数值分析习题课

fx=inline('x-((x-tan(x))/(1-
sec(x)^2))');
a=3.142;b=4.6;r=0.001;k=1;x0=4.6;
x1=fx(x0)
while (abs(x1-x0)>r)
x0=x1;
x1=fx(x0);
k=k+1;
end
k
x1
k=4 x=4.4934
3、给出计算
历年考题
1、求积公式 为 3 次。
1 f (x)dx 1 f (-1) 4 f (0) f (1)
-1
3
的代数精度
1
2、使用梯形公式
2
e xdx
计算积分时截断误差为
1
0.6796 。（结果保留4位有效数字）
3、所有牛顿—柯特斯求积公式的系数和均为1。 （√）
例 依次wk.baidu.comn=8的复合梯形公式、n=4的复合
0.9456909
由复合辛卜生公式可得如下计算公式
S4
1 f
24
(0)
f
(1) 2( f
(0.25)
f
(0.5)
f
(0.75))
4( f (0.125) f (0.375) f (0.625) f (0.875))
0.9460832
（积分准确值I=0.9460831）
这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计
例 判断J法和G-S法求解线性方程组收敛性
2 1 1
A
1
1
1
1 1 2
1、Jacobi迭代
0 1/ 2 1/ 2
B
D 1 ( L
U)
1
0
1/ 2 1/ 2
1
0
特征值为 I B 3 5 0
4
2、Gauss－Siedel迭代
0
B
(D
L)1U
0
0
1/ 2 1/ 2
0
1/ 2
T16
1 2 T8
1 16
f (116) f (136)
f
(156 )
f
(
7 16
)
f
(196 )
f (1161)
f
(1163 )
f
(
15 16
)
3.14094
S1
4 3
T2
1 3
T1
3.1333
S2
4 3 T4
1 3 T2
3.14157
41 S4 3 T8 3 T4 3.14159
14
I
dx 3.14159
01 x2
4、解线性方程组直接法
高斯消去法（重：p143，例2） 列主消元法（重：p148，例4） LU分解 平方根法 追赶法 向量和矩阵范数（重） 矩阵的条件数（重）
历年考题
1、 给定下述线性方程组
2 4 6 x1 3
4
9
2
x2
5
1 1 3 x3 4
1/
2
1/ 2
1 0, 2,3
5i 2
1
0, 2,3
1 2
历年考题
给定线性方程组 1 0.4 0.4 x1 1
0.4
1
0.8
x2
2
0.4 0.8 1 x3 3
1、试建立求解该方程组的矩阵形式的雅可比迭代公 式,并判断该公式是否收敛,如果收敛,以 x0 0.5 0.5 0.5T
用列主元高斯消去法求解该方程组（保留3位有效 数字）。（10分）
2、
历年考题
3、给定下述线性方程组
2 2 3 x1 3
4
7
7
x2
1
2 4 5 x3 7
试分别用（1）选列主元高斯消去法 （保留3 位有效数字）（7分）
（2）采用Doolittle（杜利特尔）法进
行LU分解，（保留3位有效数字）（7分）
x 2 2 2•••
的迭代公式， 讨论迭代过 程收敛性并 证明x=2。
历年考题
历年考题
7、常微分方程初值问题数值解法
欧拉法（重：p281，例1） 梯形方法 改进欧拉法（重：p284，例2） 龙格-库塔方法（重：四阶经典法，p284，例3
。认真看课件中的例题） 亚当姆斯方法
历年考题
S8
4 3 T16
1 3
T8
3.14159
C1
16 15
S2
1 15
S1
3.14212
C2
16 15
S4
1 15
S2
3.14159
C4
16 15
S8
1 15
S
4
3.14159
R1
64 63
C2
1 63
C1
3.14158
R2
64 63
C
4
1 63
C2
3.14159
由于 R2 R1 0.00001 ，于是有
熟练掌握本课程重点方法计算过程） （注3：考试需携带计算器）
1、引论
误差与有效数字（重）p6：例1,2 数值运算的误差估计 算法稳定性与病态条件数 p11：例6-8
