不等式放缩技巧十法

第六章不等式

第二节不等式放缩技巧十法

证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题: 不等式的放缩技巧。

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：

一利用重要不等式放缩

1. 均值不等式法

例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证

)1(2)1(2

+<<+n S n n n 解析此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k

Λ=+=

21)1(+=++<

1∑∑==+<<∴n

k n n

k k S k ，

即

)1(22)1(2)1(2

+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2

a a

b +≤

，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(2

++=+<∑=n n n k S n

k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

a a n a a a a a a n

n n

2111111++≤

++≤≤++ΛΛΛΛ

其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。例 2 已知函数bx

a x f 211)(?+=

，若5

4)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求

证：.2

121)()2()1(1-+

>++++n n n f f f Λ [简析] 411

()11(0)141422

x x x x

f x x ==->-≠++? 1

(1)()(1)22

f f n ?++>-

?L 211(1)(1)2222n +-

++-??L 1111111

(1).42222

n n n n -+=-+++=+-L

例3 求证),1(2

1321

N n n n C C C C n n n

∈>?>++++-Λ.

简析不等式左边1

n n n n C C C C ++++L =12222112

-++++=-n n

n n n 122221-?????>Λ=2

-?n n ，

故原结论成立.

【例4】已知222121n a a a +++=L ，222

121n x x x +++=L ，

求证：n n x a x a x a +++Λ2211≤1.

【解析】使用均值不等式即可：因为22(,)2

x y xy x y R +≤∈，所以有

222222

1122

1122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++L L 222222121211 1.2222

n n a a a x x x ++++++=+=+=L L 其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。本题还可以推广为：

若22212n p a a a +++=L ，222

12(,0)n q p q x x x +++=>L ，

试求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。请分析下述求法：因为22(,)2

x y xy x y R +≤∈，所以有

222222

1122

22222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++L L

222222

1212.222n n a a a x x x p q +++++++=+=L L

故n n x a x a x a +++Λ2211的最大值为2p q

+，且此时有(1,2,,)k k a x k n ==L 。

上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是

(1,2,,)k k a x k n ==L

，即必须有221

k k

k k a x

===∑

∑，即只有p=q 时才成立！

那么，p q ≠呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：

2222221,

=L L

则有

1122n n a x a x a x +++=

+++=L L

于是，1122max ()n n a x a x a x +++L

1,2,,).

k n ==L 结合其结构特征，还可构造向量求解：设1212(,,,),(,,,)n n m a a a n x x x ==u r r

L L ，则

由||||||m n m n ?≤u r r u r r

立刻得解：

1122||n n a x a x a x +++≤

且取“＝”的充要条件是：12

12n

n x x x a a a ==L 。

特别提醒:上述题目可是我们课本上的原题啊!只是我们做了少许的推广而已! 2．利用有用结论

例5 求证.12)1

1()511)(31

1)(11(+>-+

+++n n Λ 简析本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质

)0,0(>>>++>m a b m

a m

b a b 可得

>-??122563412n n

Λ=+??n n 212674523Λ)12(212654321+?-??n n

n Λ ?12)122563412(2

+>-??n n n Λ

即.12)1

1()511)(311)(11(+>-++++n n Λ

法 2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*

x x n N n nx x n

的一个特例

2121)1211(2-?+>-+

k k (此处121,2-==k x n )得

=-+∏?-+>-+=)1211(12121

2111k k k k n k .121

21+=-+∏=n k k n k 注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：

证明.13)2

1()711)(41

1)(11(3+>-+

+++n n Λ (可考虑用贝努利不等式3=n 的特例)

例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤

n a n x f x

x x x 给定Λ

求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*

∈N n 且2≥n 恒成立。

[简析] 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy ）不

等式∑∑∑===≤n

i i

i b

b a 1

]

)([

的简捷证法：

?>)(2)2(x f x f >?+-++++n n a n x x x x 2222)1(321lg

Λn

n a n x x x x ?+-++++)1(321lg

2Λ 2])1(321[x x x x n a n ?+-++++?Λ])1(321[2222x x x x n a n n ?+-++++?<Λ

而由Cauchy 不等式得2

))1(1312111(x x

n a n ?+-?++?+?+?Λ

?++<)11(22Λ])1(321[22222x x x x n a n ?+-++++Λ(0=x 时取等号)

