等差数列知识点解读

合集下载

等差数列知识点归纳总结

等差数列知识点归纳总结
等差数列是数学里最基本的概念之一，是定义数轴上元素排列方式的基础。

一个等差数列是从第二项开始，后一项减去前一项的差都是固定值的数列，称为等差数列。

等差数列的特点是可以求出中间的项，预测后面的项，计算等差数列的和等。

第一，等差数列的定义。

等差数列，也称等差级数，是由一系列等差的数构成的数列，也就是前面两项的差相同，且为有限数，叫做等差数列。

第二，等差数列的特点。

等差数列的特点是，前一项与下一项的差是一个固定的值，也就是等差数列的公差，从而可以从其中推测出等差数列中的其他数。

第三，等差数列的公式。

等差数列的通用公式为：Sn = a1 + (n - 1) d,其中，a1表示等差数列的第一项，d表示等差数列的公差，n 表示等差数列的项数，Sn表示等差数列中第n项的值。

第四，等差数列的求和计算。

等差数列的求和计算有两种方法，一种是利用求和公式，一种是利用构造法来求和。

求和公式是：Sn = a1 + a2 + a3 + + an = n(a1 + an) / 2。

构造法是把等差数列分成两半，把两半数列的首项和末项相乘，得到的积叫做构造法的和。

第五，等差数列的应用。

等差数列广泛应用于数学、计算机、统计学和其他学科，如时间序列分析、有限项计算、数列递推、方程定义等，这些都可以利用等差数列的特性加以计算。

综上所述，等差数列是数学里最基本的概念之一，包括定义、特
点、公式、求和计算、应用等。

它在数学、计算机、统计学和其他学科有着广泛的应用，是这些学科里重要的基础概念，也是几乎所有数学计算研究的基础。

常见数列知识点总结归纳

常见数列知识点总结归纳数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的研究在数学中具有广泛的应用，涉及到多个领域。

本文将对常见数列的相关知识点进行总结和归纳。

一、等差数列等差数列是最基础也是最常见的数列类型之一。

它的特点是数列中的每一项与前一项之间的差值都是相等的。

1. 通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。

2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn为前n项的和。

3. 性质与运算等差数列具有多个性质和运算规则，例如：任意两项之和等于其间项数乘以公差、删除相同项后，剩下的数列仍然是等差数列等。

二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的特点是数列中的每一项与前一项之比都是相等的。

1. 通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。

2. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。

3. 性质与运算等比数列也有多个性质和运算规则，例如：相邻两项之商等于公比、删除相同项后，剩下的数列仍然是等比数列等。

三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an为第n项，an-1为第n-1项，an-2为第n-2项。

斐波那契数列具有独特的性质，例如：相邻两项之比逐渐接近黄金分割比、在数列中，某一项与它之后的项之商趋近于黄金分割比等。

四、几何数列几何数列是一种特殊的数列，它的前一项与后一项之比都是相等的。

几何数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。

几何数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。

(完整版)等差数列知识点总结

等差数列1. 定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：（1）*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈（首项:1a ，公差:d ，末项:n a ）（2）d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+- 2An Bn =+（其中A 、B 是常数）（当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）5．等差数列的证明方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

注：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）7.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

等差数列知识点总结归纳

等差数列知识点总结归纳等差数列，顾名思义，是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

它是数学中一种重要的基本数列，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际问题中也有很多的应用。

本文将为您总结归纳一些等差数列的重要知识点。

一、等差数列的定义与性质1. 等差数列的定义：设数列a₁, a₂, a₃, ..., an, ...，如果它的公差d 是一个常数，即对于任意的正整数n，有an+1 - an = d，那么我们称这个数列为等差数列。

2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么等差数列的第n项an可以表示为an = a₁ + (n-1)d。

3. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和Sn可以表示为Sn = (a₁ + an)n/2，其中an为等差数列的第n 项。

二、等差数列的常见问题1. 求等差数列的公差：根据等差数列的定义，可以通过求相邻两项的差来确定等差数列的公差。

2. 求等差数列的前n项和：使用前n项和公式，带入相应的数值进行计算即可。

3. 求等差数列的第n项：使用通项公式，将n带入公式中即可求得等差数列的第n项。

4. 求等差数列中满足特定条件的项数：将通项公式中的an与给定的值进行比较，解方程可以求得满足条件的项数。

三、等差数列的应用场景等差数列在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些用途的例子：1. 资金的等额递增或等额递减：在金融领域中，等差数列可以用来描述资金的等额递增或等额递减情况，比如按固定金额逐月还贷款。

2. 数学建模问题：在一些数学建模问题中，等差数列可以用来描述数量的变化规律，例如人口增长问题、物品价格变化问题等。

3. 科学实验中的数据分析：在科学实验中，往往需要对一系列数据进行分析，若这些数据满足等差数列的规律，就可以使用等差数列的知识进行处理和预测。

四、等差数列与数学思维培养研究等差数列的性质，可以促进我们培养一些重要的数学思维，比如：1. 归纳推理能力：通过观察等差数列的规律，总结归纳出等差数列的通项公式和前n项和公式。

