换关系。
2. 解决实际问题，运用正切和余切进行角度的计算和转换。
教学准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 直角三角形教具。
3. 单位圆教具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾正弦和余弦的概念，复习它们之间的关系。
2. 提问：同学们，你们知道正弦和余弦是如何定义的吗？它们之间有什么关系？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解正切的定义：正切是指一个直角三角形中，对边与邻边的比值。
2. 讲解余切的定义：余切是指一个直角三角形中，邻边与对边的比值。
3. 通过PPT或黑板，展示正切和余切的图像，帮助学生理解它们的定义。
4. 讲解正切和余切之间的关系：正切和余切是互为倒数的关系，即tanθ= 1/cotθ，cotθ= 1/tanθ。
三、实例讲解（10分钟）1. 使用直角三角形教具，展示如何通过直角三角形计算正切和余切值。
2. 讲解单位圆的定义：单位圆是一个半径为1的圆，以原点为中心。
3. 讲解如何使用单位圆来计算正切和余切值：通过单位圆上的点与x轴的夹角来计算。
四、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生运用正切和余切的知识进行计算。
2. 提供练习题的解答，让学生互相讨论和解答。
五、总结（5分钟）1. 总结本节课所学的内容：正切和余切的定义及它们之间的关系。
2. 强调正切和余切在实际问题中的应用，如角度计算和转换。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、实例讲解、课堂练习和总结等环节，让学生掌握了正切和余切的定义及它们之间的关系。
通过直角三角形和单位圆的教具，帮助学生直观地理解正切和余切的计算方法。
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数--参考教案
5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》教案授课题目任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数授课课时3课型讲授教学目标1.知识与能力（1）能够运用公式求解任意角的三角函数值；（2）掌握三角函数的表达式；（3）正确判断任意角的三角函数值的符号.2. 过程与方法观察、分析知识形成的过程，归纳、抽象、概括知识的概念，提升寻找数学规律的能力.3. 情感、态度与价值观（1）感知数学知识与实际生活的普遍联系；（2）享受积极交流的课堂气氛，增强学习的兴趣和勇于创新的精神.教学重难点重点：任意角的三角函数值；难点：三角函数值的符号.第1课时教学过程教学活动学生活动设计思路复习引入在初中，我们在直角△ABC中，我们定义了锐角α的正弦、余弦和正切，如图1所示.正弦：asincαα∠==的对边斜边；图1余弦：cos b c αα∠==的邻边斜边；正切：tan a b ααα∠==∠的对边的邻边.现在我们将一个锐角α放入平面直角坐标系中，使得顶点与原点重合， 始边与x 轴的非负半轴重合，如图2所示.已知点(,)P x y 是锐角α终边上的任意一点，点P 与原点O 的距离(0)OP r r =>，你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角α所对应的三角函数值吗？分析 过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .在Rt OMP ∆中，根据勾股定理可得，222r x y =+，即220r x y =+>.MP sin y OP r α==；OM cos xOP r α==； MP tan yOM xα==.一、探究新知在弧度制下，我们已将α的范围扩展到了全体实数.一般地，如图3所示，当α为任意角时，点结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图2(,)P x y 的α终边上异于原点的任意一点，点P 到原点的距离为22r x y =+.我们仍然将α的正弦、余弦、正切分别定义如下.sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠ 注意：当的α终边不在y 轴上时，tan α才有意义.对于每一个确定的α，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的比 值，因此，正弦、余弦及正切都是以α为自变量的函数，分别叫作正弦函 数、余弦函数及正切函数.我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数 y=sin x ，x R ∈； 余弦函数 cos y x =，x R ∈； 正切函数 y=tan x ，()2x k k Z ππ≠+∈.二、例题讲解例 1.如图3所示，已知角α的终边经过点(3,4)P -， 求 sin α，cos α，tan α的值.理解记忆相关概念和结论在理解的基础上熟练写出相关函数表达式和定义域直观展示知识点，让学生在理解的基础上记忆概念图2解 由已知有，x =3,y =-4,则，()234 5.r =+-=２于是4 ,5ysin r α==-3,5x cos r α==43y tan x α==-.三、巩固练习已知角α的终边分别经过以下各点，求sin cos tan .ααα，和.（1）P(-8，6)； （2）P(5，12)； （3）P （-1，2）.