高数第一章答案

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高等数学第一章课后习题答案

高等数学（本）第一章函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤[]ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x班级姓名学号3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。

高等数学讲义答案第一章

第一章极限与连续第一节函数【例1】研究函数)1ln()(2x x x f ++=的奇偶性，并求其反函数. 【分析】()f x 定义域为R ，()ln(ln(()f x x x f x -=-==-+=-故()f x 为奇函数.由)1ln()(2x x x f ++=得，y e x =yex -=-+两式相减得.2y ye e x --=【例2】设0,0()1,0x f x x <⎧=⎨≥⎩, 22,1()||2,1x x g x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，试求[()],[()]f g x g f x .【分析】0,12[()]1,12x f g x x x ⎧≤<⎪=⎨<≥⎪⎩或，2,0[()]=1,0x g f x x <⎧⎨-≥⎩.【例3】设函数2||sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界( ).()()A 1,0- ()()B 0,1 ()()C 1,2 ()()D 2,3【分析】()1,0x ∈-，2||sin(2)11()(1)(2)144x x f x x x x -=≤=--⨯，故有界，选（A ） 2111||sin(2)sin(2)lim ()lim lim (1)(2)(1)x x x x x x f x x x x x ---→→→--===+∞--- 111sin(2)sin(2)lim ()lim lim (1)(1)x x x x x f x x x +++→→→--===-∞-- 222222sin(2)(2)1lim ()lim lim lim (2)(2)2x x x x x x f x x x x ++++→→→→--====+∞--- 故BCD 均不正确.第二节极限【例1】讨论11012lim12x x x→-+.【分析】1111001212lim 1,lim 11212x x x x xx+-→→--=-=++,故此极限不存在.【例2】讨论1121lim ()xx x x e e+→-. 【分析】111111221122lim ()lim ,lim ()limttttt t xx xx t t x x e e e ex e e x e e t t +-++++→+∞→-∞→→---==+∞-==故此极限不存在.【例3】110|sin |lim 21x x x x e x e →⎛⎫⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭. 【分析】1111000|sin |sin lim 2lim 2lim 12111x xx x x x x x e x e x x e e +++→→→⎛⎫ ⎪-=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭1111000|sin |sin lim 2lim 2lim 10111x xx x x x x x e x e x x e e --+→→→⎛⎫- ⎪-=-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭,故110|sin |lim 2 1.1x x x x e x e →⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪+⎝⎭【例1】)0,0,0()(lim 1>>>++∞→c b a c b a nnnn n【分析】不妨设0a b c ≥≥>，由3n n n nna abc a ≤++≤得11()3n nn n na abc a ≤++≤ 又因为1lim lim3nn n a a a →∞→∞==，由三明治定理得1lim().nnn nn a b c a →∞++=故()1lim()max ,,.nnn nn a b c a b c →∞++=【例2】)2211(lim 222n n nn n n +++++∞→【分析】由2221i i i n n n i n ≤≤+++得2221111n n n i i i i i in n n i n ===≤≤+++∑∑∑又因为22111lim lim 12nn n n i i i i n n n →∞→∞====++∑∑，由三明治定理得211lim .2nn i i n i→∞==+∑题型一极限概念与性质【例1】设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=, 则下面断言正确的是 ( ).(A)若{}n x 发散，则{}n y 必发散 (B)若{}n x 无界，则{}n y 必有界 (C)若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 (D)若1{}nx 为无穷小，则{}n y 必为无穷小【分析】令,0n n x n y ==，(A)不正确；令0,n n x y n ==，(C)不正确；令,1,3,50,1,3,5,0,2,4,6,2,4,6n n n n n x y n n n ==⎧⎧==⎨⎨==⎩⎩(B)不正确；选(D). 事实上，lim lim01nn n n n ny x y x →∞→∞==，分母趋于0，分子趋于0，(D)正确. 【例2】{},{},{}n n n a b c 均为非负数列, 且lim 0n n a →∞=,lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞, 则 ( ). (A),n n a b n <∀ (B),n n b c n <∀ (C)lim n n n a c →∞不存在 (D)lim n n n b c →∞不存在【分析】对n ∀，(A) (B)肯定不正确，lim n n n a c →∞可能存在可能不存在，选(D).【例3】设函数()f x 在(),-∞+∞内单调有界, {}n x 为数列, 下面命题正确的是 ( ). (A)若{}n x 收敛，则{()}n f x 必收敛 (B)若{}n x 单调，则{()}n f x 必收敛 (C)若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 (D)若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛【分析】{}n x 单调，由于()f x 单调，则{()}n f x 单调，又因为其有界，故由单调有界定理，(B)正确.题型二不定式求极限【例1】(1) 0x0011233lim .3x x xx o x o x x (2) )cos 1(sin 1tan 1limx x xx x -+-+→()30002tan 1cos 1tan sin 1lim lim .1222x x x x x x xx x x →→→--===⨯(3) limxlimlimlim1.x x x ===(4) 3012cos lim 13x x x x32200012cos 12cos 1cos 11lim 1lim ln lim .3336x x x x x x x xx x(5) sin 30limx xx e e x →-()sin sin 3330001sin 1lim lim lim .6x x x x x x x x e e e e x x x x x -→→→---===-(6) 211lim (arctan arctan )1x x x x →∞-+()222220011arctan arctan 11111lim (arctan arctan )lim lim 12x t t t t t t t t x x x t t →∞→→--++++-==+()()222011lim1.2t t t t t→++-+==(7) ()()4sin sin sin sin limx x x x x →-()()()34330001sin sin sin sin sin sin sin sin 16lim lim lim .6x x x x x x x x x x x x →→→--=== (8)()()()401cos ln 1tan limsin x x x x x→--+()()()()()42220001cos ln 1tan ln 1tan tan ln 1tan 11tan