等差数列知识点总结

等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。

用递推公式表示为或。

根据定义，当我们看到形如：、、、、时，应能从中得到相应的等差数列。

等差数列的判定方法1. 定义法：若或(常数) 是等差数列．2.等差中项：数列是等差数列．3.数列是等差数列（其中是常数）。

4.数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．例1．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2，则{a n}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2．等差数列通项公式：，首项:，公差:d，末项:推广：．从而；等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列。

例2．等差数列{a n}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，a n＝33，则n为( ) A．48 B．49 C．50 D．51如(1)等差数列中，，，则通项；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；例3.设{a n}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3＝15,a1a2a3＝80,则a11+a12+a13等于（）A.120B.105C.90D.75例4：已知数列{a n}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和S n有最大值，则使S n>0的n的最大值为( )A．11 B．19 C．20 D．211..已知数列{a n}的前n项和S n＝n(n-40),则下列判断正确的是( )A.a19＞0,a21＜0B.a20＞0,a21＜0C.a19＜0,a21＞0D.a19＜0,a20＞02.若数列{a n}的前n项和S n＝n2-10n(n＝1,2,3,…),则此数列的通项公式为_______________;数列{na n}中数值最小的项是第_______项.3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或. (2）等差中项：数列是等差数列.例5．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个1．已知1，a，b成等差数列，3，a＋2，b＋5成等比数列，则等差数列的公差为( )A．3或－3 B．3或－1 C．3 D．－32．在等差数列中，，则的值为( )（A）5 （B） 6 （C）8 （D）103 已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝π,则cos(a2+a8)的值为________________.4、等差数列的前和的求和公式：（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）前和是关于的二次函数且常数项为0.例6：等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是( )A．S7 B．S8 C．S13 D．S15例7：设S n是等差数列{a n}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.1．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1＝－2010，－＝2，则S2010的值为________．2. 设{}为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（）A.18B.20C.22D.243 数列中，，，前n项和，则＝＿，＝＿4已知数列的前n项和，求数列的前项和5设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a3+a7-a10＝8,a11-a4＝4,则S13等于（）A.168B.156C.78D.1526.在各项均不为零的等差数列{a n}中,若a n+1-a n2+a n-1＝0(n≥2),则S2n-1-4n等于…（）A.-2B.0C.1D.25、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则；特别地，当时，则有，注：，（1）等差数列中，，则＝____设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）当项数为偶数时，（Ⅱ）当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．1 在等差数列中，S11＝22，则＝______2 项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数3 .已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A.5B.4C.3D.26、在等差数列中,有关的最值问题（1）邻项变号法① 当、时，满足的项数使得取最大值.② 当、时，满足的项数使得取最小值.（2）利用（时，是关于的二次函数）进行配方（注意应取正整数）（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

(完整版)等差数列知识点总结

(完整版)等差数列知识点总结1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。

2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。

3. 等差数列的前 n 项和公式设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。

4. 判断数列是否为等差数列- 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。

- 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。

5. 求等差数列的公差设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。

6. 求等差数列的项数设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。

7. 求等差数列的首项设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。

8. 求等差数列的末项设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。

9. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。

- 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。

- 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。

10. 应用场景等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 数学题中的数列问题，如求和、推导等。

