苏教版数学高二 选修2-2学案 推理案例赏析

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高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第二章 推理与证明 Word版含解析

高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第二章 推理与证明 Word版含解析

合情推理的妙用
合情推理包括归纳推理和类比推理,在近几年的高考试题中,关于合情推理的试题多与其他知识联系,以创新题的形式出现在考生面前.下面介绍一些推理的命题特点,揭示求解规律,以期对同学们求解此类问题有所帮助.
一、归纳推理的考查
.数字规律周期性归纳
例观察下列各式:===,…,则的末四位数字为.
解析∵===,
末四位数字为末四位数字为末四位数字为末四位数字为末四位数字为,…,
由上可得末四位数字周期为,呈规律性交替出现,
∴=×+末四位数字为.
答案
点评对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律,当已给出事实与所求相差甚“远”时,可考虑到看是否具有周期性.
.代数式形式归纳
例设函数()=(>),观察:
()=()=,
()=(())=,
()=(())=,
()=(())=,
……
根据以上事实,由归纳推理可得:
当∈*且≥时,()=(-())=.
解析依题意,先求函数结果的分母中项系数所组成数列的通项公式,由,…,可推知该数列的通项公式为=-.又函数结果的分母中常数项依次为,…,故其通项公式为=.
所以当≥时,()=(-())=.
答案
点评对于与数列有关的规律归纳,一定要观察全面,并且要有取特殊值最后检验的习惯.
.图表信息归纳
例古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:
图()
图()
他们研究过图()中的,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似的,称图()中的,…这样的数为正方形数.
下列数中既是三角形数又是正方形数的是.
①②③④
分析将三角形数和正方形数分别视作数列,则既是三角形数又是正方形数的数字是上述两数。

苏教版数学高二- 选修2-2教案 《合情推理—归纳推理》(1)

苏教版数学高二- 选修2-2教案 《合情推理—归纳推理》(1)

2.1.1 合情推理—归纳推理教案(1)学习目标1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识归纳推理的基本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。

学习重点、难点教学重点了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理。

教学难点用归纳进行推理,做出猜想。

学习过程一、课堂引入从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例,回答几个推理各有什么特点?都是由“前提”和“结论”两部分组成,但是推理的结构形式上表现出不同的特点,据此可分为合情推理与演绎推理二、问题情境案例1、蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇,鳄鱼,海龟,蜥蜴都是爬行动物,所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

案例2、三角形的内角和是180︒,凸四边形的内角和是360︒,凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想:凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒案例3、221222221,,,331332333+++<<<+++,由此我们猜想:a a mb b m+<+(,,a b m均为正实数)二、学生活动案例1、蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇,鳄鱼,海龟,蜥蜴都是爬行动物,所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

由此猜想:案例2、三角形的内角和是180︒,凸四边形的内角和是360︒,凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想:凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒由此猜想:案例3、221222221,,,331332333+++<<<+++,由此我们猜想:a a mb b m+<+(,,a b m均为正由此猜想:三、建构数学这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理。

苏教版高中数学选修2-2合情推理 归纳推理教案

苏教版高中数学选修2-2合情推理 归纳推理教案

合情推理-归纳推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学重点,难点了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学过程一.问题情境1.情境:从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.任何一个推理都包含前提和结论两个部分,前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得的命题.它告诉我们推理的知识是什么.下面是三个推理案例.(1)前提:当0n =时,21111n n -+=;当1n =时,21111n n -+=;当2n =时,21113n n -+=;当3n =时,21117n n -+=;当4n =时,21123n n -+=;当5n =时,21131n n -+=;11,11,13,17,23,31都是质数.结论:对于所有的自然数n ,211n n -+的值都是质数.2.问题:上述案例中的推理各有什么特点?二.学生活动从个别事实推演出一般性结论.三.建构数学1.归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理。

2.归纳推理的思维规程大致为:3.归纳推理的特点:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围.(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是 人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.四.数学运用1.例题:例1.蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇鳄鱼海龟蜥蜴都是爬行动物,所以,所有的爬行动物都是用肺呼吸的.例2.三角形的内角和是180,凸四边形的内角和是360,凸五边形的内角和是540,……由此我们猜想:凸n 边形的内角和是(2)180n -⨯.例3.221222223,,331332333+++<<<+++,…… 由此我们猜想:(,,b b m a b m a a m+<+均是正实数). 五.回顾小结:1.归纳推理的概念和特点;2.归纳推理的思维过程.。

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 推理案例赏析

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案   推理案例赏析

第4课时推理案例赏析教学过程一、问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、数学建构正整数平方和公式的推导.[3][处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1),①那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2=?②问题1如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1n123456…S2(n)1514305591…但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n)与S2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.表2n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591…问题2观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.表3n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591……从表3中发现=,于是猜想S2(n)=. ③公式③的正确性还需要证明.[题后反思]上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1)把正整数的平方表示出来,有12=1,22=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!(2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2 +3(n-1)+1.左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===,终于导出了公式.[题后反思]上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)[处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.[提出问题]问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.(1)确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面(2)对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线↔平面三角形↔棱锥梯形↔棱台进而有梯形底边长↔棱台底面积三角形面积↔棱锥体积梯形面积↔棱台体积(3)通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为S梯形=h(a+b),④其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式:V棱台=h(S上+S下),⑤其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4)验证猜想.⑤式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式⑤中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想⑤是错误的,需要修正.于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下)⑥的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与⑤式相比,公式⑥的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式⑥从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式⑥比公式⑤更合理.既然⑥式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台=h(S上+k+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0=,⑥式即为V棱台=h(S上++S下).四、课堂练习1.在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2.数列{a n}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{a n}的通项公式a n=,他们的说法用的是归纳推理.3.已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.4.“开心辞典”中有这样的问题:给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一级数,-,,-,,…,则它的第8个数可能是-.五、课堂小结合情推理和演绎推理的区别和联系.本课的案例说明:(1)数学发现活动是一个探索创造的过程.这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程.(2)合情推理是富于创造性的或然推理.在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.(3)演绎推理是形式化程度较高的必然推理.在数学发现活动中,它具有类似于“实验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”和证明,从而为调控探索活动提供依据.对这两种推理在数学活动中的作用,著名的数学家G.波利亚作了精辟的论述:“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之前,先得猜测这个定理的内容;在完成详细的证明之前,先得推测证明的思路.创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理,即证明.但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的.”。

苏教版高中数学选修2-2课件 2.1.3 推理案例赏析课件1

苏教版高中数学选修2-2课件 2.1.3 推理案例赏析课件1

教 学
创设问题情境,让学生结合已学过的数学实例和生活中
当 堂


案 设
的实例,进一步理解合情推理与演绎推理是人类不可少的思
基 达


维过程.

前 自 主 导 学
分组学习,合作交流,让学生进行讨论,分别回报,让 学生经历学习的过程,体会认识合情推理和演绎推理相辅相
课 时 作 业
课 成,相互为用,共同推动着发现活动的过程.
教 师
互 动
联 合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的方
备 课
探 究
系 向和思路一般是通过合情推理获得的
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SJ·数学 选修 2-2











归纳推理的应用





方 案
在数列{an}中,已知 a1=2,且对任意的正整数 n,
双 基


计 m,都有 an+m=an+am.
类比推 理
演绎推理

当 堂
方 案

双 基
设 计
理 由部分到整体, 由特殊
形 由特殊到一般 到特殊
由一般到特殊
达 标
课 前

自 主 导 学
结 论
不一定正确,有待证明
在前提和推理形式都正确的 前提下,结论一定正确
课 时 作 业
作 猜测和发现结论,探索和 证明数学结论,建立数学体系
课 堂
用 提供证明思路
的重要思维过程





苏教版选修2-2高中数学归纳推理教案

苏教版选修2-2高中数学归纳推理教案

归纳推理一、教学目标知识与技能:(1)体会归纳推理这种基本的分析问题法,并把它们用于对问题的发现中去。

(2)明确归纳推理的一般步骤,并把这些方法用于实际问题的解决中去。

过程与方法:(1)通过歌德巴赫猜想引入课题,激发学生的学习积极性;(2)通过师生合作做实验的过程,让学生体会数学的严谨性;(3)通过生活中的实例,让学生体会归纳推理的思想方法。

情感态度与价值观:正确认识归纳推理在数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识。

二、教学重点:理解归纳推理的思维过程与一般形式。

三、教学难点:运用归纳推理得到一般性的结论。

四、教学方法与手段:多媒体演示,互动实验。

五、教学过程:情景一:歌德巴赫猜想问题1:同学们,你们有没有听说过一个世纪难题,歌德巴赫猜想,简称“1+1”?____________________________________________问题2:你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗?____________________________________________问题3:你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的?1742年,歌德巴赫在教学中发现:4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7=5+5, 12=5+7,14=3+11=7+7,16=3+13=5+11,18=5+13=7+11,20=3+17=7+13, 22=3+19=5+17=11+11,……由此,他猜想:任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和(简称“1+1”),可是他既证明不了这个猜想,也否定不了这个猜想。

