高一数学竞赛及试题答案
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
高一数学竞赛试题含答案
高一数学竞赛试题高一数学竞赛试题时间：时间：8:30-11:00 8:30-11:00 8:30-11:00 总分：总分：总分：150150分一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）分）1、如图，、如图，P P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC QC＝＝1，CD CD＝＝3，则PB PB＝＝________________。
2、若函数()()2ln f x x x a x=++为偶函数，则a = 。
3、函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则a 0 0，，b 0 0，，c 0 0。
4、已知()221x f x x=+，则()()()()111123...2015...232015f f f f f f f æöæöæö+++++++=ç÷ç÷ç÷èøèøèø。
5、函数则()()222log 2log 3f x x x =-+的单调递减区间为的单调递减区间为 。
6、若方程2104xxeae -+=有负实数根，则a 的取值范围是的取值范围是。
7、设函数()31,12,1x x x f x x -<ì=í³î，则满足()()()2f af f a =的a 的取值范围是的取值范围是 。
8、设集合}{1,2,3......6A =，则集合A 的所有非空子集元素和的和为的所有非空子集元素和的和为 。
9、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于y x =-对称，且()()241f f -+-=，则a = 。
1010、已知实数、已知实数,x y 满足()()()()3312011*********x x y y ì-+-=-ïí-+-=ïî，则x y += 。
第十五届“希望杯”数学竞赛第一试试题及答案整理
A. log3 x -1
-x
B. 2 - 3
C. 3-2+x
D. 2 - log3 x
A
4பைடு நூலகம்
40
二、 组填空题（每题 分，共 分） 11 ． 已 知 函 数
f (x)
=
ì í
1,
x为有理数，
g(
x)
=
ì í
0,
x为有理数，
当
xÎR 时 ，
î0，x为无理数.
î1，x为无理数.
f (g (x)) = _______, g ( f( )x) = _ _ _ _ _ _ _ .
B. 减法 D. 除法
{ } 9．等比数列
an
中，“
a 1
<
a 3
”是“
a 7
<
a 9
”的（
）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
10．已知函数 f (x) 的图象与函数 g(x) = 3x 的图象关于点 (0,1) 对称，则 f (x) =（ ）
4. 等差数列
{an
}
、
{bn}
的前
n
项的和分别为
Sn
、
Tn
，且
Sn Tn
=
3n - 3 ，则 a6 2n + 3 b6
=（
）
A. 3 2
B. 1
6
C.
5
27
D.
23
5. 如图，EF 是梯形 ABCD 的中位线，则在向量 1 ( AD + BC) 、
2
A
1 ( AC + BD) 、 1 (2AD - AB - CD) 中，与 EF 相等的向量的个 E
高一数学竞赛试题参考答案
高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立， 当a ＝0时，－3≠0成立； 当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】 依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】 由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
数学竞赛高一试题及答案
数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。
4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。
三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。
6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。
四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。
五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。
如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。
10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。
答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。
2021年高一数学竞赛试题和参考答案及评分标准(精华版)
2021年高一数学竞赛试题和参考答案及评分标准（精华版）（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B xx +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}C x x A x B =∈∉且，则集合C =（ ）A ．[)(]3114--⋃，，B ．[](]3114--⋃，，C ．[)[]3114--⋃，，D ．[][]3114--⋃，， 【答案】 D【解答】 依题意，{}[]212034A x x x =--≤=-，，10(11)1x B xx +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，。
由x A ∈，知34x -≤≤；x B ∉，知1x ≤-或1x ≥。
所以，31x -≤≤-或14x ≤≤，即[][]3114C =--⋃，，。
2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=（0m >）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（ ）A B ．2 C D 【答案】 D【解答】由12l l ⊥知，(2)(2)(2)30m m m m +⋅-++⋅=，结合0m >，得230m m -+=，12m =。
∴ 1l 方程为531022x y ++=，即5320x y ++=；2l 方程为：354022x y -+-=，即3580x y -+=。
由53203580x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩。
因此，(11)P -，，线段OP。
3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。
则二面角A PC B --的余弦值为（ ）A．3 B．3 C．3 D ．13【答案】 B【解答】如图，取AC 中点O ，PC 中点D ，连结OP ，OB ，OD ，DB 。
不妨设2AB =，则由条件知，2PA PC ==，AC = ∴ PA PC ⊥，12OP AC OC ===。
2023年全国中学生数学奥林匹克暨2023年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及参考答案
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）试题（含参考答案）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设复数910i z （i 为虚数单位），若正整数n 满足2023n z ，则n 的最大值为 ． 答案：2．解：22910181nnnnz z．因21812023z ，而当3n 时，181132023nn n z，故n 的最大值为2．2. 若正实数,a b 满足lg 2b a ，lg lg 5a b a b ，则lg ()ab ab 的值为 ． 答案：20．解：因为lg lg lg lg 102a a b b b a ，所以lg lg lg lg lg lg lg ()()()52220ab a b a b b a ab ab a b a b ．3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为,,x y z ，则事件“777C C C x y z”发生的概率为 ． 答案：127．解：由于162534777777C C C C C C ，因此当,,{1,2,3,4,5,6}x y z 时，事件“777C C C x y z”发生当且仅当“{1,6},{2,5},{3,4}x y z ”成立，相应的概率为321627． 4. 若平面上非零向量,, 满足 ，2|| ，3|| ，则||的最小值为 ．答案：23．解：由 ，不妨设(,0),(0,)a b ，其中,0a b ，并设(,)x y，则由2||得2by a ，由3|| 得3ax b ．所以2232||2223b ax y xy a b． 取3,2a b ，此时6x y ，||取到最小值23．5. 方程sin cos2x x 的最小的20个正实数解之和为 ． 答案：130 ．解：将2cos212sin x x 代入方程，整理得(2sin 1)(sin 1)0x x ，解得532,2,2()662Z x k k k k．上述解亦可写成2()36Z k x k，其中0,1,,19k 对应最小的20个正实数解，它们的和为192219202013036326k k． 6. 设,,a b c 为正数，a b ．若,a b 为一元二次方程20ax bx c 的两个根，且,,a b c 是一个三角形的三边长，则a b c 的取值范围是 ．答案：7,518． 解：由条件知2222()()()ax bx c a x a x b ax a ab x a b ，比较系数得22,b a ab c a b ，故24,11a a b c a a，从而 24231a a a b c a a a a a ．由于201a a b a，故112a ．此时显然0b c ．因此，,,a b c 是一个三角形的三边长当且仅当a c b ，即4211a a a a a，即2(1)0a a a ，结合112a ，解得15122a ．令23()f x x x x ，则()a b c f a ．显然当0x 时()f x 连续且严格递增，故a b c 的取值范围是151,22f f，即7,518 ． 7. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆 与x 轴、y 轴均相切，圆心在椭圆2222:1(0)x y a b a b内，且 与 有唯一的公共点(8,9)．