- 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。

- 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。

- 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。

以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。

等差数列知识点总结与题型归纳讲义

10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)①通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )⇒当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．②通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(3)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．①若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．②当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2――→a n ＝a 1＋(n －1)dS n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋a 1－d2n ⇒当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(2)若{a n }是等差数列，则S nn 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{a n}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝11．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝12，3a2＝a5，∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，联立解得a1＝1，d＝2，∴a6＝a1+5d＝11故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴3×(31+3×22p=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴1+3+1+4=2461+6×52=48，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{a n}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10＝12，∴2a1+13d＝12，∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．故选：B．2．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−1311的值为（）A．17B．16C．15D．14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9−1311=a1+8d−1+103=23a1+143d=23（a1+7d）=23a8＝16故选：B．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝10，S4＝36，则公差d为2．【解答】解：∵a3＝10，S4＝36，∴a1+2d＝10，4a1+4×32d＝36，解得d＝2．故答案为：2．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：（1）数列{a n}是递增数列；（2）数列{na n}是递增数列；（3）数列{}是递减数列；（4）数列{a n+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，∴数列{a n}是递增数列，故（1）正确；B=B2+(1−p，当n＜K12时，数列{na n}不是递增数列，故（2）错误；=+1−，当a1﹣d≤0时，数列{}不是递减数列，故（3）错误；a n+3nd＝4nd+a1﹣d，数列{a n+3nd}是递增数列，故（4）正确．∴真命题个数有2个．故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n﹣2D．=1，=12，≥2【解答】解：∵S n＝n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而当n＝1时也满足，∴a n＝2n﹣1．故选：B．3．在数列{a n}中，若a n＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3【解答】解：令a n＝5n﹣16≤0，解得n≤3+15．则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18．故选：C．题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（S6﹣9）＝9+72﹣S6，求得S6＝33，故选：B．2．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，1=−11，1010−88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣10【解答】解：=B1+oK1)2，得=1+(K1)2，由1010−88=2，得1+10−12−(1+8−12)=2，d＝2，1111=1+(11−1)2=−11+5×2=−1，∴S11＝﹣11，故选：A．3．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知=2r1，则77等于（）A．1321B．214C．1327D．827【解答】解：∵=2r1，∴77=2727=132(1+13)132(1+13)=1313=132×13+1=1327，故选：C．题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．2．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n为何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中S10＝S15，∴S15﹣S10＝a11+a12+a13+a14+a15＝5a13＝0，∴a13＝0，∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，∴当n＝12或13时，S n取得最大值，又公差d=13−113−1=−53，∴S12＝12×20+12×112（−53）＝130∴S n的最大值为1303．（2014·江西）在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，−78）．【解答】解：∵S n＝7n+oK1)2，当且仅当n＝8时S n取得最大值，∴7＜8 9＜8，即49+21＜56+2863+36＜56+28，解得：＞−1＜−78，综上：d的取值范围为（﹣1，−78）．题型六.证明等差数列1．已知数列{a n}满足1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，数列{b n}满足=1−1(∈∗)．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．【解答】解：（1）由1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，得a n+1＝2−1（n∈N•）b n+1﹣b n=1r1−1−1−1=12−1−1−1−1=1…（4分）又b1=−52，所以{b n}是以−52为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为b n＝b1+（n﹣1）＝n−72，所以a n=1+1=22K7+1．…（9分）1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n＜1，n≥4时数列{a n}单调递减且a n＞1所以数列{a n}的最大项为a4＝3，最小项为a3＝﹣1．…（14分）2．已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n=o−1)2．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n＝1，则a1＝S1=1(1−1)2=0（2）由=o−1)2，即=B2，①得r1=(r1)r12．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n．③于是，na n+2＝（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n＝n﹣1课后作业.等差数列1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）＝72，∴a1+a9＝16，由等差数列的性质可知，a1+a9＝2a5，∴a5＝8，∴a1+a5+a9＝24．故选：B．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S8＝4a3，a7＝﹣2，则81+28=41+81+6=−2，解得a1＝10，d＝﹣2，∴a10＝a1+9d＝﹣8．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，S n取得最大值C．S4＝S9D．满足S n＞0的n的最大值为12【解答】解：∵2a5+a11＝0，∴2a1+8d+a1+10d＝0，∴a1＝﹣6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴{a n}为递减数列，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，由a n≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，∴a8＜0，当n＝6或7时，S n取得最大值，故A正确，B错误；∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，∴S4＝S9，故C正确；∴S n＝na1+oK1)2=2（n2﹣13n）＞0，解得0＜n＜13，∴满足S n＞0的n的最大值为12，故D正确．故选：B．4．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大；当S n＞0时n的最大值为15．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8时，{a n}的前n项和最大；∵S15=15(1+15)2=15a8＞0，S16=16(1+16)2=8（a8+a9）＜0，∴当S n＞0时n的最大值为15．故答案为：8；15．5．在数列{a n}中，a2＝8，a5＝2，且2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210B．10C．50D．90【解答】解：∵2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），即2a n+1＝a n+2+a n（n∈N*），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，则a1+d＝8，a1+4d＝2，联立解得a1＝10，d＝﹣2，∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．令a n≥0，解得n≤6．S n=o10+12−2p2=11n﹣n2．∴|a1|+|a2|+…+|a10|＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10＝2S6﹣S10＝2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）＝50．故选：C．6．已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=18（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=12a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．【解答】解：（1）∵S n=18（a n+2）2，∴当n＝1时，1=18(1+2)2，化为(1−2)2=0，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=18（a n+2）2−18(K1+2)2，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n﹣1）＝0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝4．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）b n=12a n﹣30=12(4−2)−30=2n﹣31．由b n≤0，解得≤312，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15=15(−29+2×15−31)2=−225．∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．。

等差数列知识点总结

等差数列知识点总结等差数列是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。

在学习等差数列的过程中，我们需要掌握以下几个方面的知识点。

1.等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的差相等。

即对于数列 {a1, a2, a3, ..., an}，满足 ai - ai-1 = d，其中 d 为常数，称为公差。

2.等差数列的通项公式通项公式是等差数列的核心，它表示第 n 项的值与 n 之间的关系。

对于等差数列 {a1, a2, a3, ..., an}，通项公式可以表示为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差。

3.等差数列的性质等差数列具有多个性质，包括：- 任意两项的差是公差，即 ai - aj = d；-任意三项可以构成一个等差数列；-一个数列是等差数列的充分必要条件是数列的前三项成等差数列；-等差数列中的任意k项组成的数列也是等差数列。

