2020甘肃省高考第一次诊断考试数学(理科)

Ix = l+cosα
在平面直角坐标系 xOy. 曲线 c1 的参数方程为 ：｛
.
（ α 为参数），以 0 为极点 ， x 轴的正半轴为
lY = smα
极轴建立极坐标系 ， 曲线 c2 的极坐标方程为 ρ ＝ 2/3 sinθ ．
(1 ）求 曲线 c1 的极坐标方程和曲线 c2 的直角坐标方程；
( 2 ） 若直线 l :y ＝ 缸。＞ 0） 与曲线 q 交于 0, A 两点 ， 与曲线 c2 交于 0, B 两点 ， 求 IOAl + IOBI 取得最大值
答 . 20 17 年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯 · 黑尔斯（ Thomas Hales ） 带领的
团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一
份正式的答案 ． 现有大小形状都相同的若干排球 ， 按照右面图片中的方式摆放（底
层形状为等边三角形，每边 4 个球 ， 共 4 层〉，这些排球共
①若 m l／ α ， n II β ， α II β ， 则 m ll n ;
②若 α 上 β ， ml_ β ， m<Z α ， 则 m l／ α ；
③若 ml_n, m l_ α ， α II β ， 则 n II β ；
④若 α J_β ， α β ＝ l, m II α ， ml_ L 则 m l_ β ． 其中正确的是（ )
时直线 l 的直角坐标方程．
23. （本小题满分 10 分）选修 4 -5 ： 不等式选讲
己知函数 f(x) = Ix 一 11 ，不等式 f(x)+ f(x -l) < 5 的解集为 ｛xlm <x < n}.
( 1) 求实数 m,n 的值 ；
( 2 ） 若 x > 0, y > 0, nx + y + m = 0 ， 求证 ： x+y 注 9砂·
款 SC 手机市场占有率能超过 0.5% ( ）（精确到月）
A. 2020 年 6 月
' （ 单位：%）
0.20
0. 18
0. 15
O. lO
0.05
。
B. 2020 年 7 月
c. 2020 年 8 月
D. 2020 年 9 月
8. 设 m, n 是空间两条不同的直线， α， β 是空间两个不同的平面．给出下列四个命题 ：
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。
1. i=.J;Q A ＝ 卡llxl ＜叶， B ＝ 卡12"' < 1｝，则 AUB= (
A. C-1 , 0 )
B. ( 0, 1)
C. ( -1, +co)
D . ( -co, 1)
2020 年甘肃省第一次高考诊断考试
理科数学
注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时 ， 选出每小题答案后 ， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用像皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交田。
21. （本题满分 12 分）
己知函数 f(x) = ax 一 （α ＋ l)lnx -.!_+2 C aεR).
x
Cl ）讨论 函数 f (x ） 单调性 ；
( 2 ） 当 a= -2 时，求证： f(x) < e-' - 2x - .!_ .
x
（ 二 〉选考题 ： 共 10 分。请考生在第 22. 23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所 选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第．题评分：多答按 所答第一题评分 。 22. C 本小题满分 10 分）选修 4-4 ： 坐标系与参数方程
数列｛an｝ 满足 a1= l, an 是－ 1 与 an＋！的等差中项． C l ）证明 ： 数列｛an+ l ｝ 为等比数列，并求数列｛an｝ 的通项公式： ( 2 ）求数列｛an+2n｝ 的前 n 项和 Sn o
18. （本题满分 12 分）
如图 ， 正方体 ABCD-A1 B 1C1D 1 的棱长为 2, E 为棱 B1C1 的中点．
A. ［号，叫
B （亏，叫
C 队二）
D. （一∞仨］
二、填空题：本题共 4 小题， 每小题 5 分，共 20 分。
jx - y+ l ；三 O
13. 实数 X, y 满足约束条件 十 x+2y - 2 三 0 ， 则 z=x-2y 的最大值为 [y+2 二三 O
1 4. 某班星期一共八节课（上午、 下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为 ： 语文、 数学、外语、 物理 、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节 ． 若数学必须安排在上午且与外语不相邻 （上午第四节和下午第一节不算相邻〉，则不同的排法有种
b,
c 的大小关系为（
)
A. b> a > c
B. b>c>a
C. c > b > a
D. c>a> b
1 0. 将函数 f(x) = sin(x ＋ 一7r ） 图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍 ． 再将图像向左平移 一7r 个单位长度，得到函
6
3
数 y = g(x） 的图象 ， 则函数 y = g(x） 图象的一个对称中心为（
个，最
上面球的球顶距离地面的高度约为
cm （排球的直径约为 2 1 cm).
