【解析】北京市海淀区2020届高三上学期期中考试数学试题

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学

一、选择题

1.已知集合{}

10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（ ） A. 2 B. 1

C. 0

D. 2-

【答案】D 【分析】

由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =U ，即可得出1a ≤-，从而求出结果． 【详解】{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥Q ，且A B R =U ，1a ∴≤-， ∴a 的值可以为2-． 故选：D ．

【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算． 2.下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ）

A. y x =

B. 2

y x =

C. y x =

D.

1y x =-

【答案】D 【分析】

结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断．

【详解】由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2

y x =在区间(0,)+∞上单调递增；

由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增；

结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ．

【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．

3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则4

3

S S =（ ） A. 1 B.

53

C. 83

D. 3

【答案】C 【分析】

利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结果． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，

33S a =Q ，且30a ≠，

11332a d a d ∴+=+，可得120a d -=≠．

∴

()11143111

43

4232282 32323

32

a d

a a S S a a a d ⨯+

+⨯-==⨯=⨯-+． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4.不等式1

1x >成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 1

02

x << B. 1x > C. 01x <<

D. 0x <

【答案】A 【分析】

解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．

【详解】不等式11x >的解集为()0,1，则其一个充分不必要条件可以是10,2⎛⎫

⎪⎝⎭

； 故选：A ．

【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断与应用，属于基础题．

5.如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为

3

5

，则sin()2

απ

+的值为（ ）

A. 35

-

B.

35

C. 45

-

D.

45

【答案】B 【分析】

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(

)2

απ

+的值． 【详解】角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为

3

5

，所以3

cos 5α=

则sin()3cos 5

2παα==+； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

6.在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v .若3

2λμ+=，则=CD AB

u u u v

u u u

v （ ） A.

1

3

B.

12

C. 1

D. 2

【答案】B 【分析】

作出草图，过C 作//CE AD ，又//CD AB ．可得四边形AECD 是平行四边

形． AC AE AD =+u u u r u u u r u u u r

，根据() ,AC AB AD R λμλμ+∈u u u r u u u r u u u r ＝．可得1,AE AB μλ==u u u r u u u r ，又

32

λμ+=

，可得1

2λ=，据此即可得出结果．

【详解】如图所示，

过C 作//CE AD ，又//CD AB ． ∴四边形AECD 是平行四边形．

AC AE AD ∴=+u u u r u u u r u u u r

， 又() ,AC AB AD R λμλμ+∈u u u r u u u r u u u r ＝．

1,AE AB μλ∴==u u u r u u u r

，

又31

22

λμλ+=∴=,，则

1==2CD

AE AB AB u u u r u u u r u u u r ． 故选：B ．

【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7.已知函数32

()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的

取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (,1]-∞- C. [0,)+∞ D. (,0]-∞

【答案】A 【分析】

根据题意将存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立转化为()()00f x f x -=-有根，再根据方程变形可得，原问题转化为22x x k -=有根，进而转化为2

2y x x =-与y k =的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．

【详解】∵32

()2f x x x x k =+--且00()()f x f x -=-，

323222x x x k x x x k ∴-+--=-+--（） 整理得2

2x x k -= ，

∴原问题转化为22y x x =-与y k =的图象有交点， 画出2

2y x x =-的图象如下：