4第四节 正交变换

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paper41:正交变换

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paper41:正交变换正交变换是保持图形形状和⼤⼩不变的,包含旋转,及上述变换的复合。

⼏何意义正交变换是保持图形形状和⼤⼩不变的⼏何变换,包含旋转,轴对称及上述变换的复合。

代数定义欧⼏⾥得空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量内积不变,即对任意的α,β∈V,都有(σ(α),σ(β))=(α,β)设σ是n维欧式空间V的⼀个线性变换,于是下⾯4个命题等价1.σ是正交变换2.σ保持向量长度不变,即对于任意α∈V,⼁σ(α)⼁=⼁α⼁3.如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基,那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基4.σ在任意⼀组标准正交基下的矩阵是正交矩阵正交矩阵定义:n级实矩阵A称为正交矩阵,如果A'A=E。

(A'表⽰A的转置,E是单位矩阵)分类设A是n维欧式空间V的⼀个正交变换σ在⼀组标准正交基下的矩阵若⼁A⼁=1,则称σ为第⼀类正交变换,若⼁A⼁=-1,则称σ为第⼆类正交变换。

Matlab傅⽴叶变换、余弦变换和⼩波变换1. 离散傅⽴叶变换的 Matlab实现Matlab 函数 fft、fft2 和 fftn 分别可以实现⼀维、⼆维和 N 维 DFT 算法;⽽函数 ifft、ifft2 和 ifftn 则⽤来计算反 DFT 。

这些函数的调⽤格式如下:A=fft(X,N,DIM)其中,X 表⽰输⼊图像;N 表⽰采样间隔点,如果 X ⼩于该数值,那么 Matlab 将会对 X 进⾏零填充,否则将进⾏截取,使之长度为 N ;DIM 表⽰要进⾏离散傅⽴叶变换。

A=fft2(X,MROWS,NCOLS)其中,MROWS 和 NCOLS 指定对 X 进⾏零填充后的 X ⼤⼩。

别可以实现⼀维、⼆维和 N 维 DFTA=fftn(X,SIZE)其中,SIZE 是⼀个向量,它们每⼀个元素都将指定 X 相应维进⾏零填充后的长度。

函数 ifft、ifft2 和 ifftn的调⽤格式于对应的离散傅⽴叶变换函数⼀致。

正交变换与正交矩阵

正交变换与正交矩阵
(A-1)T=(AT)T=A=(A-1)-1=E. 故A-1是正交矩阵.
3)由2)知AT=A-1,AT是正交矩阵.
而A*=|A|A-1= A-1,有 (A*)T=(A-1)T=A=(A*)-1,
故A*是正交矩阵.
性质 设A,B都是正交矩阵,则: 1)AB , Am(m 为 自 然数 ),ATB , ABT ,A-1B , AB-1,A-1BA等都是正交矩阵;
2)3)设1,2,…,n是V的任一标准正交 基,记i+j=V.
由|A|=||或(A,A)=(,)得
(A(i+j),A(i+j))=(i+j, i+j) 而 (A(i+j),A(i+j))
=(Ai,Ai)+2(Ai,Aj)+(Aj,j) =(i,i)+2(i,j)+(j,j) (i+j, i+j)=(i,i)+2(i,j)+(j,j)
=-|B|2|BT+AT|=-|(A+B)T|=-|A+B| 1 设A是欧氏空间V的一个线性变换,若A保持向量的内积不变,即对于任意的 , V都有(A ,A ) = ( , ),则称A为V的正交变 换. 证:1)由AAT=E,可知|A|2=1,或者|A|= 1. 2)设A是奇数阶第一类正交矩阵,则A-E必不可逆.
二、等价条件 (A( i+ j),A( i+ j))=( i+ j, i+ j)
(A( i+ j),A( i+ j))=( i+ j, i+ j)
定理2.1 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换, 1)设A是第二类正交矩阵,则A+E必不可逆;