limlim lim sin 22x x x x x x x x x x x x xx x x →→→--+-+-+⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭2201tan 112lim .24x xx →==【例2】 (1) 22211lim sin cos x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2222222224000cos sin cos sin 11cos sin lim lim lim sin cos cos sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→+--⎛⎫-== ⎪⎝⎭30cos sin 22lim.3x x x x x →-==-(2)()12lim x x x x e →+∞⎛- ⎝ ()()()121222011lim lim 1.txx t t e t x x e t +→+∞→--+⎛-==- ⎝【例3】(1) 310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→()333000tan 1cos 11tan 1tan sin 1limln lim lim .1sin 1sin 2x x x x x x x x x x x x x →→→-+-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 311201tan lim .1sin x x x e x →+⎛⎫= ⎪+⎝⎭(2) 21coslim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 222211111lim ln cos lim cos 1lim .22x x x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121lim cos .x x e x -→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭ (3) ()110ln 1lim xe x x x -→+⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()2000ln 1ln 1ln 1111lim ln lim 1lim .12x x x x x x x x e x x x x →→→+++-⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()11120ln 1lim .xe x x e x --→+⎛⎫= ⎪⎝⎭(4)()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()()()()()22lim ln lim .x x x x a x b x x x a b x a x b x a x b →∞→∞⎡⎤--+==-⎢⎥-+-+⎣⎦()()2lim .xa b x x e x a x b -→∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(5) 11ln lim 1xxx x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭()1112111ln 1ln 1ln 11ln lim ln 1lim lim lim 1.ln 111xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e →+∞→+∞→+∞→+∞-⎛⎫ ⎪⎛⎫--⎝⎭-=⋅===- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11ln 1lim 1.xxx x e -→+∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭(6) lim nn →∞⎣⎦()02ln ln 1lim ln lim 1lim ln 22222t t x x t a b a b x x ab t +→+∞→+∞→⎤+-+=-===⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦lim lim n xn x →∞→+∞==⎣⎦⎣⎦【例4】 (1) 若30sin 6()lim0x x xf x x →+=, 求206()lim .x f x x →+233300006()sin 6()6sin 6sin 6()6sin 6limlim lim lim 36.x x x x f x x xf x x x x xf x x xx x x x →→→→+++-+-==+=(2)设0ln(1()sin 5)lim 121x x f x x →+=-, 求0lim ().x f x →000ln(1()sin 5)()sin 55()lim lim lim 1.21ln 2ln 2x x x x f x x f x x f x x →→→+===-0ln 2lim ().5x f x →= 题型三连加或连乘求极限【例1】(1) ()11lim ()nn i l N i i l +→∞=∈+∑(2)231lim nn i i n →∞=∑ (3) n n x x x 2cos 4cos 2cos lim ∞→ 11111111111,11,lim 1.()22311()nnn i i l i i l n n n i i l →∞====-+-++-=-=++++∑∑1111111111112,11,()232422212ni l i i l n n n n =⎛⎫⎛⎫==-+-++-=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑1111lim 1.()22nn i i i l →∞=⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∑同理，得()11111lim1.()2nn i l N i i l l l +→∞=⎛⎫∈=+++ ⎪+⎝⎭∑ (2)231lim nn i i n →∞=∑ ()()2331111lim lim 121.63nn n i i n n n nn →∞→∞==⨯++=∑ (3) n n xx x 2cos 4cos 2coslim ∞→cos cos cos 2sin sin sin 2422lim cos cos cos limlim .2422sin 2sin 22n n nn n n n n n n nx x x xx x x x x x x x →∞→∞→∞⋅===【例2】 (1))212654321(lim nn n -⋅⋅∞→()()()()()22222212+11352113355711()=24622462+12+12n n n n n n n --⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅≤ 因为1lim=02+1n n →∞，由三明治定理得213521lim()=02462n n n →∞-⋅⋅，故13521lim()=0.2462n n n→∞-⋅⋅ (2)⎰∞→xx dt t x 0sin 1lim()()()10sin sin 11,sin 1n n xt dtt dt n x n t dt n x n ππππππ+≤<+≤≤+⎰⎰⎰即()()02121sin 1xn n t dt n x n ππ+≤≤+⎰ ()()2122lim lim 1x x n n n n πππ→∞→∞+==+，由三明治定理得012lim sin .x x t dt x π→∞=⎰(3))0,0i n p a >>设()12max ,,p M a a a =M ≤≤lim n n M M →∞==，由三明治定理得()1max ,,.p n M a a == 【例3】(1)1limn n i →∞=11011limlnln 1112lim lim .nn i in nxdxn n n n i n e e e n n n →∞=-→∞→∞=∑⎛⎫⎰=⋅⋅⋅=== ⎪⎝⎭(2)lim n11013lim 112lim .n n i i xdxn n n e e e →∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑⎰===【例4】(1) 1limn i →∞=111nnni i i ===≤≤11lim lim 1.nnn n i i →∞→∞====由三明治定理，得1lim 1.nn i →∞==(2)1limnn i →∞=((11111lim lim ln ln 1.nnn n i i x n →∞→∞======+⎰(3)1limnn