场论基础

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场论基础
初学电磁场的人往往对其涉及的数学内 容望而却步,而始终不能静下心来仔细 阅读公式与定理的由来,其实,电磁场 所需要的数学工具并不复杂,最核心的 内容是场的描述工具——场论。
内容提要



1.矢量分析-矢量代数 2.正交坐标系 3.场的等值面和矢量线 4.如何确定标量场? (方向导数和梯度) 5.如何确定矢量场?
22
标量场的等值面
标量场—等值面
等值面方程的
一般形式为
u ( x, y, z ) const
等值面与xoy平面的相交线, 为xoy面内的等值线。
等值线
23
矢量场的矢量线
矢量场——矢量线,矢量线方程的一般形式为
A dl 0
在直角坐标下:
A Axex Ay ey Az ez ; dl dxex dyey dzez ;
12

直角坐标系
13
场分量与单位向量
14
圆柱坐标系
15
圆柱坐标与直角坐标的转换
16
球坐标系
17
场的等值面和矢量线

标量场和矢量场的基本概念 标量场的等值面 矢量场的矢量线
18
标量场和矢量场

从场的空间特性来看,
场是一个标量或
一个矢量的位置函数,场中任一点都有 一个确定的标量值或矢量值与之对应。
20
标量场和矢量场的数学形式
ຫໍສະໝຸດ Baidu
直角坐标下,标量场只需一个方程描述

直角坐标下,矢量场需三个分量方程描述
21
方向角和方向余弦


矢量A与三个坐标轴正向之间的夹角α、β、 γ,称为方向角。 cosα、 cos β、 cos γ称为方向余弦。
A( M ) A cos ex A cos ey A cos ez Ay Ax Az cos , cos , cos A A A
55
作 业(1)
3.设S为上半球面x2+y2+z2=a2(z≥0),其法向 单位矢量en与z轴的夹角为锐角,求矢量场 A=xex+yey+zez沿en所指的方向穿过S的通量。 (提示:A与en同向) 4.求矢量场A从内向外穿出所给闭曲面S的通 量。(1) A=x3ex+y3ey+z3ez,S为球面 x2+y2+z2=a2; (2) A=(x-y+z)ex+(y-z+x)ey+(z-x+y)ez,

标量(Scalar)是只有大小的物理量(可 以包括相位),例如:电压,电流,电 荷量,能量,温度 矢量(Vector)是同时具有大小(可以 包括相位)和方向的物理量, 例如:速 度,电场强度,磁场强度
4

矢量的模和单位矢量


矢量的大小用绝对值表示,叫做矢量的 模。 模为1的矢量叫作单位矢量,用e表示。 如ex、 ey、 ez分别表示与x、y、z三个坐 标同方向的单位矢量。

根据亥姆霍兹定理,必须研究电磁场
中基本场量(如电场强度、磁场强度) 的散度特性和旋度特性——掌握了这
些特性,才能完全掌握了整个场的特
性。
34
矢量场的通量与散度
矢量场通量定义
矢量E沿有向
S E dS
曲面S的面积分
S E dS
矢量场的通量
35
通量应用例子

根据闭合曲面净通量的大小可以 判断曲面内源的性质
A B ( Ax Bx )ex ( Ay By )ey ( Az Bz )ez
C B B C A 0
A 0
7
矢量的数乘
A Axex Ay ey Az ez
其中,λ 为实数。
8
矢量的点积
AB Ax Bx Ay By Az Bz A B cosAB

标量场如:温度场、电位场、高度场; 矢量场如:流速场、电场、涡流场等。
19
标量场和矢量场的数学形式

空间的一点M,可以由它的三个坐标x、y、z 确定。因此,一个标量场和一个矢量场可分 别用坐标的标量函数和矢量函数表示,其表 示式为:
u(M ) u( x, y, z)
A(M ) Ax ( x, y, z)ex Ay ( x, y, z)ey Az ( x, y, z)ez
1 divA lim v 0 v

S
A dS
divA A
Ax x

A y y

Az z
38
散度的物理意义

矢量的散度是一个标量,是空间
坐标点的函数;

散度是微分量,代表矢量场各点
处的通量源的分布特性。
39
散度的物理意义(续)
A =0 无源
A 0 正源
29
电位场的梯度(例)
电位场梯度特点



与过该点的等位线 垂直; 数值等于该点的最 大方向导数; 指向电位增加的方 向。
30
利用梯度求方向导数

根据矢量点积的定义,梯度在l方向上的投影, 即为u在l方向上的方向导数。 设梯度的方向沿en方向,那么, u在en方向 的方向导数为
u gradu en gradu en en gradu n
45
矢量旋度
类比梯度和方向导数之间关系,定义旋度矢 量,其模值等于环量面密度的最大值;方向 为最大环量面密度的方向。
rot A A
它与环量面密度的关系为
d rot A en dS
46
旋度的说明

矢量的旋度仍为矢量,为微分量,其是空间 坐标点的函数;旋度的大小是该点环量面密 度的最大值;旋度的方向是该点最大环量面 密度的方向; 在矢量场中,若A=J0,称之为旋度场(或 涡旋场),J 称为旋度源(或涡旋源);若矢量 场处处A=0,称之为无旋场。
其中, el cosex cos ey cos ez 是l方向上的 单位矢量;
u u u ex ey ez 定义梯度:gradu x y z
28
标量场梯度的特点




标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的 函数; 梯度各坐标轴上的分量分别代表u在该坐标 轴上的变化率。 梯度的大小为该点标量函数的最大变化率, 即该点最大方向导数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即 与等值线(面)相垂直的方向,它指向函数 的增加方向。
5
矢量的表示法

