四种命题及充要条件

四种命题及充要条件学案

编制单位 临朐一中 编制人 聂升 贾春茂 审核人 贾庆 编号

学习目标

1.掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．

2.了解命题的四种形式，并能判断真假.

3.弄清四种命题的相互关系，学会用等价转化法解决相关问题.

重点难点

1.充分不必要条件、必要不充分条件的概念；

2.充要条件关系的判定．

3.命题的四种形式及真假判断.

知识链接

1．一般地，命题“若p 则q ”为真，记作“p ⇒q ”； “若p 则q ”为假，记作“p q ” ．

2．前面讨论了“若p 则q ”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假．

（1）若y x =，则22y x = （ ）

（2）若0=ab ，则0=a （ ）

（3）若12>x ，则1>x （ ）

（4）若1=x 或2=x ，则0232

=+-x x （ ）

（5）若两个三角形相似，则这两个三角形对应角相等 （ ）

3.将下列命题改写为“如果p ，则q ”形式的命题：

（1）平行四边形的两组对角相等

（2）两组对角相等的四边形是平行四边形 学习过程

一、课内探究

问题1：一般地，如果 ，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件；

如果 ，且 ，那么称p 是q 的充分必要条件，简记为

p 是q 的充要条件，记作 ；

如果 ，且 ，那么称p 是q 的充分不必要条件；

如果 ，且 ，那么称p 是q 的必要不充分条件；

如果 ，且 ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件 问题2：从集合的观点来看“q p ⇒，则p 是q 的充分条件”

给定两个条件q p ,，要判断p 是q 的什么条件，也可考虑集合：

{}p x x A 满足条件=，{}q x x B 满足条件=

q p ⇒,相当于A B ；

p q ⇒,相当于A B ；

,q p ⇔相当于A B

问题3：四种命题的形式

一般到，我们用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，

用┐p 和┐q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式

就是：

原命题：若p 则q ；

逆命题：若q 则p ；

否命题：若┐p 则┐q ；

逆否命题：若┐q 则┐p.

二、典例剖析

例1：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）

（1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B >

（2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠

（3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B >

（4）已知,x y R ∈，22

:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=

跟踪训练: 若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

例2：．已知()0012:;2311:22>≤-+-≤--m m x x q x p ，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围

跟踪训练: 设命题p:∣4x-3∣≤1；命题q:0)1()12(2

≤+++-a a x a x 。若非p 是非q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是 。

例3：写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。

跟踪训练: 写出“若x 2+y 2=0，则x =0且y =0”的逆否命题： ； 三、小结反思

(1)定义法：判断B 是A 的什么条件，实际上就是判断B A 或A B 是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．

（2）集合法：在对命题的条件和结论间的关系判断

p q A B A B p q A B p q A B p q A B p q A B p q A B A B p q ⊆⊇有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件、对应的集合分别为、，则：

若，则是的充分条件；

若，则是的充分非必要条件；

若，则是的必要条件；若＝，则是的必要非充分条件；若＝，则是的充要条件；

若，且，则是的既非充分条件

也非必要条件．

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(3)用命题的等价性判断：判断p 是q 的什么条件，其实质是判断“若p ，则q ”及其逆命题“若q ，则p ”是真还是假，原命题为真而逆命题为假，p 是q 的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p 是q 的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件．同时要注意反例法的运用．

四、当堂检测

1. ①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要

条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件.

其中真命题的个数是 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．下列判断正确的是( ).

A.(x+1)(x-2)=0是x=-1的充分条件

B.x 2＞4是x 2

＞23的必要条件 C.｜x+1｜＜1是-2＜x ＜0的充要条件

D.(a-2)2+(b+3)2=0是(a-2)(b+3)=0的必要条件

3．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（ ）

A.//,//a b αα

B.//,//,//a b αβαβ

C. ,,//a b αβαβ⊥⊥

D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥ 4. “m ＜14

”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的 ( ) A.充分非必要条件 B.充分必要条件

C.必要非充分条件

D.非充分必要条件

5.命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为（ ）

A ．两直线平行，内错角相等

B ．两直线不平行，则内错角不相等

C ．内错角不相等，则两直线不平行

D ．内错角不相等，则两直线平行

6.05x <<是|2|3x -<的 条件．

7．若, 是两个非零向量，则“32=”是“//” 的 条件． 8.把下列命题写成“若p 则q ”的形式，并判断其真假.

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.