于是,歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。

欧拉在给他的回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明。

叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注意。

从提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功。

苏教版高二数学选修2-2 推理案例赏析 课时作业

苏教版高二数学选修2-2 推理案例赏析 课时作业

学业分层测评(十四)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、填空题1.如图2-1-19所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a 所表示的数是 .【导学号:01580042】图2-1-19【解析】 由图形中数字,不难得出每行两头数字均为1,其它数字均为其肩上两数字之和,∴a =3+3=6.【答案】 62.对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23=⎩⎨⎧3,5,33=⎩⎨⎧7,9,11,43=⎩⎨⎧13,15,17,19,….仿此,若m 3的“分裂数”中有一个是2 015,则m = . 【解析】 根据分裂特点,设最小数为a 1, 则ma 1+m (m -1)2×2=m 3,∴a 1=m 2-m +1. ∵a 1为奇数,又452=2 025, ∴猜想m =45.验证453=91 125=(1 979+2 071)×452.【答案】 453.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: .【解析】 平面几何中的线与立体几何中的面相类比,可得:夹在两个平行平面间的平行线段相等.【答案】 夹在两个平行平面间的平行线段相等4.观察下面不等式:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,…,猜想第n 个不等式为 .【解析】 当n ≥2时,则不等式左端就为1+122+132+…+1n 2,而右端的分母正好是n ,分子是2n -1,因此可以猜想,n ≥2时,满足的不等式为1+122+132+…+1n 2<2n -1n .故可归纳式子为:1+122+132+…+1n 2<2n -1n (n ≥2). 【答案】 1+122+132+…+1n 2<2n -1n (n ≥2) 5.若a 1,a 2,a 3,a 4∈R +,有以下不等式成立:a 1+a 22≥a 1a 2,a 1+a 2+a 33≥3a 1a 2a 3,a 1+a 2+a 3+a 44≥4a 1a 2a 3a 4.由此推测成立的不等式是 .(要注明成立的条件) 【答案】a 1+a 2+a 3+…+a n n≥n a 1a 2a 3…a n (a 1,a 2,a 3,…,a n ∈R +) 6.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,…则52 015的末四位数字为 .【解析】 ∵55=3 125,56=15 625,57=78 125, 58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125, 510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125, 512末四位数字为0 625,…,由上可得末四位数字周期为4,呈规律性交替出现, ∴52 015=54×503+3末四位数字为8 125. 【答案】 8 1257.如图2-1-20①②③④所示,它们都是由小圆圈组成的图案.现按同样的排列规则进行排列,记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n ),则图2-1-20(1)f (5)= ;(2)f (2 015)的个位数字为 .【解析】 观察规律可知:f (5)=4×5+1=21,f (2 015)=2 014×2 015+1,它的个位数字是1.【答案】 (1)21 (2)18.将2n 按如表所示的规律填在5列的数表中,设22 015排在数表的第n 行,第m 列,则第m -1列中的前n 个数的和S n = .【解析】 由于2 504行第4列,所以n =504,m =4.所以S n =22[1-(24)504]1-24=22 018-415.【答案】22 018-415 二、解答题9.数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n +1=n +2n S n (n ∈N ),证明:(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列;(2)S n +1=4a n .【导学号:01580043】【证明】 (1)∵a n +1=S n +1-S n ,a n +1=n +2n S n , ∴(n +2)S n =n (S n +1-S n ),即nS n +1=2(n +1)S n .故S n+1n+1=2·S nn,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S nn是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)知S n+1n+1=4·S n-1n-1(n≥2).∴S n+1=4(n+1)·S n-1n-1=4·n-1+2n-1·S n-1=4a n(n≥2).又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=4=4a1,∴对任意正整数n,都有S n+1=4a n.10.在平面几何中,研究正三角形内任意一点与三边的关系时,我们有真命题:边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a.类比上述命题,请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题,并给出简要的证明.【解】类比所得的真命题是:棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值6 3a.证明:设M是正四面体P-ABC内任意一点,M到面ABC,面P AB,面P AC,面PBC的距离分别为d1,d2,d3,d4.由于正四面体四个面的面积相等,故有:V P-ABC=V M-ABC+V M-P AB+V M-P AC+V M-PBC=13·S△ABC·(d1+d2+d3+d4),而S△ABC =34a2,VP-ABC=212a3,故d1+d2+d3+d4=63a(定值).[能力提升]1.已知2+23=223,3+38=338,4+415=4415,…类比这些等式,若6+ab=6ab(a,b均为正实数),则a+b=.【解析】类比已知的3个等式,知a=6,b=62-1=35.所以a+b=41. 【答案】412.已知结论:“在正三角形ABC中,若D是边BC的中点,G是三角形ABC的重心,则AGGD=2”.若把该结论推广到空间,则有结论:在棱长都相等的四面体ABCD中,若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等,则AOOM等于.【解析】如图,设正四面体的棱长为1,则易知其高AM=63,此时点O即为正四面体内切球的球心,设其半径为r,利用等体积法有4×13×34r=13×34×63⇒r=612,故AO=AM-MO=63-612=64,故AO∶OM=64∶612=3. 【答案】 33.观察下列等式:①sin 2θ=cos θ·2sin θ;②sin 4θ=cos θ(4sin θ-8sin3θ);③sin 6θ=cos θ(6sin θ-32sin3θ+32sin5θ);④sin 8θ=cos θ(8sin θ-80sin3θ+192sin5θ-128sin7θ);⑤sin 10θ=cos θ(10sin θ-160sin3θ+m sin5θ-1 024sin7θ+n sin9θ).则可以推测(1)n=,(2)m=.【解析】由给定等式的规律可知奇数式的最后一项系数为正数.数值为2n,n的值与sin θ的次数相同,所以式子⑤中n=29=512.另一特征为括号中所有系数的和奇数式与θ的系数相等,偶数式与θ的系数相反,所以⑤式中10-160+m-1 024+512=10,∴m=672.【答案】512672【答案】 145.设f (x )=a x +a -x 2,g (x )=a x -a -x2(其中a >0,a ≠1).(1)请你推测g (5)能否用f (2),f (3),g (2),g (3)来表示. (2)如果(1)中获得一个结论,请你推测能否推广并加以证明.【解】 (1)由题意可得f (2)=a 2+a -22,f (3)=a 3+a -32,g (2)=a 2-a -22,g (3)=a 3-a -32.则f (3)·g (2)+g (3)·f (2)=a 5-a +a -1-a -5+a 5+a -a -1-a -54=a 5-a -52.又g (5)=a 5-a -52,因此,g (5)=f (3)·g (2)+g (3)·f (2). (2)g (5)=f (3)·g (2)+g (3)·f (2), 即g (3+2)=f (3)·g (2)+g (3)·f (2). 于是猜测g (x +y )=f (x )·g (y )+g (x )·f (y ). 证明:∵f (x )=a x +a -x 2,g (x )=a x -a -x 2, ∴g (x +y )=a (x +y )-a -(x +y )2,g (y )=a y -a -y 2,f (y )=a y +a -y2, 所以f (x )·g (y )+g (x )·f (y )=a x+a-x2·a y-a-y2+a x-a-x2·a y+a-y2=a(x+y)-a-(x+y)2=g(x+y).故g(x+y)=f(x)·g(y)+g(x)·f(y).。

苏教版高二数学选修2-2 2.1.3 推理案例赏析 学案

苏教版高二数学选修2-2   2.1.3  推理案例赏析   学案

2.1.3推理案例赏析2.1.4[对应学生用书P23][例1]记第n行的第2个数为a n(n≥2,n∈N),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题:(1)第6行的6个数依次为、、、、、;(2)依次写出a2、a3、a4、a5;(3)归纳出a n+1与a n的关系式.[思路点拨](1)观察数阵,总结规律:除首末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和,得出(1)的结果.(2)由数阵可直接写出答案.(3)写出a3-a2,a4-a3,a5-a4,从而归纳出(3)的结论.[精解详析](1)由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.[答案]6,16,25,25,16,6(2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11(3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4,∴由此归纳:a n+1=a n+n.[一点通]对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解了.1.设[x]表示不超过x的最大整数,如[5]=2,[π]=3,[k]=k (k∈N).我的发现:[1]+[2]+[3]=3;[4]+[5]+[6]+[7]+[8]=10;[9]+[10]+[11]+[12]+[13]+[14]+[15]=21;…通过归纳推理,写出一般性结论(用含n的式子表示).解析:第n行右边第一个数是[n2],往后是[n2+1],[n2+2],…,最后一个是[n2+2n].等号右边是n(2n+1).答案:[n2]+[n2+1]+[n2+2]+…+[n2+2n]=n(2n+1)2.(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形,数一数,每个平面图形各有多少个顶点?多少条边?它们将平面围成了多少个区域?顶点数边数区域数(2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?(3)现已知某个平面图形有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边?解:(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为(2)观察:3+2-3=2,通过观察发现,它们的顶点数V ,边数E ,区域数F 之间的关系为V +F -E =2. (3)由已知V =999,F =999,代入上述关系式得E =1 996,故这个平面图形有1 996条边.[例2] 通过计算可得下列等式: 23-13=3×12+3×1+1; 33-23=3×22+3×2+1; 43-33=3×32+3×3+1; …(n +1)3-n 3=3×n 2+3×n +1. 将以上各等式两边分别相加,得(n +1)3-13=3(12+22+…+n 2)+3(1+2+3+…+n )+n , 即12+22+32+…+n 2=16n (n +1)(2n +1).类比上述求法,请你求出13+23+33+…+n 3的值.[思路点拨] 类比上面的求法;可分别求出24-14,34-24,44-34,…(n +1)4-n 4,然后将各式相加求解.[精解详析] ∵24-14=4×13+6×12+4×1+1, 34-24=4×23+6×22+4×2+1, 44-34=4×33+6×32+4×3+1, …(n +1)4-n 4=4×n 3+6×n 2+4×n +1. 将以上各式两边分别相加,得(n +1)4-14=4×(13+23+…+n 3)+6×(12+22+…+n 2)+4×(1+2+…+n )+n ∴13+23+…+n 3=14⎣⎡ (n +1)4-14-6×16n (n +1)·⎦⎤(2n +1)-4×n (n +1)2-n =14n 2(n +1)2.[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比,从而产生解题方法的迁移,这是数学学习中很高的境界,需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.(2)类比推理的步骤与方法第一步:弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.第二步:把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来,也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.3.二维空间中圆的一维侧度(周长)l =2πr ,二维测度(面积)S =πr 2,观察发现S ′=l ;三维空间中球的二维测度(表面积)S =4πr 2,三维测度(体积)V =43πr 3,观察发现V ′=S .则四维空间中“超球”的三维测度V =8πr 3,猜想其四维测度W = .解析:(2πr 4)′=8πr 3. 答案:2πr 44.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:c 2=a 2+b 2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ,如果用S 1,S 2,S 3表示三个侧面的面积,S 4表示截面的面积,那么你类比得到的结论是 .解析:由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比,因此所得到的结论为:S 24=S 21+S 22+S 23.答案:S 24=S 21+S 22+S 23[例3] 已知n 1n ∈N . 求证:lg a n +1lg a n -1<(lg a n )2.[思路点拨] 对数之积不能直接运算,可由基本不等式转化为对数之和进行运算. [精解详析] ∵{a n }为等差数列, ∴a n +1+a n -1=2a n . ∵d >0,∴a n -1a n +1=(a n -d )(a n +d )=a 2n -d 2<a 2n .∵a 1>1,d >0,∴a n =a 1+(n -1)d >1. ∴lg a n >0. ∴lg a n +1·lg a n -1≤⎝⎛⎭⎫lg a n +1+lg a n -122=⎣⎡⎦⎤12lg (a n -1a n +1)2<⎣⎡⎦⎤12lg a 2n 2=(lg a n )2, 即lg a n +1·lg a n -1<(lg a n )2.[一点通] 三段论推理的根据,从集合的观点来讲,就是:若集合M 的所有元素都具有性质P ,S 是M 的子集,那么S 中所有元素都具有性质P .5.如图,棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形,B 1C ⊥A 1B .(1)证明:平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1;(2)设D 是A 1C 1上的点,且A 1B ∥平面B 1CD ,求A 1D ∶DC 1的值. 要求:写出每一个三段论的大前提、小前提、结论.解:(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提),侧面BCC 1B 1是菱形(小前提), 所以B 1C ⊥BC 1(结论).又线面垂直的判定定理(大前提), B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1=B (小前提), 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1(结论). 又面面垂直的判定定理(大前提),B 1C ⊂平面AB 1C ,B 1C ⊥平面A 1BC (小前提), 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1(结论).(2)设BC 1交B 1C 于点E ,连接DE ,则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线. 根据线面平行的性质定理(大前提),因为A 1B ∥平面B 1CD (小前提),所以A 1B ∥DE (结论).又E 是BC 1的中点,所以D 为A 1C 1的中点,即A 1D ∶DC 1=1∶1. 6.求证:函数y =2x -12x +1是奇函数,且在定义域上是增函数.证明:y =f (x )=(2x +1)-22x+1=1-22x +1, 所以f (x )的定义域为x ∈R .f (-x )+f (x )=⎝⎛⎭⎫1-22-x +1+⎝⎛⎭⎫1-22x +1=2-⎝⎛⎭⎫22x +1+22-x +1=2-⎝⎛⎭⎫22x +1+2·2x2x +1=2-2(2x +1)2x +1=2-2=0,即f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数. 任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫1-22x 1+1-⎝⎛⎭⎫1-22x 2+1=2⎝⎛⎭⎫12x 2+1-12x 1+1 =2·2x 1-2x 2(2x 2+1)(2x 1+1).因为x 1<x 2,所以2x 1<2x 2,2x 1-2x 2<0, 所以f (x 1)<f (x 2).故f (x )为增函数.1.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理,数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常为我们提供证明的思路和方向.2.在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论,再想办法去证明或否定发现的结论.[对应学生用书P25]一、填空题1.设k 棱柱有f (k )个对角面,则k +1棱柱对角面的个数为f (k +1)=f (k )+ . 解析:k 棱柱增加一条侧棱时,则这条侧棱和与之不相邻的k -2条侧棱可构成k -2个对角面,而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.所以f (k +1)=f (k )+k -2+1=f (k )+k -1.答案:k -12.如果一个凸多面体是n 棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有f (n )对异面直线,则f (4)= ;f (n )= .(答案用数字或含n 的式子表示)解析:所有顶点确定的直线共有:棱数+底边数+对角线数,即n +n +n (n -3)2=n 2+n2.f (4)=4×2+4×12×2=12,f (n )=n (n -2)+n (n -3)2×(n -2)=n (n -1)(n -2)2.答案:n 2+n 2 12 n (n -1)(n -2)23.(陕西高考)已知f (x )= x 1+x,x ≥0,若 f 1(x )=f (x ),f n +1(x )=f (f n (x )),n ∈N , 则f 2 014(x )的表达式为 .解析:由f 1(x )=x 1+x ⇒f 2(x )=f ⎝⎛⎭⎫x 1+x =x 1+x 1+x 1+x =x1+2x ;又可得f 3(x )=f (f 2(x ))=x1+2x 1+x 1+2x =x 1+3x ,故可猜想f 2 014(x )=x1+2 014x . 答案:x1+2 014x4.对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23=⎩⎪⎨⎪⎧3,5, 33=⎩⎪⎨⎪⎧7,9,11,43=⎩⎪⎨⎪⎧13,15,17,19,….仿此,若m 3的“分裂数”中有一个是2 015,则m = . 解析:根据分裂特点,设最小数为a 1, 则ma 1+m (m -1)2×2=m 3,∴a 1=m 2-m +1.∵a 1为奇数,又452=2 025, ∴猜想m =45.验证453=91 125=(1 979+2 071)×452.答案:45 5.观察以下等式sin 230°+cos 290°+3sin 30°·cos 90°=14;sin 225°+cos 285°+3sin 25°·cos 85°=14;sin 210°+cos 270°+3sin 10°·cos 70°=14.推测出反映一般规律的等式: . 解析:∵90°-30°=60°,85°-25°=60°,70°-10°=60°, ∴其一般规律为sin 2α+cos 2(60°+α)+3sin αcos(60°+α)=14.答案:sin 2α+cos 2(60°+α)+3sin αcos(60°+α)=14二、解答题6.试将下列演绎推理写成三段论的形式:(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行;(2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;(3)一次函数是单调函数,函数y =2x -1是一次函数,所以y =2x -1是单调函数; (4)等差数列的通项公式具有形式a n =pn +q (p ,q 是常数),数列1,2,3…,n 是等差数列,所以数列1,2,3,…,n 的通项具有a n =pn +q 的形式.解:(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,(大前提) 海王星是太阳系中的大行星,(小前提) 海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.(结论) (2)所有导体通电时发热,(大前提) 铁是导体,(小前提) 铁通电时发热.(结论)(3)一次函数都是单调函数,(大前提) 函数y =2x -1是一次函数,(小前提) y =2x -1是单调函数.(结论)(4)等差数列的通项公式具有形式a n =pn +q (p ,q 是常数),(大前提)数列1,2,3,…,n是等差数列,(小前提)数列1,2,3,…,n的通项具有a n=pn+q的形式.(结论)7.平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的,如:“长方形的每一边与其对边平行,而与其余的边垂直”;“长方体的每一面与其相对面平行,而与其余的面垂直”,请用类比法写出更多相似的命题.(写出三种即可)解:(1)(平面)在平行四边形中,对角线互相平分;(立体)在平行六面体中,体对角线相交于同一点,且在这一点互相平分.(2)(平面)在平行四边形中,各对角线长的平方和等于各边长的平方和;(立体)在平行六面体中,各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和.(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2;(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍;(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍.8.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)写出f(5)的值;(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;(3)求1f(1)+1f(2)-1+1f(3)-1+…+1f(n)-1的值.解:(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,…由以上规律,可得出f(n+1)-f(n)=4n,因为f (n +1)-f (n )=4n ,所以f (n +1)=f (n )+4n , 所以当n ≥2时, f (n )=f (n -1)+4(n -1) =f (n -2)+4(n -1)+4(n -2)=f (n -3)+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3) =…=f [n -(n -1)]+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3)+…+4[n -(n -1)] =2n 2-2n +1.f (1)=1也适合上式,故f (u )=2n 2-2n +1(n ∈N ). (3)当n ≥2时,1f (n )-1=12n (n -1)=12⎝⎛⎭⎫1n -1-1n ,所以1f (1)+1f (2)-1+1f (3)-1+…+1f (n )-1=1+12⎝⎛⎭⎫1-12+12-13+13-14+…+1n -1-1n=1+12⎝⎛⎭⎫1-1n =32-12n .。