则 的焦距为 ．答案：10．解：根据条件，可设圆心为(,)P r r ，则有222(8)(9)r r r ，解得5r 或29r ．因为P 在 内，故5r ．椭圆 在点(8,9)A 处的切线为2289:1x y l a b ，其法向量可取为2289,n a b． 由条件，l 也是圆 的切线，故n 与PA 平行，而(3,4)PA ，所以223227a b．又2264811a b ，解得22160,135a b ．从而 的焦距为22210a b ．8. 八张标有,,,,,,,A B C D E F G H 的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按,,,,,,,D A B E C F G H 的次序取走卡片，但不可按,,,,,,,D B A E C F G H 的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 ．AB C D EFGH答案：392．解：如左下图重新标记原图中的八张卡片．现将每张卡片视为顶点，有公共边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边，得到一个八阶图，该图可视为右下图中的2m n 阶图(,)G m n 在3,3m n 时的特殊情况．231-3-20P-1 G (m , n )Pn...210-1-2-m ...取卡片（顶点）的规则可解释为：(i) 若顶点P 已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完； (ii) 若顶点P 未取走，则必为某个(,)(,0)G m n m n 的情形，此时若0m ，则将P 视为1 号顶点，归结为(i)的情形；若0,0m n ，则将P 视为1号顶点，归结为(i)的情形；若,1m n ，则当前可取P 或m 号顶点或n 号顶点，分别归结为(i)或(1,)G m n 或(,1)G m n 的情形．设(,)G m n 的符合要求的顶点选取次序数为(,)f m n ，本题所求即为(3,3)f ．由(i)、(ii)知1(,0)2(0)m f m m ，1(0,)2(0)n f n n ，且(,)2(1,)(,1)(,1)m n f m n f m n f m n m n ．由此可依次计算得(1,1)12f ，(1,2)(2,1)28f f ，(1,3)(3,1)60f f ，(2,2)72f ，(2,3)(3,2)164f f ，(3,3)392f ，即所求数目为392．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4y x ，F 为 的焦点，,A B 为 上的两个不重合的动点，使得线段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点．求点Q 的轨迹方程．解：设1122(,),(,)A x y B x y ．不妨设AP PQ QB ，则121222,33x x y y P． 易知(1,0)F ．由于点P 位于线段OF 上，故122[0,1]3x x ，12203y y ． ……………4分可设12,2y t y t ，则2212,4t x x t ．此时有2122[0,1]32x x t ，且由,A B 不重合知0t ，所以2(0,2]t ． ……………8分设(,)Q Q Q x y ，则21212232,343Q Q x x y y x t y t，有243Q Q y x ． 注意到2330,42Q x t ，故点Q 的轨迹方程为243(0)32y x x ．……………16分10.（本题满分20分）已知三棱柱111:ABC A B C 的9条棱长均相等．记底面ABC 所在平面为 ．若 的另外四个面（即面111111111,,,A B C ABB A ACC A BCC B ）在 上投影的面积从小到大重排后依次为23,33,43,53，求 的体积．解：设点111,,A B C 在平面 上的投影分别为,,D E F ，则面11111,,A B C ABB A 1111,ACC A BCC B 在 上的投影面积分别为,,,DEF ABED ACFD BCFE S S S S ．由已知及三棱柱的性质，DEF 为正三角形，且,,ABED ACFD BCFE 均为平行四边形．由对称性，仅需考虑点D 位于BAC 内的情形（如图所示）． 显然此时有ABED ACFD BCFE S S S ． ……………5分XFEB DCA由于,,,23,33,43,53DEF ABED ACFD BCFE S S S S ，故,ABED ACFD S S 必为23,33的排列，53BCFE S ，进而43DEF S ，得DEF 的边长为4，即正三棱柱 的各棱长均为4． ……………10分不妨设23,33ABED ACFD S S ，则333,2ABD ACD S S ．取射线AD 与线段BC 的交点X ，则23ABD ACD BX S CX S ，故85BX ．因此2242cos60195AX AB BX AB BX ， 而58ABD ACD ABC AD S S AX S ，故192AD． ……………15分 于是 的高221352h AA AD． 又43ABC S ，故 的体积615ABC V S h ． ……………20分11.（本题满分20分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数t ：对任意,[1,]a b t ，总存在,[1,]c d t ，使得()()1a c b d ．解：记[1,]t I t ，()()S a c b d ．假如2t ，则当a b t 时，对任意,t c d I ，均有2(1)1S t ，不满足要求．假如312t，则当1,2a b t 时，对任意,t c d I ，均有 21a c t ，12t b d ．若,a c b d 同正或同负，则2(1)1S t ，其余情况下总有01S ，不满足要求． ……………5分以下考虑322t 的情形．为便于讨论，先指出如下引理．引理：若1,2u v ，且52u v ，则1uv ．事实上，当32u v 时，22225312244u v u v uv ． 当32u v 时，1131222uv ．引理得证． 下证对任意,t a b I ，可取11,t c d I ，使得111()()1S a c b d ．① 若12a b ，则取111c d ，此时1(1)(1)(1)(1)S a b a b ，其中31311,12222a b b a ，且5(1)(1)2()2a b a b ，故由引理知11S ．若12a b ，则取1132t c d I ，此时13322S a b， 其中331,222a b ，且3353222a b a b ，故由引理知11S ． ……………15分 注意到，当,t a b I 时，可取2t c I ，使得21a c （例如，当[1,1]a 时取20c ，当(1,]a t 时取21c ），同理，可取2t d I ，使得21b d ．此时22222()()1S a c b d a c b d ．②根据①、②，存在一个介于12,c c 之间的实数c ，及一个介于12,d d 之间的实数d ，使得()()1a c b d ，满足要求．综上，实数t 满足要求当且仅当322t ． ……………20分。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。
9. 一个正六边形的内角和为 _______。
10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。
11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。
三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。
13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。
高一数学《函数与方程》竞赛试题与答案
高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
高一数学学科素养能力竞赛集合部分综合测试题(解析版)
高一数学学科素养能力竞赛集合部分综合测试题第I 卷（选择题）一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,1A =-，{}1B x ax ==，若A B B =，则a 的取值集合为（ ） A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】由题意知B A ⊆，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出结果.【详解】由A B B =，知B A ⊆，因为{}1,1A =-，{|1}B x ax ==，若B =∅，则方程1ax =无解，所以0a =满足题意； 若B ≠∅，则1{|1}B x ax x x a ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭， 因为B A ⊆，所以11a=±，则满足题意1a =±； 故实数a 取值的集合为{}1,0,1-.故选：D.2．设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（ ）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】D【分析】解绝对值不等式得到集合,A B ，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解. 【详解】集合{}{}1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，{}{3,|3B x x b x R x x b =-∈=<-或}3x b >+ 又A B ⊆，所以13a b +≤-或13a b -≥+即4a b -≤-或4a b -≥，即4a b -≥ 所以a b -的取值范围为[)4,+∞故选：D3．若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=（ ）A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]【答案】B【分析】本题抓住新定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂中x 满足的条件，解不等式得到集合,A B ，进而求得A B ，A B ，最后求出()()A B A B ⋃即为所求. 