微分方程的解法

1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2)当f t et时, 选yp t Bet。其中B是待定系数。
Bet 2Bet 3Bet et et
特解y p
1 et。 3
B1 3
说明１：
１．微分方程的解限于 0 t
2.
t t
0 0
起始条件（状态）：反映系统的历史状态，与
激励无关
初始条件（状态）：确定全解所需的边界条
响应。
解释-1
•对于一个具体的电网络，系统的初始状态就是指系统中 储能元件的储能情况
•一般情况下换路期间，电容两端的端电压和流过电感中 的电流不会发生突变。即电路分析中的换路／开关定理：
vC 0 vC 0 ,
iL 0 iL 0 .
•但当有冲激电流强迫作用于电容，或有冲激电压强迫 作用于电感时，状态就会发生跳变．
将此式代入方程得到 （推导见讲义 p2）
3B1t 2 4B1 3B2 t 2B1 2B2 3B3 t 2 2t
等式两端各对应幂次的系数应相等，有：
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解得：
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
得特解：
yp
t
例：
写出系统方程
d3 d t3
yt
7
d2 dt2
yt 16 d
dt
yt 12 yt
f t
齐次解的表达式。
解：系统的特征方程为 3 72 16 12 0
22 3 0
特征根 1,2 2 , 3 3
齐次解的表达式为 yh t A1t A2 e2t A3e3t
例：
给定系统方程为
§2.3 微分方程的经典解法
求解流程
齐次解(Homogeneous Solution)：由特征方程→求出特征根 i
→写出齐次解形式＝自由响应（系数待定）
n
特征根
yh ( t
)
互不相等单根，则齐次解： yh (t)
有一k阶重 1 则齐次解：
根
( A0
A1t
Ak 1t k 1
)e1t
n
Ai eit
i 1
Ai e it
ik 1
特 解(Particular Solution)：据微分方程右端激励信号的
函数形式→写出含待定系数的特解函数式 →代入原方程，比较系数得到特解＝受迫响应。
全 解 = 齐次解+特解 （由n个初始条件定出齐次解）
典型激励函数相应的特解
激励函数f(t)
E (常数 )
tk
e t
(2)暂态响应：指全响应中暂时出现的有关成分；即随 着时间t 的延续，终将消失的响应。
稳态响应：全响应中随着时间t 延续，最终可以保留
下来的响应。
(3)零输入无响外应加：激励信号作用，仅由初始状态 作用于系统所产生的响应。
零状态响不应考：虑系统原始储能的作用（初始状态＝ ０），仅由外加激励作用于系统所产生的
＝暂态响应+稳态响应 (Transient + Steady-state Response)
＝零输入响应＋零状态响应 (Zero-input + Zero-state Response)
系统响应
(1)自由响或应固：有响应；由系统本身特性决定，与 外加激励的形式无关。对应于齐次解。
受迫响应：形式受迫于外加激励。对应于特解。
d
2
d
yt
t2
2
d
yt
dt
3
yt
d f t
dt
f
t
如果已知：1 f t t 2; 2 f t et ,
分别求两种情况下此方程的特解。
解：1 将f t t 2代入方程右端 ,得到 t 2 2t,
为使等式两端平衡，选特解函数式
yp t B1t 2 B2t B3 这里 , B1, B2 , B3为待定系数。
•当系统用微分方程表示时，系统从起始状态到初始条件 有无跳变：取决于微分方程右端是否包含冲激信号及其各 阶导函数。 (讲义例题2.3-1)
响应函数y(t)的特解
B(常数)
k
Bo B1t Bk1t k1 Bk t k Bi t i i 0
Be t
不等于特征根
(B0 B1t)e t
等于特征单根
Baidu Nhomakorabea
sin t/ cos t
B1 sin t B2 cos t
t ke t sin t
t ke t cos t
k
e t [Bi sin t Di cos t ]t i i 0
件。
0
0
O
t t 0
３．任意时刻
y(t0 ) yzi (t0 ) yzs (t0 ).
４．y(k) (t0 ) y(k) (t0 ) ，表示 y(k) (t) 在 t t0 连续；
y(k) (t0 ) y(k) (t0 ) 则表示 y(k) (t) 在 t t0 有跳变。
说明２：
５．系统响应： 全响应＝自由响应＋受迫响应 (Natural + Forced Response)