苏教版高中数学选修2-2 推理与证明 教案

苏教版高中数学选修2-2 推理与证明    教案

2019-2020学年苏教版选修2-2 推理与证明教案教材解读:1.根据对本章教学的基本定位,为了帮助学生对数学思维过程作系统的正面的考察,教材做了如下的工作:(1)教科书为学习活动设置了数学探索发现活动的大背景,大框架.(注意引言的作用),在分别阐述了归纳、类比、演绎等推理方法以后,又专门设置了一节“推理案例赏析”所有这些,都为对思维过程进行系统的考察提供了条件.(2)教科书充分地利用案例,通过案例(这些案例大多是从学生学习过的材料中选取的)提供数学思维活动的素材,把案例当成学习活动的出发点和载体,把案例分析看成是教学活动的主要形式.因为惟有如此,才能使学生进行深刻的思考(反思),对思维活动过程做“正面的”审视.(3)教科书注意对思维活动过程做适度的形式化概括.因为惟有如此,才能把对思维过程分析的成果固定下来,形成数学方法并运用到思维活动中去.以上各点可以从第一节〈合情推理与演绎推理〉的展开框图中看出:2.和其他模块相比,在本章中,案例分析更具有举足轻重的作用.因为除了案例分析,我们实在找不到更好的方法为学生提供“数学活动过程”,让学生参与到数学活动中来体验数学方法发现的过程,看到活生生的数学方法.因此,案例分析应该成为本模块教学的出发点和载体,为考察和分析数学活动过程提供素材和讨论的平台,同时,案例分析也应该是教学活动的主要手段.教学方法与教学建议:1.在教学中不仅要重视对推理方法和证明方法的特点进行(静态)分析,更要重视这些方法被抽象出来的过程,通过对数学活动过程的分析来认识它们的特点和作用(即对它们做动态的考察).从而正确地理解和运用这些方法,达到从整体上提高数学思维能力的目的.2.本章所学习的大部分内容如:合情推理、演绎推理、证明方法(包括反证法)都是学生熟悉的,他们早就在自觉或不自觉地把这些方法运用于学习与生活当中了.在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发,唤起学生的经验,找到知识的生长点,这是学生学习和理解本章内容的基础.3.在教学中,要通过对学生真实的思维过程和数学发现活动的典型案例的分析,让学生形成反思的意识,养成反思的良好习惯.4.教学的重点应该是对基本的数学方法的理解和运用.首先是对“推理”和“证明”在数学发现活动中的作用.这就要求学生从整体上认识本章所介绍的数学方法.如在“合情推理和演绎推理”的教学中,应通过实例,引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论,并用演绎推理确认所得结论的正确性,或者用反例推翻错误的猜想.教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理(它们的作用、特点、关系),理解数学发现过程,而不必追求对概念的抽象表述.在证明方法的教学中,应通过实例,引导学生认识各种证明方法的特点,掌握这些方法的思考过程,体会证明的必要性,而对证明的技巧性不宜作过高的要求.5.数学的推理方法和证明方法,不仅运用在数学中,而且在生活中的其它领域都有广泛的应用.在教学中要引用生活中和其它学科中的例子,让学生体会数学和生活的联系,体会数学应用的广泛性,认识数学的文化价值.6.公理化思想和机器证明体现了数学的文化价值.在教学中要让学生体会公理化思想中蕴涵的理性精神,和机器化证明中的算法思想.下面是具体的教学建议,供参考.引言1.华罗庚教授“摸球”的例子,为推理与证明的学习提供了一个大的背景.它具有丰富的教学意义.在教学中不仅应该让学生体会到,“推理”与“证明”是构成探索活动的两个最基本的环节,让学生体会到,探索活动是一个不断的“提出猜想——验证猜想——再提出猜想——再验证猜想”的过程,而且应当让学生体会到永不休止的探索精神正是理性精神的表现!而数学家就是通过不断地提出猜想、证明猜想来进行探索活动的!2.引言中提出的两个问题(我们怎样进行推理?我们怎样验证(证明)结论?)是本大节的中心问题.本节的教学内容就是依据它展开的.2.1合情推理与演绎推理1.合情推理和演绎推理是数学活动中常用的两种推理形式,它们具有不同的形式、特点和作用.本节先分别研究它们的特点和作用,然后再通过对具体的数学发现过程的分析,进一步体会它们之间的联系,在具体的数学思维过程中感受它们的作用.2.演绎、归纳、类比是学生熟悉的推理方式.教材列举了3个例子,开始了对这些推理形式的考察.教学中可以让学生举出更多的例子.3.通过揭示三个推理案例的共同点概括出“推理”的概念.并根据它们在结构上的不同特点,进行分类研究,这个过程虽然简单,却体现了案例分析是本章教学的主要形式的特点.2.1.1合情推理1.合情推理是由G·波利亚提出的概念.他通过对数学发现活动的分析注意到数学活动是由“猜想”和“论证”两个环节构成的,相应地在这两个不同的环节里使用着不同的思维方法,即合情推理与论证推理(教科书中称为演绎推理).G·波利亚并没有为合情推理下定义.实际上,在教学中,只要让学生把合情推理看成是提出猜想的推理而演绎推理是可以给出证明的推理就行了.据此,教科书按照G·波利亚的思路,编写了引言,突出了对探索活动的分析,突出了“猜想”和“证明”两个重要的思维环节,而对合情推理的定义作淡化处理(只在阅读材料中提了一下)(《课程标准》给合情推理作了如下定义:合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某地结果的推理过程.)2.归纳、类比是合情推理的两种常用的形式,除此以外,合情推理还有其他的多种形式,如:联想、想象、直觉等等.2.1.1.1归纳推理1.归纳推理是学生熟悉的推理方式.和过去不同,在本节中,我们专注于推理的形式,而不关注推理的内容,即专门对推理的形式进行考察,考察的重点则是归纳推理的特点和它的作用.2.归纳推理的一般模式为:S1具有P,S2具有P,……S n具有P(S1,S2,…,S n是A类事物的对象)——————————————————————————所以,A类事物具有P.教学中可以介绍给学生.3.“思考”要求列举更多的有关归纳推理的例子,下面的例子可供参考.(1)观察:1 = 12,1 + 3 = 22,1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 +7 = 42,由此猜想:1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n1) = n2.(2)1640年,费马在给友人的信中谈到:220+ 1 = 3,221+ 1 = 5,222+ 1 = 17,223+ 1 = 257,224+ 1 = 65 537都是素数,由此,他猜想:任何形如22n+ 1(n N)的数(通常称为费马数,记作F n)都是素数.此后,一直未有人怀疑过这个结论.直到1732年,欧拉发现F5 = 225 + 1 = 4 294 967 297 = 6416 700 417并不是素数,才推翻费马的猜想.此例还说明,在归纳推理中,根据同一个前提,可以推出不同的结论:当n > 1时,F n的末位数字是7(猜想).2.要让学生体会到归纳不仅是一种方法,而且体现了一种态度.欧拉说:把归纳看成是一种机会,“以便证明它或推翻它”,这就是我们对待归纳的态度,而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西.”可以看出,归纳的态度就是探索的态度,这一点在华罗庚的“摸球”游戏中也得到了充分的体现.要让学生体会到,探索活动是在猜想的推动下进行的,没有猜想就没有探索!而归纳的价值就在于它是提出猜想的一种方法!3.在归纳推理中,根据同一个的前提,往往可以推出不同的结论.例如从例4中的推理前提出发,也可以得到当n>1时,F n的末位数字是7的结论(猜想).4.完全归纳法(和数学归纳法类似)实质上是一种演绎推理,它是一种必然性推理,是数学证明的工具,因此它不属于合情推理.2.1.1.2 类比推理1.类比推理是学生熟悉的推理方式.和过去不同,在本节中,我们专注于推理的形式,而不关注推理的内容,即专门对推理的形式进行考察.2.类比推理的一般模式为:A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a',b',c',(a,b,c与a',b',c'相似或相同)————————————————所以,B类事物可能具有性质d'.教学中可以介绍给学生.3.例1是根据等式的性质类比不等式的性质.4.例2可以看成是系统间的类比.用现代数学的角度来看,类比就是两个具有同构关系的模型间的推理.数学(科学)发现活动中的类比绝大多数都是这类类比.在教学中要注意对类比过程的分析.5.类比可以看成是从已知的相似性,推断未知的相似性的推理.在教学中要引导学生对类比的过程进行分析,弄清在推理中究竟是从哪些已知的“相似性”推出什么样的未知的“相似性”的.6.在运用类比推理时,首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.在教学中不要满足于对对象相似性的模糊认识,要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来.只有这样,才能把类比和“比喻”区别开来.2.1.2 演绎推理1.演绎推理是一种重要的推理形式,通过数学学习,学生已经在广泛地使用它,在教学中,要让学生体会到演绎推理是严格按照逻辑法则进行的推理,是必然性推理的特点.2.三段论是演绎推理的主要形式.三段论有多种格式,教科书介绍了其中常用的一种,其用意在于让学生体会到演绎推理是一种形式化程度相当高的推理,而不是正面讲“三段论”,因此,在教学中不必拓展补充.3.除了三段论以外,演绎推理还有直接推理,关系推理、联言推理、假言推理、选言推理等多种形式.4.三段论也有多种形式,三段论的依据是不言自明的三段论公理:一类事物的全部是什么或不是什么,那么这类事物的部分也是什么或不是什么.对此教科书中用集合论的语言和图形作了说明,其目的是帮助学生理解三段论.(教学中不必提出三段论公理)5.三段论推理在数学中有重要的应用,特别是在理论初建或概念性质运用的初期.但是数学推理过程不全是三段论组合,直接用三段论推理的并不多,有些数学证明过程(如教科书中例2),虽然可以归结为三段论的组合,但却太为繁琐了,所以并不实用.6.数学并不等同于逻辑,它已独自发展几千年,尤其是它的符号系统,使得它有自身的一套简单的推理形式或规则,尽管它能用三段论解释,但大可不必去追溯它的三段论本源.因而在数学中,直接选定了若干演绎推理的规则.如:“如果q P ⇒,P 真,则q 真”、“如果b c ,,a b ⇒⇒,则c a ⇒”(三段论的“数学形式”)等等.(如课本中例2的证明就使用了这些规则)应该告诉学生,数学中的运算也是演绎推理的一种形式.7.在数学中学习演绎推理,并不等同于学习形式逻辑或数理逻辑,课程标准规定,本小节的学习目标是,“体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单的推理”,相信注意到这些,就可以理解教科书的编写意图,并掌握教学的分寸了.8.在叙述演绎推理的特点时,要和归纳、类比的特点对照,让学生理解它们是两类不同的推理.9.