i →∞=)10111lim lim 21.nn n n i i n →∞→∞======⎰(4)21limnn i →∞=222111nn ni i i ===≤≤22111lim lim .3n n n n i i →∞→∞====故211lim.3nn i →∞==(5)11limnn i n i →∞=+∑()1100111111lim lim ln 1ln 2.11nn n n i i dx x i n i n x n→∞→∞=====+=+++∑∑⎰(6)21limn i nn i →∞=++∑2221111nn ni i i i i in n n n n i n n ===≤≤++++++∑∑∑ 22111lim lim .12nnn n i i i i n n n n n →∞→∞====++++∑∑ 故211lim.2nn i i n n i →∞==++∑ (7) 221limnn i n n i →∞=+∑ 1102222011111lim lim arctan .141nnn n i i n dx x n i n x i n π→∞→∞======++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑⎰(8) 221lim1nn i n n i →∞=++∑()22222211111nnni i i nn nn i n i ni ===≤≤+++++∑∑∑()1222220111lim lim .141nnn n i i nn dx n i x n i π→∞→∞=====++++∑∑⎰【例5】(1)2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭222sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111112n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+++≤+++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪++++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1022sin sin sin sin sin sin 2lim lim sin .111n n n n n n n n n n xdx n n n n n n ππππππππ→∞→∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++=+++== ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2sin sin sin 2lim .1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪+++=⎪+ ⎪++⎝⎭(2)21tanlim nn i i n n n i →∞=+∑222111tann tan tan 1n n ni i i i i in n n n n n n n i n ===≤≤+++∑∑∑1100222111tantan tanlim lim lim tan ln cos lncos1.1n n n n n n i i i i i in n n n n n xdx x n n n n →∞→∞→∞=======-=-++∑∑∑⎰【例6】(1)1lim 1nn i →∞=⎫⎪⎪⎭∑111lim 1lim .4nn n n i i →∞→∞==⎫==⎪⎪⎭∑ (2)()1222411lim n n n i n i n →∞=+∏()()()12222421011limln 2ln 12242arctan 2411lim25.n n n i n i nn nx dx n i niee e n →∞=⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦→∞=∏⎰+===∏题型四数列极限的存在性【例1】(1)设111,0n a a +=+=，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞.121,0a a ==设1k k a a +≤，则≤21k k a a ++≤由数学归纳法得{}n a 递减下面证明n a ≥显然112a ≥-设12k a +≥-则12+≥-，即112k a +≥-由数学归纳法得n a ≥由单调有界必收敛得{}n a 收敛.设lim ,n n a A →∞=两边取极限得0A =，即A =(2) 123a a a === ，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞.lim 2.n n a →∞=(3) 设1111,2n n n a a a a a a +⎛⎫=>=+ ⎪⎝⎭，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞. lim n n a →∞=(4) 设1103,n a a +<<={}n a 收敛，并求lim n n a →∞.3lim .2n n a →∞= 【例2】设)(x f 是区间[)0,+∞上单调减少且非负的连续函数，()()()11,1,2,nnn k a f k f x dx n ==-=∑⎰…证明数列{}n a 的极限存在.()()()()1111110n n n n nna a f n f x dx f n f n dx +++-=+-≤+-+=⎰⎰，即{}n a 递减.()()()()()()23112112nn n k a f k f x dx f f x dx f f x dx ==-=-+-+∑⎰⎰⎰()()()()110.nn f n f x dx f n f n -+--+≥≥⎰故{}n a 有下界.由单调有界定理，{}n a 的极限存在.题型五含参数的极限【例1】确定,,a b c 值，使()()3sin lim0ln 1x x bax xc c t dtt→-=≠+⎰. 【分析】分式极限不为0，分子趋于0，则分母趋于0，故0.b =()()()233000sin cos cos limlimlim 0ln 1ln 1x x x x ax xa x a xc c x t x dttx→→→---===≠++⎰故11,.2a c ==【例2】()()22ln 1lim2x x ax bx x →+-+=，求,a b .【分析】()()()()222222001ln 12lim lim 2x x x x o x ax bx x ax bx x x →→-+-++-+==故51,.2a b ==-题型六含变积分限的极限【例1】设()(),g f x x 连续，且()()()g 0f x x x → ，又lim ()0x ax ϕ→=，证明：()()()()()0x x f t dt g t dt x a ϕϕ→⎰⎰.【例2】设)(x f 是[)0,+∞上的连续函数，且满足()2lim 1x f x x →+∞=，求()()220limxx t x e e f t dtf x -→+∞⎰.【分析】()()()()()222222222limlimlimxxxxttt xxx x x ee f t dte f t dte f t dt xf x x e f x x e -→+∞→+∞→+∞=⋅=⎰⎰⎰()()()2222221limlim .22222xxx x f x e f x x x x x xx e →+∞→+∞==⋅=++题型七函数的连续与间断【例1】设()()()f x x ϕ-∞+∞和在内有定义，()f x 为连续函数，且()()0,f x x ϕ≠有间断点，则 ( ). (A)()f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点(B)()2f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点(C)()f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点 (D)()()x f x ϕ必有间断点【分析】(D) 【例2】设函数nn x xx f 211lim)(++=∞→，讨论函数)(x f 的连续性与间断点.【分析】0,11,11()1,10,1x x x f x x x ≤-⎧⎪+-<<⎪=⎨=⎪⎪>⎩()f x 在1x =处是跳跃间断点，在其他区域均连续.【例3】求()sin sin sin lim sin x t xt x t f x x -→⎛⎫=⎪⎝⎭的间断点，并判别其类型.【分析】()sin sin sin sin lim .sin xx t xxt x t f x e x -→⎛⎫== ⎪⎝⎭其中,,0x k k Z k π=∈≠且为第二类间断点，0x =为可去间断点.。