三、 解答题 ： 共 70 分。解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题 ， 每个试题考生都必须 作答。第 22 、 23 题为选考题 ， 考生根据要求作答。
（一）必考题 ： 共 60 分。 17. （本小题满分 1 2 分）
20. （本题满分 12 分）
椭圆 C: ~＋丘 ＝ 1 （川＞ω 的右焦点 F C 心 ， 0），过点 F 且与 X 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为 d 矿 b"
( 1 ） 求椭圆 C 的方程 ；
( 2 ）过点 。，。） 且斜率不为 0 的直线与椭圆 C 交于 M, N 两点 .0 为坐标原点， A 为椭圆 C 的右顶点 ， 求 四边形 OMAN 面积的最大值 ．
A . ①②
B. ②③
c. ②④
D . ③④
9. 定义在 R 上的偶函数 f（功， 对 \txI>x2 E （一oo,0）. 且 x， 手 X2 ，有 f(x2) - f(x , ) >0 成立，已知 α ＝ f(lnπ）， X2 - X1
b = f(e 勺，
c
=
f
(
l
o
g
2
岛
＿＿！＿），
6
则 a,
js
A. 2
B. js
c. J2
D. 2
7. 5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的 SC 技术发展迅速 ，己位居世界前列 ． 华为公司 2019 年 8 月初推出 了一款 SG 手机 ， 现调查得到该款 SG 手机上市时间 x 和市场占有率 y （单位 ： %）的几组相关对应数据－如图所
示的折线图中 ， 横轴 l 代表 2019 年 8 月 ， 2 代表 20 1 9 年 9 月 ， …… ， 5 代表 201 9 年 1 2 月，根据数据得出 y 关 于 x 的线性回归方程为少 ＝ 0.042x - a. 若用此方程分析并预测该款于机市场占有率的变化趋势，则最早何时该
设甲、乙健身时间不超过 l 小时的既率分别为 一1 ， 一1 ， 高健身时间 l 小时以上且不超过 2 小时的概本分别为 一 ，
46
2
2 ， 且两人健身时间都不会超过 3 小时
3
C1 ）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量已（单位 ： 元）求己的分布列与数学物望 E （己） ；
( 2 ） 此促销活动推出后健身馆预计每天约有 300 人来参与健身活动 ， 以这两人健身费用之和的数学期望为依 据 ， 预测此次促销活动后健身馆每天的营业额。
A. 2Ji
Ji
B.
c. Ji
D. - 2Ji
5 . 函数 ／（x) =lnlxl ＋co~ s2x的部分图象大致为（ ) x
,,,
’E
__,, \ II
ห้องสมุดไป่ตู้
A
B
c
D
6. 己知双曲线 C：三 ＿ E了 ＝ 1（α ＞ O,b > 0） 的一条渐近线经过圆 E: x2 + y2 +2x - 4y = 0 的圆心，则双曲线的 C α？扩 的离心率为（ )
c ) = 2. 己知 ： z i(3 - 2i） ， 则 z·z =
A. 5
B. Js
c. 13
m D.
3. 已知平面向量斗， 二 满足 马 ＝ （叫，b ＝ 问），且马 J_ (~ ＋句， 则 lbl = ( )
A. 3
B. Jio
c. 2.fj
D. 5
4. 己知抛物线 y2 = 2px(p > 0） 经过点 M(2,2.fi.）， 焦点为 F. 则直线 阳 的斜率为（ )
1 5 . 在DABC 中 ， 角 A, B , C 的对边分别为 a, b , c . 若 cosB +-fj sinB-2 =O ，且 b=l ，则 DABC 周长的范围
为
16. 1 6 11 年 ， 约翰内斯 · 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面，心立方与六方最
密堆积要高”的猜想 ． 简单地说， 开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解
A
，／ ．‘ 、
万一口
。υ
、 ‘ ／，
B. （~ ，。）
c. （万，0)
D. （子 ，0)
11. 若 （币＋＿＿！＿f 的展开式中二项式系数和为 256. 则二项式展开式中有理项系数之和为（
x
A. 85
B. 84
c. 57
D . 56
12. 若函数 f(x) = i '1- mx2 有且只有 4 个不同的零点．则实数 m 的取值范围是（ )
( 1 ）画出过点 E 且与直线 A,C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由） ；
( 2 ）求 BD1 与该平面所成角的正弦值 ．
C,
A
19 . （本题满分 12 分）
某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质 ， 健全促进全民健身制度性举措”， 提高广大市民对 全民健身运动的参与程度 ， 推出了健身促销活动，收费标准如下 ： 健身时间不超过 1 小时免费，超过 1 小时的 部分每小时收费标准为 20 元（不足 l 小时的部分按 l 小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，