正 交 变 换

正 交 变 换

正 交 变 换1.研究对象:空间中物体的位置变化。

观察空间中的物体,当我们把一个物体从一个地点搬到另一个地点时,物体有什么性质保持不变,有什么东西会起变化。

2. 正交变换的建立搬动物体,除了物体的位置发生变化外,物体的本身属性都保持不变。

用数学的相关知识进行描述之即长度、面积、角度、体积等保持不变。

从测量、计算的角度而言,物体的度量性质不变。

由于长度是各种计算的基础,长度不变将导致角度、面积、体积等不变,即长度不变是本质性的。

用数学语言——变换——描述上述现象,即搬动物体的过程是一个保持长度不变的变换。

定义:保持任两点间距离不变的变换称为正交变换。

3. 正交变换的不变系统直线、线段、单位向量、垂直性、平行性,······。

4. 笛卡尔直角坐标系为了用代数的方法来研究正交变换,我们应该建立一种在正交变换下保持不变的坐标系5. 特例物体位置的变动不外乎移动、转动和翻动(以及它们的组合),它们的数学表示为 (1) 平移 ⎩⎨⎧+='+='00y y y x x x(2) 旋转⎩⎨⎧+='-='θθθθc o s s i n s i n c o s y x y y x x 或 X X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='θθθθc o s s i n s i n c o s。

(3) 反射⎩⎨⎧-='='yy xx 或 X X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='1001 。

问题探索:绕点),(000y x P 6. 正交变换的代数表示M O O O M O ''+'=',另一方面, 21e y e x M O'+'='所以 M O O O e y e x ''+'='+'21(*) 又 2010e y e x O O+=',21e y e x OM+=,根据正交变换的性质知 21e y e x M O '+'=''由向量代数知识可知 22211222211111,e a e a e e a e a e+='+=' 将它们代入(*)可得202221101211222112221111201021)()()()(e y y a x a e x y a a e a e a y e a e a x e y e x e y e x+++++=+++++='+'所以 ⎩⎨⎧++='++='0222101211y y a x a y x y a x a x所以正交变换的代数表示为⎩⎨⎧++='++='232221131211a y a x a y a y a x a x ,其中 0,122211211222212221211=+=+=+a a a a a a a a 。

高等代数第九章 4第四节 正交变换

高等代数第九章  4第四节 正交变换
第四节
正交变换
在解析几何中,我们有正交变换的概念. 正交 变换就是保持点之间的距离不变的变换. 在一般的 欧氏空间中,我们有
定义9 欧氏空间V的线性变换A称为一个正交变换, 如果它保持向量的内积不变,即对任意的α, β∈V, 都有 (Aα, Aβ)=(α, β). 正交变换可以从几个不同方面公平加以刻划.
1)=>3)因为A是正交变换,所以有 1 ,当 i j ; (Aεi, Aεj)= ( i , j ) (i , j 1,2,, n) . 0 , 当i j . 这就是说,Aε1,Aε2,…,Aεn 是标准正交基. 1)<=3)因为Aε1,Aε2,…,Aεn 是标准正交基,则由 α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn. β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn. 与 Aα=x1Aε1+x2Aε2+…+xnAεn. Aβ=y1Aε1+y2Aε2+…+ynAεn. 即得 (α, β)=x1y1+x2y2+…+xnyn=(Aα, Aβ). 因而A是正交变换.
阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.
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如果A是正交矩阵,那么由 AAT=E 可知 |A|2=1或者|A|=±1. 因此,正交变换的行列式等于+1或-1. 行列式等于
+1的正交变换通常称为旋转,或者称为第一类的; 行列式等于-1的正交变换称为第二类的. 例如,在欧氏空间中任意取一组标准正交基 ε1,ε2,…,εn ,定义线性变换A为: Aε1=-ε1 , Aεi=εi , i=2,3, …,n. 那么,A就是一个第二类的正交变换. 从几何上看, 这是一个镜面反射 (参看本章习题15) .

正交变换的等价条件及其应用

正交变换的等价条件及其应用

目录1引言 ..................................................................................................................................... 一2正交变换的定义及其等价条件.................................................................................... 二2.1定义.....................................................................................................................................................二2.2等价条件............................................................................................................................................三3正交变换的应用............................................................................................................... 五3.1化二次型为标准形 .........................................................................................................................五3.2解不变子空间相关问题 ................................................................................................................八3.3求解矩阵问题...................................................................................................................................九3.4求解欧氏空间中其它相关问题...................................................................................................九3.5在积分中的应用.......................................................................................................................... 十二4结束语............................................................................................................................. 十三参考文献............................................................................................................................ 十四致谢语 ................................................................................................................................ 十五正交变换的等价条件及其应用数学系2013级1班许鹏指导教师:陈金梅摘要:正交变换在大学学习中是一个重要的概念,例如在代数中,它涉及到了线性代数中一大部分的基本概念,如矩阵、向量、线性变换、标准正交基等,深入探讨研究这个课题对学好高等代数和线性代数十分有帮助.不仅如此,它在其他的领域也有着大范围的普及,如在积分的应用中,在多重积分的方面。

