山东大学本科概率统计作业卷测试卷解答

mD m

1 1 ln 2 0.597 4 2
第 2 页，共 28 页
本科概率论与数理统计作业卷(二)
一、填空题
1 1.设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 9 不发生的概率相等,则 P(A)=__________. 1 解 由题设条件得 P ( AB ) , P( A) P( AB) P( AB ) P( AB) P( B) P( AB) 9 P( A) P( B ) P( A) P ( B) ，再由 A 和 B 独立知 A 和 B 也独立，故 2 1 1 2 P ( AB ) P( A) P( B ) P( A) P( A) P ( A) 9 3 3 80 2. 掷一枚不均匀的硬币,已知在 4 次投掷中至少出现一次正面朝上的概率为 ,则在一 81 次投掷中出现正面朝上的概率为__________. 解 设一次投掷中出现正面朝上的概率为 p,则由题意得 2 80 1 1 0 0 1 C4 p (1 p) 4 1 (1 p ) 4 (1 p) 4 1 p p 81 81 3 3 3.一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次取一个,取后不再放回,则第二次 取到次品的概率为__________. 5 1 解 设 A={第一次取到正品}, A={第二次取到次品},则 P ( A) P ( A) 6 6 2 1 P ( B | A) , P( B | A) 由全概率公式得所求概率为 11 11 5 2 1 1 1 P ( B ) P( A) P( B | A) P ( A) P( B | A) 6 11 6 11 6 4.设在一次试验中事件 A 发生的概率为 p,现进行 n 次独立试验,则事件 A 至少发生一次的 概率为______________,而事件 A 至多发生一次的概率为______________________. 解 设 B={n 次独立试验中 A 至少发生一次},C={n 次独立试验中 A 至多发生一次},则 0 0 P ( B ) 1 P ( B ) 1 Cn p (1 p) n 1 (1 p ) n
解 注意到 4 位偶数不能以 0 开头，故 P 二、选择题
3 5 A9 4 A82 41 0.455556 4 A10 90
1.当事件 A 与 B 同时发生时,事件 C 必发生,则下列结论正确的是__________ (A) P(C ) P( AB) (B) P(C ) P( A) P( B)
1 1 ”等价于“ ( x, y ) D ( x, y ) xy ” 4 4
1 1 1 1 1 1 m 1 , m D 1 1 dx 1 dy 1 1 源自文库1 dx ln 2 4x 4 2 4 4x 4
故所求概率为 P ( x, y ) D
(C) P(C ) P ( A) P( B) 1 (D) P(C ) P( A) P( B) 1
故应选(C) 解 由题意 AB C 及概率加法公式 P( A B) P ( A) P( B) P( AB) 得
P (C ) P( AB ) P( A) P( B) P ( A B) P( A) P( B) 1
1 2 C6 C194 0.0855 ; 3 C200
3.一条电路上安装有甲、 乙两根保险丝,当电流强度超过一定值时它们单独烧断的概率分
别为 0.8 和 0.9,同时烧断的概率为 0.72,求电流强度超过这一定值时至少有一根保险丝 被烧断的概率. 解 设事件 A、B 分别表示甲、乙两根保险丝被烧断,所求概率为 P( A B) P( A) P ( B) P( AB) 0.8 0.9 0.72 0.98
本科概率论与数理统计作业卷(一)
一、填空题 1.设随机事件 A,B 及其并事件 A∪B 的概率分别是 0.4,0.3 和 0.6.若 B 表示 B 的对立事 件,则事件 AB 的概率 P( AB ) =______________ 解 P ( AB ) P( A AB) P( A) P ( AB ) P ( A) P ( A) P ( B) P( A B) 0.3
4.从 0,1,2,……,9 的十个数中任选三个不同的数,求下列事件的概率： A1=“三个数中不
含 0 和 5” ； (2) A2=“三个数中不含 0 或 5” ；(3) A3=“三个数中含 0 但不含 5”
C83 7 56 0.46667 解 (1) P ( A1 ) 3 C10 120 15 (2) P ( A2 ) (3) P ( A3 )
解 由 B A , P( B | A)
故 A、B、C 相互独立的充分必要条件是 P ( ABC ) P( A) P( B) P(C ) P( A) P( BC )
第 3 页，共 28 页
等价于 A 与 BC 独立 故应选(A) 4.仓库中有甲、乙、丙三个工厂生产的灯管,其中甲厂生产的有 1000 支,次品率为 2%,乙 厂生产的有 2000 支,次品率为 3%,丙厂生产的有 3000 支,次品率为 4%.若从中随机抽取 一支结果发现为次品,则该次品是甲厂产品的概率为________. (A) 10% (B)20% (C)30% (D)15% 解 B1、B2、B3 分别表示抽到的灯管是甲、乙、丙三个工厂生产的产品,则 B1、B2、B3 构成完备事件组,又设 A 表示抽到次品,则由题意知 1 2 3 P ( B1 ) , P( B2 ) , P( B3 ) , P( A | B1 ) 0.02, P( A | B1 ) 0.03 , P( A | B1 ) 0.04 6 6 6 P ( B ) P ( A | B1 ) 0.1 由贝叶斯公式得所求概率为 P ( B1 | A) 3 1 故应选(A) P( Bi ) P( A | Bi )
