场论基础

场论基础
初学电磁场的人往往对其涉及的数学内 容望而却步，而始终不能静下心来仔细 阅读公式与定理的由来，其实，电磁场 所需要的数学工具并不复杂，最核心的 内容是场的描述工具——场论。
内容提要



1.矢量分析－矢量代数 2.正交坐标系 3.场的等值面和矢量线 4.如何确定标量场？ （方向导数和梯度） 5.如何确定矢量场？
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标量场的等值面
标量场—等值面
等值面方程的
一般形式为
u ( x, y, z ) const
等值面与xoy平面的相交线， 为xoy面内的等值线。
等值线
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矢量场的矢量线
矢量场——矢量线，矢量线方程的一般形式为
A dl 0
在直角坐标下:
A Axex Ay ey Az ez ; dl dxex dyey dzez ;
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直角坐标系
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场分量与单位向量
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圆柱坐标系
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圆柱坐标与直角坐标的转换
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球坐标系
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场的等值面和矢量线

标量场和矢量场的基本概念 标量场的等值面 矢量场的矢量线
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标量场和矢量场

从场的空间特性来看，
场是一个标量或
一个矢量的位置函数，场中任一点都有 一个确定的标量值或矢量值与之对应。
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标量场和矢量场的数学形式
ຫໍສະໝຸດ Baidu
直角坐标下，标量场只需一个方程描述

直角坐标下，矢量场需三个分量方程描述
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方向角和方向余弦


矢量A与三个坐标轴正向之间的夹角α、β、 γ，称为方向角。 cosα、 cos β、 cos γ称为方向余弦。
A( M ) A cos ex A cos ey A cos ez Ay Ax Az cos , cos , cos A A A
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作 业（1）
3.设Ｓ为上半球面x2+y2+z2=a2(z≥0)，其法向 单位矢量en与z轴的夹角为锐角，求矢量场 A=xex+yey+zez沿en所指的方向穿过S的通量。 （提示：A与en同向） 4.求矢量场A从内向外穿出所给闭曲面S的通 量。（1） A=x3ex+y3ey+z3ez，S为球面 x2+y2+z2=a2； （2） A=（x-y+z）ex+(y-z+x)ey+(z-x+y)ez,

标量（Scalar）是只有大小的物理量（可 以包括相位），例如：电压，电流，电 荷量，能量，温度 矢量（Vector）是同时具有大小（可以 包括相位）和方向的物理量， 例如：速 度，电场强度，磁场强度
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矢量的模和单位矢量


矢量的大小用绝对值表示，叫做矢量的 模。 模为1的矢量叫作单位矢量，用e表示。 如ex、 ey、 ez分别表示与x、y、z三个坐 标同方向的单位矢量。

根据亥姆霍兹定理，必须研究电磁场
中基本场量（如电场强度、磁场强度） 的散度特性和旋度特性——掌握了这
些特性，才能完全掌握了整个场的特
性。
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矢量场的通量与散度
矢量场通量定义
矢量E沿有向
S E dS
曲面S的面积分
S E dS
矢量场的通量
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通量应用例子

根据闭合曲面净通量的大小可以 判断曲面内源的性质
A B ( Ax Bx )ex ( Ay By )ey ( Az Bz )ez
C B B C A 0
A 0
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矢量的数乘
A Axex Ay ey Az ez
其中，λ 为实数。
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矢量的点积
AB Ax Bx Ay By Az Bz A B cosAB

标量场如：温度场、电位场、高度场； 矢量场如：流速场、电场、涡流场等。
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标量场和矢量场的数学形式

空间的一点M，可以由它的三个坐标x、y、z 确定。因此，一个标量场和一个矢量场可分 别用坐标的标量函数和矢量函数表示，其表 示式为：
u(M ) u( x, y, z)
A(M ) Ax ( x, y, z)ex Ay ( x, y, z)ey Az ( x, y, z)ez
1 divA lim v 0 v

S
A dS
divA A
Ax x

A y y

Az z
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散度的物理意义

矢量的散度是一个标量，是空间
坐标点的函数；

散度是微分量，代表矢量场各点
处的通量源的分布特性。
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散度的物理意义（续）
A ＝0 无源
A 0 正源
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电位场的梯度（例）
电位场梯度特点



与过该点的等位线 垂直； 数值等于该点的最 大方向导数； 指向电位增加的方 向。
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利用梯度求方向导数

根据矢量点积的定义，梯度在l方向上的投影， 即为u在l方向上的方向导数。 设梯度的方向沿en方向，那么， u在en方向 的方向导数为
u gradu en gradu en en gradu n
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矢量旋度
类比梯度和方向导数之间关系，定义旋度矢 量，其模值等于环量面密度的最大值；方向 为最大环量面密度的方向。
rot A A
它与环量面密度的关系为
d rot A en dS
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旋度的说明

矢量的旋度仍为矢量，为微分量，其是空间 坐标点的函数；旋度的大小是该点环量面密 度的最大值；旋度的方向是该点最大环量面 密度的方向； 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或 涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；若矢量 场处处A=0，称之为无旋场。
其中， el cosex cos ey cos ez 是l方向上的 单位矢量；
u u u ex ey ez 定义梯度：gradu x y z
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标量场梯度的特点




标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的 函数； 梯度各坐标轴上的分量分别代表u在该坐标 轴上的变化率。 梯度的大小为该点标量函数的最大变化率， 即该点最大方向导数； 梯度的方向为该点最大方向导数的方向，即 与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向。
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矢量的表示法