高等数学第一章总习题及答案

7. 已知 lim
x →0
f ( x) ) sin x = 3 , 求 lim f ( x) . x →0 x 2 2x − 1
解
因为 lim(2 − 1) = 0 , lim
x →0
x
ln(1 +
x →0
f ( x) ) sin x = 3 , 故必有 lim ln(1 + f ( x) ) = 0 , x →0 sin x 2x − 1
2
2
x
1 1 . = ( )2 = 2 2
1
(4) (5) (6)
lim
x →0
1 x sin x 1 = lim 2 2 = . x →0 2 x
1
x
lim(1 + 3tan 2 x)cot
x →0
= [lim(1 + 3tan 2 x) 3tan x ]3 = e3 .
2
x →0
设 k 为任一个大于 2c 的自然数, 则当 n > k 时,
0 < x ≤ e, 在 x = e 处, lim+ f ( x) = ln e = 1 , lim− f ( x) = 1 , x →e x →e x > e,
故 f ( x) 在 x = e 处连续, 故函数连续区间为 (0, + ∞) .
9.
⎧ cos x , x ≥ 0, ⎪ ⎪x + 2 设 f ( x) = ⎨ 要使 f ( x) 在 (−∞, + ∞) 内连续, 应如何选择 ⎪ a − a − x , x < 0, ⎪ x ⎩
n →∞ n →∞
(B) 无界数列必定发散; (D) 单调数列必有极限.
yn . xn

大学高数高数第一章(终)课后参考答案及知识总结

第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合；思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围；解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。

高数练习册答案

第一章函数与极限部分习题答案§1 映射与函数一、填空题：1、224>-<<-x x 或2、)01(1ln>>-=x x x y 3、奇函数 4、41 §2 数列的极限一、填空题：1、不存在 2、必要 3、1二、计算题：1、0 2、1 3、21§3 函数的极限一、填空题：1、充要 2、1 3、1；不存在二、计算题：1、 6 2、21 3、62- 4、（1）：1；（2）：-1；（3）：不存在§4 无穷小和无穷大二、计算题：1、0 2、1 3、2§5 极限的运算法则一、计算题：1、-11 2、32 3、214、-15、236、17、528、1二、计算：a=2; b=-8 三、计算；a=1; b=-1§6 极限存在准则两个重要极限一、填空题：1、0；1；1；0 2、1-e ；2e ；3e ；2e ；二、计算题：1、0； 2、2； 3、2； 4、2e ； 5、 3-e ； 6、6-e ；三、计算：1§7无穷小的比较一、计算题：1、2； 2、32； 3、0； 4、1 二、计算题；3=α§8函数的连续性与间断点一、填空题：1、充要； 2、可去；二、不连续，跳跃间断点三、跳跃间断点四、41=a §9连续函数的运算与初等函数的连续性一、计算题；∞,21,31；二、1、2ln π2、1；3、0；4、1三、计算a=1； b=-1第一章自测题一、填空题：1、0≠x，1，-1； 2、0； 3、0； 4、2； 5、21三、计算题：1、2 x ； 2、1； 3、1； 4、3e ； 5、； 6、41； 7、1； 8、1四、计算；a=1； 23-=b§ 2.1 二、 )(a φ；三、 4311;33x ---；四、460;470x y x y --=++=；五、连续且可导。

§2.2 二、2,e e ππ--；三、（1；（2）；(3)1tan 221111(cos sin sec )x e x x x x-+；（4）22sin 2[(sin )(cos )]x f x f x -。

《高等数学一》第一章-函数--课后习题(含答案解析)

第一章函数历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题]1、设函数，则f(x)=（）A、x(x+1)B、x(x-1)C、(x+1)(x-2)D、(x-1)(x+2)【正确答案】B【答案解析】本题考察函数解析式求解.，故[单选题]2、已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）.A、[1，3]B、[-1，5]C、[-1，3]D、[1，5]【正确答案】A【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题]3、设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）.A、[0，2]B、[0，16]C、[-16，16]D、[-2，2]【正确答案】D【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足：[单选题]4、函数的定义域为（）.A、[-1,1]B、[-1,3]C、(-1,1)D、(-1,3)【正确答案】B【答案解析】根据根号函数的性质，应该满足：即[单选题]5、写出函数的定义域及函数值（）. A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集，故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）.[单选题]6、设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】本题考察三角函数公式。