作业 1、课本（清华版）p19，习题3、4. 2、知近似值x1=1.42，x2=-0.0184，x3=184*10-4
的绝对误差限均为0.5*10-2，问他们各有几位有效 数字。
数值计算方法 （数值分析）
课程复习与习题讲解
课程考察范围
1、引论 2、插值法 3、数值积分 4、解线性方程组直接法 5、解线性方程组迭代法 6、非线性方程组数值解法 7、常微分方程初值问题数值解法 （注：每个章节均有重点内容）
试题构成
填空题5小题，共计10分。 计算题6小题，每题15分，共计90分。 各章均占15%左右权重。 各章重点方法和公式要求掌握。 （注1：试题总体难度等级——简单） （注2：试题有一定的计算量，希望复习作业
b=xt; else
a=xt; end end k xt=(a+b)/2 fx(xt)
2、用牛顿法求解x-tan(x)=0。的最小正根。精度要求0.001， 写出迭代公式和Matlab程序，同时与二分法比较的迭代次数。
解： 1、先大致确定一下x解的存在区间 （画图法）
2、迭代公式
xk 1
xk
xk tan(xk ) 1 sec2 (xk )
祝：
同学们考试顺利！ 新年快乐！
1、预处理
9 1 1 7
A
1
8
2、格式 1 0
0
,
b
7
9 8
x1(
k 1)
x1(k
1)
1/ 9( 1/
x2(k ) x3(k ) 8( x1(k 1)
7) 7)
x(k 1) 1
1/ 9( x1(k 1)
8)
x(1) (0.7778, 0.9722, 0.9753) ' x(2) (0.9942, 0.9993, 0.9994) ' x(3) (0.9999, 0.9999, 0.9999) ' x(4) (1.0000,1.0000,1.0000) '
算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准
确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比
较，复合梯形法只有两位有效数字
(T8=0.9456909),而复合辛卜生法却有六位有效数 字。
龙贝格求积计算步骤
① 解决用梯形公式计算积分近似值
T1
baf
2
(a)
f
(b)
② 按变步长梯形公式计算积分近似值
将区间逐次分半,令区间长度
为初始向量迭代求解.(保留三位有效数字)（8分）
2、试建立求解该方程组的矩阵形式的高斯-塞德尔迭 代公式,并判断该公式是否收敛,如果收敛,以x0 0.5 0.5 0.5T
为初始向量迭代一步.(保留三位有效数字)（8分）
6、非线性方程组数值解法
二分法 不动点迭代（重：p215，例3） 不动点迭代收敛性（阶数，重：p218，例4） 迭代加速法 牛顿迭代法（重：p223，例7） 牛顿下山法 弦截法（重：p229，例10）
辛卜生公式计算定积分
I
1 sin x
0 x dx
解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时，
h 1 0.125 8
由复合梯形公式可得如下计算公式：
T8
1 f
16
(0)
2
f
(0.125)
2
f
(0.25)
2f
(0.375)
2
f
(0.5)
2 f (0.625) 2 f (0.75) 2 f (0.875) f (1)
1、求方程f(x)=ex+10x-2=0在区间[0,1]内的根，要求误差 不超过0.005，同时写出Matlab算法程序和结果。(二分法)
解：1、判断函数连续性，单调性，得出有唯一解
2、根据公式
1 2 k 1
(b
a)
1 2
102
求解出k=7，x=0.0918 3、Matlab程序（做法多样）
fx=inline('exp(x)+10*x-2'); a=0;b=1;r=0.005;k=0; while (abs(b-a)>r) xt=(a+b)/2; k=k+1; if fx(a)*fx(xt)<0
2、已知函数的观测数据为如下表： x1 2 3 y 0 -5 3 求Lagrange插值多项式为：
复习题