在正交坐标系如直角坐标系中，矢量可 以用坐标来表示。则从O指向终点P的 矢量A可以表示为：
A( x, y, z) Axex Ay ey Az ez

矢量A的模：
A A A A
2 x 2 y
2 z
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矢量的加减法

A( x, y, z) Axex Ay ey Az ez 设 则： B( x, y, z) Bxex By ey Bz ez
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斯托克斯(Stockes)定理
l

A dl

S
( A) dS
矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域S中场A与边界l上的场 A之间的关系。 旋度定理使用条件：场量连续可微，积 分路径方向。
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斯托克斯(Stockes)定理
A是环量面密度，即围绕
单位面积环路上的环量。因
其中， cosα、 cos β、 cos γ为l方向上的方向 余弦。
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梯度的引入
u u u u cos cos cos l x y z
u u u u ( ex ey ez ) (cos ex cos ey cos ez ) l x y z
矢量的叉积为矢量(单 位矢量en的方向满足 右手螺旋法则)
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正交坐标系

2.1引入坐标系的目的 2.2直角坐标系 2.3圆柱坐标系 2.4球坐标系
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引入坐标系的目的

电磁场物理规律本身与坐标系无关。 在实际描述求解电磁场问题时需要坐 标系，同时，合理的选择坐标系可以 降低分析问题的难度。 坐标系的最基本要求——“正交性”。
( A) 0
推论：如果一个矢量场是无散的，则
该场可用矢量场的旋度表示
B 0 B A
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亥姆霍兹定理应用举例
根据亥姆霍兹定理，任意矢量场可以分解 成无散场部分和无旋场部分的叠加
F Fcurl Fgrad
其中：
Fcurl 0 F Fgrad
AV AdV
n V
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高斯散度定理
高斯散度定理


S
A dS AdV
V

矢量函数的面积分与体积分的互换。 上式表明了区域V 中场A与边界S上的场A 之间的关系。

散度定理使用条件：场量连续可微。
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矢量场的环量
矢量A沿空间闭合 有向曲线L的线积分
A d l
L
该环量表示绕线 旋转趋势的大小。
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环量面密度
d 1 lim dS S 0 S

L
A dl
取不同的路径，其环 量面密度不同。
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引入旋度的原因
环量面密度描述的是一个面积上“旋转” 强度的情况，是一个“宏观”的物理量， 如果要知道场中一点处“旋转”最强的方 向，应如何考虑？
矢量的点积为标量

矢量的点积运算满足如下公式： AB BA
A( B C ) AB A C ( A)( B) ( AB)
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矢量的叉积
A B ( Ay Bz Az By )ex ( Az Bx Ax Bz )e y ( Ax By Ay Bx )ez ex Ax Bx ey Ay By ez Az A B sin ABen Bz
A 0 负源
矢量场中，若 A 0，则该场为无源场； 若 A 0，则该场为有源场，为场源密度
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高斯散度定理
由于▽· A是通量体密 度，对▽· A进行体积 分后，所得的结果为 整个体积的通量。

A dS lim
S

n Vn 0 n 1
此，其面积分后，环量为
l
A dli
i

Si
( A) dSi
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零场恒等式（标量场）
定理：任意标量场梯度的旋度恒等于零
0
推论：如果一个矢量场是无旋的，则
该场可用标量场梯度表示
A 0 A
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零场恒等式（矢量场）
定理：任意矢量场旋度的散度恒等于零
三个计算方法：梯度、散度和旋度的计 算方法； 三个重要定理：散度定理、旋度定理和 亥姆霍兹定理。
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作 业（1）


1.求矢量场A=xex+yey+zez经过点M（1， 2，3）的矢量线方程。 2.设有标量场u=2xy-z2，求u在点（2，1，1）处沿该点至点（3，1，-1）方 向的方向导数。在点（2，-1，1）沿 什么方向的方向导数达到最大？其值 是多少？
Fgrad 0 F Fcurl
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亥姆霍兹定理应用举例
Fcurl 0 Fcurl A
Fgrad 0 Fgrad
任意矢量场可以表示为
F A
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应掌握内容

三个坐标系统：直角坐标系、圆柱坐标 系和球坐标系；
0, 负源， 泄漏源 0, 正源， 注入源
0, 无源
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引入散度的目的
通量描述的是整个体积场矢量源的情况， 是一个宏观性质的物理量，如果想知道
一点处矢量源的情况，如何考虑？
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矢量的散度
如果包围点P的闭合面S所围区域V以 任意方式缩小为点P时, 通量与体积之比的极 限存在，即
二维场
Ay Ax dx dy
三维场
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矢量场的矢量线示例
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如何确定标量场？
任意标量场都可以由场的梯
度和场中某一点的值唯一确 定。
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方向导数

标量场u=u（x、y、z）是空间位置的函数。 它在空间沿某一方向l上的变化情况，可用 该方向上的方向导数表示：
u u u u cos cos cos l x y z
5.1矢量场通量和散度，高斯散度定理 5.2矢量场环量和旋度，斯托克斯定理 5.3零场恒等式（Null Identities），亥姆霍兹 （Helmholtz ）定理
矢量分析

1.1标量、矢量和单位矢量 1.2矢量的加减法 1.3矢量的数乘 1.4矢量的点积 1.5矢量的叉积
3
标量与矢量
在其他方向的方向导数为
u gradu el gradu en el gradu cos l
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如何确定矢量场？
确定矢量场的必要条件： 必须同时确定该矢量场散 度和旋度，否则场的解答不 唯一。
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亥姆霍兹定理
在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度
及边界条件唯一地确定。
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亥姆霍兹定理的意义