认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路认真思考、完成相关题目展示问题解决的基本步骤，培养学生分析解决问题能力加深对定义和公式的理解和记忆图3一般地，α为任意角，(,)P x y 为α终边上异于原点的任意一点，点P 与原点O 的距离OP r =，因为0r >，由定义可知，正弦值的符号与点P 的纵坐标y 的符号相同； 余弦值的符号与点P 的横坐标x 的符号相同； 正切值的符号与点P 的纵坐标与横坐标的比值yx的符号相同. 请同学们将点P 的坐标与各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号列表.为了便于记忆，我们将 ， ， 的正负号标在各象限内，如图4所示.二、例题分析例1确定下列各值的符号.（1）() 210sin -︒； （2）17 12cos π; （3） 760tan ︒. 解 （1）因为-210°是第二象限角，所以() 2100sin -︒>. （2）由1751212πππ=+， 可看出π＜π+5π12＜π+6π12=3π2是第三象限的角， 所以 17012cos π<. （3）因为760402360︒=︒+⨯︒，可知760°的角与400的角终边相同，是第一象限的角，理解并熟记各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号认真读题，积极思考，了解知识运用的一般过程在理解的基础上记忆概念展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问题能力图4第3课时教学过程教学活动学生活动设计思路提出问题如图5所示，两个三角板上有几个特殊的锐角：30°，45°，60°.初中已研究了它们对应的正弦值、余弦值和正切值.现将角的范围进行了推广，已经在平面直角坐标系中研究了各象限角的正弦值、余弦值和正切值的符号分布规律.对于在平面直角坐标系中不属于任何象限的特殊角，如0°，90°，180°，270°等，它们的正弦值、余弦值和正切值又是多少？以180°为例，试求出它的正弦值、余弦值和正切值. 结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图5图6分析 在平面直角坐标系中，180°角的终边正好与x 轴的负半轴重合，如图6所示.以坐标原点为圆心、半径为单位长度的圆(简称单位圆)与x 轴交于点(1,0)P -，于是有1x =-，0y =，1γ=.根据任意角的正弦、余弦和正切的定义可知，sin 1800yr ︒==； cos 1801xr ︒==-；tan 1800yx︒==.一、探究新知一般地，取单位圆与坐标轴的交点就可以得到0°，90°，180°和270°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值，如下表所示表中360°角与0°角的终边相同，对应的三角函数值也相同.二、例题讲解例1 求︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5的值.解 ︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5=5×0－4×1＋2×0－7×（－1）=3。
数学教案设计：正切和余切
数学教案设计：正切和余切一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解正切和余切的定义；（2）掌握正切和余切的性质；（3）学会运用正切和余切解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和分析，引导学生发现正切和余切的规律；（2）利用图形计算器或直角坐标系，验证正切和余切的性质；（3）运用正切和余切解决生活中的实际问题，提高学生的应用能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生积极思考、合作探究的学习态度；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 正切和余切的定义：（1）正切：在直角三角形中，正切值为对边与邻边的比值；（2）余切：在直角三角形中，余切值为邻边与对边的比值。
2. 正切和余切的性质：（1）正切和余切是周期函数，周期为π；（2）正切和余切具有奇偶性；（3）正切和余切的图像为周期性的波浪线。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）正切和余切的定义；（2）正切和余切的性质；（3）运用正切和余切解决实际问题。
2. 教学难点：（1）正切和余切的性质的理解和应用；（2）利用图形计算器或直角坐标系验证正切和余切的性质。
四、教学方法1. 情境创设：通过生活中的实际问题，引发学生对正切和余切的兴趣；2. 合作探究：引导学生发现正切和余切的规律，培养学生合作探究的学习态度；3. 媒体辅助：利用图形计算器或直角坐标系，直观展示正切和余切的性质；4. 实践操作：让学生亲自动手验证正切和余切的性质，提高学生的动手能力；5. 总结提升：通过归纳总结，使学生对正切和余切有更深入的理解。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习正弦和余弦的概念，引导学生发现正切和余切的定义；（2）通过实际问题，引发学生对正切和余切的兴趣。
2. 探究正切和余切的性质：（1）引导学生发现正切和余切的规律；（2）利用图形计算器或直角坐标系，验证正切和余切的性质；（3）让学生亲自动手验证正切和余切的性质。