.[单选题]7、设则=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】令则，故[单选题]8、则（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]9、在R上，下列函数中为有界函数的是（）.xA、eB、1＋sin xC、ln xD、tan x【正确答案】B【答案解析】由函数图像不难看出在R上e x,lnx,tanx都是无界的，只有1+sinx可能有界，由于|sinx|≤1,|1+sinx|≤1+|sinx|≤2所以有界.[单选题]10、不等式的解集为（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]11、（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据二角和公式，[单选题]12、函数的反函数是（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】由所以，故.[单选题]13、已知则（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】[单选题]14、已知为等差数列，，则（）.A、-2B、1C、3D、7【正确答案】A【答案解析】因为同理可得：故d=a4－a3=－2.[单选题]15、计算（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据偶次根式函数的意义，可知，故[单选题]16、计算（）.A、0B、1C、2D、4【正确答案】C【答案解析】原式=[单选题]17、将函数|表示为分段函数时，=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】由条件[单选题]18、函数f(x)=是（）.A、奇函数B、偶函数C、有界函数D、周期函数【正确答案】C【答案解析】易知不是周期函数，,即不等于，也不等于，故为非奇、非偶函数.，故为有界函数.[单选题]19、函数,则的定义域为（）.A、[1,5]B、(1,5]C、(1,5]D、[1,5)由反正切函数的定义域知：，故定义域为[1,5].[单选题]20、下列等式成立的是()A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】A中(e x)2=，C中，D中[单选题]21、下列函数为偶函数的是()A、y=xsinxB、y=xcosxC、y=sinx+cosxD、y=x(sinx+cosx)【正确答案】A【答案解析】sinx是奇函数，cosx是偶函数。

高数第一章参考答案

第一章：第1节： 1A 。

2D 。

3A 。

4x y =。

5．21)(nxx x f n +=。

6．当2/10<<a 时，定义域为]1,[a a -；当2/1>a 时，定义域为空集；当2/1=a 时，定义域2/1=x 。

7．)1ln()(x x -=ϕ，定义域为}0|{≤x x 。

第2节： 1D 。

2C 。

3B 。

4．证明：由定义知0>∀ε，N N ∈∃，使得当n N >时，有||n u a ε-<成立。

注意到a u a u n n -≤-。

因此当n N >时，有ε<-≤-a u a u n n 。

即||||lim a u n n =∞→。

反过来若1||lim =∞→n n u ，则n n u ∞→lim 不一定存在。

比如(1),n n u =-则n n u ∞→lim 不存在，但1||lim =∞→n n u 。

若0||lim =→∞n n u ，则由00-=-n n u u 知0lim =∞→n n u 。

第3节：1A 。

2B 。

3D 。

4C 。

5C 。

第4节： 1D 。

2D 。

3D 。

4C 。

5D 。

6．证：假设函数xx y 1sin 1=在区间]1,0(上有界，则0,M ∃>使得函数11sin y M x x =≤。

若取2/)1]([21ππ++=M x ，则有M M y >++=2/)1]([2ππ矛盾。

所以在区间]1,0(上无界，但也不是+→0x 时的无穷大。

因为若取πk x 21=（N k ∈），则当+∞→k 时，+→0x ，而此时0≡y 不是无穷大。

第5节： 1A 。

2C 。

3B 。

4B 。

5．1。

6．21。

7。

a 21-。

8．1。

9．2。

10．21。

11．6。

12．1,1-==b a 第6节： 1C 。

2D 。

3B 。

4．3。

5．3/5。

6．0 。

7．由于()nnn n11333213⋅<++<，所以由夹逼定理可得()3321lim 1=++∞→nn nn 。

高等数学一上册教材答案

高等数学一上册教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。

用数学符号表示为：y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f(x) 是函数关系。

函数的性质（1）定义域和值域定义域是自变量可能的取值范围，值域是因变量对应的所有可能取值的范围。

（2）奇偶性如果对任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对任意 x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

（3）单调性如果对任意 x1、x2，当 x1 < x2 时有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为增函数；如果对任意 x1、x2，当 x1 < x2 时有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为减函数。

1.2 一次函数与二次函数一次函数一次函数的标准式表示为 y = kx + b，其中 k 是斜率，b 是 y 轴截距。

一次函数的图像是一条直线，它的性质包括：与 y 轴平行的直线的斜率为零，与 x 轴平行的直线的斜率为无穷大。

例题：已知函数 f(x) = 3x + 2，求 f(2) 的值。

解：将 x 替换为 2，得到 f(2) = 3(2) + 2 = 8。

二次函数二次函数的标准式表示为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线，它的性质包括：抛物线开口向上（a > 0）或向下（a < 0），顶点的横坐标为 -b/2a。

例题：已知函数 f(x) = x^2 + 2x - 1，求 f(-1) 的值。

解：将 x 替换为 -1，得到 f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = -2。

1.3 幂函数与指数函数幂函数幂函数的定义形式为 y = x^p，其中 p 是常数。

幂函数的图像随着 p 的取值不同，可能是增函数、减函数或常数函数。

例题：已知函数 f(x) = x^3，求 f(2) 的值。

高等数学课后习题及参考答案(第一章)

