09 巴比伦人与平方根

巴比伦人与平方根

我们往往以为古代数学就是那么古老和遥远！但是回顾之下，你会惊奇地发现目前所用的思想、价值或概念也许与几千年前人们所用的竟然是相似的．我们学习到的关于巴比伦数学的知识主要来自考古发掘所得的几块楔形文字泥板．这些泥板的年代大约是公元前3000至公元前200年①．它们揭示出巴比伦人研究的是下列数学概念——

·一元方程；

·二元方程组，近似值表②；

·体积和面积；

·三角形和梯形面积的计算；

·π的近似值3被用于确定圆面积——3r2；

·棱柱和圆柱的体积由底面积乘高求得；

·毕达哥拉斯定理；

·数论的各方面，例如：1＋2＋4＋…＋29＝29＋（29－1）．

上页的巴比伦泥板③表示出2的惊人准确的近似．同样惊人的是，我们发现巴比伦的六十进位数制有助于这种准确性．巴比伦人把苏美尔人的数制改进为六十进位数制④．这是那个时代的第一个进位数制．起初由于缺少零和六十进位点，它是依靠上下文来指明所要表达的数值的．例如，这个数可代表 11（60）＋12＝672或11＋12/60．

巴比伦人后来又加用或来确定零位．

巴比伦人用2的这种准确近似做些什么呢？仔细检查这块楔形文字板，我们看到板上图形是一个正方形，其中画出对角线．正方形的一条边上有符号

，他们用这表示30．沿水平对角线，他们写着，它代表1，24，51，10．假定六十进位点在1与24之间，这数就变成1＋（24/60）＋（51/602）＋（10/603）＝1＋（2/5）＋（51/3600）＋（1/216000）≈ 1.4142129+，它可与2＝1.414213562…相媲美．巴比伦人为了获得它们的估计值，可能用了希腊人常用的重复近似法⑤．

我们知道巴比伦人很了解毕达哥拉斯定理．他们计算的铅直对角线的值是正方形对角线长度的准确近似．即对角线长度 42，25，35变成

除了采用以有理数为边（例如{3，4，5}，{5，12，13}）的直角三角形外，他们也把毕达哥拉斯定理用于边长不全是有理数的直角三角形．

这是他们把近似用于像2这样的无理数的原因．

注释：

①根据O. Neugebauer, Mathematics Keilschriftexts,1935-1937,

F.Thureau，Dangin. Textes Mathematiques Babyloniens,1938，和

O.Neugebauer 和A. Sachs, Mathematical Cuneiform Texts的译本．为了加速泥板的数字翻译，O. Neugebauer 用逗号分隔位值，用“；”代表六十进位点．例

如，译成 11，1；10，3 即11（60）＋1＋（10/60）＋（3/3600）．

②已发现了有着各种数学值的近似值表的泥板．例如：除法有余数时用的倒数值表和平方根及立方根值表都已被发掘出来．

③摄自耶鲁大学巴比伦收藏品YBC7289号板．

④巴比伦人用两个符号来写他们的数字是．是1，是 10．这些符号的位置确定它们的值．

⑤古希腊人用下法获得平方根近似值：假定2的第一次猜测是a（例如，令a＝1）．确定他们下一个估计时取2/a（即2/1＝2）．再下一个估计是这两个估计的平均值，即（1＋2）/2＝1.5．于是这个估计值1.5将与新近似值 2/1.5取平均．这过程继续进行下去．