【详解】1113|111|2222A x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=-<=-<-<=-<<⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭ {}11|1|0|01x B x x x x x x -⎧⎫⎧⎫=≥=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}|01A B x x ∴⋂=<≤，13|22A B x x ⎧⎫⋃=-<<⎨⎬⎩⎭ 1|02A B x x ⎧∴⨯=-<≤⎨⎩或312x ⎫<<⎬⎭13,01,22⎛⎤⎛⎫=-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解绝对值不等式和分式不等式，理解题目中{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂中x 满足的条件是解题的关键，考查学生的分析试题能力与转化与化归能力，属于较难题.4．设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（ ）A ．32B ．56C ．72D ．84【答案】B【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.【详解】若1,3在集合A 内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；若1,4在集合A 内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若1,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有6+5+4+3+2+1=21个.若2,4在集合A 内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若2,5在集合A 内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若2,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有5+4+3+2+1=15个.若3,5在集合A 内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若3,6在集合A 内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若3,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有4+3+2+1=10个.若4,6在集合A 内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若4,7在集合A 内，则还有一个元素为9,10中的一个；若4,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有3+2+1=6个.若5,7在集合A 内，则还有一个元素为9,10中的一个；若5,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有2+1=3个.若6,8,10在在集合A 内，只有1个.总共有21+15+10+6+3+1=56个故选：B.5．设{}1,2,3,4,I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,3A B =，则称(,)A B 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）A ．16B ．9C ．8D ．4【答案】B【分析】根据题意，子集A 和B 不可以互换，从子集A 分类讨论，结合计数原理，即可求解.【详解】由题意，对子集A 分类讨论：当集合{}1,3A =，集合B 可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3}，共4种结果；当集合{}1,2,3A =，集合B 可以是{1,3,4},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,3,4A =，集合B 可以是{1,2,3},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,2,3,4A =，集合B 可以是{1,3}，共1种结果，根据计数原理，可得共有42219+++=种结果.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.6．定义{|,}A B x x A x B -=∈∉，设A 、B 、C 是某集合的三个子集，且满足()()A B B A C -⋃-⊆，则()()A C B B C ⊆-⋃-是AB C =∅的（ ） A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】作出示意图，由()()A B B A C -⋃-⊆可知两个阴影部分均为∅，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】如图，由于()()A B B A C -⋃-⊆，故两个阴影部分均为∅，于是,,A I IV V B III IV V C I II III V =⋃⋃=⋃⋃=⋃⋃⋃，（1）若A B C =∅，则V =∅，A I IV ∴=⋃，而()()C B B C I II IV -⋃-=⋃⋃，()()A C B B C ∴⊆-⋃-成立；（2）反之，若()()A C B B C ⊆-⋃-，则由于()()()C B B II I C I V =⋃-⋃-⋃，()A I IV V =⋃⋃，()()I IV V I II IV ∴⋃⋃⊆⋃⋃，V ∴=∅，A B C ∴⋂⋂=∅，故选：A【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题.7．已知集合{}1,2,3,4,5P =，若A ，B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为（ ）A ．49B ．48C ．47D ．46【答案】A【分析】利用分类计数法，当A 中的最大数分别为1、2、3、4时确定A 的集合数量，并得到对应B 的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.【详解】集合{}1,2,3,4,5P =知：1、若A 中的最大数为1时，B 中只要不含1即可：A 的集合为{1}，而B 有 42115-=种集合，集合对(A ,B )的个数为15；2、若A 中的最大数为2时，B 中只要不含1、2即可：A 的集合为{2},{1,2}，而B 有3217-=种，集合对(A ,B )的个数为2714⨯=；3、若A 中的最大数为3时，B 中只要不含1、2、3即可：A 的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}，而B 有2213-=种，集合对(A ,B )的个数为4312⨯=；4、若A 中的最大数为4时，B 中只要不含1、2、3、4即可：A 的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，而B 有1211-=种，集合对(A ,B )的个数为818⨯=；∴一共有151412849+++=个，故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.8．设a ，b ，c 为实数，记集合2{|()()0S x x a x bx c =+++=，}x R ∈，2{|(1)(1)0T x ax cx bx =+++=，}x R ∈.若||S ，||T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A ．||1S =且||0T =B ．||1S =且||1T =C ．||2S =且||2T =D ．||2S =且||3T = 【答案】D【分析】要发现0x a +=与10ax +=､20x bx c ++=与210cx bx ++=的解的关系，同时考虑0a =，0c 以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解，逆推集合S 的解的情况即可.【详解】令()2()0x a x bx c +++=，则方程至少有1个实数根x a =-，当240b c -=时，方程还有一个根2b x =-， 只要2b a ≠，方程就有2个实数根，2b a =，方程只有1个实数根，当240b c -<时，方程只有1个实数根，当240b c ->时，方程有2个或3个实数根，当0a b c ===时，||1S =且||0T =，当0,0,0a b c >=>时，||1S =且||1T =，当1,2a c b ===-时，||2S =且||2T =，若||3T =时，10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解，且10ax +=的解1x a=-不是210cx bx ++=的解， ∴211()()0c b c a a-+-+≠，即20a ab c -+≠， 0x a ∴+=的解不是20x bx c ++=的解，又210cx bx ++=有两个解，故240b c ∆=->，20x bx c ++=有两个不等的根，2()()0x a x bx c ∴+++=有3个解，即3S =，故D 不可能成立，故选：D .【点睛】本题考查集合的元素个数，一元一次方程与一元二次方程的解的关系，还要考虑一元一次方程的解是否为一元二次方程的解，通过判别式判断一元二次方程方程的根的个数，属于难题.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．（多选）若非空实数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈， x y M -∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ）A ．AB 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集【答案】ACD【解析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.【详解】对于A 中，任取,x A B y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则 x y A B +∈， ,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈，则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈，令3,2x y ==，则5x y A B +=∉⋃，所以B 不正确；对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y A B ∈，因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈，若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时 A B ⊆；若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时 B A ⊆，所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集；或B A ⊆，则A B B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.10．