新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业29高考调研精讲精练

课时作业(二十九)

1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B中的元素个数为()

A．4B．3

C．2 D．1

答案 C

2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝() A．4 B．4 2

C．8 D．8 2

答案 C

解析因为两圆都和两坐标轴相切，且都经过点(－4，1)，所以两圆圆心均在第一象限的角平分线上．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，所以a ＋b＝10，ab＝17，所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，所以|C1C2|＝（a＋b）2＋（a－b）2＝32×2＝8.

3．已知曲线C：y＝－x2－2x与直线l：x＋y－m＝0有两个交点，则m的取值范围是() A．(－2－1，2) B．(－2，2－1)

C．[0，2－1) D．(0，2－1)

答案 C

解析曲线C是圆x2＋y2＋2x＝0位于x轴上方的半圆，m是直线l：x＋y－m＝0在y轴上的截距，利用数形结合可得m的取值范围是[0，2－1)．故选C.

4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过()

A．1.4米B．3.0米

C．3.6米D．4.5米

答案 C

解析如图所示，通过勾股定理解得|OD|＝OC2－CD2＝3.6(米)．故选C.

5．若圆B ：x 2＋y 2＋b ＝0与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 b<－100

6．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB|＝3，则OA →·OB →＝________． 答案 －1

2

解析 由于圆的半径为1，|AB|＝3，

所以O 到直线的距离为1

2，∠AOB ＝120°，|OA|＝|OB|＝1.

所以向量OA →·OB →＝|OA →||OB →

|cos120°＝－12

.

7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

解析 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，

港口所对应的点的坐标为(0，4)，

轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，

则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y

4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到直线4x ＋7y －28

＝0的距离d ＝

|28|42＋72

＝

28

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，而半径r ＝3， ∴d>r ，即直线与圆相离，∴轮船不会受到台风的影响．

8.如图所示，过圆外一点P(a ，b)作圆x 2＋y 2＝k 2的两条切线，切点为A ，B ，求直线AB 的方程．

解析 设切点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则切线AP ，BP 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝k 2，x 2x ＋y 2y ＝k 2. ∵这两条切线都过点P(a ，b)， ∴ax 1＋by 1＝k 2，ax 2＋by 2＝k 2.

由以上二式可以看出：A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标都适合方程ax ＋by ＝k 2，它是一条直线方程，而过A ，B 的直线只有一条， ∴直线AB 的方程为ax ＋by ＝k 2.

9．已知圆x 2＋y 2＝8，定点P(4，0)，问过P 点的直线的倾斜角在什么范围内取值时，该直线与已知圆：(1)相切；(2)相交；(3)相离，并写出过点P 的切线方程．

解析 设直线的斜率为k ，倾斜角为α，则过点P 的直线方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0.又圆心到直线的距离d ＝

|－4k| k 2

＋1

＝|4k|1＋k 2

，

(1)直线与已知圆相切，则d ＝4，∴4|k|

1＋k 2

＝22，

∴k 2＝1，k ＝±1，∴α＝π4或α＝3π

4

.

即当α＝π4或α＝3π

4时，直线与圆相切，

切线方程为x －y －4＝0或x ＋y －4＝0. (2)直线与已知圆相交，则d

4|k|1＋k 2

<22，

∴k 2<1，∴－1

4，π)．

此时，直线与圆相交．

(3)直线与已知圆相离，则d>r ，∴

4|k|1＋k 2

>22，

∴k 2>1，∴k>1或k<－1. ∴α∈(π4，π2)∪(π2，3π4

)．

又当α＝π

2时，直线x ＝4与圆相离，

∴α∈(π4，3π

4

) 时，直线与圆相离．

10．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →

＝0(O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．

解析 将x ＝3－2y 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，

则y 1，y 2满足条件y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m

5

. ∵OP →·OQ →

＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2， ∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2.

∴9－6×4＋5×12＋m

5＝0，解得m ＝3.

此时Δ>0，圆心坐标为(－12，3)，半径r ＝5

2.

11．若实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0， (1)求y

x 的最大值和最小值；

(2)求y －x 的最小值；

(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值． 解析 方法一：

(1)圆方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2，0)为圆心，半径为3的圆．设y

x ＝k ，即y ＝kx ，

当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时有|2k －0|

k 2＋1

＝3，解得k ＝±3，

故y

x

的最大值为3，最小值为－ 3.