4.等差数列的和等差数列的和表示数列中前 n 项的和。

求和公式为 Sn = (n/2)(a1 + an)，其中 Sn 表示前 n 项的和。

5.等差数列的前n项和的推导利用等差数列的通项公式可以从数列中推导出前n项和的公式。

具体的推导过程为：-两个等差数列的和相减，得到每一项与公差的关系；-利用等差数列的通项公式，将每一项与公差的关系代入前n项和的公式；-化简表达式，得到前n项和的公式。

6.等差数列的媒数等差数列的媒数是指两个等距离首项相同的等差数列之间的项。

媒数可以用公式表示为M=a1+(n-1)d/27.等差数列的应用等差数列在数学中具有广泛的应用，特别是在算术和几何等领域实际问题的数学建模中。

常见的应用包括：-财务问题中的等差数列：如每月定期存款、贷款还款等；-时间和距离的等差数列：如速度与时间的关系、地理坐标系等；-数据分析中的等差数列：如平均数、中位数、众数等。

总之，等差数列是数学中的重要概念之一，通过掌握其定义、通项公式、性质、求和公式和应用，能够帮助我们更好地理解和应用等差数列的知识。

等差数列知识点汇总

则
? 100a ? 10b ? 310 ??400a ? 20b ? 1220
?
?a ? 3
? ?
b
?
1
? Sn ? 3n2 ? n
16
从函数的观点来看等差数列：
数列?an?为等差数列 ? an ? pn ? q ?p、q为常数? 数列?an?为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ?a、b为常数? Sn ? an2 ? bn?a、b为常数?? 数列?an?为等差数列?
已知数列{an }的前n项和为Sn ? n2 ? 2n+1, 则{an }是怎样的数列？
一般地，
Sn ? an 2 ? bn ? c ?a、b为常数,c ? 0?
? 数列?an?从第二项开始为等差数列 .
19
若数列?an?的前n项和Sn ? an 2 ? bn ? c ?a、b、c为常数?
则当c ? 0时，数列?an?为等差数列. 当c ? 0时，数列?an?从第二项开始为等差数列 .
倒序相加
? ?1?? ?2?: 2Sn ? ?a1 ? an ?? ?a2 ? ? an?1 ? ?a3 ? an? 2 ?? ? ? (an ? a1) 共n个括号 ? a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? an ? a1
? 2Sn ? n(a1 ? an )
?a ? an?1
?
d
?n
?
2?
等差数列的通项公式 an ? a1 ? ?n ? 1?d (n ? 2,n ? N*)
6
根据等差数列的定义式或通项公式可以证明等差数列的如下性质：
7
性质1 推广的等差数列通项公式
an=aq+ (n-q)d

等差数列知识点归纳总结

等差数列知识点归纳总结等差数列是数学中常见的一种数列形式，具有重要的应用价值。

本文将针对等差数列的定义、通项公式、求和公式以及应用进行归纳总结。

一、等差数列的定义等差数列是指数列中后一项与前一项之差始终相等的一种特殊数列。

用常数d表示公差，那么等差数列可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d,a₁+3d, ...二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指通过已知的首项和公差，计算数列中第n项的公式。

假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an =a₁ + (n-1)d三、等差数列的求和公式等差数列求和公式是指通过已知的首项、末项和项数，计算数列所有项之和的公式。

假设首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a₁+an)四、等差数列的性质1. 等差数列的任意三项成一等差数列。

2. 等差数列的任意两项之和与中间项的和相等。

3. 等差数列的任意相邻两项之和相等。

4. 等差数列的对称性：数列中的相等距离的项之和相等。

五、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域，以下是一些常见的应用场景：1. 金融贷款：假设每月还款金额等差递增，可利用等差数列求得贷款总额和还款期限。