正交变换

正交变换

最后等式表明,φ-ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cosψ = m sin ϕ, sin ψ = ± cosϕ
所以
cosϕ − sin ϕ U = sin ϕ cosϕ

cosϕ sin ϕ U = sin ϕ − cosϕ
在前一情形中,σ是将 V2 的每一向量旋转角 φ的旋转; 在后一情形,σ将 V2 中以(x, y)为坐标的向 量变成以(xcosφ+ysinφ, xsinφ–ycosφ) 为 ϕ 坐标的向量. 这时σ是关于直线 y = tan( )x 的反射. 2 这样, 2 的正交变换或者是一个旋转,或者是 V 关于一条过原点的直线的反射. 如果是后一情形,我们可以取这条直线上一个 ′ ′ 单位向量 γ 1 和垂直于这条直线的一个单位向量 γ 2 作为 V2 的一个规范正交基.
例3 欧氏空间V的一个线性变换是正交变换的充要 条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切, 条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切, 都有. ξ ,η ∈V 都有. | σ (ξ ) − σ (η) |=| ξ −η |
8.3.2 正交变换的等价条件
定理8.3.1 定理8.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换σ是正交 变换的充分且必要条件是:对于V 中任意向量 ξ ,η ,< σ (ξ ),σ (η) >=< ξ ,η > . 证明 条件的充分性是明显的. 因为(1)中 取 ξ=η,就得到 | σ (ξ ) |2 =| ξ |2 ,从而 | σ (ξ ) |=| ξ | .反 过来,设σ是一个正交变换,那么对于ξ,η∈ V,我们有 | σ (ξ +η) |2 =| ξ +η |2
这样, 3 的任意正交变换σ关于某一正交基 V {α1 ,α2 ,α3} 的矩阵是下列的三种类型之一:

第四节正交变换

第四节正交变换
第九章 欧几里得空间
§4 正交变换
一、正交变换定义
定义 9 设 V 是欧氏空间,/A ∈ L(V),且对 ∀α , β ∈ V,有
(/ A(α ), / A( β )) = (α , β )
则称/A 是欧氏空间 V 的正交变换.
二、正交变换的性质
,则下面四个命题等价: 定理 4 设 V 是欧氏空间,/A ∈ L(V) 1)/A 是正交变换; 2)/A 保持向量长度不变,即对 ∀α ∈ V , | / A(α ) |=| α | ; 3)/A 把标准正交基变为标准正交基; 4)/A 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵;
三、正交变换的分类
设/A 是正交变换,/A/在某标准正交基下的矩阵是 A,若
A = 1 ,则称/A 是第一类正交变换;若 A = −1 ,则称/A 是第二
类正交变换.
例 2 设是欧氏空间中一单位向量,定义
/ A(α ) = α − 2(η , α )η
证明:1)/A 是正交变换。这样的正交变换称为镜面反射: 2)/A 是第二类的; 3)如果维欧氏空间中,正交变换/A 以 1 作为一个特征值, 且属于特征值 1 的特征子空间 V1 的维数为 n-1, 那么/A 是镜面反射。
二、欧氏空间同构判定定理
定理 3 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的 维数相同.
注意: 1)正交变换是可逆变换;
2)正交变换是同构变换;
3)正交变换的逆变换是正交变换;
4)正交变换的乘积是,但反之不真,即保持长 度未必是正交变换;
6)正交变换是保角变换,但反之不真; 7)平面旋转变换是正交变换.

§4正交变换

§4正交变换



( A , A ) ( , ) .
再来证明1)与3)等价. ( 1 ) (3 )
,2 , , 设 是一组标准正交基,则 1 n 1 ,i j , ( AA , ) (, ) (, i j 1 ,2 , ,n ) . i j i j 0 ,i j A , A , , A 由此可知, 也是标准正交基. 1 2 n (3 ) ( 1 ) ,2 , , , A , , 设 是一组标准正交基,则 A 1 n 1 2 A n 也是一组标准正交基,于是对于 , V ,设


