2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解【圣才出品】

2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）

1．已知极限

其中k，c为常数，且c≠0，则（）。

A．k＝2，c＝－1/2

B．k＝2，c＝1/2

C．k＝3，c＝－1/3

D．k＝3，c＝1/3

【答案】D

【考点】利用泰勒展开或洛必达法则求极限

【解析】本题考查极限的计算

方法一：利用泰勒公式将arctanx展开，则

∴k＝3，c＝1/3。

方法二：用洛必达法则

∴k＝3，c＝1/3。

2．曲面x2＋cos（xy）＋yz＋x＝0在点（0，1，－1）处的切平面方程为（）。

A．x－y＋z＝－2

B．x＋y＋z＝0

C．x－2y＋z＝－3

D．x－y－z＝0

【答案】A

【考点】曲线切平面的求法

【解析】设F（x，y，z）＝x2＋cos（xy）＋yz＋x，则

F x（x，y，z）＝2x－ysin（xy）＋1⇒F x（0，1，－1）＝1

F y（x，y，z）＝－xsin（xy）＋z⇒F y（0，1，－1）＝－1

F z（x，y，z）＝y⇒F z（0，1，－1）＝1

则曲面x2＋cos（xy）＋yz＋x＝0在点（0，1，－1）处的法向量为（1，－1，1）。故该曲面在点（0，1，－1）处的切面方程为x－（y－1）＋（z＋1）＝0，即x－y＋z＝－2。

3．设f（x）＝|x－1/2|，

令

则S（－9/4）＝（）。

A．3/4

B．1/4

C．－1/4

D．－3/4

【答案】C

【考点】函数展成傅立叶级数的公式

【解析】将函数在[－1，1]上展开成傅里叶级数，

又f（x）的傅里叶级数为S（x），周期为2，则当x∈（－1，1）且f（x）在x处连续时，S（x）＝f（x），S（－9/4）＝S（－1/4）＝－S（1/4）＝－f（1/4）＝－1/4。

4．设L1：x2＋y2＝1，L2：x2＋y2＝2，L3：x2＋2y2＝2，L4：2x2＋y2＝2为四条逆时针方向的平面曲线，记

则max{I1，I2，I3，I4}＝（）。

A．I1

B．I2

C．I3

D．I4

【答案】D

【考点】格林公式及广义坐标变换

【解析】由格林公式得

又

故I1＝π－3π/8＝5π/8，I2＝2π－（3π/8）·4＝π/2；

在椭圆D：x2/a2＋y2/b2≤1上，为方便计算二重积分，则使用广义极坐标计算

故

显然最大。故选择D项。

5．设A，B，C均为n阶矩阵，若AB＝C，且B可逆，则（）。

A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价

B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

【答案】B

【考点】考查向量组等价的定义以及对矩阵与其向量组之间的关系的理解

【解析】把矩阵A，C列分块如下：A＝（α1，α2，…，αn），C＝（γ1，γ2，…，γn），αi，γi分别为A，C的列向量。由于AB＝C，则可知γi＝b i1α1＋b i2α2＋…＋b inαn（i＝1，2，…，n），其中b i1，b i2，…，b in表示B的第i列各数的值，于是得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示。同时由于B可逆，即A＝CB－1，同理可知，矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示。故矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价。因此，选择B项。

6．矩阵与相似的充分必要条件为（）。

A．a＝0，b＝2

B．a＝0，b为任意常数

C．a＝2，b＝0

D．a＝2，b为任意常数

【答案】B

【考点】本题考查矩阵相似的条件

【解析】由于是对称矩阵，故一定可以相似对角化，对称矩阵相似的充