水塔流量的估计

2014年数学建模竞赛题（必做题）

1、水塔流量的估计

某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约3h.

水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。按照设计。水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升至约10.8m时水泵停止工作。

下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。

2、最佳广告费用及其效应

某装饰材料公司以每桶2元的价钱购进一批彩漆，为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王先生进行咨询。李经理认为，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算（见表1）。他问王先生广告有多大效应。王先生说：“投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。例如，投入3万元的广告费，销售增长因子为1.85，即销售量将是预期销售量的1.85倍。据经验，广告费与销售增长因子的关系有表2。”李经理听后，迫切想知道最佳广告费和售价为多少时预期的利润最大，试经过计算给出解答。

表1 售价与预期销售量

售价（元）预期销售量（千桶）2.00 41

2.50 38

3.00 34

3.50 32

4.00 29

4.50 28

5.00 25

5.50 22

6.00 20 表2 广告费与销售增长因子广告费（元）销售增长因子0 1.00

10000 1.40

20000 1.70

30000 1.85

40000 1.95

50000 2.00

60000 1.95

70000 1.80

表1 水位测量记录（符号//表示水泵启动）

3、露天采矿

某公司获准在一块200*200米的方形地上露天采矿。因为土石滑坡，控坑的坑边坡度不能斜于45度，公司一得到不同位置不同深度的矿砂含纯金属的百分数的估计值。考虑到坡度的坡度角对挖坑工作所加的限制，公司决定将问题作为长方形的挖取问题处理。每个长方形块水平尺寸为50*50，铅直尺寸为25。若在一个深度层挖了4块，则在下一层还可以挖一块；若俯视这5块的水平关系，将是图1所示的情形。这样一来，所能挖取的块数，第一层最多为16块，第二块最多为9块，第三层最多为4块，第四层最多为1块。不能再往下挖。所有这些能挖取的块，按已得的估计值，将各快含纯金属的百分数作为的值，则各快的值如下:

第一层

第二层

第三层

第四层

挖取费用随深度增加。各层的挖取费用为：

挖取一块的收入同该块的值成正比：从一个值为100的块可的收入200000。

试建一模型以帮助挖取哪些块，使收入减费用最大。