2. 平均速度问题：假设行程中速度等差减小，可利用等差数列求得平均速度。

3. 等差数列的和与平均数关系：等差数列的和即为等差数列所有项的平均数乘以项数。

4. 数列排序问题：对于给定的一组数据，若满足等差关系，可通过等差数列的求和公式快速求得该数列的和。

六、等差数列的扩展1. 差数列：每一项与其后一项之差构成的数列。

2. 等差中项：等差数列中，若某项的前后两项之和为定值，该项称为等差数列的中项。

总结：本文对等差数列的定义、通项公式、求和公式进行了详细介绍，并归纳了其性质和应用场景。

了解等差数列的相关知识，对于解决实际问题及培养数学思维能力都具有重要的帮助。

希望读者通过本文的阅读，对等差数列有更深入的理解。

备战高考数学复习知识点讲解课件44---等差数列

|跟踪训练|
1．(2022·福州市质量检测)已知在数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列a1n为等差数列，则 a9＝( )
1 A.2
5 B.4
√C.45
D.－45
解析：因为数列a1n为等差数列，a3＝2，a7＝1，
所以数列a1n的公差 d＝a177－－a313＝71－－123＝18，所以a19＝a17＋(9－7)×18＝54，所以
二、易错纠偏
1．(多选)(不会判断项的符号致误)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，
且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是( )
√A．d＜0 √B．a7＝0
C．S9＞S5
√D．S6与S7均为Sn的最大值
解析：S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6
所以 Sn＋kn＝ 2n2＝ 2n，当 n≥2 时， 2n－ 2(n－1)＝ 2，则 d 为常数，所以数列{ Sn＋kn}为等差数列．故存在常数 k＝1，使得数列{ Sn＋kn}为等差数列．
(1)等差数列的判定与证明的常用方法 ①定义法：an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)或an－an－1＝d(d是常数，n∈N*， n≥2)⇔{an}为等差数列． ②等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． ③通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． ④前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔{an}为等差数列． (2)根据数列的条件证明或判断等差数列，进而利用等差数列的公式解题，体现了逻辑推理的核心素养．
常用结论
1．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at.特别地，若p＋q＝2m，则2am＝ap＋aq(p， q，s，t，m∈N*)．

超全等差数列基础知识总结(求基本量、性质、最值)

等差数列定义：一个数列从第二项起，后一项与前一项的差等于一个常数。

a n−a n−1=d 等差中项：由三个数a A b组成的等差数列，A=a+b，A叫做ab的等差中项通项公式： a n=a1+(n−1)以n为自变量的一次函数前n项和：S n=n(a1+a n)2S n=na1+n(n−1)d2是以n为自变量的二次函数两者关系：a n=S n−S n−1类型一：等差数列基本量的计算在等差数列的五个基本量a1、d、n、a n、S n中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用。

关键:1.判读题目考的是求基本量：一般问a n、S n（n可为1、2、7、n等）2.列出通项公式、求和公式，把已知量代进去3.把列出的方程组解出来，再向所求靠近1.已知等差数列{}na中，a2=2,a3=4,则a10=.182.在等差数列中,,则.133.已知等差数列的前n项之和记为S n，S10=210 ，S30=820，则S15等于。

4654.等差数列{}na的前n项和为nS，公差d= - 2，若S10=S11，则a1=205.等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于（）C A．1 B C.- 2 D 36、等差数列{}na中，若232nS n n=+，则公差d=. 6类型二：等差数列的性质1.=na dmnam)(-+}{na6,7253+==aaa____________6=a{}na{}na nS3S1a532. （最重要！！！！！）在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+；若2m=p+q ，则2a m =a p +a q ，3. 若{n a }是等差数列，公差为d.则),(,,,2*++∈N m k a a a m k m k k 组成公差为md 的等差数列。

等差数列知识点总结

等差数列知识点总结等差数列是数学中常见且重要的一个概念。

在数列中，如果相邻的两项之间的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。

等差数列有很多应用，例如在数学、物理、工程等领域中都能见到它的身影。

本文将对等差数列的定义、常见知识点以及一些定理进行总结。

1. 等差数列的定义等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差都相等的数列。

设数列A的公差为d，首项为a₁，则数列A的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ为数列A的第n项，n为项数。

2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式是指数列前n项的和。

设数列A的首项为a₁，公差为d，数列的前n项和为Sn，那么有如下公式：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，n为项数，aₙ为数列A的第n项。

3. 等差数列的性质(1) 通项公式的推导：设数列A的首项为a₁，公差为d，根据等差数列的定义，可以得到递推公式：aₙ = aₙ₋₁ + d。

通过数学归纳法可以证明等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1) * d。

(2) 首项与末项求和：等差数列的首项与末项之和等于所有项之和的一半，即a₁ + aₙ = Sn/2。

(3) 任意三项求和：对于等差数列中的任意三项aᵢ、aₙ、aₙ，其和满足如下关系：aᵢ + aₙ + aₙ = 3a〈(i+j+k)/3〉，其中，a〈(i+j+k)/3〉表示等差数列中下标为⌈(i+j+k)/3⌉的项。

(4) 项数与公差求和：对于等差数列，项数与公差的乘积等于数列中所有项的和与项数之积减去首项，即n * d = Sn - a₁。

4. 等差数列的常见定理(1) 等差中项定理：在等差数列中，任意三项构成的两个连续子列之和相等。

即对于等差数列中的任意三项aᵢ、aₙ、aₙ，有aᵢ + aₙ =2a〈(i+j)/2〉。

(2) 等差数列的均值定理：等差数列的任意k项的和与这k项的平均值之积等于这k项中间项的平方，即aᵢ + aᵢ₊₁ + ... + aₙ = (j-i+1)a〈(i+j)/2〉。

完整版等差数列知识点总结

完整版等差数列知识点总结等差数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和等差数列的性质等知识点进行全面总结。

一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之差都相等的数列。

数列中的每一项我们称之为等差数列的项，其中第一项通常用a1表示，等差用d表示。

例如，数列2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中a1=2，d=3。

二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指根据等差数列的首项和公差，求出任意一项的求值公式。

通项公式的推导有多种方法，这里我们介绍其中一种常用的方法。

设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d根据这个公式，我们可以轻松地求得等差数列中任意一项的值。

