15 求解几何问题的代数法解析

5 向量法
向量是数学中的重要概念之一，它广泛应用于生产实
践和科学研究中.向量在立体几何中应用更为直接，是 因为立体几何中的两类主要问题:几何元素间的位置关 系和度量关系几乎都可以通过向量运算来解决. 与一个非零向量共线(平行)的向量的充要条件、平面 向量的分解定理、空间向量的分解定理，这三个逐步 深入的定理是应用向量解决问题的理论基础.在中学阶 段，可以根据不同的教学目标采用证明或者直接用向 量图加以说明的方法使学生理解.此时学生对空间结构 能有初步的认识，了解直线上的向量可以由一个非零 向量生成，平面上的向量可以由两个不共线的向量生 成，空间中的向量可以由三个不共面的向量生成，建 立基的概念.
单对偶命题，双对偶命题，三对偶命题，… 有时为了保证对偶命题有意义，必须同时调换一个 命题中的多个元素及其相应的关系。
• 例如，若是平面换直线，则“在平面上的直线”必须相 应地换成“在直线上的平面”，反之亦然.
例1 下列四个命题是同真的. 命题l 通过空间一点能作且仅能作一条直线与已知 直线平行. 命题2 通过空间一点能作且仅能作一个平面与已知 直线垂直. 命题3 通过空间一点能作且仅能作一个平面与已知 平面平行. 命题4 通过空间一点能作且仅能作一条直线与已知 平面垂直.
利用上述特点，一方面很多时候利用向量知识能求解
的几何问题，用复数法也可以解出. 另一方面，有时 复数在解决某些几何问题（如旋转问题）时，比向量 更显得方便.
4 解析法
所谓解析法，就是经过建立坐标系，设定所论
图形上有关点的坐标和曲线的方程后，将几何 间题转化为代数间题，然后应用代数知识进行 求解或求证，再赋予几何意义，从而获得几何 证明的一种方法。
例5 三对偶命题： 命题1 若两条直线都和第三条直线平行，则互相平 行. 命题2 若两个平面都和第三个平面平行，则互相平 行.
对偶规律的理论解释：同一个向量等式，不同的几何解释。 对于向量等式
(a1,a2,a3)=k(b1,b2,b3)(k≠0)，(1) 当(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)均是直线的方向向量或均是平面的法向 量时，它是两直线或两平面平行(包括重合意义下的平行)的 充要条件; 当(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)之一为直线的方向向量，另一为平面的 法向量时，它是直线与平面垂直的充要条件. 对于向量等式 (a1,a2,a3) · (b1,b2,b3)=0，(2) 当(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)均是直线的方向向量或均是平面的法向 量时，它是两直线或两平面垂直的充要条件; 当(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)之一为直线的方向向量，另一为平面的 法向量时，它是直线与平面平行的充要条件.
向量知识在处理立体几何问题中的重要应用主
要是通过向量的各种运算来体现的. 这一节，我们重点来看一看向量的内积与外积 在处理立体几何问题中的一些应用与应用方法.
向量的内积
空间向量的数量积与两向量所成的角紧密联系
在一起，因此，在讨论空间直线与直线、直线 与平面、平面与平面的位置关系时，常可运用 向量的数量积运算来处理.在讨论空间二直线共 面或异面时，因均可归结为共面的情形处理， 因而也可运用向量的数量积运算来处理. 这样处理，可以把几何论证代数化. 立体几何中的一些垂直问题，运用向量的空间 结构特点及数量积来处理非常方便.
除运用向量运算法则与性质外，运用向量法还
常用到如下一系列公式:
用向量法求解平面几何问题通常需要按以下步骤进行: 首先是建立恰当的向量坐标系， 然后将问题中的条件、结论翻译成向量关系式， 其次是设置好“媒介向量”.很多时候条件中的向量关系式 与结论中的向量关系式常常有距离.例如，结论中出现的某 些向量，条件中没有，这就需要在图形中选择出若干已知 向量以这些向量为基础，将结论中出现的那些向量表示出 来，以沟通已知和未知的关系，但媒介向量的个数选取要 恰当，少了不能达到证题目的，多了会使问题复杂化而不 利于证题. 最后是化简或证明向量关系式，从作为条件的向量关系出 发应用向量性质，结合有关代数、几何知识，推得表示结 论的向量关系式.