用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()*A B C A C B =-.已知集合2|10A x x ，{}22(3)(2)0B x ax x x ax =+++=，若*1A B =，则实数a 的取值可能是（ ）A．-B ．0 C ．1 D ．【答案】ABD【解析】先分析()2C A =，又由*1A B =，分析易得()1C B =或3，即方程22(3)(2)0ax x x ax +++=有1个根或3个根，分析方程22(3)(2)0ax x x ax +++=的根的情况，可得a 可取的值，即可得答案．【详解】根据题意，已知{1A =，2}，则()2C A =，又由*1A B =，则()1C B =或3，即方程22(3)(2)0ax x x ax +++=有1个根或3个根；若22(3)(2)0ax x x ax +++=，则必有230ax x +=或220x ax ++=，若230ax x +=，则0x =或30ax +=，当0a =时，{0}B =，()1C B =，符合题意；当0a ≠时，230ax x +=对应的根为0和3a -；故∴需220x ax ++=有两等根且根不为0和3a -，当∴0=时，a =±a ={0B =，-，，()3C B =，符合题意；a =-{0B =，，()3C B =，符合题意； ∴当3a -是220x ax ++=的根时，解得3a =±；3a =，此时{0B =，1-，2}-，()3C B =，符合题意；3a =-，此时{0B =，1，2}，()3C B =，符合题意；综合可得：a 可取的值为0，3±，故选：ABD【点睛】本题考查集合的表示方法，关键是依据()C A 的意义，分析集合B 中元素的个数，进而分析方程22(3)(2)0ax x x ax +++=的根的情况．11．设集合{}Z y x y x a a M ∈-==,,22，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n 的数中，是集合M 中的元素的有A ．4nB ．41n +C ．42n +D ．43n + 【答案】ABD【分析】将4,41,43n n n ++分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M . 【详解】∴224(1)(1)nn n ，∴4n M . ∴2241(21)(2)n n n ，∴41n M . ∴2243(22)(21)nn n ，∴43n M . 若42n M ，则存在,Z x y 使得2242x y n ， 则42()(),n x y x y x y 和x y -的奇偶性相同.若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数，不成立；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42n M .故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.12．设集合X 是实数集R 的子集，如果实数0x 满足：对任意0r >，都存在x X ∈，使得00x x r <-<成立，那么称0x 为集合X 的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（ ）A ．1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭B ．,1n x x n N n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭C ．{},0x x Q x ∈≠D ．整数集Z【答案】AC【分析】利用集合聚点的新定义，集合集合的表示及元素的性质逐项判断. 【详解】A.因为集合1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭中的元素是极限为0的数列，所以对于任意0r >，都存在1n r >，使得10x r n <=<成立，所以0为集合1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭的聚点，故正确； B. 因为集合11,11n x x n N n n *⎧⎫==-∈⎨⎬++⎩⎭中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项都至少比0大12，所以对于12r <时，不存在满足0x r <<的x ，所以0不为集合11,11n x x n N n n *⎧⎫==-∈⎨⎬++⎩⎭的聚点，故错误； C. 对任意0r >，都存在2=r x ，使得02x r r <=<成立，那所以0为集合{},0x x Q x ∈≠的聚点，故正确；D. 对任意0r >，如0.5r =，对任意的整数，都有00x x -=或01x x -≥成立，不可能有000.5x x <-<成立，所以0不是集合整数集Z 的聚点，故错误；故选：AC第II 卷（非选择题）三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知集合{}2280,R A x x x x =--≤∈ ，(){}2550,R B x x m x m x =-++≤∈ ，设全集为R ，若R B A ⊆，则实数m 的取值范围为______．【答案】()4,+∞【分析】解不等式求得R A ，根据R B A ⊆，分类讨论m 的取值，确定集合B ，从而求得m 的取值范围.【详解】解不等式2280x x --≤，得24x -≤≤，所以R {2A x x =<-或4}x > ， (){}()(){}2550,R 50B x x m x m x x x x m =-++≤∈=--≤ ， 因为R B A ⊆，当5m =时，{}5B =，满足题意；当5m >时，[]5,B m =，满足题意．当5m <时，[],5B m =， 由R B A ⊆，得4m >，所以45m <<．综上，m 的取值范围为()4,+∞．故答案为：()4,+∞ 14．{}{}(){}220,10,,2,R A x x px q B x qx px A B A B ϕ=++==++=⋂≠⋂=-则p q += _____．【答案】-1或5 【分析】由题意可得m A ∈，一点有1∈B m，再由A B φ⋂≠，可得1m =±，进而可得结果.【详解】设2,0∈∴++=m A m pm q两边同除2m ，可得210++=p q m m ，所以 1∈B m由A B φ⋂≠，一定有m A ∈，1∈A m ，即 1,1=∴=±m m m (){2}R A B =-，则 2,{2,1}-∈=-A A 或{2,-1}=-A代入可得4201102p q p p q q -+==⎧⎧⇒⎨⎨++==-⎩⎩或 4203102p q p p q q -+==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以1p q +=-或5故答案为：-1或5 【点睛】关键点点睛：通过两个方程的关系可得m A ∈，一点有1∈B m，是解题的关键.本题考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题. 15．集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i =每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i =，则1231023m m m m ++++=___________. 【答案】-1【分析】分析可得M 的所有非空子集为i M 可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积i m ，综合即可得答案.【详解】集合M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i =可以分成以下几种情况 ∴含元素0的子集共有92512=个，这些子集中所有元素乘积0i m =；∴不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有821255-=个∴不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有821255-=个其中∴∴中元素是一一对应的，且为相反数，则i m 的和为0，∴只含元素-1的子集1个，满足1i m =-，综上：所有子集中元素乘积12310231m m m m ++++=-. 故答案为：-116．若集合()()()(){}10*,122022,Z,N M x y x x x y x y =++++⋅⋅⋅++=∈∈，则集合M 中元素有______个.【答案】242【分析】由题可得111010(21)23337y x y ++=⋅⋅，然后可得21y x y ++与必为一奇一偶，偶数必是1123337m n ⋅⋅，进而即得.【详解】由题可得(21)(1)(2)()2y x y x x x y ++++++⋅⋅⋅++=， ∴111010(21)23337y x y ++=⋅⋅，又21y x y ++与必为一奇一偶， 而偶数必是1123337m n ⋅⋅,*,N ,010,010m n m n ∈≤≤≤≤，共有121种情况，又21y x y ++与奇偶未定，故集合M 中元素只有242个.故答案为：242.四、解答题: 本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合{}13A x x =-≤ ，{}22240B x x mx m =-+-≤.(1)命题p ：x ∴A ，命题q : x ∴B ，且p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围:(2)若A ∩B ≠,∅求实数m 的取值范围.【答案】(1)[]02m ∈，(2)[]46m ∈-，【分析】(1)要使p 是q 的必要不充分条件，则 B A 即可；(2)求A B =∅时m 的取值范围，然后求其补集.（1）因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，B 集合：()22444160m m ∆=--=>，所以B 不可能为空集，因为()()222422x mx m x m x m ⎡⎤⎡⎤-+-=---+⎣⎦⎣⎦， 所以{}22B x m x m =-≤≤+， 集合{}24A x x =-≤≤，所以2224m m -≥-⎧⎨+<⎩或2224m m ->-⎧⎨+≤⎩，分别解不等式组，取并集后可得[]02m ∈，. （2）由（1）知{}{}2422A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+，，当A B =∅时：22m +<-或24m ->，解之得：4m <-或6m >，则A B ⋂≠∅时，[]46m ∈-，. 