教科书中说“演绎推理是一种收敛性的思维方法,它较少创造性”,这并不是说,演绎推理就完全没有发现功能,更不是说演绎推理在数学发现活动中没有作用.为了让学生全面认识演绎推理在发现活动中的作用,教科书提供了阅读材料:“海王星的发现和探索性演绎法”,这个材料对全面准确地理解演绎推理在探索活动中的作用是很有帮助的.2.1.3 推理案例赏析1.《推理案例赏析》是推理方法的综合应用,是对推理方法更深层次的考察.这样,教科书就为推理的教学提供了一个“总——分——总”的结构,而本小节正是后一个“总”.它引导学生在前面学习的基础上,对各种推理方法做综合的动态的考察,帮助学生体会不同推理方法的特点和联系,感受它们在数学思维过程中的作用.2.在教学中,要注意对思维过程的分析.课本中提供的思维过程只是几种典型的解决问题的思路.面对着这些问题,学生可能会有更多的想法,应该鼓励学生谈谈自己的想法,并对课本中的思考过程做出评价.3.关于例1的教学.(1)“提出问题”是数学发现活动中重要的环节.教学中要注意分析提出问题的过程.在例1和例2中,都是通过类比提出研究课题的.(2)课本中的思路1是“归纳的方案”,总的说,它是通过归纳提出猜想的.但是应该注意到,作为归纳基础的“表”中的每个数据都是由运算提供的,也就是说,演绎提供了归纳的基础.所以说:在数学发现活动中,演绎起到了类似“实验”的作用,在这里演绎为归纳提供了前提.(3)在“归纳的方案”中,解题者原本希望从表2-1-5中归纳出一般结论,可是却失败了,但是正是失败引导他尝试计算S1(n)和S2(n)的比,找到了通向成功的路.要让学生体会到发现活动都是具有尝试的性质的,失败是经常会遇到的,所以常说“失败是成功之母”.通过教学要让学生体会到,对思维过程进行调控的重要性.对此,在“思路2”和例2中,都有体现.教学中,要让学生体会到发现过程是一个曲折的艰苦的过程,认识到思维调控的重要性.(4)尝试计算S1(n)和S2(n)的比,是导致发现的关键,这个念头是由“联想”激发的.联想也是合情推理的一种方法.(5)思路2是一个“演绎的方案”,但这并不是说,在这个方案中没有使用合情推理的方法,相反地,应该说合情推理在这个方案中同样起了关键的作用.比如,这个方案中的“初始念头”——“尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和”就是由合情推理提供的.(6)在思路2的教学中,设置了“(2)从失败中汲取有用的信息,进行新的尝试”的环节,是为了让学生体会到思维调控的重要性,注意对思维过程的分析,进而养成反思的习惯.(7)“既然能用上面的方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n)”,这也是一个猜想,它是由类比得到的.4.关于例2的教学.(1)例2通过具体的问题对类比推理的方法做了更深入的介绍.类比在数学发现活动中具有十分重要的作用,应该让学生学会自觉地科学地把类比方法运用到发现活动中去.(2)把棱台和梯形类比,开始只是模糊的念头,通过分析,清晰地认识到它们之间的“相似性”,这时才会有科学的“类比推理”.因此,“确定类比对象”和“对类比对象的进一步分析”都是重要的思维环节,是进行类比推理的前提.学生在使用类比时,经常忽略这些环节.(3)验证猜想的过程也是对猜想做调整的过程.在这个过程中,合情推理仍然发挥着重要的作用.教学中请注意合情推理在“验证猜想”中的作用.(4)从美感出发做出的判断,可以称为审美推断.本例在“验证猜想”的环节中,使用了这种方法.审美推断也是一种合情推理的方法,在科学发现活动中具有重要的价值.通过案例的分析,应该让学生体会到审美在发现活动中的作用.(5)在公式(猜想)的调整过程中,实际上使用的是“探索性演绎法”(即在猜想的基础上进行的演绎推理),这可以让学生更好地体会到“演绎推理”在数学发现活动中所具有的类似于“实验”的功能.5.关于实习作业.学生可以通过查找资料来完成实习作业.例如可以引用本书提到的数学史中的例子:如欧拉公式、哥德巴赫猜想等,也可以从教科书中选取案例如:“正弦定理的发现”、“余弦定理的发现”、“和差化积公式的推导”等等.通过反思,对自己的思维活动进行分析(如你是怎样解决某个问题的).6.在思考以及实习作业中,教材反复提出了相同的问题,其用意是希望为学生分析思维活动时提供一个反思的框架.2.2 直接证明与间接证明教学的重点是让学生了解直接证法与间接证法的特点,知道证明的一般步骤,能使用它们证明问题,在教学中不要拘泥于“概念”,在“概念”上下功夫.2.1 直接证明1.课本中选用的两个例子都是学生熟知的,在《数学(必修5)》的基本不等式中就采用了这两个证明.现在教科书把它用作讨论综合法和分析法的素材,是为了让学生能集中精力关注这两种证明方法形式结构上的特点和区别,进而展开对证明方法的研究.2.一般地,分析法和综合法是两种常见的思维方法,人们利用它们来寻求证明问题的思路.在教科书中是把它们看成两种证明方法的(指呈现出来的证明过程).思维方法和证明方法当然有微妙的差别,但是如果把“证明”看成是思维过程,这样做也就没有什么不可以.3.综合法,从条件出发,“由因导果”,分析法,紧抓证题目标,“执果索因”.在实际的解题活动中,总是把两者结合起来使用的.2.2 间接证明1.反证法是一种重要的间接证法(同一法也是一种重要的间接证法).在教学中应先让学生弄清直接证明和间接证明的区别,然后再转入反证法.2.学生在学习立体几何初步时,已经使用反证法,因此他们是有经验的,但当时并没有正面介绍反证法.3.反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律.反证法的实质在于:若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾.具体地说,反证法不直接证明命题“若p则q”,而是从原题的反论题“既p又┐q”入手,由p与┐q合乎逻辑地推出一个矛盾结果;根据矛盾律,两个互相矛盾的判断,不能同真,必有一假,断定反论题“既p 又┐q”为假;进而再根据排中律,两个互相矛盾的判断,不能同假,必有一真.由此肯定命题“若p则q”为真.虽然学生没有学过排中律和矛盾律,但是由于这两个定律的“准公理性”,学生还是能理解反证法的思想的,因而在教学中没有必要提出排中律和矛盾律.2.3 公理化思想1.公理化思想体现了数学中的理性精神和求真意识.为了确保命题真实性,数学对命题提出了演绎证明的要求,这种要求直接导致公理化产生.教学中要让学生体会到这一点.2.公理是“公认正确而不需证明的命题”,是“证明其它一切命题的基础”,是“选定”和“设置”的,都体现了现代公理法的思想,在教学中不要过多地强调公理是“经过长期的实践证明的”说法.3.可以建议有兴趣的学生阅读《数学史初步》中有关非欧几何的材料.教学案例:归纳推理执教:高建国(扬州大学附属中学)点评:张乃达 (江苏省扬州中学)1.概念、技能、能力、态度我们可以从不同的层面来看归纳.第一种是把它看成一个概念,这要弄清什么是推理?什么是归纳推理?这是从知识层面来看归纳的;第二种是把归纳看成是一种方法,这就要弄清怎样进行归纳?归纳有哪几步?第一步怎么做?第二步又怎么做?等等,这是从技能层面来看归纳的.第三种是把归纳看成是一种能力,提高学生的归纳能力——归纳的能力实质上就是分析,分析到位了,思维能力提高了,归纳才能得到有价值的东西.这是从能力的层面看归纳的.长期以来,我们的教师大都习惯于从上面三个层次看归纳,并以此确定本节课的教学内容和重点,这正是习惯于从知识与能力的层面看待数学教育的体现!其实,如果从文化的视角来分析,就可以看到归纳还可以被看成是一种态度,一种对待事物的态度.归纳的态度实际上就是探究的态度,它总是用探究者的眼光来看世界——看到某些现象,总想从中归纳出某种规律!促使哥德巴赫提出那个著名的猜想的正是这种态度,向中学生介绍哥德巴赫猜想的目的也正是让他们学习这种态度!这种态度正是理性精神的表现!也是这节课中最有教育价值的东西!通过上面的分析,对这节课应该怎么上就清楚了.通过这节课当然应该让学生知道什么是推理?什么是归纳?怎样进行归纳?但是这并不是重点,其实学生早就在使用归纳的方法了,现在只要正面的小结一下就可以了!提高归纳的能力也不是这节课能够实现的目标,归纳的能力,是思维能力的体现,它不能独立于思维能力之外,也不是通过这节课就能实现的目标!这节课的重点应该是归纳态度的培养和探究精神的激发!在本节课中,执教老师对课的定位是比较准确的,较好地处理了概念、技能、能力和态度的关系.渗透了归纳态度的培养,探求欲望的激发,让学生体会到,在我们的周围,到处都存在着值得探索的问题,到处都可以运用归纳的方法来提出猜想,进而展开探索的活动,这对学生理性精神的形成是很有意义的.2.用数学(家)的眼光看世界态度的培养和形成是数学文化教育所关注的问题,而用数学的眼光看世界正是数学文化教育的主要途径.从根本上说,数学(家)的眼光就是理性探索的眼光.理性表现了人类的自信,坚信人类是可以认识世界的,是可以揭开自然的奥妙的;而探索則是理性付诸于实际的行动,是理性精神的表现!所以离开了探索活动的归纳只是一种游戏,也就无法体现归纳态度的价值.所以归纳态度的培养必须放在探索活动的大背景下进行——这时归纳表现的则是认识世界的欲望!所以欧拉是这样评价归纳的,他说:把归纳看成是一种机会,“以便证明它或推翻它”,这就是我们对待归纳的态度,而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西.”可以看出,归纳的态度就是探索的态度,没有猜想就没有探索!而归纳的价值就在于它是提出猜想的一种方法!为了让学生尝试用数学的眼光看世界,课本在本章的引言中,特别介绍了华罗庚教授提出的“摸球”游戏,其目的不仅仅是为了说明“猜想”和“证明”在探索活动中的重要性.而且是为了让学生看到理性精神在探索活动中的作用.在“摸球”游戏中,从一个布袋里摸出的第1个球是红球,第2个是红球,第3个是红球,这时我们产生了一个猜想,袋中全部是红球?然后又摸出第4个来,结果是白球,错了!错了是不是就结束了?不是!再摸,又猜,是不是里面都是球呢?——这就是归纳的态度、探究的态度!这就是我们要通过数学教学倡导的理性精神!确立了这种态度,学生就会用它来看世界,并从中进一步体会到归纳的意义,形成自己对归纳的认识,提高归纳的“能力”!所以说,在数学教学中,相对于知识与能力,精神、态度、观念层面的东西是更值得重视的3.在探索活动的背景下看归纳在本节课中,执教老师创设了很多场景,让学生“生活”在“归纳”的氛围之中,自觉或不自觉地使用归纳的方法,精心了安排了一个“猜信封”的活动,这对学生理解归纳的方法和归纳态度的形成当然都是有好处的.但是,所有这些都不能取代教科书中引言的作用!在前面我们已经说过,只有在探索活动的总体背景下,才能理解并体现归纳(方法和态度)的价值,教科书引言中“摸球”的作用,不仅仅在于让学生看到归纳是一种常用的推理方法,归纳的结果可以是错误的,也可能是正确的.更重要的是让学生体会到,尽管探索活动很复杂,但是它总是由“猜想”和“验证”这两个环节构成的,因此为了研究探索活动中的思维过程,我们就需要研究“猜想”和“证明”的方法.这正是本章面临的课题,也是研究归纳的大背景!揭示了这样的背景,学生自然会认识到归纳的价值就在于它可以提出有价值的猜。