若存在结合关系，必须把这一直线结合在一起的平面 同时换成与平面结合在一起的直线.把平面换成直线时 也一样.
例4 三对偶命题： 命题1 若一个平面M平行于两条相交直线p, q，则平 行于这两条直线上的平面N. 命题2 若一个平面M垂直于两个相交平面P, Q，则 垂直于在这两个平面上的直线(即交线)n.
以向量数量积为工具，解决立体几何中求角度、
距离等问题，可以减少辅助线的添加，还可避 开一些较复杂的空间图形，降低了解题难度， 且思路明确，易于下手，过程程序化，易于接 受.
利用数量积，建立平面方程是很方便的.
向量的外积
两向量的向量积与两向量的模构成的平行四边
形面积紧密联系在一起，从而运用向量积可以 处理立体几何的有关面积问题. 同时，还可得到:
平面上的点集与平面上从原点出发的向量集(位置向量
集)也可以构成一一对应。 复数运算与向量运算的几何意义既有相同的地方，又 有不同之处。
复数的加、减法的几何表示就是向量的加、减法；用一个 实数去乘复数的几何表示相当于数乘向量的运算. 复数乘法的几何表示不同于向量的一般乘法(数量积或向量 积)，它表示为向量的拉伸与旋转的合成。
将向量应用到立体几何教学中，不但使有关问
题处理得简洁漂亮，而且反复的应用，还使学 生熟悉了向量的线性运算和内积运算，更重要 的是学会了运用空间结构解决问题的思维方法， 即:将相关向量表示为基向量的线性组合，把问 题转化为基向量的运算问题.这与综合法(主要 是把空间图形关系转化为平面图形关系)相比， 显然是更高的数学思维方式，它抓住了空间的 主要特征和内在规律，使“纷繁复杂的现象变 得井然有序”.
常用面积公式
面积比定理
2 三角法
所谓三角法，就是将几何命题中的边、角等元
素之间的关系，转换成三角函数关系，然后应 用三角恒等变形或解三角方程等知识来给出几 何证明的一种方法．
3 复数法
平面上的点Z(x,y)可以用复数z=x+yi来表示，平
面上的点集可以与复数集构成一一对应。 根据复数及其运算的几何意义，平面上某些图 形的几何关系可以通过复数关系式来刻画，而 一些平面几何问题就可以通过一系列复数运算 导出所需的结果。这种运用复数知识来求解问 题的方法称为复数法.
利用空间向量的向量积，建立空间直线的方程
是方便的
把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方法称
之为向量方法。向量法的特点是形数结合、运算有法 可循，因此向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的 方便，能把综合法与坐标法有机地结合在一起. 因而平面几何问题如用向量法来研究与求解，往往用 计算代替演绎论证而显得明快、简捷和容易入手，它 克服了几何综合论证中常常要添置若干辅助线而显得 不易捉摸的缺点，同时又因为向量公式不依赖于坐标 系，故向量法求解平面几何问题较之于坐标法也具有 一定的优越性.
线面平行、垂直关系的对偶性
约定： 把两条重合直线看成平行直线的特殊情形； 把两个重合平面看成平行平面的特殊情形； 把直线在平面内看成直线与平面平行的特殊情形； “直线在平面上”也说成“平面在直线上”。
在立体几何中，有关直线与平面的平行与垂直的命题
存在下列规律: 把命题中某一(些)直线(平面)换以平面(直线)，ห้องสมุดไป่ตู้时把 与这一(些)直线(平面)有关的平行(垂直)关系换以垂直 (平行)关系，所得的命题与原命题同真伪.