18．设函数2()(,)f x x px q p q R =++∈，定义集合{|(()),}R f D x f f x x x ==∈，集合{|(())0,}R f E x f f x x ==∈．(1)若0p q ==，写出相应的集合f D 和f E ；(2)若集合{0}f D =，求出所有满足条件的,p q ；(3)若集合f E 只含有一个元素，求证：0,0p q ≥≥．【答案】(1){0,1}f D =，{0}f E =(2)1,0p q ==(3)证明见解析【分析】（1）由4x x =、40x =解得x ，可得f D ，f E ；（2）由(())0f f x x -=得2(1)10x p x p q +++++=或2(1)0x p x q +-+=，然后由21(1)4(1)∆=+-++p p q ，221(1)4∆=-->∆p q ，方程(())0f f x x -=只有一个实数解0，得210,0∆=∆<， 转化为2(1)0x p x q +-+=有唯一实数解0，可得答案；（3）由条件，(())0f f x =有唯一解，得()0f x =有解，分()0f x =有唯一解0x 、()0f x =有两个解1212,()x x x x <，结合()f x 的图像和实数解的个数可得答案.(1)2()f x x =，4(())=f f x x ，由4x x =解得0x =或1x =，由40x =解得0x =，所以{0,1}f D =，{0}f E =．(2)由22(())(())()()()()()f f x x f f x f x f x x f x pf x x px f x x -=-+-=+--+-=22(()1)(())((1)1)((1))0f x x p f x x x p x p q x p x q +++-=++++++-+=，得2(1)10x p x p q +++++=或2(1)0x p x q +-+=，221(1)4(1)(1)44p p q p q ∆=+-++=---，2221(1)4(1)4p q p q ∆=--=-->∆，而方程(())0f f x x -=只有一个实数解0，所以210,0∆=∆<，即只需2(1)0x p x q +-+=有唯一实数解0，所以1,0p q ==．(3)由条件，(())0f f x =有唯一解，所以()0f x =有解，∴若()0f x =有唯一解0x ，则20()()f x x x =-，且0()f x x =有唯一解，结合()f x 图像可知00x =，所以2()f x x =，所以0p q ==．∴若()0f x =有两个解1212,()x x x x <，则12()()()f x x x x x =--，且两个方程1()f x x =，2()f x x =总共只有一个解，结合()f x 图像可知2()f x x =有唯一解，所以20x <，10x <，所以120q x x =>，且()f x 的对称轴02p x =-<，所以0p >，所以0,0p q >>．综上，0,0p q ≥≥．【点睛】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系数对新定义的理解能力及计算能力.19．对于正整数集合{}()*12,,,,3n A a a a n n =∈≥N ，如果去掉其中任意一个元素()1,2,,i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.(1)判断集合{}1,2,3,4,5与{}1,3,5,7,9是否为“和谐集”（不必写过程）；(2)求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数；(3)若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值.【答案】(1){}1,2,3,4,5不是“和谐集”，{}1,3,5,7,9不是“和谐集”(2)证明见解析(3)7【分析】（1）由“和谐集”的定义判断（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明（3）由（2）知n 为奇数，根据n 的取值讨论后求解（1）对于{}1,2,3,4,5，去掉2后，{1,3,4,5}不满足题中条件，故{}1,2,3,4,5不是“和谐集”， 对于{}1,3,5,7,9，去掉3后，{1,5,7,9}不满足题中条件，{}1,3,5,7,9不是“和谐集” （2）设{}12,,,n A a a a =中所有元素之和为M ，由题意得i M a 均为偶数，故()1,2,,i a i n =的奇偶性相同 ∴若i a 为奇数，则M 为奇数，易得n 为奇数，∴若i a 为偶数，此时取2i i a b =，可得{}12,,,n B b b b =仍满足题中条件，集合B 也是“和谐集”， 若i b 仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由∴知n 为奇数 综上，集合A 中元素个数为奇数（3）由（2）知集合A 中元素个数为奇数，显然3n =时，集合不是“和谐集”，当5n =时，不妨设12345a a a a a <<<<，若A 为“和谐集”，去掉1a 后，得2534a a a a +=+，去掉2a 后，得1534a a a a +=+，两式矛盾，故5n =时，集合不是“和谐集”当7n =，设{1,3,5,7,9,11,13}A ，去掉1后，35791113+++=+，去掉3后，19135711++=++，去掉5后，91313711+=+++，去掉7后，19113513++=++，去掉9后，13511713+++=+，去掉11后，3791513++=++，去掉13后，1359711+++=+，故{1,3,5,7,9,11,13}A 是“和谐集”，元素个数的最小值为720．对于函数()f x ，若()f x x =，则称实数x 为()f x 的“不动点”，若()()f f x x =，则称实数x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，()(){}B x f f x x ==. (1)对于函数()21f x x =-，分别求出集合A 和B ；(2)对于所有的函数()f x ，集合A 与B 是什么关系？并证明你的结论；(3)设()2f x x ax b =++，若{}1,3A =-，求集合B .【答案】(1){1}A =，{1}B =(2)证明见解析；(3){B =-【分析】(1)由f (x )＝x ，解出x 的值即集合A 的元素，由()f f x x ⎡⎤⎣⎦＝，解出x 的值即集合B的元素； (2)分别讨论A =∅与A ≠∅的情况,当A ≠∅时,设t A ∈,则()f t t =，即[()]=()f f t f t t =，进而得证；(3)由{1,3}A =-可得(1)1(3)3f f -=-⎧⎨=⎩,则13a b =-⎧⎨=-⎩,进而求解()f f x x ⎡⎤⎣⎦＝即可. (1)由f (x )＝x ，得21x x -＝，解得1x ＝； 由()f f x x ⎡⎤⎣⎦＝，得221)1(x x --＝，解得1x ＝， ∴集合A ＝{1}，B ＝{1}．(2)若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，由[()]=()f f t f t t B =∈，可得A B ⊆.(3)解：∴{1,3}A =-，∴(1)1(3)3f f -=-⎧⎨=⎩，即2211333a b a b ⎧--+=-⎨++=⎩（），∴13a b =-⎧⎨=-⎩， ∴2()3f x x x =--，∴2222[()](3)(3)(3)3f f x f x x x x x x x =--=------=，∴222(3)0x x x ---=，∴22(3)23)0x x x ---=（，∴(1)(3)0x x x x +-=，∴x =1x =-或3x =，∴{B =-.21．设集合A 为非空数集，定义{|A x x a b +==+，a 、}b A ∈，{|||A x x a b -==-，a 、}b A ∈．(1)若{1A =-，1}，写出集合A +、A -；(2)若1{A x =，2x ，3x ，4}x ，1234x x x x <<<，且A A -=，求证：1423x x x x +=+；(3)若{|02021A x x ⊆，}x N ∈且A A +-=∅，求集合A 元素个数的最大值．【答案】(1){}{}2,0,20,2A A +-=-=，；(2)证明见解析；(3)1348.【分析】(1)根据新定义，直接得出集合A A +-、；(2)根据两集合相等即可得出1234x x x x 、、、的关系；(3)通过假设A 集合{124042}m m m ++，，，，(2021)m m N ≤∈，， 求出相应的A A +-、，根据=A A +-∅列出不等式即可求出结果.（1） 由题意知，{11}A =-，， 得{202}{02}A A +-=-=，，，，； （2）由于集合12341234{}A x x x x x x x x =<<<，，，，，且A A -=，所以集合A -中有且仅有4个元素，即213141{0}A x x x x x x -=---，，，剩下的元素满足213243x x x x x x -=-=-，即1423x x x x +=+；（3）设12{}k A a a a =，，，满足题意，其中12k a a a <<<， 则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<， 所以21A k +≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<<-，所以A k -≥，因为=A A +-∅，由容斥原理，31A A A A k +-+-=+≥-， A A +-最小的元素为0，最大的元素为2k a ，所以21k A A a +-≤+，所以*31214043()k k a k N -≤+≤∈，解得1348k ≤，实际上当{6746752021}A =，，，时满足题意，证明如下： 设{122021}A m m m =++，，，，()m N ∈， 则{221224042}A m m m +=++，，，，，{0122021}A m -=-，，，，， 依题意，有20212m m -<，即26733m >，所以m 的最小值为674， 于是当674m =时，集合A 中的元素最多，即{6746752021}A =，，，时满足题意. 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值为1348.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.22．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合{}1,2,3,4,5,6M =，根据提示解决问题.∴求集合M 所有非空子集的元素和的总和；提示：方法1：x M ∀∈，先求出x 在集合M 的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为k ，可以用k 表示出M 的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和.