三、等差数列前n项和公式在等差数列中，求前n项和也是一个常见的问题。

我们可以通过求和公式来解决这个问题。

设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，前n项和用Sn表示，则前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)利用前n项和公式，我们可以方便地求得等差数列的前n项和。

四、等差数列的性质等差数列具有一些特点和性质，我们在解题过程中可以利用它们来简化计算。

1. 通项差是公差的倍数：an - an-1 = d这个性质意味着等差数列中，相邻两项之差都是公差的倍数。

2. 对称性：an = a1 + (n-1)d，an+k = a1 + (n+k-1)d根据等差数列的通项公式，我们可以发现等差数列具有对称性。

一个等差数列中的第k项和倒数第k项之和等于第一项与最后一项之和。

3. 求和公式与项数有关：Sn = (n/2)(a1 + an)求和公式中的项数n对和值Sn有影响，这个公式可以帮助我们快速计算一个等差数列的前n项和。

五、等差数列的应用领域等差数列在数学中有广泛的应用，它们不仅仅出现在数学题目中，还出现在其他许多领域。

等差数列和的知识点归纳总结

等差数列和的知识点归纳总结等差数列是指数列中相邻两项之差恒为常数的数列。

等差数列的和是数列中所有项的总和，对于等差数列求和，有以下几个重要的知识点需要归纳总结。

知识点一：等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指通过数列的首项和公差来表示数列中的任意一项的公式。

通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n 项，a1表示数列的首项，d表示公差。

例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13，公差d为3，首项a1为1，则该数列的通项公式为an = 1 + (n-1)3。

知识点二：等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式是指通过数列的首项、末项和项数来求等差数列的和的公式。

前n项和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示数列的前n项和，a1表示数列的首项，an表示数列的第n项。

例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13，首项a1为1，末项an为13，项数n为5，则该数列的前n项和公式为Sn = (5/2)(1 + 13)。

知识点三：等差数列和的性质等差数列和的性质有以下几个方面：1. 公差相同的等差数列，其和与项数成正比。

即当公差固定时，等差数列的和随着项数的增加而增加。

2. 公差为正的等差数列，其和随项数的增加而增加；公差为负的等差数列，其和随项数的增加而减小。

3. 公差为正的等差数列，它的前n项和比它的前n-1项和要大；公差为负的等差数列，它的前n项和比它的前n-1项和要小。

知识点四：等差数列和的应用等差数列和的应用非常广泛，它可以帮助解决各种数学问题。

以下是几个常见的应用场景：1. 求等差数列中某一段数列的和，可以利用前n项和公式进行计算。

2. 求等差数列中项数，可以利用前n项和公式的逆推方法进行计算。

3. 根据等差数列的和和项数求出公差，可以利用前n项和公式和等差数列的通项公式进行计算。

综上所述，等差数列和的知识点主要包括等差数列的通项公式、前n项和公式、和的性质以及应用。

知识点什么是等差数列

知识点什么是等差数列知识点：什么是等差数列等差数列是数学中常见的一种数列，其中每个相邻的数字之间的差值都是相等的。

在等差数列中，一个数字称为首项，差值称为公差。

等差数列可用于解决各种实际问题，也在数学推理中扮演重要角色。

本文将介绍等差数列的定义、性质和应用。

一、等差数列定义及基本性质等差数列的定义是：如果一个数列满足每个相邻的数字之间的差值都相等，则称该数列为等差数列。

等差数列一般用字母a、d和n来表示，其中a表示首项，d表示公差，n表示数列的项数。

等差数列的基本性质包括：1. 公差性质：等差数列中，任意两个相邻数字的差值是相等的。

2. 通项公式：等差数列的通项公式可由首项和公差推导得出。

通项公式通常表示为an = a + (n - 1)d，其中an表示数列的第n项，a表示首项，d表示公差。

3. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (n/2)(2a+ (n - 1)d)来计算，其中n表示项数，a表示首项，d表示公差。

二、等差数列的应用等差数列在数学中的应用非常广泛，以下介绍几个常见的应用情况。

1. 数学问题：等差数列可用于解决各种数学问题，如求和、找规律、推测等。

通过等差数列的性质和通项公式，可以轻松计算数列的各项数值、求和以及验证数列中的规律。

2. 数字序列：在实际问题中，常会遇到一组数字按照一定规律排列的情况。

如果这组数字满足相邻数字之差相等，那么可以认定它们构成了一个等差数列。

通过识别等差数列，我们可以更好地理解和解决实际问题。

3. 金融领域：等差数列在金融领域的应用十分广泛。

例如银行的利率、投资计划的收益等都可能涉及等差数列。

通过等差数列的性质，我们可以对这些金融问题进行分析和计算。

4. 物理学问题：在物理学中，等差数列可以用于描述一些连续变化或周期性变化的现象。

例如，匀速运动中的位移、速度和加速度等都可以通过等差数列来表示和计算。

三、等差数列的例题解析为了更好地理解等差数列的应用，我们来看一个例题：例题：一个等差数列的首项是3，公差为4，求前10项的和。

等差数列知识点总结

等差数列知识点总结一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。

例如：数列 2，4，6，8，10就是一个公差为 2 的等差数列。

二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 an 表示第 n 项的值，a1 表示首项，n 表示项数，d 表示公差。