≤])1(32

1[2222x x x x

n a n n ?+-++++?Λ（10≤

例7 已知112111,(1).2

n n n

a a a n n +==+

++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；

)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L ）

[解析] )(II 结合第)(I 问结论及所给题设条件ln(1)x x +<

11(211211ln ln(1)ln 2n n n a a n n +≤++++ n

<--=--+-≤-?++≤---=+-=∑

∑n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 2

1e a a a n n

（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放

缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n

来放缩：

?-+-+

≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n 11

n n a a n n n n +?+-+≤+

<--

1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21

<-<+-+?-<+-+?∑

∑-=+-=n

a a i i a a n n i i i n i ，

n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(1

1≥+≤

>=--n a n na a b b a n n n

a a a n a a n na a n n n n n n n 1

1111111+=+≥?+≤

-----，

即 n a a n n 1111≥--.1

)11(212k

a a n k k k n k ∑∑=-=≥-? 于是当3≥n 时有

?>-][log 211121n a a n .]

[log 222n b b

a n +< 注：①本题涉及的和式

3121+++Λ为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用

所给题设结论

][log 2

131212n n >+++Λ来进行有效地放缩； ②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。再如：

设函数()x

f x e x =-。（Ⅰ）求函数()f x 最小值；

-=L ，则有 121011()1211111()()()()()()()11111n

n n n n n n e e n n n e e e e e e e

a )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4

[解析] 引入一个结论：若0>>a b 则)()1(11a b b n a b n n n -+<-++

（可通过构造一个等比数列求和放缩来证明，略）整理上式得].)1[(1

+1)111(n n .)11(n n + 即}{n a 单调递增。以n b a 211,1+

==代入（?）式得.4)21

1(21)211(12<+??+>n n n

n 此式对一切正整数n 都成立，即对一切偶数有4)11(<+n

，又因为数列}{n a 单调递增，所以对一切正整数n 有4)11(<+

.1111)11(221n n n n n n n n

C n C n C n a ++?+?+=+=Λ 只取前两项有.21

+≥n

C a n n 对通项作如下放缩： .212211!111!111-=?≤<+-?-??=k k k

k n k n n n n n k n

C ΛΛ 故有.32/11)2/1(12122

12121111

12<--?

+=+++++<--n n n a Λ 二部分放缩

例10 设++

=a n a 21111,23a a a n ++≥L ,求证：.2

=a n

a 211.131211131222n

n a a ++++≤++ΛΛ 又2),1(2

≥->?=k k k k k k （只将其中一个k 变成1-k ，进行部分放缩），

111()3121()211(11312112

22n n n a n --++-+-+<++++

≤ΛΛ.212<-=n 【例11】设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 12

1，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：

2)(+≥n a i n ；

111111)

(21≤++++++n a a a ii Λ. 【解析】 )(i 用数学归纳法：当1=n 时显然成立，假设当k n ≥时成立即2+≥k a k ，则当1+=k n 时312)2(1)2(1)(1+>+?+≥+-+≥+-=+k k k k a k a a a k k k k ，成立。 )(ii 利用上述部分放缩的结论121+≥+k k a a 来放缩通项，可得

?+≥++)1(211k k a a 111112(1)242k k k k a a --++≥≥+≥?=L

≤+-∑∑ 【注】上述证明)(i 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：

31)2)(2(1+>+-++≥+k k k k a k ；

证明)(ii 就直接使用了部分放缩的结论121+≥+k k a a 。

三添减项放缩

上述例5之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。

123231111(1)12222n n n n C C C +=+?+?+?+L (1)(1)(2)61288n n n n n -+++≥++= 即8

)2)(1()211(++>+n n n ，得证.

n n （Ⅰ）证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；（Ⅱ）令),2,1(Λ==

n n

a b n n ，判定n b 与1+n b 的大小，并说明理由。

[简析] 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有法1 用数学归纳法（只考虑第二步）1)1(22121

n n a a a a .1,,2,1,22

21-=>-?+n k a a k k Λ 则?+>+>?->-1222)1(22

++=-+n n n T T n n ， }{,1n n n T T T ∴>?+递减，有0221<-=≤T T n ，故.2

)1(2

n S n 再如例5，令1

2)121

1()511)(311)(11(+-++++=

n n T n Λ则13

212221>+++==+n n n T T

n n Λ，

即}{,1n n n T T T ∴<+递增，有13

21>=≥T T n ，得证！

2．构造函数

例14 已知函数2

3)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时

.81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=<

011，证明.11+<

n a n [解析] （Ⅰ）a =1 ；（Ⅱ）由),(1n n a f a =+得

61)31(2323221≤+--=-=+n n n n a a a a 且.0>n

用数学归纳法（只看第二步）：)(1k k a f a =+在)1

0(+∈k a k 是增函数，则得.2

1)11(2311)11(

)(21+<+-+=+<=+k k k k f a f a k k

例15 数列{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211???