( A ,) A 2 ( A , A ) ( A , A )
( A A , A A ) ( A ( ) ,( A ) ) ( , ) . ( , ) 2 ( ,) ( ,) ,
再利用 ( 即得 A , A ) ( ,) , ( A , A ) (, )
,2 ,3 建立的直角坐标系是右手 式等于 1,则以 1
三维几何空间中的右手系和左手系的概念可以
只是没有了右手法则和左 广到一般n维欧氏空间中,
手法则这样直观的表示. 于是我们就直接按过渡矩 阵的行列式列的符号(即等于+1还是-1)对n 维欧 氏空间中的的标准正交基进行分类. 欧氏空间(也 可用于线性空间)中所有的基分为两类: 先选取一 组基,凡是与它的过渡矩阵大于零的基属于一类, 反之,与它的过渡矩阵小于零的基属于另一类.
n
n
n
j 1 n
于是
xi yj (A i , A j )
n
i 1

矩阵的正交变换

矩阵的正交变换

矩阵的正交变换是指一个线性变换,该变换通过正交矩阵来实现。

正交矩阵是
一种特殊的矩阵,它的行向量和列向量都是正交的,即它们的点积为零。

如果矩阵P是正交矩阵,那么线性变换y = P x称为正交变换。

正交变换具有
以下性质:
1. 保持向量的长度不变:对于任意向量x,有∣∣y∣∣ = ∣∣x∣∣,即变
换前后的向量长度保持不变。

2. 保持向量的正交性:如果变换前向量x和向量y正交,那么变换后向量y'
和向量x'也正交。

3. 在标准正交基下,正交变换对应的矩阵为正交矩阵。

此外,正交矩阵还有以下性质:
1. 正交矩阵的所有特征值为±1。

2. 正交矩阵的行列式为±1。

3. 正交矩阵的逆矩阵和共轭转置矩阵仍为正交矩阵。

4. 正交矩阵乘积仍为正交矩阵。

这些性质使得正交变换在许多领域中都有重要的应用,例如线性代数、几何学、信号处理等。

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,
即 保持向量夹角不变.
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14பைடு நூலகம்
但 | ( ) || k || k || || |
故 不是正交变换.
几何意义是明显的,数乘变换只可能改变向量 的长度,而不改变向量的夹角.
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15
(1 ), ( 2 ),, ( n )的过渡矩阵,因而A是正交阵.
反之,若A是正交阵, 因1 , 2 ,, n是标准正交
基,故 ( 1 ), ( 2 ),, ( n )也是标准正交基.
综上,1), 2), 3),4)等价.
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9
因为正交矩阵是可逆的,所以正交变换是可逆 的.由定义可知,正交变换实际上就是一个欧氏空 间到它自身的同构映射. 因而还有以下结论: 正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正 交变换. 因在标准正交基下,正交变换与正交矩阵对应, 故有: 正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正 交矩阵.
( ( i ), ( j )) ( i , j )
于是
1, 当i j ( ( i ), ( j )) ( i , j 1, 2,, n) 0, 当i j
所以 ( 1 ), ( 2 ),, ( n )是V的标准正交基.
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( ( ), ( )) ( ), ( ) arccos | ( ) || ( ) |
( , ) , arccos | || |
所以 ( ), ( ) , .
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( ( ), ( )) (( x1 cos y1 sin )( x2 cos y2 sin ) ( x1 sin y1 cos )( x2 sin y2 cos )

第四章 图象处理中的正交变换

第四章  图象处理中的正交变换

图像增强:频域过滤

Butterworth过滤器截止频率的设计
选择2: H(u,v) = 1/2 当 D0 = D(u,v)时
H (u, v)
1 ( 2 1)D(u, v) / D0
1
2n

1 0.414D(u, v) / D0
1
2n
图像增强:频域过滤
图像增强:频域过滤
x(t)
y(t)
当输入信号沿时间轴平移T,有: x(t - T) y(t - T) 则称该线性系统具有平移不变性

卷积 – 卷积的定义

– 离散一维卷积 – 二维卷积的定义 – 离散二维卷积
– 卷积的定义 对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t),如果有一 个一般表达式,来说明他们的关系,对线性系统的 分析,将大有帮助 卷积积分就是这样的一般表达式
频域图像(幅度谱)
均值性
–均值性的描述:
离散函数的均值等于该函数傅立 叶变换在(0,0)点的值
M-1N-1
F(0,0) = 1/MNf(x,y)e0
x=0 y=0

周期与共轭对称
– 周期性的描述:离散傅立叶变换DFT和
它的逆变换是以N为周期的 对于一维傅立叶变换有: F(u) = F(u + N) 对于二维傅立叶变换有: F(u,v) = F(u + M,v+N)

