4第四节 正交变换

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定理4 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换，于
是下面四个命题是相互等价的： 1)A是正交变换； 2)A保持向量的长度不变，即对于α∈V，|Aα|=|α|； 3)如果ε1,ε2,…,εn是标准正交基, 那么Aε1,Aε2,…,Aεn
也是标准正交基；
4)A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 证明 ① (1)<＝>2)) 1)＝>2)因为A是正交变换，即有(Aα, Aα) =(α, α)， 两边开方即得 |Aα|=|α| .
阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.
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如果A是正交矩阵，那么由 AAT=E 可知 |A|2=1或者|A|=±1. 因此，正交变换的行列式等于+1或-1. 行列式等于
+1的正交变换通常称为旋转，或者称为第一类的； 行列式等于-1的正交变换称为第二类的. 例如，在欧氏空间中任意取一组标准正交基 ε1,ε2,…,εn ，定义线性变换A为： Aε1=-ε1 , Aεi=εi , i=2,3, …,n. 那么，A就是一个第二类的正交变换. 从几何上看， 这是一个镜面反射 (参看本章习题15) .
再利用前两个等式，就有 (Aα, Aβ)=(α, β). 此即为，A是正交变换. ② (1)<＝>3)) 设ε1,ε2,…,εn是一组标准正交基，即有 1 ,当 i j ; ( i , j ) (i , j 1,2,, n) . 0 , 当i j .
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第四节
正交变换
在解析几何中，我们有正交变换的概念. 正交 变换就是保持点之间的距离不变的变换. 在一般的 欧氏空间中，我们有
定义9 欧氏空间V的线性变换A称为一个正交变换, 如果它保持向量的内积不变，即对任意的α, β∈V, 都有 (Aα, Aβ)=(α, β). 正交变换可以从几个不同方面公平加以刻划.
1)＝>3)因为A是正交变换，所以有 1 ,当 i j ; (Aεi, Aεj)= ( i , j ) (i , j 1,2,, n) . 0 , 当i j . 这就是说，Aε1,Aε2,…,Aεn 是标准正交基. 1)<＝3)因为Aε1,Aε2,…,Aεn 是标准正交基，则由 α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn. β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn. 与 Aα=x1Aε1+x2Aε2+…+xnAεn. Aβ=y1Aε1+y2Aε2+…+ynAεn. 即得 (α, β)=x1y1+x2y2+…+xnyn=(Aα, Aβ). 因而A是正交变换.
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1)<＝2)因为A保持向量的长度不变，即有 (Aα, Aα)=(α, α)， (Aβ, Aβ)=(β, β)， 及 (A(α+β), A(α+β))=(α+β, α+β) .
把最后的等式展开得 (Aα, Aα)+2(Aα, Aβ)+(Aβ, Aβ)=(α, α)+2(α, β)+(β, β).
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例1 令H是空间R3里过原点的一个平面，对任意
ξ∈R3 ，记ξ对于H的镜面反射的像是ξ. 则映射
σ :ξ|→ξ是R3的一个正交变换. 因为σ对应的矩阵是A=E-2ββT为一个正交矩
阵，其中β是平面H的单位法向量. 例2 设σ∈L(R3)，对任意向量ξ=(x1,x2,x3)∈R3 ，令 σ(ξ)=(x2,x3,x1). 则σ是R3的一个正交变换. 0 1 0 因为σ对应的矩阵是 A 0 0 1 为一个正交矩阵. 1 0 0
0 0 1 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
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3)<＝4) 因为A是正交矩阵，而ε1,ε2,…,εn是标准正 交基，则Aε1,Aε2,…,Aεn就是标准正交基. 这样，我们就证明了1),2),3),4)的等价性. 证毕.
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因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆
的. 由定义不难看出，正交变换实际上就是一个欧 氏空间到自身的同构映射(§3)，因而正交变换的 乘积与正交变换的逆变换还是正交变换. 在标准正 交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交矩
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③ (3)<＝>4))
设A在标准正交基ε1,ε2,…,εn下的矩阵为A，即 (Aε1,Aε2,…,Aεn)=(ε1,ε2,…,εn)A.
3)＝>4)由上因为Aε1,Aε2,…,Aεn也是标准正交基，
那么A就是由标准正交基ε1,ε2,…,εn到Aε1,Aε2,…,Aεn
的过渡矩阵，因而A是正交矩阵.
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例3 将R2的每一向量旋转一个角φ的正交变换关于 R2的任意标准正交基的矩阵是
cos sin
sin cos
又令σ是例1中的正交变换. 在平面H内取两个 正交的单位向量γ1, γ2，再取一个垂直于H的单位向 量γ3，那么 {γ1,γ2,γ3}是R3的一个规范正交基，σ关于 这个基的矩阵是 1 0 0