高等数学课后习题及参考答案（第一章）习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ,所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.(2)xx y +-=11; 解由x x y +-=11得y y x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x x y . 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ; 解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].(2) f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3) f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ].(4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义. 18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f . ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1||e 1|| )]([101)(x e x x e e xfg x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin h DC AB ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-= 40cot 0, 所以 h h S L40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot 0>⋅-h hS 确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.0911000 90x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)nn x 21=; 解当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=; 解当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n . (3)212nx n +=; 解当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→nn . (4)11+-=n n x n ; 解当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n . (5) x n =n (-1)n .解当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim =++∞→n n n ; 分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).证明因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ;分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x .证明因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？解由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0, ∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x ; 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x .(2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim2230++-→; 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x . (8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4. 证明本节定理3中的(2).习题1-61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00.(2)xx x 3tan lim 0→;解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x .(3)xx x 5sin 2sin lim 0→;解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4)x x x cot lim 0→;解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x .(5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→;解 2)sin (lim 2sin 2lim 2cos 1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x . 或 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→xx x x x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xx x nn n n nn =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)x x x 1)1(lim -→; 解 11)(1)1()(101})](1[lim {)](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x .(2)x x x 1)21(lim +→;解 2221221010])21(lim [)21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 222])11(lim [)1(lim e xx x x x x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数).解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim .3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 证明仅对x →x 0的情形加以证明.设ε为任一给定的正数, 由于A x g x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ1>0, 使得当0<|x -x 0|<δ1时, 恒有|g (x )-A |<ε, 即A -ε<g (x )<A +ε.由于A x h x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ2>0, 使得当0<|x -x 0|<δ2时, 恒有|h (x )-A |<ε, 即A -ε<h (x )<A +ε.取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时, A -ε<g (x )<A +ε与A -ε<h (x )<A +ε 同时成立, 又因为g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.证明仅对x →x 0的情形加以证明. 因为A x g x x =→)(lim 0, A x h x x =→)(lim 0,所以对任一给定的ε>0, 存在δ>0, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 恒有 |g (x )-A |<ε及|h (x )-A |<ε,即 A -ε<g (x )<A +ε及A -ε<h (x )<A +ε.又因为 g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ;证明因为n n 11111+<+<,而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n ,由极限存在准则I , 111lim =+∞→nn .(2)1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ;证明因为πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2222222)1 211(n n n n n n n n n n , 而 1lim 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n .(3)数列2,22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界.当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 则当n =k +1时, 22221=+<+=+k k x x , 所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增. 因为nn n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221, 而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=-→→x x x x ,根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)1]1[lim 0=+→xx x .证明因为x x x 1]1[11≤<-, 所以1]1[1≤<-xx x .又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有1]1[lim 0=+→xx x .习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim=αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim limlim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ. 习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x , 0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y , x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈-=QQx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim 0-+→;(5)145lim 1---→x x x x ;(6)a x a x a x --→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点4π=x 有定义, 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点6π=x 有定义, 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim=++=++=→x x .(5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim 1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x .。