??+=

+n n n x a x x N n ∈．（I ）证明：对2≥n 总有a x n ≥； (II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n

x x

[解析] 构造函数,21)(??

??+=

x a x x f 易知)(x f 在),[+∞a 是增函数。当1+=k n 时???

??+=

+k k k x a x x 211在),[+∞a 递增，故.)(1a a f x k =>+

对(II)有=-+1n n x x ???

??-n n x a x 21，构造函数,21)(??? ??-=x a x x f

它在),[+∞a 上是增函数，故有=

-+1n n x x ≥???

? ??-n n x a x 210)(=a f ，得证。【注】①本题为02年高考北京卷题，有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景——数列{}n x 单调递减有下界因而有极限：

).(+∞→→n a a n

②??? ?

x a x x f 21)(是递推数列???

? ??+=+n n n x a x x 211的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。

五换元放缩

例16 求证).2,(1

11≥∈-+

<<*n N n n n n [简析] 令n n n h n a +==1，这里),1(0>>n h n 则有

)1(1

02)1()1(2

>-<

+=n n h h n n h n n n n n ，从而有.1

2111-+

<+=

例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4

)1(2

2->a n a n

[简析] 令1+=b a ，则0>b ，b a =-1，应用二项式定理进行部分放缩有

2221102

)1()1(b n n b C C b C b C b C b a n n n n n n n n n n n n -=

>++++=+=---Λ，注意到N n n ∈≥,2，则4

2)1(222b n b n n ≥

-（证明从略），因此4)1(22->a n a n

. 六递推放缩

递推放缩的典型例子，可参考上述例11中利用)(i 部分放缩所得结论121+≥+k k a a 进

行递推放缩来证明)(ii ，同理例7)(II 中所得n

21>-+k k a a 都是进行递推放缩的关键式。

七转化为加强命题放缩

如上述例10第)(ii 问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法，我们可以通过从特值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题：

21111111121+-≤++++++n n a a a Λ 再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了。例18 设10<

n +=

+=+1

,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a [解析] 用数学归纳法推1+=k n 时的结论11>+n a ，仅用归纳假设1>k a 及递推式

a a a k

k +=

1是难以证出的，因为k a 出现在分母上！可以逆向考虑： .11111a

a a a a k k k -+=

+ 故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数n 有.11

a n -<

（证略）例19 数列{}n x 满足.,21

2211n

x x x x n n n +==+证明.10012001

[简析] 将问题一般化：先证明其加强命题.2

x n ≤

用数学归纳法，只考虑第二步：

.21

412)2(1222221+<+=?+≤+=+k k k k k k

例20 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝

2，且a n ＝n 1n 1

3na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－

（1）求数列｛a n ｝的通项公式；

（2）证明：对一切正整数n 有a 1a 2……a n

，因此｛1－n n a ｝为一个等比数列，其首项为1－11a ＝13，公比13，从而1－n n a ＝n 13，据此得a n ＝n

n n 331

?－（n 1） (1)

（2）证：据1得，a 1a 2…a n ＝

12……2 显然，左端每个因式都是正数，先证明一个加强不等式：对每个n N ，有2n 1

11111333?（－）（－）…（－）1－（2n

?（－）（－）…（－）1－（2n 111333＋＋…＋）

例21 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n

n n

（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有

711154<+++m a a a Λ. [简析] （Ⅰ）略，（Ⅱ） []

2222223)121121(231121321

2121--++?=-++=+-------+n n n n n n n n n a a )2

21(2322223123212-----+?=+?