为中心的共轭对称函数 对于一维傅立叶变换有: 对于二维傅立叶变换有:
周期与共轭对称 – 共轭对称性的描述:傅立叶变换结果是以原点 F(u) = F*(-u)
F(u,v) = F*(-u ,-v) * 表示对于复数的标准共轭操作
快速傅立叶变换(FFT)及编程实现 离散余弦变换 沃尔什变换 哈尔函数及哈尔变换 斜矩阵与斜变换 小波变换

线性代数中的正交变换及其应用

线性代数中的正交变换及其应用

线性代数中的正交变换及其应用在数学领域中,线性代数是一个重要的分支,它被广泛应用于计算机科学、计算机图形学、信号处理等领域。

而正交变换是线性代数的一个重要概念,也是许多应用中必不可少的一部分。

正交变换是指一个变换把一个向量变换为另一个向量,使得它们保持正交关系和长度不变。

也就是说,正交变换不会改变向量之间的夹角和长度大小,而只是改变它们在空间中的位置。

正交变换包括旋转、镜像和反射等操作。

它们常被用在三维计算机图形学中,用于让物体沿着不同的方向旋转或翻转,从而达到展示不同视角的效果。

同时,正交变换还被用于方程组求解、信号处理以及图像压缩等领域中。

下面我们以三维计算机图形学中的应用为例,来展示正交变换的一些操作和应用:1. 旋转变换在三维计算机图形学中,旋转变换是应用最为广泛的正交变换之一。

它可以通过对向量进行正交旋转来改变物体在空间中的位置和方向,并呈现不同的视角效果。

例如,我们将一个位于空间中的球体进行旋转变换,可以让它沿着不同的方向自转,并呈现不同的视角。

这在电影制作、游戏开发等领域中被广泛应用。

2. 镜像变换镜像变换是指将物体沿着平面进行对称操作,从而得到物体的反射形态。

这个操作在计算机图形学中非常常见,例如,我们可以将一个物体进行左右翻转、上下翻转等操作,从而得到不同的视角和形态。

在实际应用中,镜像变换还被用于图像压缩和数据压缩领域。

例如,我们可以将一个图像进行左右翻转,并保证它的质量不会受到影响,从而达到减小图像体积的效果。

3. 反射变换反射变换是指将向量沿着平面进行对称操作,成为另外一个向量。

这个操作在计算机图形学中也是比较常见的,例如,我们可以将一个物体进行镜像反射,从而得到其在空间中的另一个位置。

同时,反射变换还被用于线性方程组的求解、信号处理等领域。

综上所述,正交变换是线性代数中非常重要的一个概念,它在计算机图形学、信号处理、方程组求解等领域中都得到了广泛的应用。

通过使用正交变换,我们可以轻松地改变物体在空间中的位置和方向,从而达到不同的视角效果。

正交变换

正交变换

二、基本性质 1、定理8.3.1:欧氏空间 V 的一个线 性变换 是正交变换充要条件是 , V , 有 ( ), ( ) , 。 例1的第二种证明。 2、正交变换保持夹角不变。 3、定理8.3.2:n 维欧氏空间 V 的一 个线性变换 是正交变换的充要条件 是 把 V 的任意一个规范正交基仍变 成 V 的一个规范正交基。
例1的第三种证明。
n 维欧氏空间 V 的一 4、定理8.3.3: 个线性变换 是正交变换的充要条件 是 关于V 的任意规范正交基的矩阵是 正交矩阵。
三、补充例题。
1、证明:正交变换的特征值为
1
பைடு நூலகம்

2、设 A, B 是 n 阶实可逆矩阵,且 AA B B 证明:存在正交矩阵 U ,使得 A UB 。
8.3 正交变换
一、概念
定义1、欧氏空间 V 的一个线性变换 叫做一个正交变换,如果 V ,都有 () 。 欲证 是正交变换,即证: 是线性变换; (1) V ,都有 () 。 (2)
n 维欧氏空间 V 的两个正 例1、证明: 交变换 , 的乘积 也是正交变换。