在正交坐标系如直角坐标系中,矢量可 以用坐标来表示。则从O指向终点P的 矢量A可以表示为:
A( x, y, z) Axex Ay ey Az ez

矢量A的模:
A A A A
2 x 2 y
2 z
6
矢量的加减法

A( x, y, z) Axex Ay ey Az ez 设 则: B( x, y, z) Bxex By ey Bz ez
47

斯托克斯(Stockes)定理
l

A dl

S
( A) dS
矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域S中场A与边界l上的场 A之间的关系。 旋度定理使用条件:场量连续可微,积 分路径方向。
48
斯托克斯(Stockes)定理
A是环量面密度,即围绕
单位面积环路上的环量。因
其中, cosα、 cos β、 cos γ为l方向上的方向 余弦。
27
梯度的引入
u u u u cos cos cos l x y z
u u u u ( ex ey ez ) (cos ex cos ey cos ez ) l x y z
矢量的叉积为矢量(单 位矢量en的方向满足 右手螺旋法则)
10
正交坐标系

2.1引入坐标系的目的 2.2直角坐标系 2.3圆柱坐标系 2.4球坐标系
11
引入坐标系的目的

电磁场物理规律本身与坐标系无关。 在实际描述求解电磁场问题时需要坐 标系,同时,合理的选择坐标系可以 降低分析问题的难度。 坐标系的最基本要求——“正交性”。
( A) 0
推论:如果一个矢量场是无散的,则
该场可用矢量场的旋度表示
B 0 B A
51
亥姆霍兹定理应用举例
根据亥姆霍兹定理,任意矢量场可以分解 成无散场部分和无旋场部分的叠加
F Fcurl Fgrad
其中:
Fcurl 0 F Fgrad
AV AdV
n V
41
高斯散度定理
高斯散度定理


S
A dS AdV
V

矢量函数的面积分与体积分的互换。 上式表明了区域V 中场A与边界S上的场A 之间的关系。

散度定理使用条件:场量连续可微。
42
矢量场的环量
矢量A沿空间闭合 有向曲线L的线积分
A d l
L
该环量表示绕线 旋转趋势的大小。
43
环量面密度
d 1 lim dS S 0 S

L
A dl
取不同的路径,其环 量面密度不同。
44
引入旋度的原因
环量面密度描述的是一个面积上“旋转” 强度的情况,是一个“宏观”的物理量, 如果要知道场中一点处“旋转”最强的方 向,应如何考虑?
矢量的点积为标量

矢量的点积运算满足如下公式: AB BA
A( B C ) AB A C ( A)( B) ( AB)
9
矢量的叉积
A B ( Ay Bz Az By )ex ( Az Bx Ax Bz )e y ( Ax By Ay Bx )ez ex Ax Bx ey Ay By ez Az A B sin ABen Bz
A 0 负源
矢量场中,若 A 0,则该场为无源场; 若 A 0,则该场为有源场,为场源密度
40
高斯散度定理
由于▽· A是通量体密 度,对▽· A进行体积 分后,所得的结果为 整个体积的通量。

A dS lim
S

n Vn 0 n 1
此,其面积分后,环量为
l
A dli
i

Si
( A) dSi
49
零场恒等式(标量场)
定理:任意标量场梯度的旋度恒等于零
0
推论:如果一个矢量场是无旋的,则
该场可用标量场梯度表示
A 0 A
50
零场恒等式(矢量场)
定理:任意矢量场旋度的散度恒等于零
三个计算方法:梯度、散度和旋度的计 算方法; 三个重要定理:散度定理、旋度定理和 亥姆霍兹定理。
54


作 业(1)


1.求矢量场A=xex+yey+zez经过点M(1, 2,3)的矢量线方程。 2.设有标量场u=2xy-z2,求u在点(2,1,1)处沿该点至点(3,1,-1)方 向的方向导数。在点(2,-1,1)沿 什么方向的方向导数达到最大?其值 是多少?
Fgrad 0 F Fcurl
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亥姆霍兹定理应用举例
Fcurl 0 Fcurl A
Fgrad 0 Fgrad
任意矢量场可以表示为
F A
53
应掌握内容

三个坐标系统:直角坐标系、圆柱坐标 系和球坐标系;
0, 负源, 泄漏源 0, 正源, 注入源
0, 无源
36
引入散度的目的
通量描述的是整个体积场矢量源的情况, 是一个宏观性质的物理量,如果想知道
一点处矢量源的情况,如何考虑?
37
矢量的散度
如果包围点P的闭合面S所围区域V以 任意方式缩小为点P时, 通量与体积之比的极 限存在,即
二维场
Ay Ax dx dy
三维场
24
矢量场的矢量线示例
25
如何确定标量场?
任意标量场都可以由场的梯
度和场中某一点的值唯一确 定。
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方向导数

标量场u=u(x、y、z)是空间位置的函数。 它在空间沿某一方向l上的变化情况,可用 该方向上的方向导数表示:
u u u u cos cos cos l x y z
5.1矢量场通量和散度,高斯散度定理 5.2矢量场环量和旋度,斯托克斯定理 5.3零场恒等式(Null Identities),亥姆霍兹 (Helmholtz )定理
矢量分析

1.1标量、矢量和单位矢量 1.2矢量的加减法 1.3矢量的数乘 1.4矢量的点积 1.5矢量的叉积
3
标量与矢量
在其他方向的方向导数为
u gradu el gradu en el gradu cos l
31
如何确定矢量场?
确定矢量场的必要条件: 必须同时确定该矢量场散 度和旋度,否则场的解答不 唯一。
32
亥姆霍兹定理
在有限区域内,矢量场由它的散度、旋度
及边界条件唯一地确定。
33
亥姆霍兹定理的意义
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