二倍角正弦、余弦、正切公式教案
二倍角正弦、余弦、正切公式教案一、教学目标：1. 让学生掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程。
2. 使学生能够灵活运用二倍角正弦、余弦、正切公式解决相关问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二、教学内容：1. 二倍角正弦公式：sin2α= 2sinαcosα2. 二倍角余弦公式：cos2α= cos^2αsin^2α= 2cos^2α1 = 1 2sin^2α3. 二倍角正切公式：tan2α= (tanα+ tan(α+π))/(1 tanαtan(α+π)) = (tanα+ tanα)/(1 tan^2α) = 2tanα/(1 tan^2α)三、教学重点与难点：1. 教学重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程及应用。
2. 教学难点：二倍角正切公式的推导过程及应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程。
2. 运用例题，让学生在实践中掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学步骤：1. 导入新课，回顾一倍角正弦、余弦、正切公式。
2. 引导学生利用已知公式，推导二倍角正弦、余弦、正切公式。
3. 通过例题，演示二倍角正弦、余弦、正切公式的应用。
4. 组织学生进行练习，巩固所学知识。
六、课后作业：（1）已知sinα= 1/2，求sin2α的值。
（2）已知cosα= √2/2，求cos2α的值。
（3）已知tanα= 1，求tan2α的值。
七、教学反思：在教学过程中，要注意引导学生掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程，培养学生逻辑思维能力和运算能力。
针对不同学生的学习情况，给予适当的辅导，提高教学质量。
注重培养学生的合作学习意识，提高课堂参与度。
六、教学拓展：1. 引导学生探讨二倍角公式的推广，例如三倍角、四倍角公式。
2. 分析二倍角公式在实际问题中的应用，如测量、导航等领域。
七、课堂小结：2. 强调二倍角公式在解决实际问题中的重要性。
九年级数学下册《余弦和正切》教案、教学设计
4.操练巩固：设计具有梯度的问题，让学生在解答过程中逐步掌握余弦和正切的计算方法及其应用。
5.反思提升：引导学生对所学知识进行总结，提炼解题方法，提高学生的思维品质。
（三）情感态度与价值观
1.增强对数学学科的兴趣和好奇心，激发学习数学的热情。
2.难点：理解余弦和正切的抽象概念，以及在实际问题中灵活运用这些概念。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
-利用生活中的实例，如测量树的高度、建筑物的高度等，引导学生思考如何运用数学知识解决问题。
-通过讨论，自然引入余弦和正切的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究，建构概念
-让学生回顾已学的直角三角形知识，为学习余弦和正切打下基础。
5.准备小组讨论材料，针对以下问题进行思考和准备：
-余弦和正切在实际问题中的应用案例。
-如何将余弦和正切的性质运用到解题过程中。
-分享一道你认为有价值的题目，并说明原因。
作业完成后，请同学们按时提交，以便教师批改和反馈。在完成作业的过程中，希望大家能够积极思考、主动探究，将所学知识内化为自己的解题能力。同时，期待同学们在下次课堂上分享作业成果，共同进步。
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的性质、三角函数的概念有了初步的了解。在此基础上，学生对余弦和正切的学习将更加深入。然而，由于余弦和正切的概念较为抽象，学生在理解上可能存在困难。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
1.学生对基本概念的理解程度，帮助他们建立清晰的知识框架。
2.学生在计算方面的熟练程度，提高解题速度和准确性。
2.学生在小组内部分工合作，利用所学知识解决问题，并讨论解题过程中遇到的困难和疑问。
5.3 任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数
c
a
A 邻边 C
b
cos
A
b c
邻边 斜边
tan
A
a b
对边 邻边
思考 角的范围已经推广，那么我们如何定义
任意角 的三角函数呢？
任意角三角函数的定义
已知 是任意角，P(x，y)，P' (x'，y')是角 的
终边与两个半径不同的同心圆的交点， 则由相似三角形对应边成比例得
x x y y y y , ,
三 角 函 数
归纳小结会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
本节课所学知识点： 1．任意角三角函数的定义（代数表示）． 2．任意角三角函数值的求法（方法）． 3．任意角三角函数值的符号（口诀）． 4．任意角三角函数的几何表示（三角函数线）．
三 角 函 数
布置作业 继续探究
2．计算：
cos tan 1 tan2 sin 3 cos
2
43 3
2
计算器
补充练习
计算
(1)3cos90 5sin 0 tan 0 cos180 sin180 tan180
(2)5cos270 9sin 0 sin 270
单位圆与三角函数线
1. 以原点为圆心，半径为 1 的圆称为单位圆.