数字图像处理 第四章 图像的正交变换

数字图像处理 第四章 图像的正交变换

cos sin
F (, ) 2 f (r, )e j 2 rcos( ) rdrd 00
将图像旋转 θ 角度时
F(, 0)
0
2 f (r, )e2 j rcos[( 0 )]rdrd
0
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
原图
原图的频谱
将原图旋转
旋转 θ 后图像的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
- j 2 ( u0 x v0 y )
DFT ( f (x, y) e M N )
f (x, y) e M N e
MN
x0 y0
M 1 N 1
j 2 ( (u u0)x (v v0 ) y )
f (x, y) e
M
N
x0 y0
F (u u0 , v v0 )

u0
M 2
, v0
4.1.1 傅里叶变换的定义
原始图像
图像的傅立叶频谱
如果频谱图的亮点在中心区域比较集中,说明图像含有较多的低频分量; 如果频率图的亮点在边缘部分比较集中,则说明图像含有较多的高频分量。
4.1.1 傅里叶变换的定义
图像的幅度谱
图像的相位谱
4.1.1 傅里叶变换的定义
人为加入噪声后的图像
人为加入噪声后图像的频谱
(五)、尺度变换性 给定标量 a,则有下式成立:
af x, y aF u,v
图像尺度上的变化不影响图像的频谱分布。
4.1.2
(a)原始图像
(b)将原始图像放大1.5倍后的图像
(c)原始图像频谱
(d)将原始图像放大1.5倍后图像的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
(六)、离散卷积定理

9.4 正交变换(1)

9.4  正交变换(1)

等价. 最后来证 3) 与 4) 等价 设 A 在标准正交基 ε1 , ε2 , … , εn 下的矩阵为 A,即 , (A ε1 , A ε2 , … , A εn ) = (ε1 , ε2 , … , εn )A . 是标准正交基, 如果 A ε1 , A ε2 , … , A εn 是标准正交基,那么 A 可 以看作由标准正交基 ε1 , ε2 , … , εn 到A ε1 , A ε2 , … , A εn 的过渡矩阵,因而是正交矩阵 反过来,如 的过渡矩阵,因而是正交矩阵. 反过来, 是正交矩阵, 果 A 是正交矩阵,那么 A ε1 , A ε2 , … , A εn 就是 标准正交基. 标准正交基 4)的等价性 的等价性. 这样,我们就证明了1) 这样,我们就证明了1) , 2) , 3) , 4)的等价性
性质4 性质4 (正交矩阵的性质) 正交矩阵的性质)
1)设A为正交矩阵, 为正交矩阵, 则AT也为正交矩阵. 也为正交矩阵.
2)设A为正交矩阵,则| A | = ± 1. 为正交矩阵, . 3)设A,B为正交矩阵, 为正交矩阵, 则AB也为正交矩阵. AB也为正交矩阵 也为正交矩阵.
性质5 性质5 正交变换的行列式等于 + 1 或者 - 1 .
小 结
1.正交变换的定义 1.正交变换的定义 2.正交变换的性质 2.正交变换的性质
作业
P393 6; 7; ; ; 15.(1),(2)
第九章 欧几氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换
§5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的 距离─ 距离─最小二乘法 §8 酉空间的介绍
第四节 正交变换
主要内容
定义 性质

正交变换

正交变换

正交变换设M是对称矩阵, P是正交矩阵, N=P^tMP 称为 M的正交变换。

(正交矩阵的定义为:P.P^t = I)正交变换既是相似变换,也是相合变换。

正交变换不改变M的特征值。

正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式:。

则有:它的每一个矩阵元都是分子所有质量加权坐标的线性组合,总的矩阵元的数量恰巧等于质量加权坐标的个数,这些矩阵元就被称作简正坐标,而这些变换中分子的势能不变,所以正交变换又称为酉变换.采用OpenCV进行人脸识别一、实现原理本程序的实现方法请参看《face recognition using an embedded HMM》。

二、开发工具1、OpenCV视觉开发库2、MFC三、程序运行1、主界面主界面包括识别区域和结果区域。

如下:2、参数设置(Set Params)u状态数的设置,默认为5个超态,从上到下分别代表前额(3),眼睛(6),鼻子(6),嘴巴(6),下巴(3)u观察向量2D-DCT:包括观察向量大小(OBS),DCT大小和Delta大小u最大迭代次数,默认为80u混合高斯次数,默认为33、人员管理(Per Manage)人员管理界面如下:u添加人员信息:输入人员信息具有Name与NO属性,NO不可重复。