高等数学(本科)第一章课后习题解答

习题1.11. 求下列函数的定义域. （1） 234y x x=- （2）2ln3x y x-=-（3） y = （4）1arcsin3x y -=解：（1）只要分母不为零即可，即0x ≠且4x ≠.定义域为(,0)(0,4)(4,)-∞+∞ （2）只要203x x->-即可，故定义域为(2,3)（3）只要240x -≥即可，故定义域为(,2][2,)-∞-+∞ （4）只要30x ->并且1113x --≤≤即可，易解得定义域为[2,3)-2. 下列各对函数是否相同？为什么？（1）(),()1x f x g x x==；（2）()()f x g x ==.解：（1）不同，因为定义域不同，()f x 的定义域为{|0,}x x x ≠∈ ，而()g x 的定义域为全体实数.（2）相同，因为定义域相同，均为全体实数，对应法则也相同. 3. 求下列函数的反函数，并指出其定义域.（1）(0)y x =≥ （2）31xy =-解：（1）由y =222y x =+，故222x y =-，由于0x ≥，所以x =原函数的反函数为y =x ≥（2）由31x y =-可得13xy +=，所以3l o g (1)x y =+，故原函数的反函数为3log (1)y x =+，定义域为1x >-4. 判断下列函数的奇偶性（1）sin ()cos x x f x x x -=（2）())f x x =（3）1()ln 1x f x x-=+ （4）()2xxa af x -+=解：（1）由于sin()sin sin ()()cos()cos cos x x x x x x f x f x x x x xx x----+--====---，所以()f x 为偶函数.（注：其中用到了sin()sin ,cos()cos x x x x -=--=）（2）())))f x x x x -====-()f x =-，所以()f x 为奇函数.（3）11()lnln()11x x f x f x xx+--==-=--+，所以()f x 为奇函数.（4）()()2xxaa f x f x -+-==，所以()f x 为偶函数.5.下列函数在指定区间内是否有界？（1）21,(,1],(1,0)y x=-∞-- （2）2,(1,2),(2,)1y x =+∞-解：（1）在(,1]-∞-上，2101x<≤，故有界；而在(1,0)-上，函数无上界，故无界.（2）在(1,2)上，函数无上界，故无界；而在(2,)+∞上，2021x <<-，故有界.6. 将下列复合函数进行分解（1）3sin (32)y x =+ （2）ln ln ln y x = （3）y =（4）2tan xy e=解：（1）3,sin ,32y u u t t x ===+ （2）ln ,ln ,ln y u u t t x === （3）y u x ==+（4）2,,tan uy e u t t x ===7. 已知2(1)3f x x x +=-，求(),(1)f x f x -解：令1x t +=，则1x t =-， 22(1)()(1)3(1)54f x f t t t t t +==---=-+，由于函数与变量符号的选择无关，故2()54f x x x =-+22(1)(1)5(1)4710f x x x x x -=---+=-+8. 设1,||1,()0,||1,()1,||1xx f x x g x e x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求[()],[()]f g x g f x解：当0x <时，0()1x g x e <=<，故[()]1f g x =，当0x =时，()1g x =，故[()]0f g x =，当0x >时，()1x g x e =>，故 [()]1f g x =-.当||1x <时，()1f x =，故[()]g f x e =，当||1x =时，()0f x =，故[()]1g f x =，当||1x >时，()1f x =-，故1[()]g f x e=.综上，1,0,[()]0,0,1,0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩1,||1,[()]1,||1,,||1ee x gf x x x <⎧⎪==⎨⎪>⎩9. 两个单调增加的函数的复合函数是否一定单调增加？它们的乘积又如何？答：两个单调增加的函数的复合函数一定单调增加.但是乘积不一定设()y f u =与()u g x =能够复合，并且都是单调增的函数，即对任意的12x x <，都有12()()g x g x <；对任意的12u u <，都有12()()f u f u <.特别对11()u g x =，22()u g x =，显然有12u u <，故12(())(())f g x f g x <，即证复合函数仍为单调增.下面看乘积，例如()()f x g x x ==，显然在(,)-∞+∞都是单调增的，但是2()()f x g x x = 在(,)-∞+∞并不是单调增的，而()()x f x g x e ==，显然在(,)-∞+∞都是单调增的，2()()xf xg x e= 仍在(,)-∞+∞上单调增.10. 设()f x 是周期为π的奇函数，当(0,]2x π∈时，()sin cos 2f x x x =-+；当(,]2x ππ∈ 时，求()f x 的表达式.解：由于()f x 是周期为π的函数，所以()(0)f f π=，又()f x 是奇函数，可知(0)0f =. 当(,0)2x π∈-时，(0,)2x π-∈，由()f x 是奇函数可得()()(sin()cos()2)sin cos 2f x f x x x x x =--=----+=+-当(,)2x ππ∈时，(,0)2x ππ-∈-，由s i n ()s i n ,c o s ()c o s x x x x ππ-=--=-以及()f x周期为π，可知()()sin()cos()2sin cos 2f x f x x x x x πππ=-=-+--=--- 综上可得sin cos 2,(,)()20,x x x f x x πππ⎧---∈⎪=⎨⎪=⎩11. 设1()2y f t x x=-，且21|52x ty t ==-+，求()f x解：由题即知211|(1)522x ty f t t ==-=-+，故2(1)210f t t t -=-+.令1t x -=，则1t x =+，22(1)()(1)2(1)109f t f x x x x -==+-++=+.所以2()9f x x =+12. 设(sin)1cos 2x f x =+，求(cos)2x f 解：利用二倍角公式22cos 12sin 2cos 122x x x =-=-.2(sin)1cos 22sin22x x f x =+=-，令sin2x t =，则2()22f t t =-.从而2(cos )22cos1cos 22x x f x =-=-.习题1.21. 从图象上观察并写出下列极限（1）0lim 2,lim 2,lim 2,lim 2x x x xx x x x →→∞→-∞→+∞（2）13lim ln ,lim ln ,lim ln ,lim ln x x x x x x x x +→→+∞→→（3）02lim cos ,lim cos ,lim cos ,lim cos x x x x x x x x π→→+∞→-∞→（4）1lim arctan ,lim arctan ,lim arctan ,lim arctan x x x x x x x x →→+∞→-∞→∞解：图略.