2. 如图，角 的终边与单位圆交于点P，
则根据三角函数定义可知，点 P 的坐标 x， y 分别为
cos 和 sin ，即 P( cos , sin ).
y1
由于 cos ＝ x ＝ OM；
P (cos , sin )
π
3A OM x
数学教案-正切和余切
数学教案－正切和余切一、教学目标1.理解正切和余切的概念，掌握正切和余切的性质。
2.学会运用正切和余切解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
二、教学内容1.正切和余切的概念2.正切和余切的性质3.正切和余切的应用三、教学重点与难点1.重点：正切和余切的概念及其性质。
2.难点：正切和余切的计算与应用。
四、教学过程一节课，共45分钟。
1.导入新课师：同学们，我们在学习三角函数时，已经接触了正弦、余弦和正切函数。
那么，什么是正切和余切呢？今天我们就来学习这个内容。
2.学习正切和余切的概念师：我们来看一下正切的概念。
在一个直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值。
师：我们来看一下余切的概念。
同样在一个直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值。
3.探讨正切和余切的性质师：现在我们来探讨一下正切和余切的性质。
请大家观察一下，正切和余切在哪些情况下是正数，哪些情况下是负数？生1：当角在第一象限时，正切和余切都是正数。
生2：当角在第二象限时，正切是负数，余切是正数。
生3：当角在第三象限时，正切和余切都是负数。
生4：当角在第四象限时，正切是正数，余切是负数。
师：我们知道，正弦和余弦函数的周期是2π。
那么，正切和余切的周期是多少呢？生5：正切和余切的周期是π。
师：为什么是π呢？生6：因为正切和余切在每个象限内的符号都会改变，所以周期是π。
4.正切和余切的应用师：下面我们来学习一下正切和余切的应用。
请大家看这个实际问题。
例1：已知一个直角三角形，其中一个锐角的正切是√3，求这个角的度数。
师：同学们，你们知道如何解决这个问题吗？生7：我们可以通过查找正切函数的值，来确定这个角的度数。
师：很好。
那么，我们来查找一下正切函数的值。
在0°到90°之间，正切值为√3的角是60°。
师：我们再看一个余切的应用。
例2：已知一个直角三角形，其中一个锐角的余切是2，求这个角的度数。
两角和与差的正弦、余弦、正切(第一课时)课件
05 总结与回顾
本课重点回顾
两角和与差的正弦、 余弦、正切的公式形 式及推导过程。
三角函数式的恒等变 换技巧。
利用三角函数的诱导 公式化简三角函数式 的方法。
下课预告
深入理解两角和与差的正弦、余 弦、正切公式的应用，掌握其在
解决实际问题中的应用。
学习如何利用三角函数的性质和 公式解决复杂的三角函数问题。
推导过程
利用三角函数的加法公式，通过角的线性组合得 到两角和的三角函数公式。
意义
在实际问题中，两角和的正弦、余弦、正切公式 可用于求解角度的和或进行一些角度的变换。
两角差的余弦、正弦、正切
公式
cos(α-β)，sin(α-β)，tan(α-β)
推导过程
利用三角函数的减法公式，通过角的线性组合得到两角差的三角函 数公式。
意义
在实际问题中，两角差的余弦、正弦、正切公式可用于求解角度的 差或进行一些角度的变换。
公式应用举例
01
02
03
04
例1
已知sin(α+β)=1/3， cos(α+β)=-2/3，求sin(α-β)
。
解
利用两角和与差的正弦、余弦 、正切公式，我们可以得到
sin(α-β)的值。
例2
已知tan(α+β)=2，tan(αβ)=1/3，求cos(α+β)。
两角和与差的正弦、余弦、 正切(第一课时)
目录
• 引言 • 两角和与差公式 • 两角和与差的正弦、余弦、正切 • 练习题与答案 • 总结与回顾
01 引言
课程背景
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 是三角函数中非常重要的公式，它们 在解决实际问题中有着广泛的应用。
人教版九年级数学《锐角三角函数 第3课时：特殊角的正弦、余弦、正切值》精品教学课件
再见
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)
cos 45° sin 45°
tan 45°
.