u删除人员信息:在人员列表中选择要删除的人员,然后进行删除,人员信息删除后,包括人员的图片也进行删除,该人员也不在识别范围内。

u添加人员图片:一个人可以多张图片,点击要添加的人员,可以通过此按钮添加图片。

添加前最好在.. \HMM\××文件夹里(××表示该人员名称)。

u删除人员图片:点击要删除的图片,按“Del Image”按钮进行删除,图片删除后只是该图片不在训练的区域。

正交变换

正交变换

《正交变换的分类》一.概述正交变换是一种保持长度不变的线性变换(数域F中一个空间V 到自身的映射),在解析几何平面内保持这种关系或是等价关系或是全等关系。

其中包括平移、旋转、对折、或者是其中的组合等。

那么在欧氏空间(基本理论中有其概念)中,也会有如此的形式将一个向量经过某种途径将其变化而保持其长度不变。

在欧氏空间中实现这一变化和几何平面中几乎相同,它包括反射,旋转和这两种的组合,有限维数(两维以上)的空间中,这一变化可以实现,但是,实践起来并不容易。

以一个简单例子引入,如图:αβ向量βα,在平面上采取了反射(或对称)变换使得βα=,这是平面中的实例。

那么在欧氏空间中,实现正交变换(反射,旋转还有而者的组合)会在论文中从二维和三维空间中步步引入。

二. 基础知识与理论基础 1. 正交变换的定义欧氏空间V 的一个线性变换叫δ作一个正交变换,如果对于任意V ∈ξ都有:|)(ξδ|=|ξ|2. 欧氏空间的概念设V 是实数域R 上一个向量空间。

如果对于V 中任意一对向量ηξ,有一个确定的记作<ηξ,>的实数与他们对应,叫作向量ξ与η的内积(或标量积),并且下列条件被满足:(i)<ηξ,>=<ξη,>(ii)<ζηξ,+>=<ζξ,>+<ζη,> (iii)<a ηξ,>=a<ηξ,> (iv)当0≠ξ时,<ξξ,>>0这里ζηξ,,是V 中任意向量,a 是任意实数,那么V 叫作这个内积来说的一个欧氏空间。

3. 正交矩阵n 维欧氏空间一个规范正交基到另外 一个规范正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵。

有以下结论:UU T =U T U=I, U -1=U T4. 特征多项式定义设A=(a ij )是数域F 上一个n 阶矩阵。

行列式:f A (x)=det(XI-A)=1...312111an a a a x ----annx n a na n a ----................3...............2..............1.............. 叫作矩阵A 的特征矩阵多项式。