∴求集合M 所有非空子集的交替和的总和.【答案】（1）12；（2）∴672，∴192【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.（2）∴求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M 中各数字出现的次数，即可得答案.∴分别求得集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和总和，根据规律，总结出n 个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，集合{2，1}的交替和为2-1=1，集合{3，1}的交替和为3-1=2，集合{3，2}的交替和为3-2=1，集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.（2）∴集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现242=次，集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}， 其中数字1、2、3、4各出现382=次，在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为42=16，故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现42=16次，同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现52=32次， 所以集合M 所有非空子集的元素和的总和为32(123456)672⨯+++++=.∴设集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和分别为1234,,,S S S S ， 集合{1}的所有非空子集的交替和为11S =集合{1，2}的所有非空子集的交替和212(21)4S =++-=，集合{1，2，3}的非空子集的交替和3123(21)(31)(32)(321)12S =+++-+-+-+-+=， 集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和41234(21)(31)(41)S =++++-+-+-(32)(42)(43)(321)(421)(431)(432)(4321)32+-+-+-+-++-++-++-++-+-=所以根据前4项猜测集合{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有非空子集的交替和总和为12n n S n -=⋅，所以集合M 所有非空子集的交替和的总和5662192S =⨯=【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.。
必修一数学竞赛试题及答案
必修一数学竞赛试题及答案奥赛班数学能力评估一试题卷MATHEMATICS]本卷满分：150分考试时间：120分钟）一、单项选择题（本大题分10小题，每题5分，共50分）1.已知函数$f(x)(x\in R)$是以4为周期的奇函数。
当$x\in(,2)$时，$f(x)=\ln(x^2-x+b)$．若函数$f(x)$在区间$[-2,2]$上有5个零点，则实数$b$的取值范围是(。
)A．$-1<b\leq1$B．$b\leq-1$或$b>1$C．$-1<b<1$或$b=1$D．$b< -1$或$b\geq1$2.设$M=\alpha\alpha=x^2-y^2$，$x,y\in Z$，则对任意的整数$n$，形如$4n,4n+1,4n+2,4n+3$的数中。
不是$M$中的元素的数为(。
)A．$4n$B．$4n+1$XXXD．$4n+3$3.若集合$A=\{(m,n)(m+1)+(m+2)+\cdots+(m+n)=\}$，$m\in Z$，$n\in N^*$，则集合$A$中的元素个数为(。
) A．$4030$B．$4032$C．$$D．$$4.不定方程$(n-1)!=nk-1$正整数解的个数为(。
)A．$3$B．$4$C．$5$D．$6$5.设$a,b,c$为实数，$f(x)=(x+a)\frac{x^2+bx+c}{x^2+1}$，$g(x)=(ax+1)\frac{ax^2+bx+1}{x^2+1}$．记集合S=\{x|f(x)=0\}$，$T=\{x|g(x)=0\}$，$S,T$分别为集合$S,T$的元素个数。
则下列结论不可能的是(。
)A．$S=1$且$T=0$B．$S=1$且$T=1$C．$S=2$且$T=2$D．$S=2$且$T=3$6.设集合$M=\{(x,y)-xy=45,x,y\in N\}$，则集合$M$中的元素个数为(。
)A．$1$B．$2$C．$3$D．$4$7.已知函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。
答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。
答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。
如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。
答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。
证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。
首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。
设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。
可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。
对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。
同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. √3B. 0.33333（无限循环）C. πD. 1/32. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。
A. 4B. 6C. 8D. 103. 一个圆的半径为 5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 若 a + b + c = 6，且 a^2 + b^2 + c^2 = 14，求 ab + bc + ca 的值。
A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列的首项为 2，公差为 3，求第 10 项的值是__________。
6. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，求前 5 项的和是__________。
7. 若函数 g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 的导数是 g'(x)，则 g'(1) 的值是 __________。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3、4、5，求其对角线的长度（保留根号）是 __________。
三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数 n，都有 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。
10. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。
11. 已知函数 h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。
12. 已知一个三角形的三个顶点分别为 A(1, 2)，B(-1, -1)，C(3, 4)，求其面积。
答案一、选择题1. 正确答案：C（π 是无理数）2. 正确答案：A（f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4）3. 正确答案：B（面积= πr^2 = 25π）4. 正确答案：B（根据柯西-施瓦茨不等式）二、填空题5. 第 10 项的值是 2 + 9*(10-1) = 296. 前 5 项的和是 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 1267. g'(x) = 3x^2 - 4x + 3，g'(1) = 3 - 4 + 3 = 28. 对角线的长度是√(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50三、解答题9. 证明：根据调和级数的性质，我们知道 1/n^2 随着 n 的增大而减小，且 1/n^2 < 1/(n-1)^2，因此可以构造不等式 1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 - 1/n < 2。
【竞赛题】高一趣味数学题筛选及答案
高一数学趣味竞赛题1、兄弟共有45元钱，如果老大增加2元钱，老二减少2元钱，老三增加到原来的2倍，老四减少到原来的1/2，这时候四人的钱同样多，原来各有多少钱？答案：老大8，老二12，老三5，老四202、桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，不久又一阵风吹灭了2根，最后桌子上还剩几根蜡烛呢答案：5根3、一根绳子两个头，三根半绳子有几个头？答案：8个头，(半根绳子也是两个头)4、一栋住宅楼，爷爷从一楼走到三楼要6分钟，现在要到6楼，要走多少分钟？答案：15分钟5、24个人排成6列，要求5个人为一列，你知道应该怎样来排列吗？答案：一个六边形6、有一家里兄妹四个，他们4个人的年龄乘起来正好是14，你知道他们分别是多少岁吗？(当然在这里岁数都是整数。
)答案：(14只能分解为2和7，因此四个人的年纪分别为1，1，2，7，其中有一对为双胞胎)7. 1根绳子对折，再对折，再第三次对折，然后从中间剪断，共剪成多少段？答案;9段8、五条直线相交，最多能有多少个交点呢？答案：109、如果有5只猫，同时吃5条鱼，需要5分钟时间才吃完。
按同样的速度，100只猫同时吃掉100条鱼，需要()分钟时间。