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 合情推理—类比推理 导学案(2)

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2  合情推理—类比推理 导学案(2)

2.1.1《合情推理—类比推理》学案(2)学习目标:1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识类比推理的基本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2、类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。

学习重点、难点:学习重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。

学习难点:用类比进行推理,做出猜想。

学习过程:一、复习引入:1、什么叫推理?推理由哪几部分组成?2、合情推理的主要形式有和 .3、归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式二、问题情境情境1:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子。

他的思路是这样的:茅草是齿形的,茅草能割破手,需要一种能割断木头的,它也可以是齿形的。

这个推理过程是归纳推理吗?______________情境2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理,发明了潜水艇。

三、学生活动1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了;2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了;3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征:1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等。

科学家猜想:。

4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.四、数学建构1、类比推理⑴根据两个(或两类)对象之间在___________________,推演出它们在____________,像这样的推理通常称为类比推理,简称类比法。

2、类比推理的几个特点:(1) ; (2) ; (3) 。

表一:利用平面向量的性质类比得空间向量的性质 1122-=-(,)a b a a b=1(,λλλa a a ⋅=+11a b a b a ⇔=1//b a ⊥⇔1a b a b 2212||=+a a a 表二:在形状上和概念上,都有类似的地方,即具有完美的对称性都是到定点的距离等于定长的点的集合。

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 合情推理 类比推理

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 合情推理 类比推理

第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b⇒a+c=b+c(2)减法法则:a=b⇒a-c=b-c(3)乘法法则:a=b⇒ac=bc(4)除法法则:a=b⇒a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b⇒a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35) [处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+)↔乘(×)加数、被加数↔乘数、被乘数和↔积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?类比推理的一般模式:A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a',b',c',(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[6](见学生用书P36)[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d↔=q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d↔b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2↔=b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q↔b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.。

苏教版高二数学选修2-2 2.1.3 推理案例赏析 课件(29张)

苏教版高二数学选修2-2 2.1.3 推理案例赏析 课件(29张)
栏目 导引
第2章 推理与证明
(3)___演__绎__推__理____是形式化程度较高的必然推理,在数学发 现活动中,它具有类似于“实验”的功能,它不仅为合情 推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”和证明, 从而为调控探索活动提供依据.
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第2章 推理与证明
(4)合情推理与演绎推理的区别与联系(如下表):
第2章 推理与证明
[解] (1)证明:①12x2+12y2-12x+12y2
=12x2+12y2-14x2-12xy-14y2 =14x2-12xy+14y2=14(x-y)2≥0,
∴12x2+12y2≥12x+12y2. ②13x2+23y2-13x+23y2
=29x2+29y2-49xy=29(x-y)2≥0,
第2章 推理与证明
2.1.3 推理案例赏析
第2章 推理与证明
学习导航 1.理解认识合情推理和演绎推理的作用、特点 以及两者之间的联系.(重点)
学习 2.掌握并能够利用合情推理和演绎推理研究某
目标 些数学问题,提高分析问题、探究问题的能 力.(难点) 在实际的数学活动中,通过观察、思考、联想,
学法 可以猜测新的结论,新的结论的正确性可以利
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第2章 推理与证明
S2△PBC=12BC·PD2=14BC2·PD2,
S△OBC·S△ABC=12BC·OD·12BC·AD. =14BC2·OD·AD ∵PD2=OD·AD,∴S2△PBC=S△OBC·S△ABC.
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第2章 推理与证明
方法归纳 在类比推理中,要提炼两类事物的共同属性.一般栏目 导引
第2章 推理与证明
1.平面上有n个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公 共点,它们将平面分成f(n)块区域,有f(1)=2,f(2)=4,f(3) =8,f(4)=14,则猜想f(n)的表达式为____n_2_-__n_+__2____. 解析:由f(2)-f(1)=2,f(3)-f(2)=4,f(4)-f(3)=6,…,猜 测f(n+1)-f(n)=2n,利用累加法,得f(n)=n2-n+2