2.给定函数f(x)=x3-4x，试建立关于xi=i+1（i=1...5）的差 商表,并列出关于x0,x1,x2,x3的插值多项式p(x)。
历年考题
1、设，取x0=4,x1=9,x2=6.25,则差商 -0.0080808 。 （结果保留5位有效数字）
（参见书后答案和课件例题！自己对照！） 记住：准确到某位-误差限是该位的半个单位！
历年试题分析
是圆周率真实值的近似值 3.14159265 ，
其有 3 位有效数字。
根据误差稳定性原则 y x 1 x ，在计算等
y
1
式时应转变成
x 1 x 计算。
2、插值法
线性插值（重）p28：例2 抛物线插值 拉格朗日插值多项式 均差（重）p31：均差表，p32：例题4 均差与牛顿插值（重） 诶尔米特插值 分段线性插值 三次样条插值（重）p44：例7与课件中例题的区别
ba h
2k
(k 0,1,2, )
计算
T2n
Tn 2
h n1 2 k0
f (xk1 ) 2
(n 2k )
③ 按加速公式求加速值
梯形加速公式：
Sn
T2n
T2n Tn 3
辛卜生加速公式：
Cn
S2n
S2n Sn 15
龙贝格求积公式：
Rn
C2n
C2n Cn 63
④ 精度控制；直到相邻两次积分值
作业题9、构造适合系列数据的三次样条S(x)。
x
-1
0
1
3
y
-1
1
3
5
y'
6
3、数值积分
数值积分基本思想 代数精度（重）p100：例1 插值型求积公式 牛顿-科特斯公式（重：辛普森公式。p104） 复合求积公式（重：复合辛普森。p108：例3） 龙贝格求积公式（重：p110，例5-p112，例6） 高斯求积公式（重：p120，例9）
复习题
1.构造拉格朗日多项式p(x)逼近f(x)=x3，要求： （1）节点x为-1,1，做线性插值。 （2）节点x为-1,0,1，做抛物插值。 （3）节点x为-1,0,1,2，做三次插值。
历年考题
1、已知 f (1) 2, f (1) 1, f (2) 1 ，求f(x)的二次拉 格朗日插值多项式，并利用该多项式计算的值 。（保留三位有效数字）
2、给定如下数据： xi 1 2 3 4
f xi 0 5 6 3
试列出三阶差商表，求出f(x)的三次牛顿插值多项式， 并利用该多项式计算f(0)的值。（保留三位有效数字）
xk f xk f xk , xk1 f xk , xk1, xk2 f xk , xk1, xk2, xk3
求解该方程组。
5、解线性方程组迭代法
迭代法思想 迭代法收敛性（迭代矩阵谱范数<1，系数矩阵
严格对角占优p192，例8） 雅克比迭代（重：） 高斯赛德尔迭代（重：p189，例6）
例 完整的G-S法求解线性方程组
1 8 0 7
A
1
0
9
,
b
8
,
x(0)
(0, 0, 0) '
9 1 1 7
R2n Rn
（其中ε为允许的误差限）则终止计算并取Rn
T1
T2
S1
T4
S2
C1
T8
S4
C2
R1
T16
S8
C4
R2
…
…
…
…
请参见P112教材说明，加深理解！
例
用龙贝格算法计算定积分
1
I
4
dx
01 x2
要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过 105
解:由题意 a 0,b 1, f (x) 4
1 x2
10
2 5
5
3 6
1
2
43
9
5
1
N3 x 5 x 1 +2 x 1(x 2) x 1 x 2 x 3
x3 4x2 +3
N3 0 3
复习题
课件例4 已知的函数值如下： x1 2 4 5
f (x) 1 3 4 2 在区间1,5上求三次样条插值函数S(x),使它满足边 界条件 S(1) 0, S(5) 0
T1
1f
2
(0)
f
(1)
1 (4 2
2)
3
T2
1 2
T1
1 2
f
(
1 2
)
1 3 2
1 16 25
3.1
T4
1 2
T2
1f
4
(
1 4
)
f
(
3 4
)
1 3.1 2
1 (3.764 2.56) 4
3.13118
T8
1 2
T4
1 8
f
(
1 8
)
f
(
3 8
)
f
(
5 8
)
f
(
7 8
)
3.13899