解：(1)
cos260°＋sin260°
1 2
2
2
3 2
＝1
(2)
cos 45 sin 45
tan
45
2 2
2 1 ＝0 2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
(1)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 6 ， BC= 3 ， 求∠A的度数. (2)如图(2)，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO= 3 OB， 求α的度数.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
回顾
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A确定，那 么∠A的三角函数如下：
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 邻边
a b
c 斜边
A
b
B
a 对边 C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
2
∴∠B=60°，∴sinB=sin 60 °= 3 .
2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
练习3
在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA= 1 ，
cosB=
2 2
，则△ABC的形状为
2
钝角 三角形.
解析:∵sinA= 1 ，cosB= 2 ，∴∠A=30°，∠B=45°，又
因为30°36 ′ =30.6°，所以也可以利用 键，并输入 角度值30.6，同样得到结果0.591398351.
第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式_1
和的正弦
差的正弦
公
式
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
α+ β
和的正切
tan(α+β)=1- α β
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
)
(2)sin α+sin β=sin(α+β).(
)
(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos β+cos(α-15°)sin β.(
自主预习
一
二
三
四
二、两角和与差的正弦公式
1.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 以及诱导公式 sin
初中数学正切和余切正弦余弦教学案例
初中数学正切和余切正弦余弦教学案例教学案例：初中数学中的正切、余切、正弦、余弦【教学目标】1.了解正切、余切、正弦、余弦的定义及其与三角函数的关系；2.掌握正切、余切、正弦、余弦的求值方法；3.能够在实际问题中应用正切、余切、正弦、余弦；4.培养学生思维逻辑能力和解决问题的能力。
【教学内容】1.课前导入：回顾三角函数及其性质；2.第一部分：正切和余切的概念及其性质；3.第二部分：正弦和余弦的概念及其性质；4.第三部分：实际问题的应用。
【教学步骤】一、课前导入：回顾三角函数及其性质（10分钟）1.学生回答问题：如何定义正弦、余弦、正切、余切？2.通过几个例子让学生回顾正弦、余弦、正切、余切的周期性、奇偶性等性质。
二、第一部分：正切和余切的概念及其性质（15分钟）1.老师引导学生观察三角函数图像，引出正切和余切的概念。
2.介绍正切和余切的定义，并让学生通过观察图像分别给出其定义域和值域。
3.引导学生总结正切和余切的周期性、奇偶性等性质。
4.给出几个例题让学生在计算器的帮助下进行实例演练。
三、第二部分：正弦和余弦的概念及其性质（20分钟）1.通过观察三角函数图像和上一部分的学习，让学生预测正弦和余弦的概念及其性质。
2.介绍正弦和余弦的定义，并让学生通过观察图像分别给出其定义域和值域。
3.引导学生总结正弦和余弦的周期性、奇偶性等性质。
4.给出几个例题让学生在计算器的帮助下进行实例演练。
四、第三部分：实际问题的应用（25分钟）1.利用课堂上已学的知识，引入实际问题的应用。
2.以航空、建筑、地理等领域为例，设计一些实际问题，让学生通过运用正切、余切、正弦、余弦解决问题。
3.引导学生在解决问题的过程中，灵活应用所学知识，培养他们的思维逻辑能力和解决问题的能力。
五、课堂小结与作业布置（5分钟）1.整理本节课的重点内容，对学生进行小结。
2.布置课后作业：完成相关练习题，以复习所学知识。