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 演绎推理

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案  演绎推理

第3课时演绎推理教学过程一、问题情境问题1类比上面的推理方法,写出你的结论.(1)所有的金属都能导电,铜是金属,所以,.(2)在学习整数时,有下面的推理:个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,2375的个位数是5,所以.二、数学建构问题2说说上述推理的特点.解由两个前提和一个结论组成.问题3上述推理的结论对吗?解只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.通过讨论,给出演绎推理的定义.在数学学习中,除了归纳推理、类比推理,我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:M—P(M是P)S—M(S是M)S—P(S是P)概念理解(1)在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.(2)三段论中包含了3个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题——结论.(3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.三、数学运用【例1】(教材第71页例1)如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:ED=AF.[2](见学生用书P37)(例1)[处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)同位角相等,两直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以,DF∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA且DF∥EA,(小前提)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以,ED=AF.(结论)[题后反思]在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么?【例2】(教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,b<a,求证:<.[3](见学生用书P37) [处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来分析表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b<a,m>0,(小前提)所以mb<ma.(结论)(2)不等式两边加上同一个数,不等式仍成立,(大前提)mb<ma,ab=ab,(小前提)所以ab+mb<ab+ma,即b(a+m)<a(b+m).(结论)(3)不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提)所以<,即<.(结论)例2的证明通常简略地表述为:⇒mb<ma⇒ab+mb<ab+ma⇒<⇒<.[题后反思]在日常做证明题时,虽然不要求严格按照三段论形式来书写,但是三段论已经隐含其中,证明的过程是否正确,其检验标准就是证明的每一步能否用三段论形式来推敲.【例3】用三段论形式写出下题的计算过程.已知lg2=m,计算lg0.8.[4](见学生用书P38) [处理建议]先让学生书写,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]解(1) lg a n=n lg a(a>0),(大前提)lg8=lg23,(小前提)所以lg8=3lg2.(结论)(2) lg=lg a-lg b(a>0,b>0),(大前提)lg0.8=lg,(小前提)所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)四、课堂练习1.“若四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.2.(教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:(1)因为△ABC三边长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形;(2)函数y=2x+5的图象是一条直线.解(1)如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,(大前提)△ABC三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)△ABC是直角三角形.(结论) (2)一次函数的图象是一条直线,(大前提)函数y=2x+5是一次函数,(小前提)函数y=2x+5的图象是一条直线.(结论) 3.(教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.解(1)大前提错误.(2)不符合三段论推理的形式.4.有下列说法:①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理一般模式是“三段论”形式;④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.上面说法正确的有①③④.(填序号)五、课堂小结1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.2.演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.3.演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.。

高中数学苏教版选修2-2第二章《推理与证明》word导学案(含解析)

高中数学苏教版选修2-2第二章《推理与证明》word导学案(含解析)

第2章推理与证明第1课时合情推理——归纳推理教学过程一、问题情境学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.二、数学建构问题1什么是推理?解从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.问题2一般的推理由几个部分组成?解任何一个推理都包含前提和结论两个部分.前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.问题3推理的结论对吗?解推理的结论可能正确,也可能是错误的.问题4上述的推理有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.通过讨论,得出归纳推理的相关概念1.归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.2.归纳推理的思维规程大致为:概括、推广猜测一般性结论概念理解归纳推理的特点:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.三、数学运用【例1】蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想:.[3](见学生用书P33)[处理建议]题目简单,让学生自己解答.[规范板书]解所有的爬行动物都是用肺呼吸的.【例2】三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°,由此我们猜想:(n-2)×180°.[4](见学生用书P33)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解对于凸n边形,n=3时,内角和180°=180°×1;n=4时,内角和360°=180°×2;n=5时,内角和540°=180°×3;……由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)×180°.(2)<,<,<,…由此我们猜想:<(a,b,m均为正实数).[5][处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解由此我们猜想:<(a,b,m均是正实数).或者:<(m>0).[题后反思]根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.【例3】观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.[6](见学生用书P33)(例3)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.提示当n=1时,小正方形个数为1+2=3,当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+…+(n+1)=.[题后反思]根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:(1)寻找它们的共同特征,如例1;(2)寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180°;(3)结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.所以,A类事物具有性质P.【例4】已知数列的每一项都是正数,a1=1,===+1(n=1,2,3,…),试归纳出数列{a n}的一个通项公式.(见学生用书P34)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.[规范板书]解当n=1时,a 1=1=;当n=2时,a2==;当n=3时,a3==;……由此我们猜想{a n}的一个通项公式为a n=.四、课堂练习1.(1)一元一次方程有1个实数根,一元二次方程最多有2个实数根,一元三次方程最多有3个实数根,由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.(2)先看下面的例子,试写出一般性结论.1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,…1+3+5+…+(2n-1)=n2.2.对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为9.3.应用归纳推理猜测(n∈N*)的值.解当n=1时,=3,当n=2时,=33,当n=3时,=333,归纳发现:=.五、课堂小结1.归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.2.归纳推理基于观察和实验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b∈a+c=b+c(2)减法法则:a=b∈a-c=b-c(3)乘法法则:a=b∈ac=bc(4)除法法则:a=b∈a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b∈a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35)[处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+) ↔ 乘(×)加数、被加数↔ 乘数、被乘数和↔ 积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d ↔ =q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d ↔ b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d ↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2 ↔ =b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q ↔ b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.第3课时演绎推理教学过程一、问题情境问题1类比上面的推理方法,写出你的结论.(1)所有的金属都能导电,铜是金属,所以,.(2)在学习整数时,有下面的推理:个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,2375的个位数是5,所以.二、数学建构问题2说说上述推理的特点.解由两个前提和一个结论组成.问题3上述推理的结论对吗?解只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.通过讨论,给出演绎推理的定义.在数学学习中,除了归纳推理、类比推理,我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:M—P(M是P)S—M(S是M)S—P(S是P)概念理解(1)在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.(2)三段论中包含了3个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题——结论.(3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.三、数学运用【例1】(教材第71页例1)如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∈BFD=∈A,DE∈BA,求证:ED=AF.[2](见学生用书P37)(例1)[处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)同位角相等,两直线平行, (大前提)∈BFD与∈A是同位角,且∈BFD=∈ A,(小前提)所以,DF∈EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∈BA且DF∈EA,(小前提)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以,ED=AF.(结论)[题后反思]在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么?【例2】(教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,b<a,求证:<.[3](见学生用书P37) [处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来分析表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b<a,m>0,(小前提)所以mb<ma.(结论)(2)不等式两边加上同一个数,不等式仍成立,(大前提)mb<ma,ab=ab,(小前提)所以ab+mb<ab+ma,即b(a+m)<a(b+m).(结论)(3)不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提)所以<,即<.(结论)例2的证明通常简略地表述为:∈mb<ma∈ab+mb<ab+ma∈<∈<.[题后反思]在日常做证明题时,虽然不要求严格按照三段论形式来书写,但是三段论已经隐含其中,证明的过程是否正确,其检验标准就是证明的每一步能否用三段论形式来推敲.【例3】用三段论形式写出下题的计算过程.已知lg2=m,计算lg0.8.[4](见学生用书P38)[处理建议]先让学生书写,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]解(1) lg a n=n lg a(a>0),(大前提)lg8=lg23,(小前提)所以lg8=3lg2.(结论)(2) lg=lg a-lg b(a>0,b>0), (大前提)lg0.8=lg,(小前提)所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)四、课堂练习1. “若四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.2.(教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:(1)因为∈ABC三边长依次为3,4,5,所以∈ABC是直角三角形;(2)函数y=2x+5的图象是一条直线.解(1)如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形, (大前提)∈ABC三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)∈ABC是直角三角形.(结论) (2)一次函数的图象是一条直线, (大前提)函数y=2x+5是一次函数,(小前提)函数y=2x+5的图象是一条直线.(结论) 3.(教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.解(1)大前提错误.(2)不符合三段论推理的形式.4.有下列说法:①演绎推理是由一般到特殊的推理;①演绎推理得到的结论一定是正确的;①演绎推理一般模式是“三段论”形式;①演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.上面说法正确的有①①①.(填序号)五、课堂小结1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.2.演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.3.演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.第4课时推理案例赏析教学过程一、问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、数学建构正整数平方和公式的推导.[3][处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1),①那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2=?①问题1如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1n123456…S2(n)1514305591…但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n)与S2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.表2n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591…问题2观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.表3n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591……从表3中发现=,于是猜想S2(n)=.①公式①的正确性还需要证明.[题后反思]上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1)把正整数的平方表示出来,有12=1,22=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!(2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===,终于导出了公式.[题后反思]上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)[处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.[提出问题]问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.(1)确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面(2)对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线↔ 平面三角形↔ 棱锥梯形↔ 棱台进而有梯形底边长↔ 棱台底面积三角形面积↔ 棱锥体积梯形面积↔ 棱台体积(3)通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为S梯形=h(a+b),①其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式: V棱台=h(S上+S下),①其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4)验证猜想.①式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式①中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想①是错误的,需要修正.于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下)①的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与①式相比,公式①的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式①从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式①比公式①更合理.既然①式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台==h(S上+k=+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0= ,①式即为V棱台=h(S上++S下).四、课堂练习1.在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2.数列{a n}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{a n}的通项公式a n=,他们的说法用的是归纳推理.3.已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.。

苏教版数学高二- 选修2-2教案 《推理案例赏析》

苏教版数学高二- 选修2-2教案 《推理案例赏析》

2.1.3 推理案例赏析 教案教学目标1、了解合情推理和演绎推理 的含义。

2、能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。

3、了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重难点重点 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别难点 了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。

教学过程 一、问题情境案例1、我们知道,前n 个正整数的和为S (n)=1+2+3+…….+n=12n(n+i),那么,前n 个正整数的平方和、立方和呢?1S (n )=2222........321n ++++?案例2、棱台体积公式的推导。

二、学生活动思路1(归纳的方案)参照课本 第36页 -37页 三表 猜想1S (n )=(1)(21)6n n n ++思路2 (演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。

把正整数的平方和表示出来,参照课本棣37页 。

左右两边分别相加,等号两边的2S (n )被消去了,所以无法从中求出 2S (n )的值,尝试失败了。

1()()s n s n使用了那些推理?合情推理和演绎推理分别发挥什么作用?三、建构数学棱台体积公式的推导。

一、问题的计算与证明 退到平面, 进到空间; 二、空间性质的探索 退到平面 , 进到空间 .1、确定类比对象----- 梯形;2、对类比对象的进一步分析;梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形而得到的,棱台可以认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥而得到的。

3、通过类比推理,建立猜想.1(),(1)2S h a b =+梯形 猜想:1(),(2)2V h S S =+下棱台上 4、验证猜想. 当 S 上 = S 下 时, 当 S 上 = 0 时, 5、调整猜想.01(),(3)3V h S S S =++下棱台上四、数学运用例1、一条直线与△ABC 的边AB , AC 分别相交于E , F , 则AEFABCS AE AFS AB AC∆∆⋅⋅=。

苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备推理案例赏析

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2.1.3 推理案例赏析知识梳理数学命题推理有合情推理和演绎推理,_____________和_____________是常用的合情推理.从推理形式上看,_____________是由部分到整体,个别到一般的推理,_____________是由特殊到特殊的推理,而演绎推理是由一般到特殊的推理;从推理所得的结论来看,_____________的结论不一定正确,有待于进一步证明,_____________在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.知识导学归纳与类比这两种合情推理都能帮助我们发现新的数学命题和新的数学规律,但得到的结论不一定正确,有待于进一步证明或验证.而演绎推理只要大、小前提都正确,结论就正确.所以我们常把两者结合起来,用合情推理来发现数学命题,用演绎推理进行系统的论证,二者相辅相成,从而推动数学的不断发展.学习时,要从具体例子来深刻体会合情推理与演绎推理之间的这种联系和差异,我们不仅要学会推理证明,也要学会猜想.疑难突破“推理”引发的思考.剖析:数学要进一步得到发展,关键是如何在已有知识的基础上发现新的数学问题.我们可以用归纳和类比两种办法,大胆猜想、归纳,小心比较,作出命题,推动数学的发展,要注意观察、总结、比较、验证、论证相结合.由此可以看出数学发现活动是一个探索创造的过程,这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程,合情推理是富有创造性的或然推理,在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.数学问题无穷无尽,如何去探讨发展是我们现代人必须要做的,我们既要运用好原有的知识,但也不能维持原状,要有所发展,那么怎样去发展?也不是没有根据的乱想,我们可通过大量的事实,观察、归纳、类比原有的知识来合情推理我们所需要的结论,学会尝试,不怕失败.典题精讲【例1】 已知{a n }为等差数列,首项a 1>1,公差d >0,n >1且n ∈N *.求证:lga n+1lga n-1<(lga n )2.思路分析:对数之积不能运算,必须由均值不等式转为对数之和进行运算.证明:∵{a n }为等差数列,∴a n+1+a n-1=2a n .∵d >0,∴a n-1·a n+1=(a n -d)(a n +d)=a n 2-d 2<a n 2.∵a 1>1,d >0,∴a n =a 1+(n-1)d >1.∴lga n >0.∴lga n+1·lga n-1≤211)2lg lg (-++n n a a =[21lg(a n-1a n+1)]2<[21lga n 2]2=(lga n )2, 即lga n+1·lga n-1<(lga n )2.绿色通道:对于证明的不等式要分析,结合对数的性质和运算及均值不等式,给出综合法证明.变式训练:已知a >0且a≠1,P=log a (a 3+1),Q=log a (a 2+1).求证:P >Q.证明:当a >1时,a 3+1>a 2+1,∴log a (a 3+1)>log a (a 2+1);当0<a <1时,a 3+1<a 2+1,∴log a (a 3+1)>log a (a 2+1),综上P >Q.【例2】 已知数列{a n },其中a 2=6,且1111+--+++n n n n a a a a =n. (1)求a 1、a 3、a 4;(2)写出{a n }的一个通项公式; (3)设数列{b n }是等差数列,b n =cn a n +(c 为非零常数).若S n =b 1+b 2+…+b n ,求)111(lim 21nn S S S +++∞→ . 思路分析:本题已知递推关系,可写出数列的前几项,猜想a n ,进一步作答.解:(1)∵a 2=6,111212+--+a a a a =1,∴a 1=1. 又112323+--+a a a a =2,113434+--+a a a a =3, ∴a 3=15,a 4=28.(2)a 1=1×1,a 2=2×3,a 3=3×5,a 4=4×7.猜想a n =n(2n-1).(3)∵{b n }为等差数列,∴2b 2=b 1+b 3. ∴ca c a c a +++=+3122312. ∵c≠0,∴c=21-. ∴b n =21)12(21--=-n n n n a n =2n. ∴S n =b 1+b 2+…+b n =2)22(+n n =n(n+1). ∴)]111()3121()211[(lim ))1(1321211(lim +-++-+-=+++⨯+⨯∞→∞→n n n n n n =∞→n lim (1-11+n )=1. 绿色通道:在研究数列问题时,常通过前n 项,观察、归纳、猜想出a n 、S n 的表达式. 变式训练:在数列{a n }中,a 1=1,S n 、S n+1、2S 1成等差数列(不必证明).(S n 表示{a n }的前n 项和)则S 2、S 3、S 4分别为____________,由此猜想S n =____________. 思路解析:由S n 、S n+1、2S 1成等差数列,∴2S n+1=S n +2S 1.∵S 1=a 1=1,∴2S n+1=S n +2.∴当n=1、2、3时,S 2=23,S 3=47,S 4=815. 猜想S n =1212--n n . 答案:815,47,23 1212--n n 【例3】 设k 棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱对角面的个数为f(k+1)=f(k)+____________. 思路解析:k 棱柱增加一条侧棱时,则这条侧棱与之不相邻的k-2条侧棱可构成k-2个对角面,而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.∴f(k+1)=f(k)+k-2+1=f(k)+k-1.答案:k-1绿色通道:注意几何图形参数在由k 变到k+1时,发生了哪些变化,增加了多少.变式训练:凸k 边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+_____________. 答案:π问题探究问题:平面内有n 条直线,其中没有两条平行,也没有三条或三条以上过同一点,设这n 条直线将平面分割成的区域为f(n),探求:f(n).导思:平面内的n 条直线研究起来比较抽象、陌生、困难,我们可从n 的最少取值开始,逐一探索研究,直至找出规律,发现规律来猜测.探究:当n=1时,一条直线将平面一分为二,∴f(1)=2.当n=2时,这两条直线不平行,只相交,将平面分为4份,∴f(2)=4.当n=3时,平面内这三条直线两两相交,且不共点,将平面分为7份,实质上是在两条直线的基础上进一步分割.设l 1、l 2相交于P 1,将平面分为S 1、S 2、S 3、S 4四个区域,如图2-1-16所示,若l 3不过P 1,与l 1、l 2分别交于P 2、P 3,则l 3又将S 2、S 3、S 4都一分为二,共6个区域,再加上S 1共7个区域,比n=2时多了3个区域.图2-1-16若n=4时,设l 4不过P 1、P 2、P 3,分别与l 1、l 2、l 3交于P 4、P 5、P 6,又将l 1、l 2、l 3的四个区域一分为二,即比f(3)多了四个区域,∴f(4)=f(3)+4=11.由此猜想:f(n)=f(n-1)+n.由f(2)=f(1)+2;f(3)=f(2)+3;f(4)=f(3)+4;……f(n)=f(n-1)+n;得f(n)=f(1)+2+3+…+n=2+2+3+…+n=2)1( 1++nn.。

高中数学苏教版选修2-2第2章《推理与证明》(2.1.3)ppt课件

高中数学苏教版选修2-2第2章《推理与证明》(2.1.3)ppt课件

时 察、比较和联想,其结论只是一种直觉的、经验式的推测,

目 它还只是一种猜想,结论的正确与否,有待于进一步论证.
开 关
2.1.3
例 2 Rt△ABC 中,∠C=90°,CD⊥AB 于 D,则 BC2=BD·BA. 类比这一定理,在三条侧棱两两垂直的三棱锥 P—ABC 中, 可得到什么结论?
本 课 时 栏 目 开 关
的结论,新的结论的正确性可以利用演绎推理进行证明.
2.1.3
1.数学活动是一个 探索创造 的过程,是一个不断地提出猜想 、

验证猜想 的过程.

时 2.在数学活动中,合情推理具有提出猜想 、发现结论 、提供
栏 目
思路 的作用,演绎推理为合情推理提供了 前提 ,对猜想
开 关
作出 “判决”或证明 ,从而为调控探索活动提供 依据.
2.1.3
本 问题 2 归纳推理的结论是否正确?它在数学活动中有什么

作用?

栏 目
答案 归纳推理的结论具有猜测的性质,结论不一定正确;
开 关
它可以为数学活动的结论提供目标和方向.
2.1.3
例 1 已知数列的前 4 项为32,1,170,197,试写出这个数列的 一个通项公式.
解 把已知 4 项改写为32,55,170,197,记此数列的第 n 项为
2.1.3
2.1.3 推理案例赏析
【学习要求】
1.通过对具体的数学思维过程的考察,进一步认识合情推理和
本 课
演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.
时 栏
2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题,提高分析问
目 开
题、探究问题的能力.
关 【学法指导】

2.1.3 推理案例赏析 学案(苏教版高中数学选修2-2)

2.1.3 推理案例赏析 学案(苏教版高中数学选修2-2)

2.1.3 推理案例赏析学案(苏教版高中数学选修2-2)213推理案例赏析推理案例赏析学习目标1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用.特点以及两者之间的紧密联系,利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.2.掌握两种推理形式的具体格式知识点合情推理与演绎推理思考1合情推理的结论不一定正确,我们为什么还要学习合情推理答案合情推理是富于创造性的或然推理在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想.发现结论.提供思路的作用思考2“演绎推理是由一般到特殊的推理,因此演绎推理所得结论一定正确”,这种说法对吗答案不对,演绎推理只有在大.小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论才一定正确梳理合情推理与演绎推理的比较合情推理演绎推理归纳推理类比推理推理形式由部分到整体,由特殊到一般由特殊到特殊由一般到特殊结论不一定正确,有待证明在大前提.小前提和推理形式都正确的前提下,结论一定正确作用猜测和发现结论,探索和提供证明思路证明数学结论,建立数学体系的重要思维过程联系合情推理的的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的1演绎推理的一般模式是“三段论”的形式2演绎推理得到的结论的正误与大前提.小前提和推理形式有关3演绎推理是由一般到特殊的推理,归纳推理是由特殊到一般的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理类型一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”记第n行的第2个数为ann2,nN*,请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题1第6行的6个数依次为________.________.________.________.________.________;2a2________,a3________,a4________,a5________;3an1an________.答案161625251662247113nn2,nN*反思与感悟对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行.每列数的特征,又要对上.下行,左.右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解跟踪训练1下列四个图形中,阴影三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为________答案an3n1nN*解析a1130,a2331,a3932,a42733,,由此猜想an3n1nN*类型二类比推理的应用例2通过计算可得下列等式2313312311;3323322321;4333332331;;n13n33n23n1.将以上各等式两边分别相加,得n131331222n23123nn,即122232n216nn12n1nN*类比上述求法,请你求出132333n3的值解2414413612411;3424423622421;4434433632431;;n14n44n36n24n1.将以上各式两边分别相加,得n141441323n361222n2412nn,1323n314n1414616nn12n14nn12n14n2n12nN*反思与感悟1解答本类题的关键在于弄清原题解题的方法,将所要求值的式子与原题的条件相类比,从而产生解题方法上的迁移2解答此类问题要先弄清两类对象之间的类比关系及其差别,然后进行推测或证明跟踪训练2已知在RtABC中,ABAC,ADBC于D,有1AD21AB21AC2成立那么在四面体ABCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,说明猜想是否正确,并给出理由考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解类比ABAC,ADBC,可以猜想在四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE平面BCD,则1AE21AB21AC21AD2.猜想正确理由如下如图所示,连结BE,并延长交CD于F,连结AF.ABAC,ABAD,ACADA,AB平面ACD.而AF平面ACD,ABAF.在RtABF中,AEBF,1AE21AB21AF2.在RtACD中,AFCD,1AF21AC21AD2.1AE21AB21AC21AD2,故猜想正确类型三演绎推理的综合应用例3已知椭圆具有性质若M,N是椭圆x2a2y2b21ab0上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值,试对双曲线x2a2y2b21a0,b0写出类似的性质,并加以证明解类似性质若M,N是双曲线x2a2y2b21a0,b0上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明设点M,P的坐标分别为m,n,x,y,则点N的坐标为m,n因为点Mm,n在已知双曲线上,所以n2b2a2m2b2,同理y2b2a2x2b2.则kPMkPNynxmynxmy2n2x2m2b2a2x2m2x2m2b2a2定值故kPM 与kPN之积是与点P的位置无关的定值反思与感悟合情推理是提出猜想.提供解题的思路,而演绎推理则是证明猜想.判断猜想的正确性,通过合情推理得到的猜想缺少证明过程是不完整的,平时解题都是二者的结合跟踪训练3已知an为等差数列,首项a11,公差d0,n1且nN*.求证lgan1lgan10,an1an1andanda2nd21,d0,ana1n1d1.lgan0.lgan1lgan1lgan1lgan12212lgan1an1212lga2n2lgan 2,即lgan1lgan10iN*,有下列不等式成立,x1x22x1x2;x1x2x333x1x2x3,,类比上述结论,对于n个正数x1,x2,,xi,,xn,猜想有下述结论__________.答案x1x2xnnnx1x2xn2类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出下列空间结论垂直于同一条直线的两条直线互相平行;垂直于同一平面的两条直线互相平行;垂直于同一条直线的两个平面互相平行;垂直于同一平面的两个平面互相平行,则其中正确的结论是________填序号答案解析根据空间直线.平面的平行与垂直的判定与性质定理知,正确,错误3如图甲是第七届国际数学教育大会简称ICME7的会徽图案,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1A1A2A2A3A7A81,如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去,记OA1,OA2,,OAn,的长度构成数列an,则此数列an的通项公式为an________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对组中的应用答案nnN*解析根据OA1A1A2A2A3A7A81和图乙中的各直角三角形,由勾股定理,可得a1OA11,a2OA2OA21A1A2212122,a3OA3OA22A2A2322123,,故可归纳推测出annnN*4如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当FBAB时,其离心率为512,此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e________.答案512解析根据“黄金椭圆”的性质是FBAB,可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质,设“黄金双曲线”的方程为x2a2y2b21,则B0,b,Fc,0,Aa,0在“黄金双曲线”中,FBAB,FBAB0.又FBc,b,ABa,b,acb20.又b2c2a2,c2a2ac,等号两边同除以a2求得e512.1归纳推理和类比推理是常用的合情推理从推理形式上看,归纳推理是由部分到整体.特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理2从推理形式和所得结论的正确性讲,演绎推理与合情推理存在差异从数学发现与认识事物的过程发挥的作用看,合情推理与演绎推理是相辅相成.相互为用的,合情推理提出猜想.发现结论,为演绎推理确定了目标和方向演绎推理不仅为合情推理提供了前提,而且对合情推理的结果进行“判决”和证明两者的综合运用才能推动人们对事物的认识不断向前发展。