第四章 正交变换和仿射变换

第四章 正交变换和仿射变换
σ τ
同理可得στ 的公式为:
x y

cos θ sin θ − sin θ cos θ
x y

a b
.
=
+
由此可见, τ σ = στ . 平面上的平移与旋转变换及其乘积也称为平面上的运动(即刚体运动), 它是平面到自身上的1-1变 换. 定义4.1.4. 设σ : S → S , 若存在τ : S → S , 使得
− − → 定义4.2.2. 设P, Q, R是共线的三点, 在此直线上任取一个单位向量e, 若P Q = λe, 则称λ是线段P Q的 PR 有向长度(或代数长), 就用P Q表示. 称 为共线三点P, Q, R的简单比, 记为(P, Q, R). RQ
性质4 正交变换把直线变成直线, 并保持共线三点P, Q, R的简单比不变. 证 设P, Q是直线l上不同的两点, 那么它们的像P , Q 也不相同, 于是决定一条直线l . 对于l上任 一点R, 若P, R, Q按此顺序共线, 则
τ σ = Is : S → S, στ = Is : S → S ,
则称映射σ 是可逆的, τ 称为σ 的逆映射, 记作τ = σ −1 . 可证, σ 可逆的充要条件为σ 为双射, 且若σ 可逆, 则它的逆映射是惟一的. 例4.1.7. 求平移变换σ 的逆变换σ −1 解 只须由σ 的公式中反解出x, y 即可. 由 x = x + a, σ: y = y + b,
x y cos θ sin θ cos θ sin θ − sin θ cos θ x a = = + b y a cos θ − b sin θ x − sin θ + . a sin θ + b cos θ y cos θ
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第四节
正交变换
在解析几何中,我们有正交变换的概念. 正交 变换就是保持点之间的距离不变的变换. 在一般的 欧氏空间中,我们有
定义9 欧氏空间V的线性变换A称为一个正交变换, 如果它保持向量的内积不变,即对任意的α, β∈V, 都有 (Aα, Aβ)=(α, β). 正交变换可以从几个不同方面公平加以刻划.
3)<=4) 因为A是正交矩阵,而ε1,ε2,…,εn是标准正 交基,则Aε1,Aε2,…,Aεn就是标准正交基. 这样,我们就证明了1),2),3),4)的等价性. 证毕.
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因为正交矩阵是可逆的,所以正交变换是可逆
的. 由定义不难看出,正交变换实际上就是一个欧 氏空间到自身的同构映射(§3),因而正交变换的 乘积与正交变换的逆变换还是正交变换. 在标准正 交基下,正交变换与正交矩阵对应,因此,正交矩
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1)<=2)因为A保持向量的长度不变,即有 (Aα, Aα)=(α, α), (Aβ, Aβ)=(β, β), 及 (A(α+β), A(α+β))=(α+β, α+β) .
把最后的等式展开得 (Aα, Aα)+2(Aα, Aβ)+(Aβ, Aβ)=(α, α)+2(α, β)+(β, β).
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例3 将R2的每一向量旋转一个角φ的正交变换关于 R2的任意标准正交基的矩阵是
cos sin
sin cos
又令σ是例1中的正交变换. 在平面H内取两个 正交的单位向量γ1, γ2,再取一个垂直于H的单位向 量γ3,那么 {γ1,γ2,γ3}是R3的一个规范正交基,σ关于 这个基的矩阵是 1 0 0
阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.
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如果A是正交矩阵,那么由 AAT=E 可知 |A|2=1或者|A|=±1. 因此,正交变换的行列式等于+1或-1. 行列式等于
+1的正交变换通常称为旋转,或者称为第一类的; 行列式等于-1的正交变换称为第二类的. 例如,在欧氏空间中任意取一组标准正交基 ε1,ε2,…,εn ,定义线性变换A为: Aε1=-ε1 , Aεi=εi , i=2,3, …,n. 那么,A就是一个第二类的正交变换. 从几何上看, 这是一个镜面反射 (参看本章习题15) .
1)=>3)因为A是正交变换,所以有 1 ,当 i j ; (Aεi, Aεj)= ( i , j ) (i , j 1,2,, n) . 0 , 当i j . 这就是说,Aε1,Aε2,…,Aεn 是标准正交基. 1)<=3)因为Aε1,Aε2,…,Aεn 是标准正交基,则由 α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn. β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn. 与 Aα=x1Aε1+x2Aε2+…+xnAεn. Aβ=y1Aε1+y2Aε2+…+ynAεn. 即得 (α, β)=x1y1+x2y2+…+xnyn=(Aα, Aβ). 因而A是正交变换.
再利用前两个等式,就有 (Aα, Aβ)=(α, β). 此即为,A是正交变换. ② (1)<=>3)) 设ε1,ε2,…,εn是一组标准正交基,即有 1 ,当 i j ; ( i , j ) (i , j 1,2,, n) . 0 , 当i j .
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定理4 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换,于
是下面四个命题是相互等价的: 1)A是正交变换; 2)A保持向量的长度不变,即对于α∈V,|Aα|=|α|; 3)如果ε1,ε2,…,εn是标准正交基, 那么Aε1,Aε2,…,Aεn
也是标准正交基;
4)A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 证明 ① (1)<=>2)) 1)=>2)因为A是正交变换,即有(Aα, Aα) =(α, α), 两边开方即得 |Aα|=|α| .
0 0 1 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
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例1 令H是空间R3里过原点的一个平面,对任意
ξ∈R3 ,记ξ对于H的镜面反射的像是ξ. 则映射
σ :ξ|→ξ是R3的一个正交变换. 因为σ对应的矩阵是A=E-2ββT为一个正交矩
阵,其中β是平面H的单位法向量. 例2 设σ∈L(R3),对任意向量ξ=(x1,x2,x3)∈R3 ,令 σ(ξ)=(x2,x3,x1). 则σ是R3的一个正交变换. 0 1 0 因为σ对应的矩阵是 A 0 0 1 为一个正交矩阵. 1 0 0
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③ (3)<=>4))
设A在标准正交基ε1,ε2,…,εn下的矩阵为A,即 (Aε1,Aε2,…,Aεn)=(ε1,ε2,…,εn)A.
3)=&由标准正交基ε1,ε2,…,εn到Aε1,Aε2,…,Aεn
的过渡矩阵,因而A是正交矩阵.
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