专题五：均值不等式与最值、放缩法

专题五：均值不等式与最值、放缩法

基础梳理

1 •常用的基本不等式和重要的不等式:

(1) a R,a 2

0, a 0当且仅当a 0取“ ”号;

(3) a,b,c R ，则 a 2

b 2

c 2

ab bc ca 2.均值不等式：

两个正数的均值不等式： 色卫 ..ab ；

三个正数的均值不等式：

a b c 3

abc ;

2

3

3 •四种均值的关系:

(1)两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是:

小结：“算数平均数 几何平均数”的多种表达形式:

整式形式

根式形式

分式形式 倒数形式

a 2

b 2

2ab

a b 2 a ，b R

ab

( 2)

a b

屈

2 (a,b R )

1

a — 2(a 0)

a 1 a — 2(a 0)

2 2

(2) a,b R,则a b 2ab ；

n 个正数的均值不等式:

a 〔 a 2

n

a n

n

a i a 2

a n

(2)三个正数a 、b 、c 的调和平均数

几何平均数算术平均数平方平均数:

3

abc

a b

a 2

b

2

abc 3

a 3

b 3

c 3

3abc a b c 3 a,b,c R abc ( )3 3

abc 3/-r — >/abc 3 (a,b,c R )

金a | b

金a 丨b

壬b | a

宣b | a

d n

」

丄 2

2

(a b)(丄 2)

4(a,b R )

a b

1 1 1

(a b c)(一 --)9

abc (a,b,c R )

均值不等式求最值:

(1) 如果x, y 如果x, y, z R

(2) 如果x,y 如果x, y, z R

利用均值不等式求最值必须注意：

“一正、二定、三相等”。三者缺一不可!

能力巩固 考点一：均值不等式与最值

2

1.已知x, y, z R ， x 2y 3z 0,则—的最小值 _________________________

xz

2.设 x 0, y 0,x y 1，、: x

，:y 最大值是（

)

i ---

f ~

寸2

3

A. 1

B. 、2

C.

D.

—

2

2

R ,xy

,xyz R ,x

,x y

P （定值），由—

P （定值），由 ___

y S （定值），由 z S （定值），由_

，当x ，当x y

，当 ，当

x

3.已知a 0,b 0,且a b 2，若S a 1 2 b 2

2届，则S 的最大值为 _________________

5.若a 是甘2 b 与J b 的等比中项，贝U

2ab

的最大值为（

|a| |b|

)

A. .2

B. 1

C. 、2

D.

•、2

4

2

1

1 4 若f(M) (—,x,y),贝V

的最小值是

2

x y

6.设M 是 ABC 内一点

,且

2^3

BAC 4.已知x,y 都在区间（2,2）内，且xy 4 4 x 2

9 FT

的最小值是（

A

8 B

24

C

12 A. _ r • 5

11

7

12 5

1，则函数u

30 ,定义f (M ) (m, n, p),

其

中m n、p分别是MBC, MCA, MAB的面积,

2 2

a b

a 2

对任意正实数a 、

2

B. 2

C. 3

b 都成立，贝U 的最大值是（

D. 5

9•函数f x 2 x ,4 x 的值域为（ 7.若a,b 均为正实数，且

、.a ba m b 恒成立，则m 的最小值是

（2）若对于任意的实数 a 1且b 1，不等式a 2

b 2

t （a b 2）恒成立，则实数t 的最大值是

8.设x,y 都是整数，且满足xy

y 2的最大可能值为（

A. 32

B. 25

C. 18

D. 16

变式：（1）若不等式b 2

A . 1

A. 2,4

B. 0,2 . 5

C. 4,2.5

D. 2,2.5

练习：使关于x 的不等式 C '、「X k 有解的实数k 的最大值是(

)

考点二：放缩法与不等式

例1. (1)求证:

丄丄丄

12 22 32

A. .、.6 ,3 B . 、3

C . (6)

、, 3 D . • (6)

10.已知 a,b,c R 且 a(3a 4b 2c)

4 8

bc ，则3a 2b c 的最小值为(

3 B. 2 ..2

C. 2、3

D. 4.3

练习：若a, b,c 0且a(a b

c) bc 4

2、. 3，则2a b c 的最小值为