答案：5分钟10、假设有一个池塘,里面有无穷多的水.现有2个空水壶,容积分别为5升和6升.问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水. 答案：先用5升壶装满后倒进6升壶里在再将5升壶装满向6升壶里到,使6升壶装满为止,此时5升壶里还剩4升水将6升壶里的水全部倒掉,将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里,此时6升壶里只有4升水再将5升壶装满,向6升壶里到,使6升壶里装满为止,此时5升壶里就只剩下3升水了11、一个农夫带着三只兔到集市上去卖,每只兔大概三四千克,但农夫的秤只能称五千克以上,问他该如何称量.答案：先称3只,再拿下一只,称量后算差.12、有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆,猴子家离香蕉堆50米,猴子打算把香蕉背回家,每次最多能背50根,可是猴子嘴馋,每走一米要吃一根香蕉,问猴子最多能背回家几根香?答案：25根，先背50根到25米处,这时,吃了25根,还有25根,放下.回头再背剩下的50根,走到25米处时,又吃了25根,还有25根.再拿起地上的25根,一共50根,继续往家走,一共25米,要吃25根,还剩25根到家.13、花甲重开，外加三七岁月；古稀双庆，内多一个春秋．用数学式子分别列出上下联（提示：根据年龄）答案：这副对联是由清代乾隆皇帝出的上联，暗指一位老人的年龄，要纪晓岚对下联，联中也隐含这个数．即上述下联．上联的算式：2×60＋3×7=141，下联的算式：2×70＋1=141．14、一二五六七（打一成语)答案：丢三落四15、八分之七（打一成语）答案：七上八下16、8+7=5（打一成语）答案：缺衣少食17、 3，4，7, 16, 43（）答案12417、 1.16 8.25 27.36 64.49 （ )答案125.6418、一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到几天刚好长满池塘面积的一半（）答案:9天19、一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块卖给另外一个人。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为5，那么它的第n项可以表示为：A. 3 + 5(n-1)B. 3 + 5nC. 5 + 3(n-1)D. 5 + 3n2. 下列哪个分数可以化简为1/2？A. 3/6B. 5/10C. 7/14D. 9/183. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求f(x)的最小值。
A. -36B. -9C. 0D. 94. 若a, b, c是等比数列，且a + b + c = 0，那么b^2的值是：A. a^2 + c^2B. -a^2 - c^2C. acD. -ac5. 一个圆的半径是5cm，求这个圆的面积（圆周率取3.14）。
A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 200平方厘米D. 314平方厘米二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个等比数列的前三项分别是2, 6, 18，那么它的第四项是_______。
7. 函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|的最小值是_______。
8. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长（根据勾股定理）是_______。
9. 一个圆的周长是12π，那么这个圆的直径是_______。
三、解答题（每题10分，共60分）10. 已知等差数列的前n项和为S_n = n^2 + 2n，求这个等差数列的前三项。
11. 求解方程：\(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = 3\)。
12. 一个圆与直线y = 2x + 3相交于点P，圆心坐标为(1, 0)，且半径为2。
求点P的坐标。
13. 证明：若a, b, c, d是正整数，且满足a^2 + b^2 = c^2 + d^2，则a + b = c + d。
14. 一个等差数列的前10项和为110，且第10项是第2项的3倍，求这个等差数列的公差和首项。
高一数学竞赛答案一、选择题答案1. A2. D3. D4. B5. B二、填空题答案6. 547. 28. 59. 6三、解答题答案10. 首项为2，公差为4，前三项为2，6，10。
顺德区高一数学竞赛试题
1、若a，b为实数，且|a + 1| + √(b - 1) = 0，则(a + b)²⁰²¹的值是：A. 0B. 1C. -1D. 2⁰²¹解析：由于绝对值和平方根都是非负数，它们的和为0意味着两者都必须为0。
因此，a + 1 = 0 且 b - 1 = 0，解得a = -1，b = 1。
所以，(a + b)²⁰²¹ = 0²⁰²¹ = 0。
（答案：A）2、设集合A = {x | x是小于8的正整数}，B = {x | x是3的倍数}，则A ∩ B =：A. ∅B. {3}C. {3, 6}D. {3, 6, 9}解析：集合A为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，集合B为所有3的倍数。
A与B的交集即为同时满足小于8且是3的倍数的正整数，即{3, 6}。
（答案：C）3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a₁ = 1，S₃ = -3，则a₄等于：A. -3B. -5C. -7D. -9解析：等差数列前n项和公式为Sn = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)，其中d为公差。
由S₃ = -3，代入a₁ = 1，得3/2 * (2 + 2d) = -3，解得d = -2。
因此，a₄ = a₁ + 3d = 1 - 6 = -5。
（答案：B）4、下列哪个选项表示的是y关于x的一次函数？A. y = x² + 1B. y = 2x - 1C. y = 1/xD. y = 2解析：一次函数的形式为y = kx + b，其中k和b为常数，k ≠ 0。
选项B符合此形式，其中k = 2，b = -1。
（答案：B）5、若直线l经过点P(2, -1)且与x轴平行，则直线l的方程为：A. x = 2B. y = 2C. x = -1D. y = -1解析：与x轴平行的直线方程形式为y = k，其中k为常数。
2021年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2 福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5 月 13 日上午 8：30－11：00）一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1．已知集合 A = { x 1 ≤ 3x ≤ 27 }， B = { x log (x 2 - x ) < 1 }，则 A B = （）A ． (1，2) 【答案】 AB ． (-1，3]C ． [0 ，2) D ． (-∞ ，-1) (0 ，2)【解答】由1 ≤ 3x ≤ 27 ，得0 ≤ x ≤ 3 。
因此， A = [0 ，3]。
⎧⎪x 2 - x > 0 由log (x 2 - x ) < 1，得⎨ ，解得， -1 < x < 0 或1 < x < 2。
2⎪⎩ x 2 - x < 2 因此， B = (-1，0) (1，2) 。
所以， A B = (1，2) 。
2．若直线l 与两直线l 1 ： x - y - 7 = 0 ， l 2 ：13x + 3y -11 = 0 分别交于 A ， B 两点，且线段 AB 中点为 P (1，2) ，则直线l 的斜率为（） A ． -2 【答案】BB ． -3C ． 2D ． 3【解答】由点 A 在直线l 1 ： x - y - 7 = 0 上，设 A (t ，t - 7) 。
由 AB 中点为 P (1，2) ，知 B (2 - t ，11- t ) 。
∵ 点 B 在直线l 2 ：13x + 3y -11 = 0 上， ∴ 13(2 - t ) + 3(11- t ) -11 = 0。
解得， t = 3 。
∴ A (3，- 4) ， kl = k PA =2 - (-4) = -3 。
1- 33 3 3 O O 2 + O C 21 1 3+12 3．如图，在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， M 、E 分别为棱 BC 、BB 1 的中点， N 为正方形 B 1BCC 1 的中心。
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高一数学竞赛试题及答案时间: 2016/3/18注意:本试卷均为解答题、 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、总分150分,考试时间120分钟、1.(本小题满分15分)设集合{}()(){}222320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈, (1)若{}2AB =求a 得值; (2)若A B A =,求a 得取值范围;(3)若(),U U R A C B A ==,求a 得取值范围、2、(本小题满分15分)设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ====（1）求证:;N M ⊆（2）)(x f 为单调函数时,就是否有N M =？请说明理由、3.(本小题满分15分)已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π∈x 有最大值5,求实数m 得值.4.(本小题满分15分)已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x ),f (7－x )＝f (7＋x )且在闭区间[0,7]上,只有f (1)＝f (3)＝0,(1)试判断函数y ＝f (x )得奇偶性;(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根得个数,并证明您得结论. 5.(本小题满分15分)已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ,设方程x x f =)(得两个实数根为1x 与2x 、(1)如果4221<<<x x ,设函数)(x f 得对称轴为0x x =,求证:10->x ;(2)如果21<x ,212=-x x ,求b 得取值范围、6.(本小题满分15分)如图,直三棱柱111C B A ABC -中,121AA BC AC ==,D 就是棱1AA 得中点,BD DC ⊥1。
（1） 证明:BC DC ⊥1; （2） 求二面角11C BD A --得大小。