【教学辅助工具】1.教师计算器；2.计算器；3.PPT演示文稿。
两角和与差的正弦余弦正切公式教学案
两角和与差的正弦余弦正切公式教学案一、教学目标：1.知识与技能目标：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
2.过程与方法目标：鼓励学生积极思考、合作学习，培养学生的逻辑推理能力。
3.情感与态度目标：培养学生的数学兴趣，增强对数学的自信心。
二、教学重、难点：1.教学重点：学习正弦、余弦、正切两角和与差的公式，能够正确地应用到解题中。
2.教学难点：正弦、余弦、正切两角和与差的公式的推导与应用。
三、教学准备：1.教师准备：教案、笔记、教辅资料、教学媒体等。
2.学生准备：学习笔记、作业本。
四、教学步骤：Step 1 引入新课1.教师展示一幅图形，引导学生观察图形中的三角形，并提问：对于一个任意的三角形ABC，如何求角A和角C的两角和与差的正弦、余弦和正切？2.引导学生思考，并提醒学生复习正弦、余弦、正切的定义和性质。
Step 2 探究与讨论1.教师以角A和角C的两角和为例，引导学生分析角A和角C的三角函数之间可能存在的关系，并引导学生探究和讨论。
2.学生合作讨论，提出各自的思考结果并互相交流。
Step 3 运用公式解题1.教师给出两具体的角A和角C的数值，并提问学生如何求其两角和与差的正弦、余弦和正切的值。
2.学生运用公式计算，并与他人交流讨论结果，互相纠正错误。
Step 4 归纳总结1.教师总结学生的讨论结果，整理归纳出正弦、余弦、正切两角和与差的公式。
2.指导学生将这些公式整理成归纳表格或表格。
Step 5 拓展应用1.教师给出一些拓展应用题目，要求学生利用所学知识解答。
2.学生独立完成练习题，并互相交流讨论。
Step 6 小结与反思1.教师对本节课的内容进行小结，并引导学生参与总结。
2.向学生征求反馈意见，以便以后教学改进。
五、教学评价：1.学生通过合作探究和讨论，积极参与课堂活动。
2.学生能够利用正弦、余弦、正切两角和与差的公式解决实际问题。
3.学生对角度与三角函数之间的关系有了更深入的了解。
4.学生对本节课的教学内容和方式进行评价。
初中数学正切和余切正弦余弦教学案例
正切和余切【学习目标】1．了解正切、余切概念的意义及正切和余切互为倒数的关系．2．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并会用这些数值计算、化简含有特殊角的三角函数的式子，会根据特殊角的三角函数值说出对应角的度数．3．了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系． 4．会用有关锐角三角函数的知识解决一些求直角三角形中未知元素的问题． 【主体知识归纳】1．正切：如图1，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan ．即tanA ＝baA A =∠∠的邻边的对边．2．余切：如图1，∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotB ＝Aa b A A tan 1==∠∠的对边的邻边． 3．锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．4．互余两个锐角的正切值与余切值之间的关系：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值，即tanA ＝cot （90°－A ），cotA ＝tan （90°－A ）． 5．特殊角的正切、余切值【基础知识讲解】1． 理解锐角三角函数的意义，必须注意：一个锐角的三角函数值实际上是一个比值，无单位，只是一个数值；当这个锐角取任意一个固定值时，这一比值也是一个固定值．这个值与它所在三角形的大小没有关系．如图2的甲、乙两个直角三角形，大小显然不等，但∠A ＝∠A ′＝30°，tan ＝33，tan ′＝33，也就是说，∠A 的正切值没有因为所在三角形的大小而改变，同样，余切值也没有改变．2．求锐角三角函数的值我们知道，求一个锐角的三角函数值，就是应用相关概念、性质、定理等，求该锐角所在直角三角形某两边的比值．而确定有关比值的方法，在常见的题目中，根据已知条件的不同，一般可分为两类：第一类是已知各边的大小或能够求出各边的大小；第二类是无法求出各边的大小，已知各边间的倍数关系或能够求出各边间的倍数关系．解决第二类问题一般采用辅助元的方法，通过已知条件的转化，用辅助元表示直角三角形的各边，消元后求得．显然，此类问题体现着概念的灵活运用，题目常具有一定的综合性，涉及到初中代数、几何等知识．3．