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2.1.3推理案例赏析1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)2.两种推理形式的具体格式.(易混点)[小组合作型]归纳推理的应用观察如图2-1-16所示的“三角数阵”:图2-1-16记第n行的第2个数为a n(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题:(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________;(2)依次写出a2、a3、a4、a5;(3)归纳出a n+1与a n的关系式.【精彩点拨】(1)观察数阵,总结规律:除首末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和,得出(1)的结果.(2)由数阵可直接写出答案.(3)写出a 3-a 2,a 4-a 3,a 5-a 4,从而归纳出(3)的结论.【自主解答】 (1)由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.【答案】 6,16,25,25,16,6(2)a 2=2,a 3=4,a 4=7,a 5=11(3)∵a 3=a 2+2,a 4=a 3+3,a 5=a 4+4,∴由此归纳:a n +1=a n +n .归纳推理的一般步骤 归纳推理的思想过程大致是:实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤:(1)通过观察个别对象发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).[再练一题] 1.观察下列各式:13+23=1,73+83+103+113=12,163+173+193+203+223+233=39,…. 则当n <m 且m ,n ∈N 时,3n +13+3n +23+…+3m -23+3m -13=________.(最后结果用m ,n 表示)【解析】 当n =0,m =1时,对应第1个式子13+23=1,此时1=12-0=m 2-n 2;当n =2,m =4时,对应第2个式子73+83+103+113=12,此时12=42-22=m 2-n 2;当n =5,m =8时,对应第3个式子163+173+…+233=39,此时39=82-52=m 2-n 2.由归纳推理可知3n+13+3n+23+…+3m-23+3m-13=m2-n2.【答案】m2-n2类比推理的应用通过计算可得下列等式:23-13=3×12+3×1+1;33-23=3×22+3×2+1;43-33=3×32+3×3+1;…(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1.将以上各等式两边分别相加,得(n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n,即12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1).类比上述求法,请你求出13+23+33+…+n3的值.【导学号:01580039】【精彩点拨】解答本题要抓住各等式两边数的指数相类比.【自主解答】∵24-14=4×13+6×12+4×1+1,34-24=4×23+6×22+4×2+1,44-34=4×33+6×32+4×3+1,……(n+1)4-n4=4n3+6n2+4n+1.将以上各式两边分别相加,得(n+1)4-14=4×(13+23+…+n3)+6×(12+22+…+n2)+4×(1+2+…+n)+n,∴13+23+…+n 3=14⎣⎢⎡(n +1)4-14-6×16n (n +1)·(2n +1)-4× ⎦⎥⎤n (n +1)2-n =14n 2(n +1)2.1.解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比,从而产生解题方法的迁移,这是数学学习中很高的境界,需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.2.类比推理的步骤与方法(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来,也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.[再练一题]2.半径为r 的圆的面积S (r )=π·r 2,周长C (r )=2π·r ,若将r 看作(0,+∞)上的变量,则(π·r 2)′=2π·r ①,①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球,若将R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子②:________;②式可用语言叙述为________.【解析】 因为半径为R 的球的体积V (R )=43πR 3,表面积S (R )=4πR 2,类比(πr 2)′=2πr ,得⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′=4πR 2. 因此②式应为:⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′=4πR 2. 且②式用语言叙述为:球的体积函数的导数等于球的表面积函数.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′=4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数[探究共研型]合情推理与演绎推理的综合应用探究比“等比数列”,请你给出“等积数列”的定义.【提示】 如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的乘积是同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,其中,这个常数叫做公积.探究2 若{a n }是等积数列,且首项a 1=2,公积为6,试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式.【提示】 由于{a n }是等积数列,且首项a 1=2,公积为6,所以a 2=3,a 3=2,a 4=3,a 5=2,a 6=3,…,即{a n }的所有奇数项都等于2,所有偶数项都等于3,因此{a n }的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧ 2,n 为奇数,3,n 为偶数.其前n 项和公式S n =⎩⎪⎨⎪⎧ 5n 2,n 为偶数,5(n -1)2+2=5n -12,n 为奇数.探究3 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市;乙说:我没去过C 城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为A ,B ,C 三个城市中的哪一个?【提示】 由题意可推断:甲没去过B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A ,C 城市,而乙“没去过C 城市”,说明乙去过城市A ,由此可知,乙去过的城市为A.如图2-1-17所示,三棱锥A -BCD 的三条侧棱AB ,AC ,AD两两互相垂直,O 为点A 在底面BCD 上的射影.图2-1-17(1)求证:O为△BCD的垂心;(2)类比平面几何的勾股定理,猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系,并给出证明.【精彩点拨】(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的重心.(2)先利用类比推理猜想出一个结论,再用演绎推理给出证明.【自主解答】(1)证明:∵AB⊥AD,AC⊥AD,∴AD⊥平面ABC,∴AD⊥BC,又∵AO⊥平面BCD,∴AO⊥BC,∵AD∩AO=A,∴BC⊥平面AOD,∴BC⊥DO,同理可证CD⊥BO,∴O为△BCD的垂心.(2)猜想:S2△ABC+S2△ACD+S2△ABD=S2△BCD.证明:连接DO并延长交BC于E,连接AE,BO,CO,由(1)知AD ⊥平面ABC ,AE ⊂平面ABC ,∴AD ⊥AE ,又AO ⊥ED ,∴AE 2=EO ·ED ,⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EO ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED , 即S 2△ABC =S △BOC ·S △BCD . 同理可证:S 2△ACD =S △COD ·S △BCD ,S 2△ABD =S △BOD ·S △BCD . ∴S 2△ABC +S 2△ACD +S △ABD =S △BCD ·(S △BOC +S △COD +S △BOD )=S △BCD ·S △BCD =S 2△BCD .合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法,而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).[再练一题]3.已知命题:“若数列{a n }是等比数列,且a n >0,则数列b n =n a 1a 2…a n (n∈N *)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论.【解】 类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{a n }是等差数列,则数列b n =a 1+a 2+…+a n n也是等差数列. 证明如下:设等差数列{a n }的公差为d ,则b n =a 1+a 2+…+a n n=na 1+n (n -1)d 2n =a 1+d 2(n-1),所以数列{b n}是以a1为首项,d2为公差的等差数列.1.设k棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱对角面的个数为f(k+1)=f(k)+________.【导学号:01580040】【解析】k棱柱增加一条侧棱时,则这条侧棱和与之不相邻的k-2条侧棱可构成k-2个对角面,而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.所以f(k+1)=f(k)+k-2+1=f(k)+k-1.【答案】k-12.如果一个凸多面体是n棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条.这些直线中共有f(n)对异面直线,则f(4)=________;f(n)=________.(答案用数字或含n的式子表示)【解析】所有顶点确定的直线共有:棱数+底边数+对角线数,即n+n+n(n-3)2=n2+n2.f(4)=4×2+4×12×2=12,f(n)=n(n-2)+n(n-3)2×(n-2)=n(n-1)(n-2)2.【答案】n2+n212n(n-1)(n-2)23.下面几种推理是合情推理的是________.(填序号)①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分;④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n-2)·180°.【解析】①是类比推理;②是归纳推理;④是归纳推理.所以①、②、④是合情推理.【答案】①②④图2-1-184.(2016·深圳二模)如图2-1-18所示,我们知道,圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S=π(R2-r2)=(R-r)×2π×R+r2,所以,圆环的面积等于以AB=R-r为宽,以AB中点绕圆心O旋转一周所形成圆的周长2π×R+r2为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间,并解决以下问题:若将平面区域M={(x,y)|(x-d)2+y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积为________.【解析】已知图中圆环的面积等于以AB=R-r为宽,以AB中点绕圆心O旋转一周所形成圆的周长2π×R+r2为长的矩形面积,由此拓展到空间,可知:将平面区域M ={(x ,y )|(x -d )2+y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周所形成的旋转体积的体积应等于以圆(x -d )2+y 2=r 2围成的圆面为底面,以圆心(d,0)绕y 轴旋转一周所形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积.故该旋转体的体积V =πr 2·2πd =2π2r 2d .【答案】 2π2r 2d5.在△ABC 中,若∠C =90°,则cos 2A +cos 2B =1,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想.【导学号:01580041】【解】 由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥P -ABC 中,三个侧面PAB ,PBC ,PCA 两两垂直,且与底面所成的角分别为α,β,γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1”.证明:设P 在平面ABC 的射影为O ,延长CO 交AB 于M ,记PO =h , 由PC ⊥PA ,PC ⊥PB ,得PC ⊥面PAB ,从而PC ⊥PM ,又∠PMC =α,cos α=sin ∠PCO =h PC ,cos β=h PA ,cos γ=h PB .∵V P -ABC =16PA ·PB ·PC =13⎝ ⎛⎭⎪⎫12PA ·PB cos α+12PB ·PC cos β+12PC ·PA cos γ·h , ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αPC +cos βPA +cos γPB h =1,即cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.我还有这些不足:(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________我的课下提升方案:(1)_______________________________________________打印版本(2)_______________________________________________高中数学。

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