通项公式的推导：第 2 项：a2 ＝ a1 ＋ d第 3 项：a3 ＝ a2 ＋ d ＝（a1 ＋ d) ＋ d ＝ a1 ＋ 2d第 4 项：a4 ＝ a3 ＋ d ＝（a1 ＋ 2d) ＋ d ＝ a1 ＋ 3d第 n 项：an ＝ a1 ＋（n 1)d通过通项公式，我们可以根据首项、公差和项数求出任意一项的值。

三、等差数列的性质1、若 m，n，p，q ∈ N+ ，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am ＋ an ＝ ap ＋ aq 。

例如：在等差数列中，若 a3 ＋ a8 ＝ 10 ，a5 ＋ a6 也等于 10 。

2、若数列{an}是等差数列，公差为 d ，则 ak，ak ＋ m，ak ＋ 2m，（k，m ∈ N+ ）仍为等差数列，且公差为 md 。

3、若数列{an}是等差数列，Sn 表示前 n 项和，则 Sk，S2k Sk，S3k S2k ，仍为等差数列。

4、若数列{an}，｛bn}均为等差数列，公差分别为 d1 ，d2 ，则数列{pan ＋ qbn}（p，q 为常数）仍为等差数列，且公差为 pd1 ＋ qd2 。

四、等差数列的前 n 项和公式等差数列的前 n 项和公式为：Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 或 Sn ＝ na1 ＋n(n 1)d ／ 2 。

前 n 项和公式的推导：Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋＋ an将通项公式 an ＝ a1 ＋（n 1)d 代入上式：Sn ＝ a1 ＋（a1 ＋ d) ＋（a1 ＋ 2d) ＋＋ a1 ＋（n 1)d将上式倒序相加：Sn ＝ a1 ＋（n 1)d ＋ a1 ＋（n 2)d ＋＋（a1 ＋ d) ＋ a12Sn ＝ 2a1 ＋（n 1)d ＋ 2a1 ＋（n 1)d ＋＋ 2a1 ＋（n 1)d（共 n 个）2Sn ＝ n2a1 ＋（n 1)dSn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2又因为 an ＝ a1 ＋（n 1)d ，所以 Sn ＝ na1 ＋ n(n 1)d ／ 2 。

(完整版)等差数列知识点总结和题型分析

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2b a A +=或b a A +=2在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k kS S 23-成等差数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为（）A ．49B ．50C ．51D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 64 5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（）A ．8B ．7C ．6D ．53、若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（） A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝51 9、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）（A ）13项（B ）12项（C ）11项（D ）10项题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q --+++=，则其前n项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为（）A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则（）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。