直角三角形中各元素之间的关系：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则 (1)两个锐角的关系——互余，即A ＋B ＝90°； (2)边与边的关系——勾股定理，即a 2＋b 2＝c 2； (3)边与角的关系——锐角三角函数，即 sinA ＝ca＝cosB ， cosA ＝c b ＝sinA ，tanA ＝b a ＝cotB ， cotA ＝ab＝tanB ． 【例题精讲】 例1：计算：（1）2)60tan 1(︒-–sin60°； （2）22tan 301tan 45cot 301cot 60cot 45tan 60︒-︒︒--︒︒+︒； （3）4sin 30cos 72cos(45)sin18cos 72cos(45)αα︒︒︒++︒+︒︒-–cot(45°＋α)(0°＜α＜45°)；（4）tan 260°–2cos45°＋sin 225°＋sin 265°–3cot 260°． 解：（1）原式＝｜1–tan60°｜–sin60°＝｜1–3｜–23＝23–1． (2)原式＝)32(3313193133231311)33(13322+--=+---=+⨯---⨯＝2． (3)原式＝)45cos()45cos(72cos 72cos 72cos 2αα-︒+︒+︒+︒︒–cot(45°＋α)＝︒︒72cos 272cos 2＋cot(45°＋α)–cot(45°＋α)＝1．(4)原式＝(3)2–2×22＋(sin 225°＋cos 225°)–3×(33)2＝3–2＋1–1＝3–2．说明：（1）三角函数的计算要遵循以下原则：当所给的角是特殊角时，只要把特殊角的三角函数值代入计算即可；当所给的角不是特殊角而又要求不查表时，要注意灵活运用同角的三角函数关系和互为余角的三角函数关系进行化简．(2)本例的第（4）题，用到了“sin 2α＋cos 2α＝1”这个关系式，你不妨证明一下．例2：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边长都扩大3倍，那么∠B 的正切值和余切值( )A ．没有变化B ．都扩大3倍C ．都缩小3倍D ．不能确定剖析：在Rt △ABC 中，各边长都扩大3倍后，三角形是否是直角三角形，若是，则可用三角函数定义；若不是，则不能直接用三角函数定义．由(3a)2＋(3b)2＝9(a 2＋b 2)＝9c 2＝(3c)2．所以三角形还是直角三角函数，故可用三角函数的定义．解法一：∵a 2＋b 2＝c 2，(3a)2＋(3b)2＝9a 2＋9b 2＝9(a 2＋b 2)， ∴(3a)2＋(3b)2＝(3c)2．即各边长扩大3倍后，三角形仍然是直角三角形． 由三角函数定义，得 tan ＝b a b a =33，cot ＝aba b =33． ∴∠B 的正切值和余切值不变．故选A ． 解法二：∵三角形各边扩大相同的倍数， ∴得到的三角形与原三角形相似． ∴对应角相等．即∠B 的三角函数值不变．例3:在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且已知AC ＝b ，∠A ＝α，那么边BC 的长为( )A ．b ·sin αB ．b ·cos αC ．b ·tan αD ．b ·cot α剖析：在直角三角形中，由三角函数定义知，已知三角函数中三个量的任何两个量，都可以求出另外一个量．解：在Rt △ABC 中，由三角函数定义，得 tan α＝ACBC，∴BC ＝AC ·tan α． 即a ＝b ·tan α． 故应选C ．说明：由于AC 、∠A 是已知的，所以要求a 的值，就必须用与AC 、与∠A 有关的三角函数来表示．本题主要考查两点，其一是正确理解如何用已知元素表示未知元素；其二是能熟练地用直角三角形两边的比表示一锐角的三角函数．例4:计算：tan 260°＋tan(43°＋α)–cot(47°–α)–tan44°·tan45°·tan46°．剖析：要求上式的值，必须知道各项的值，或者可以把未知项消去．显然本式中的tan60°、tan45°的值都是已知的，tan （43°＋α）、cos(47°–α)、tan44°、tan46°的值都不知道．通过观察分析可知，tan(43°＋α)与cot(47°–α)的值相等，tan44°与tan46°的积等于1．所以上式的值可求．解：原式＝(3)2＋tan(43°＋α)–tan ［90°–(47°–α)］–tan44°·1·cot(90°–46°)＝3＋tan(43°＋α)–tan(43°＋α)–tan44°·cot44° ＝3–1＝2．说明：在遇到非特殊角的三角函数式求值时，要注意灵活运用互为余角三角函数及同角三角函数之间的关系．例5：如图3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，连结CD ，若tan ∠ECB ＝31，求∠A 的四个三角函数值．