题的工具. 在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及 的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表 示有关几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的 关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的 等积变换对所论问题来进行求解的方法，我们称之为 面积法. 所谓面积法，就是运用图形的面积关系，建立一个或 几个关于面积的方程或不等式，通过推理或演算，解 决问题的一种方法．这种方法对研究等底、等高或同 底、同高图形的性质特别有效．
立体几何中的这个规律与射影几何中的对偶原
则有些类似。但是，上述理论解释说明两者在 本质上是不同的。 理论解释启示我们，在立体几何中，应适当加 强向量法解决立体几何问题的训练.这也可能是 国内、外有些中学教材已把立体几何与空间解 析几何融为一体的一个缘故.
我们曾在平面几何的向量法解题中指出:向量法
的特点是形数结合，运算有章可循，既有综合 法的灵巧，又有坐标法的方便，能把综合法与 坐标法有机地结合在一起. 在立体几何中更体现出这种特点.它克服了在某 些立体几何问题中运用综合法论证常需要添置 若干辅助线(辅助图)而显得不易捉摸的缺点， 同时向量公式不依赖于坐标系.因而在很多情形 下向量法求解立体几何问题具有一定的优越性.
应用解析法证题主要有三个步骤：
第一步，选取恰当的坐标系，以便于确定关键点的坐标
和曲线的方程，并易于计算为原则，例如，可选取图形 的对称轴，相交直线或某一特殊直线为坐标轴，可选定 线段的端点、中点、中心对称图形的对称中心或某一特 殊点为原点。 第二步，设定点的坐标和曲线的方程为尽可能地减少参 数，常将所论图形在坐标轴上或沿坐标轴方向上的两条 边长取为单位长，或单位长的倍数． 第三步，进行计算与推理．对此，除明确有关概念，熟 知有关公式和方程外，还应注意利用所论图形的几何性 质，注意利用置换关系，求出点的坐标和曲线的方程， 注意将所论问题中的已知与求证作适当转化，注意所论 问题中有关线段、角度等的方向．
例2 下列六个命题是同真的 命题1 若直线a和直线b不平行，则不存在直线c，使得c//a, c//b. 命题2 若平面α 和直线b不垂直，则不存在直线c ，使得 c⊥α , c//b. 命题3 若平面α 和平面β 不平行，则不存在直线c，使得 c⊥α , c⊥β . 命题4 若平面α 和平面β 不平行，则不存在平面γ，使得 γ//α , γ //β . 命题5 若直线a和平面β 不平行，则不存在平面γ，使得γ⊥a, γ //β . 命题6 若直线a 和直线b不平行，则不存在平面γ，使得γ⊥a, γ⊥b.
由于在位置关系中，线面的垂直和平行的研究
占有重要地位，直线与直线、直线与平面、平 面与平面互相垂直或平行的判定定理和性质定 理的运用是学习的重点，也是学习的难点;在度 量问题中，角和距离的计算是基础，面积、体 积的计算是通过求有关的角和距离来得到的， 立体几何中角和距离的计算也是难点. 因此，求解这两大难点的问题，往往要采用各 种各样的方法，还常常添作一些辅助图，须运 用综合的思路.或者说，立体几何中很多问题的 求解不可忽视运用综合法.
例3 下列四个命题是同真的: 命题1 若直线a平行于平面β 上的一条直线b，则a//β . 命题2 若直线a垂直于直线b上的一个平面β ，则a⊥b. 命题3 若平面α 平行于直线b上的一个平面β ，则α //b. 命题4 若平面α 垂直于平面β 上的一条直线b，则α ⊥β .
注意，在这组对偶命题中，在把某一直线换成平面时，
这样，在等式(1)或(2)中，对其中任一向
量给以不同的几何解释，相应地便得出不 同的几何命题. 当等式(1)或(2)为真(伪)时， 由不同的几何解释所相应的不同的几何命 题也就同真(伪). 另一方面，由一个有关平行或垂直的几何 命题为真，也可以相应地列出等式(1)或 (2)，从而由不同的几何解释所引出的其他 几何命题亦真。
求解几何问题的代数法
所谓代数法，就是将儿何命题中的有关线段、
角度、面积等元素间的相互关系表示成相应的 代数关系式，然后应用代数恒等变形或解方程 等知识来给出几何证明的一种方法．
代数法包括：面积法、三角法、复数法、解析
法、向量法等。
1 面积法
面积很早就成为人们认识几何图形性质和证明几何命