，于是, ①当4>m 且m 为偶数时

=+++m

a a a 1

1154Λ)11()11(11654m m a a a a a +++++-Λ .87

8321)2

11(412321)212121(23214243=+<-??+=++++<

--m m Λ ②当4>m 且m 为奇数时

<+++m a a a 11154Λ1

541111+++++m m a a a a Λ（添项放缩）由①知

1111154<+++++m m a a a a Λ 由①②得证。

九. 借助数学归纳法

例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；

（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,,Λ满足12321=++++n p p p p Λ，求证：

p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log Λ

[解析] 这道高考题为05年全国卷Ⅰ第22题，内蕴丰富，有着深厚的科学背景：直接与高等数学的凸函数有关！更为深层的是信息科学中有关熵的问题。（Ⅰ）略，只证（Ⅱ）：

考虑试题的编拟初衷，是为了考查数学归纳法，于是借鉴詹森不等式的证明思路有：法1（用数学归纳法）

（i ）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.

（ii ）假定当k n =时命题成立，即若正数1,,,221221=+++k k p p p p p p ΛΛ满足，则.log log log 222222121k p p p p p p k k -≥+++Λ

当1+=k n 时，若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p ΛΛ满足（*）为利用归纳假设，将（*）式左边均分成前后两段：令.,,,,222211221x

p q x p

q x p q p p p x k k k ===+++=ΛΛ 则k q q q 221,,,Λ

为正数，且.1221=+++k q q q Λ

由归纳假定知.log log log 222222121k q q p p p q k k -≥+++Λ

k k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++ΛΛ ,log )()log 22x x k x x +-≥+ （1）

同理，由x p p p k k k -=++++++1122212Λ得

1122212212log log ++++++k k k k p p p p Λ).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥（2）

综合（1）（2）两式11222222121log log log +++++k k p p p p p p Λ

).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x

即当1+=k n 时命题也成立. 根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立. 法2 构造函数那么常数)),,0(,0)((log )(log )(22c x c x c x c x x x g ∈>--+=

],log )1(log )1(log [)(222c c

c x c x c x c x g +--+=

221222121x x x x x x x x ++?

≥+]1)()[log (21221-++=x x x x ② （②式是比①式更强的结果）. 下面用数学归纳法证明结论. （i ）当n=1时，由（I ）知命题成立.

（ii ）设当n=k 时命题成立，即若正数有满足,1,,,221221=+++k k p p p p p p ΛΛ

1111122212212222121221221222222121log log log log .

1,,,,1.

log log log ++++++++++==++++=-≥+++--k k k k k k k k p p p p p p p p H p p p p p p k n k p p p p p p ΛΛΛΛ令满足时当

对（*）式的连续两项进行两两结合变成k

2项后使用归纳假设，并充分利用②式有

1)()(],1)()[log (]1)()[log (11111121221212221221221=++++-++++-++≥++++++---k k k k k k p p p p p p p p p p p p H ΛΛ因为

由归纳法假设 ,)(log )()(log )(1111

212221

21221k p p p p p p p p k k k k -≥++++++++++--Λ

得).1()(1121221+-=++++--≥+++k p p p p k H k k Λ 即当1+=k n 时命题也成立. 所以对一切正整数n 命题成立.

【评注】（1）式②也可以直接使用函数x x x g 2log )(=下凸用（Ⅰ）中结论得到；（2）为利用归纳假设，也可对（*）式进行对应结合：i i i n p p q +-+=12而变成k 2项；

（3）本题用凸函数知识分析如下：

先介绍詹森（jensen ）不等式：若

()f x 为],[b a 上的下凸函数，则

对任意1),,,1(0],,[1=++=>∈n i i n i b a x λλλΛΛ，有

).()()(1111n n n n x f x f x x f λλλλ++≤++ΛΛ

特别地，若n i 1=

λ，则有)].()([1

)(11n n x f x f n

n x x f ΛΛ+≤++ 若为上凸函数则改“≤”为“≥”。

n p p p g p g p g p g +++≥+++ΛΛ

又

2321=++++n p p p p Λ，

所以

≥++++n n p p p p p p p p 222323222121log log log log Λ.)2

(

2n g n n -≥ （4）本题可作推广如下：

若正数n p p p ,,,21Λ满足121=+++n p p p Λ，则

.ln ln ln ln 2211n p p p p p p n n -≥+++Λ

简证：构造函数1ln )(+-=x x x x f ，易得.1ln 0)1()(-≥?=≥x x x f x f

?-≥?1)ln()(i i i np np np .1