解：如图3，取CD 的中点E ，连结BE ． ∵点B 、E 分别为AD 、CD 的中点， ∴B Ｅ∥AC ，且AC ＝2B Ｅ． ∴∠CBE ＝∠ACB ＝90°． ∴tan ∠ECB ＝BCBE ＝31． 设BE ＝m （m ＞0），则AC ＝2m ，BC ＝3m ． 在Rt △ABC 中，AB ＝1322=+BC AC m ． ∴sinA ＝13133133==m m AB BC ，cosA ＝13132132==mm AB AC ， tanA ＝2323==m m AC BC ，cotA ＝3232==m m BC AC . 说明：(1)为了利用tan ∠ECB ＝31，需构造∠ECB 所在的直角三角形．(2)在求sinA, tanA 的值后，还可用同角的三角函数关系求cosA 、cotA 的值．同角的三角函数有以下几种关系：①平方关系：sin 2A ＋cos 2A ＝1②商式关系：tanA ＝A A cos sin ，cotA ＝A Asin cos ． ③倒数关系：tanA ＝Acot 1，即tanA ·cotA ＝1．例6：已知tan α＝2，求ααcos sin 2cos 3sin +-a a的值．剖析：（1）要求该式子的值，只要求出sin α、cos α的值即可，而已知的是tan α的值，如果通过恒等变形，把式子中的sin α、cos α用tan α表示也可以，显然分子、分母同除以cos α即可．(2)由已知tan α＝2，可知sin α＝2cos α，把该式代入原式也可以求值．解法一：原式＝1tan 23tan cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin +-=+-αααααααααα， ∵tan α＝2，∴原式＝5112232-=+⨯-．解法二：∵tan α＝ααcos sin ＝2， ∴sin α＝2cos α． 原式＝51cos 5cos cos cos 22cos 3cos 2--=+⨯-αααααα．说明：在进行三角函数的有关计算时，常利用有关公式进行恒等变形，怎样变形？要根据题目的特点有目的地进行变形．【知识拓展】你知道古埃及是怎样测量金字塔高度的吗？你知道古埃及的金字塔吗?它们是古代埃及国王们的坟墓，那是一些古老雄伟的建筑，也是古埃及劳动人民智慧的结晶．两千六百多年前，埃及有个国王，想要知道已经盖好了的大金字塔的高度，可是谁也不知道怎样测量．人爬到塔顶上去吧，不可能．因为塔身是斜的，就是爬上去了，又用什么方法来测量呢?后来，国王找到了一个名叫法列士的学者来设法解决这个问题，法列士答应了，他选择了一个风和日丽的日子，在国王、祭司们的亲自驾临下，举行了测塔仪式．看热闹的人当然不少，人们拥挤着、议论着．看看时间已经不早了，太阳光给每一个在场的人和巨大的金字塔都投下了长长的影子。
锐角三角函数——余弦和正切 优质课件
第二十八章 锐角三角函数章锐 角 Nhomakorabea 角 函 数
28.1 第2课时 余弦和正切
探究 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角
A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定. B
此时，其他边之间的比是否也确定了 呢？
A
C
28.1 第2课时 余弦和正切
在RtABC和RtA'B'C'中，C C'
A
BC AB
160
3， 5
10 6
cos
A
AC AB
180
54,
tan
A
BC AC
6 8
43.
28.1 第2课时 余弦和正切
练习 1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、 余弦值和正切值.
(1)sin A= 5 , cos A 12 , tan A 5 ; sin B=12 , cos B= 5 , tan B=12.
28.1 第2课时 余弦和正切
在Rt△ ABC中,∠C =90°,把∠A的邻边与斜 边的比叫做∠A的余弦,记作cosA，即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
.
c b
a
28.1 第2课时 余弦和正切
在Rt△ABC中,∠C=90°,把∠A的对边与邻边 的比叫做∠A的正切,记作tan A，即
tan
A
A的对边 A的邻边
28.1 第2课时 余弦和正切 3.在Rt△ABC中，∠A的∠正A切的是对边与邻边 __tAa_n______tA_a=_n___AA_的的__邻对_边边_；的记比作_______,即 _________________. 4.在Rt△ABC中，∠A的对边习惯上记作a， ∠B的 对边记作b,斜边记作c, sin A=______, sin B=_______,cos A=______,cos B=_______, tan A=_____,tan B=_____.