等差数列知识点总结和题型分析

一.等差数列知识点:知识点1、等差数列的定义①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法：② 定义法：对于数列a n ，若am a n d （常数），则数列a .是等差数列③ 等差中项：对于数列a .，若2am a . a . 2，则数列a .是等差数列知识点3、等差数列的通项公式：④ 如果等差数列a .的首项是a !，公差是d ，则等差数列的通项为知识点4、等差数列的前门项和：⑤S .听1冇）⑥S .2对于公式2整理后是关于门的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项： ⑥ 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：A 专或 2A a b在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6等差数列的性质⑦ 等差数列任意两项间的关系：如果a .是等差数列的第门项，a m 是等差数列的第m 项，且m 门，公差为d ，则有a . a m （门m ）d⑧ 对于等差数列a .，若门 m p q ，则a . a m a p a q也就是： a 1 a . a 2 a . 1 a 3 a . 2⑨ 若数列a .是等差数列，&是其前门项的和，k N *，那么S k ，S 2k S k ， S 3k S 2k 成等差数列如下图所示：等差数列a . a ! (n 1)d该公式整理后是关于门的一次函数ha t二、题型选析：题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用)1、.等差数列｛a n ｝的前三项依次为a-6 , 2a -5 , -3a +2，贝U a 等于() A . -1 B . 1 C .-2 D. 22 .在数列｛a n ｝中，a 1=2 , 2a n+1=2a n +1，则 a 101 的值为 ()A . 49B . 50C . 51D . 523 .等差数列1，- -1，— 3，…，- -89的项数是( )A . 92B . 47C . 46D . 454、已知等差数列｛a n ｝中，a 7 a 9 16忌 1,则的值是()( ) A 15 B 30C 31D 645.首项为一24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 ( )A.d > 8B.d v 3 8C.38 D.2 v d <3 33 36、.在数列｛ a n ｝中，a 1 3，且对任意大于 1的正整数n ,点(：a n , ； a n 1 )在直x y 73 0 上，贝卩 a n = _______________7、在等差数列｛a n ｝中，a 5 = 3，a 6= — 2，贝U a 4 + a 5+・・・+ a 10= ___ .8、等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 2 1忌3,则Sp ()(A ) 12( B ) 10(C ) 8( D ) 69、设数列a n 的首项a 1 7,且满足a n 1 a n 2 (n N),则a 1 a 2 a 仃 _______ ,10、已知｛a n ｝为等差数列，a 3 + a 8 = 22， a 6 = 7，贝U a 5 =__________11、 ________________________________________________________ 已知数列的通项 a n = -5n+2,则其前n 项和为S n = ____________________________________________S 3ka1a2a3a2k a 2k 1a3kS kS 2k S kS 3k S 2k10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为 2n n,则S 2nn4an 1•②若项数为2n 1 n na n，S 偶，则 S 2n 1 2n 1 a n ,且且Si S 奇nd ,& (其中S 奇a na n 112、设S n 为等差数列 a n 的前n 项和，S 4 = 14, S io S 7 30，则S 9=题型二、等差数列性质1、已知｛ a n ｝为等差数列，a 2+a 8=l2,则a 5等于()(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设S n 是等差数列 a n 的前n 项和，若S 735，则a 4()A. 8 B . 7 C . 6D . 53、若等差数列a n 中，a s a 7 術 8,an4,则a ? _____________________ . 4、记等差数列 a n 的前n 项和为S n ,若S 2 4 , S 420 ,则该数列的公差d=()A . 7 B. 6C. 3D. 215、等差数列｛a n ｝中，已知a 1, a 2a 5 4, a n 33，则门为(3(A ) 48 ( B ) 49 (C ) 50( D ) 516. 、等差数列｛a n ｝中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前 n 项和 S n =100,则 n=( )(A)9 (B)10 (C)11(D)125,则 S97、设 S n 是等差数列 a n的前n 项和, a 5右()a 39 S 5A . 1B . - 1C . 2D .128、已知等差数列｛a n ｝满足 a+ a+ a +…+ a 101 = 0则有()A . a 1 + a 01> 0B . a+ a 。

等差数列知识点解读

等差数列1.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等等差数列定义{an }为等差数列⇔an+1-an=d（常数），n∈N+⇔2a n=a n-1+a n+1（n≥2，n∈N+）通项公式1）na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d；na=dn+1a-d bkn+=2）推广：an=am+（n－m）d.3）变式：a1=an－（n－1）d，d=11--naan，d=mnaamn--，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.求和公式1）nBnA)2(22)1(2)(S21211⨯+⨯=-+=-+=+=ndanddnnnaaannn2）变式：21naa+=nSn=naaan+⋅⋅⋅++21=a1+（n－1）·2d=an+（n－1）·（－2d）.等差中项1）等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=2ca+；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.2）推广：2na=mnmnaa+-+重要性质1m n l km n l k a a a a+=+⇒+=+(反之不一定成立)；特别地,当2m n p+=时,有2m n pa a a+=；特例：a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…。

2 下标成等差数列且公差为m的项a k，a k+m，a k+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md.3nnnnnsssss232,,--成等差数列。

4)(11nmnmaanaad nmn≠--=--=5增减性{}为递增数列nad⇔>{}为常数列nad⇔={}为递减数列nad⇔<其它性质1 an=am+（n－m）d.2 若数列{a n}是公差为d的等差数列，则数列{λa n+b}（λ、b为常数）是公差为λd的等差数列；若{b n}也是公差为d的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d.3 an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数；2.等差数列的判定：{a n }为等差数列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+==-⇔+++数”）（缺常数项的“二次函的“一次函数”）（关于（定义）Bn An S n B An a a a a d a a nn n n n n n 22112 即：*),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-++为常数）｝｛ Bn An s b kn a n n +=⇔+=⇔2；3.三个数成等差可设：a ，a ＋d ，a ＋2d 或a －d ，a ，a ＋d ；四个数成等差可设：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .题型1 等差数列的基本运算例1 在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28；变式训练1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nS n}的前n 项和，求T n .题型2 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 6＝36.求数列{a n }的通项公式；变式训练 2 在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.设b n＝an2n－1，证明：数列{b n}是等差数列；小结与拓展：证明数列{a n}是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明an－a n－1（n≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2a n=a n－1+a n+1（n≥2）.题型3 等差数列的性质例 3 设等差数列{}n a的首项及公差均是正整数，前n项和为n S，且11a>，46a>，312S≤，则2010a=_ _ _．答案：4020变式训练3 在等差数列{a n}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{a n}的前13项的和S13＝________.答案：52小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.题型4 等差数列的前n项和及最值问题例4 设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个最大，并说明理由.变式训练4设等差数列{}n a的前n项和为n S,若111a=-,466a a+=-,则当nS取最小值时,n等于( )A．6 B．7 C．8 D．9练习。