全国中考数学试卷压轴题精选附标准答案

20XX 年全国中考数学压轴题精选(六)

51.（08湖南郴州27题）（本题满分10分）如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ．FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．． （1）求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．

（2）当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？

（08湖南郴州27题解析）（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB DG P ···· 1分 所以,

B GCE G BFE ∠=∠∠=∠

所以BEF CEG △∽△ ·············································································· 3分 （2）BEF CEG △与△的周长之和为定值． ···················································· 4分 理由一：

过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，

因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH

由BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6， 所以BC ＋CH ＋BH ＝24 ··············································································· 6分 理由二：

由AB ＝5，AM ＝4，可知

在Rt △BEF 与Rt △GCE 中，有：

4343

,,,5555

EF BE BF BE GE EC GC CE ====，

所以，△BEF 的周长是125BE ，△ECG 的周长是125

CE 又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG V V 与的周长之和是24． ··································· 6分

（3）设BE ＝x ，则43

,(10)55

EF x GC x =

=- 图10

M

B

D

C

E

F G

x A

A M x

H G

F

E

D C

B

所以21143622

[(10)5]2255255

y EF DG x x x x =

=-+=--g g ·

····························· 8分 配方得：2655121

()2566y x =--+

． 所以，当55

6x =时，y 有最大值． ·································································· 9分

最大值为121

6

． ···························································································· 10分

52（08湖南郴州28题）（本题满分10分）

如图13，在平面直角坐标系中，圆M 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于()()8006A B --，、，两点．

（1）求出直线AB 的函数解析式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在⊙M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数解析式；

（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D 、E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得ABC PDE S S ∆∆=10

1

？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（08湖南郴州28题解析）解：（1）设AB 的函数表达式为.b kx y +=

∵()(),6,0,0,8--B A ∴⎩⎨⎧=-+-=.6,80b b k ∴⎪⎩⎪⎨⎧

-=-=.

6,

43b k

∴直线AB 的函数表达式为3

64

y x =-

-． ·

························································ 3分 （2）设抛物线的对称轴与⊙M 相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C 。又设对称轴与x 轴相交于点N ，在直角三角形AOB 中，.10682222=+=+=

OB AO AB

因为⊙M 经过O 、A 、B 三点，且为AB AOB ∴=∠,90ο

⊙M 的直径，∴半径MA=5，∴N 为AO 的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C 点的坐标为（-4，2）． 设所求的抛物线为c bx ax y ++=2

则⎪

⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

-=-=-=∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-+-=-=-.6,4,21.6,4162,42c b a c c b a a b

∴所求抛物线为2

1462

y x x =--- ·

································································ 7分 （3）令，

0.642

12

=---

x x 得D 、E 两点的坐标为D （-6，0）、E （-2，0），所以DE=4． 又AC=∴=,54,52BC 直角三角形的面积.2054522

1

=••=∆ABC S

假设抛物线上存在点()1,2010

1

21101,±=∴•=••=∆∆y y DE S S y x p ABC PDE ，即使得．

当.641;241±-=-=±

-==x y x y 时，当时，故满足条件的存在．它们是

()()()()

123442,1,42,1,46,1,46,1P P P P -+---+----． ····················· 10分

53（08湖南湘潭26题）（本题满分10分）

已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点. （1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出∆OBC 的面积S 的值.

（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得∆OCD 与∆CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

（08湖南湘潭26题解析）解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=⎧⎪

++=⎨⎪=⎩ 2分 解得1

50a b c =-⎧⎪

=⎨⎪=⎩

·················································· 3分

故抛物线的函数关系式为2

5y x x =-+ ············ 4分

（2）C Q 在抛物线上，2

252,6m m ∴-+⨯=∴= ·· 5分

C ∴点坐标为（2，6）

，B Q 、C 在直线y kx b '=+上 ∴6266k b k b '=+⎧⎨'

-=+⎩解得3,12k b '=-= ∴直线BC 的解析式为312y x =-+6分

x

y

-4

-6

C E

P

D

B

5

1 2 4

6

F

A G 2 -2