若依次取出,取后放回时记 P(A)=p1, 若依次取出,取后不放回时记 P(A)=p2,则______
(A) p1 p2
(B) p1 p2
(C) p1 p2
(D) 无法比较 p1 ,p2 的大小
解 两种取法，A 的有利基本事件只有 1 个
第 1 页，共 28 页
1 1 1 1 故应选(A) p2 3 5 125 5 4 3 60 3 个贰分和 5 个壹分的硬币,现任取其中的 5 个,则所得的总币值超 4.袋中装有 2 个伍分、 p1
0 0 1 1 P (C ) Cn p (1 p ) n Cn p (1 p ) n 1 (1 p) n n p (1 p ) n 1
二、选择题 1. 将一枚骰子先后掷两次 , 设 X1 和 X2 分别表示先后掷出的点数 , 记 A={X1+X2=10}, B={X1>X2},则 P(B|A)= ________. 1 1 2 5 (A) (B) (C) (D) 3 4 5 6 解 事件 A 有三种情形:：4 和 6；5 和 5；6 和 4；事件 B 只有一种情形 6 和 4 所以 P(B|A)=1/3 故应选(A) 2. 设 A 与 B 为对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则错误的是________.
2.已知 A,B 两个事件满足条件 P( AB ) P( A B) ,且 P ( A) p ,则 P( B) =____________
解 由 P( A B) P ( A) P( B) P( AB) 和 P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 P ( AB ) 1 P( AB) 得 P ( A) P( B) 1
(A) P( AB) 0
(B) P ( A B) 1
(C) P( A | B) 0
(D) P( B | A) 0
P( AB ) P( AA) P( A) 1 0 故应选(D) P ( A) P ( A) P( A) 3. 设 A、B、C 三个事件两两独立,则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是________. (A) A 与 BC 独立 (B) AB 与 A C 独立 (C) AB 与 AC 独立 (D) A B 与 A C 独立 解 由 A、B、C 两两独立知 P ( AB) P( A) P ( B ), P ( AC ) P( A) P(C ), P( BC ) P ( B ) P(C )
过一角的概率为________________ 1 1 2 3 (A) (B) (C) (D) 4 2 3 4 解 P
1 3 1 1 2 2 C22C83 C2 C3 C5 C2 C3 C5 56 10 60 1 5 C10 252 2
故应选(B)
三、计算、证明题
1.从五双不同号码的鞋中任取 4 只,求这 4 只鞋至少有 2 只能配成一双的概率. C54 ·24 13 解 没有成双的事件数为 C ·2 ,基本事件总数为 C ,故所求概率 P 1 4 C10 21
P ( ABC ) P( A B C ) 1 P( A B C ) 17 36 4.把 10 本书随意放在书架上,则其中指定的 3 本书放在一起的概率为_________ 3! 8! 1 解 把指定的 3 本书视为一组与另外 7 本书全排列得所求的概率为 P 10! 15 5.从 0,1,2, ,9 中任选出的 4 个不同数字能组成一个 4 位偶数的概率为_______ 1 P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
4 5 4 4 10
2.一批产品共有 200 个,其中有 6 个是废品, 求 (1)这批产品的废品率; (2)任取 3 个恰好有 1 个是废品的概率;
解 (1) P
(3) 任取 3 个中没有废品的概率 (3) P
3 C194 0.9122 3 C200
6 0.03 ; 200
(2) P
2. 掷两枚骰子,则所得的两个点中最小点是 2 的概率为___________ 1 1 2 4 (A) (B) (C) (D) 4 6 5 7 解 基本事件总数为 6×6＝36，
1 两点皆为 2 或一个点为 2、另一个点大于 2 的情形有 1 C1 2 C4 9
9 1 故应选(A) 36 4 3.在数集{1,2,3,4,5}中依次取出三个数,每次取一个,记 A=“取出的三个数依次为 1,2,3”, P
P( B) 1 P( A) 1 p
1 1 3. P ( A) P( B) P(C ) , P( AB) 0, P ( AC ) P( BC ) ,则事件 A,B,C 都不发生的概率 4 9 为__________________.
解 由 ABC AB 得 P ( ABC ) P ( AB) 0 故事件 A,B,C 都不发生的概率为
3 C83 112 14 2C9 0.93333 3 C10 120 15
C82 7 28 0.23333 3 C10 120 30
1 5.在区间(0,1)中任取两个数,求这两个数的乘积小于 的概率. 4
解 设取出的两个数分别为 x 和 y，则 ( x, y ) 0 x 1, 0 y 1 , 要求“两个数的乘积小于