7.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中,设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R)得图象与两坐标轴有三个交点.经过三点得圆记为C 、(1)求实数b 得取值范围;(2)求圆C 得方程;(3)问圆C 就是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明您得结论.A BC D 1A 1B 1C8.(本小题满分20分) 设f(x)就是定义在R 上得偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x 1,x 2∈[0,21]都有).()()(2121x f x f x x f ⋅=+且f(1)=a ＞0. (Ⅰ));41(),21(f f 求 (Ⅱ)证明)(x f 就是周期函数;(Ⅲ)记),212(nn f a n +=求).(ln lim n n a ∞→ 9.(本小题满分20分)设)(x f 就是R 上得奇函数,且当0>x 时,)10lg()(2+-=ax x x f ,R a ∈、(1)若5lg )1(=f ,求)(x f 得解析式;(2)若0=a ,不等式0)14()2(>+++⋅k f k f x x 恒成立,求实数k 得取值范围;(3)若)(x f 得值域为R ,求a 得取值范围、 高一数学竞赛试题参考答案1、解:{}2,1=A (1)∵{}2A B = ∴B ∈2即,0)5(2)12222=-+⋅+⋅+a a （,解得13-=-=a a 或 ① 当3-=a 时, {}{}2044|2==+-=x x x B ② 当1-=a 时, {}{}2,204|2-==-=xx B 综上{}3,1--∈a (2)∵A B A =∴A B ⊆① 当φ=B 时,则该一元二次方程无解,即△<0,∴()[]0)5(41222<-⋅-+a a ,即3-<a ② 当φ≠B 时,则该一元二次方程有解,即△≥0,即3-≥a1、 当3-=a 时,{}2=B2、 当3->a 时,该一元二次方程有两个不同实数根1与2∴ )1(221+-=+a ,即25-=a 5212-=⋅a ,即7±=a (舍) ,∴综上(]3,-∞-∈a(3)∵(),U U R A C B A == ∴φ=B A① 当△<0时,即3-<a ,φ=B ,满足要求② 当△=0时,即3-=a ,{}2=B ,φ≠B A ,舍③ 当△>0时,即3->a ,所以只需B B ∉∉21且将1代入方程中得31±-=a ;将2代入方程中得13-=-=a a 或所以3113±-≠-≠-≠a a a 和、综上,a 得取值范围为()()()()()+∞+-+---------∞-,3131,11,3131,33 ， 2、 证明：（1）若M φ=，显然有;M N ⊆ 若M φ≠，则存在0x M ∈，满足()00f x x =， 所以()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，故0x N ∈，所以;M N ⊆ （2）.M N =用反证法证明 假设M N ≠，由于MN ⊆，必存在1,x N ∈ 但1x M ∉，因此()11f x x ≠，3、解:422222)cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+= 42)cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= 令]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=πx x x t ,则1cos sin 22-=t x x ,从而12)1()1(2)(24422++-=+--=t t m mt t x f令]2,1[2∈=t u ,由题意知12)1()(2++-=u u m u g 在]2,1[∈u 有最大值5、 当01=-m 时,12)(+=u u g 在2=u 时有最大值5,故1=m 符合条件; 当01>-m 时,5122)2()(max =+⨯>≥g u g ,矛盾！当01<-m 时,512)(≤+<u u g ,矛盾！综上所述,所求得实数1=m .4、解 (1)若y ＝f (x )为偶函数,则f (－x )＝f (2－(x ＋2))＝f (2＋(x ＋2))＝f (4＋x )＝f (x ),∴f (7)＝f (3)＝0,这与f (x )在闭区间[0,7]上,只有f (1)＝f (3)＝0矛盾;因此f (x )不就是偶函数.若y ＝f (x )为奇函数,则f (0)＝f (－0)＝－f (0),∴f (0)＝0,这些f (x )在闭区间[0,7]上,只有f (1)＝f (3)＝0矛盾;因此f (x )不就是奇函数.综上可知:函数f (x )既不就是奇函数也不就是偶函数.(2)∵f (x )＝f [2＋(x －2)]＝f [2－(x －2)]＝f (4－x ), f (x )＝f [7＋(x －7)]＝f (7－(x －7))＝f (14－x ),∴f (14－x )＝f (4－x ),即f [10＋(x －4)]＝f (4－x )∴f (x ＋10)＝f (x ),即函数f (x )得周期为10、又∵f (1)＝f (3)＝0,∴f (1)＝f (1＋10n )＝0(n ∈Z),f (3)＝f (3＋10n )＝0(n ∈Z),即x ＝1＋10n 与x ＝3＋10n (n ∈Z)均就是方程f (x )＝0得根.由－2 011≤1＋10n ≤2 011及n ∈Z 可得n ＝0,±1,±2,±3,…,±201,共403个; 由－2 011≤3＋10n ≤2 011及n ∈Z 可得n ＝0,±1,±2,±3,…,±200,－201,共402 个;所以方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上得根共有805个.5、解:设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ,则0)(=x g 得二根为1x 与2x 、(1)由0>a 及4221<<<x x ,可得 ⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g ,即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ,即① 若()11f x x >，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x >⎡⎤⎣⎦，即()11x f x >，矛盾； ②若()11f x x <，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x <⎡⎤⎣⎦，即()11x f x <，矛盾。
综合①、②可知()11f x x =，因此1,x M ∈与假设矛盾， 所以假设不能成立，即.M N =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b a a b 两式相加得12<ab ,所以,10->x ; (2)由aa b x x 4)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a 、 又0121>=ax x ,所以21,x x 同号、 ∴ 21<x ,212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(1202212b a x x , 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g解之得 41<b 或47>b 、 6、【解析】(1)在Rt DAC ∆中,AD AC =得:45ADC ︒∠=同理:1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥(2)11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥取11A B 得中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H1111111AC B C C O A B =⇒⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得:点H 与点D 重合且1C DO ∠就是二面角11C BD A --得平面角设AC a =,则1C O =,111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --得大小为30︒7、【解答】 (1)令x ＝0,得抛物线与y 轴交点就是(0,b ); 令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0,由题意b ≠0且Δ＞0,解得b ＜1且b ≠0、(2)设所求圆得一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0、令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0,这与x 2＋2x ＋b ＝0就是同一个方程,故D ＝2,F ＝b 、令x ＝0得y 2＋Ey ＋b ＝0,此方程有一个根为b ,代入得出E ＝―b ―1、所以圆C 得方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0、(3)圆C 必过定点,证明如下:假设圆C 过定点(x 0,y 0)(x 0,y 0不依赖于b ),将该点得坐标代入圆C 得方程, 并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0、(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)得b 都成立,必须有1－y 0＝0,结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0,解得⎩⎨⎧ x 0＝0y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－2y 0＝1经检验知,点(0,1),(－2,1)均在圆C 上,因此,圆C 过定点.9、解:(1)6,5lg )11lg()(,5lg )1(==-==a a x f f 所以则因为所以 故又时，当,0)0(),106lg()()(02=++-=--=<f x x x f x f x ⎪⎩⎪⎨⎧<++-=>+-=0),106lg(0,00),106lg()(22x x x x x x x x f(2)0)14()2()(0>+++•=k f k f R x f a x x 上单调递增，故在，则若等价于恒成立，在于是，另),0(01),0(201422+∞>+++>=>+++k kt t t t k k x x x1)(2+++=k kt t t g 设(1)0<∆时,解得:222222+<<+-k ; (2)时0≥∆,⎪⎩⎪⎨⎧><-0)0(02g k ,解得0>k综上,222+->k(3)设10)(2+-=ax x x h ,由题意知,若函数)(x f 得值域为R,只需 1026,1)(00min <≤≤<>a x h x 解得：时，。