（1）0lim 21xx →=，lim 2xx →∞不存在，lim 20xx →-∞=，lim 2xx →+∞=+∞（也是不存在）（2）1lim ln 0x x →=，0lim ln x x +→=-∞（不存在），lim ln x x →+∞=+∞（不存在），3lim ln ln 3x x →=（3）0lim cos 1x x →=，lim cos x x →+∞不存在，lim cos x x →-∞不存在，2lim cos 0x x π→=（4）1lim arctan 4x x π→=，lim arctan 2x x π→+∞=，lim arctan 2x x π→-∞=-，lim arctan x x →∞不存在.2. 设函数21,0,()0,0,1,0x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩求当0x →时，函数的左、右极限，并说明当0x →时函数的极限是否存在.解：左极限0lim ()lim (1)1x x f x x --→→=-=，右极限200lim ()lim (1)1x x f x x ++→→=-=-，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x →时函数的极限不存在. 3. 求函数||()x f x x=当0x →时的左、右极限，并说明当0x →时函数的极限是否存在.解：左极限0||lim ()limlim 1x x x x x f x x x---→→→-===-，右极限0||lim ()lim lim 1x x x x x f x xx+++→→→===，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x →时函数的极限不存在. 4. 设函数1,1,()0,1,1,1x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩求013lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→解：当0x →时，只关心离0很近的那些点，所以可以认为1x <，故0lim ()lim (1)1x x f x x →→=+=当1x →时，11lim ()lim (1)2x x f x x --→→=+=，11lim ()lim (1)0x x f x x ++→→=-=，左右极限都存在但是不相等，所以1lim ()x f x →不存在.当3x →时，只关心离3很近的那些点，所以可以认为1x >，故33lim ()lim (1)2x x f x x →→=-=.5. 设2||lim arctan 3||2x ax x x bx x π→∞+=--①，求,a b 的值.解：（1）当x →+∞时，可以认为0x >，故||x x =，故=-++∞→xbx x ax x 32lim 3232lim-+=-++∞→b a xbx x ax x ，从而2.32arctan 32limπ-+=-++∞→b a x xbx x ax x ，所以由①式，可知22.32ππ-=-+b a ，即213a b +=--； ② （2）当x →-∞时，可以认为0x <，故||x x =-，故3232lim+-=+--∞→b a xbx x ax x ，从而⎪⎭⎫⎝⎛-+-=+--∞→2.32arctan 32limπb a x xbx x ax x ，所以由①式，可知213a b -=+.综上，可得方程组2323a b a b +=-⎧⎨-=+⎩，解得32a b =⎧⎨=-⎩.（注：lim arctan 2x x π→+∞=，lim arctan 2x x π→-∞=-）6. 设2||()43||x x f x x x +=-.求：（1）lim ()x f x →+∞；（2）lim ()x f x →-∞；（3）0lim ()x f x +→；（4）0lim ()x f x -→；（5）0lim ()x f x →.解：由于23,0,2||43()2143||,0.437x xx x x x xf x x xx x x x x +⎧=>⎪+⎪-==⎨--⎪=<⎪+⎩故易得（1）lim ()3x f x →+∞= （2）1lim ()7x f x →-∞=（3）0lim ()3x f x +→= （4）01lim ()7x f x -→=（5）0lim ()x f x →不存在（左右极限都存在但是不相等）.习题1.31. 下列函数在自变量怎样的变化过程中为无穷小量？在怎样的变化过程中为无穷大量？（1）242x y x -=-；（2）311y x =+；（3）21xy =-；（4）1x y e =解：（1）2422x y x x -==+-在2x =处无定义.由22lim lim (2)0x x y x →-→-=+=，可知此函数在2x →-时为无穷小量；由lim lim (2)x x y x →∞→∞=+=∞，可知此函数在x →∞时为无穷大量.（2）311y x =+在1x =-处无定义.由31lim lim01x x y x →∞→∞==+，可知此函数在x →∞时为无穷小量；由3111lim lim1x x y x →-→-==∞+，可知此函数在1x →-时为无穷大量.（3）由0lim lim (21)0xx x y →→=-=，可知此函数在0x →时为无穷小量；由lim lim (21)xx x y →+∞→+∞=-=+∞，可知此函数在x →+∞时为无穷大量.（4）1x y e =在0x =处无定义.由1lim lim 0x x x y e --→→==，可知此函数在0x -→时为无穷小量；由1lim lim x x x y e ++→→==+∞，可知此函数在0x +→时为无穷大量. 2. 两个无穷小量的商是否为无穷小量？请举例说明.答：不一定，比如说当0x →时，2x 与2(2)x 都是无穷小量，221lim0(2)4x xx →=≠，故不是无穷小量，又2x 与x 都是无穷小量，2lim lim 0x x xx x→→==，是无穷小量.3. 求下列极限. （1）sin limx x x→∞；（2）2arctan limx x x→∞；（3）3113lim ()11x x x →---；（4）2211lim23x x x x →-+-（5）322lim ()2121x xxx x →∞-+-；（6）321lim34x x x x →∞--+；（7）342lim1x x x x →∞+-+；（8）33221lim423x x x x →∞++-；（9）11lim()1nx x n x +→-∈-Z ；（10）0()lim()nnx a x an x+→+-∈Z解：（1）由于|sin |1x ≤，可知sin x 在(,)-∞+∞上为有界函数，而当x →∞时，10x→，为无穷小量，有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量，故sin 1lim lim (sin )0x x x x xx→∞→∞== （2）由于|arctan |2x π<，可知arctan x 在(,)-∞+∞上为有界函数，而当x →∞时，210x→，为无穷小量，故22arctan 1limlim (arctan )0x x x x xx→∞→∞==（3）2332111131323lim ()lim ()lim ()111113x x x x x x x x x x x →→→++-+-====---++ （通分，消元）（4）22111121limlim23342x x x x x x x →→-+===+-+（5）3232222(21)(21)lim ()lim2121(21)(21)x x xxx x x x x x x x →∞→∞--+-=+-+-3232lim4221x x xx x x →∞--=-+-23111lim1114422x xxxx→∞--==--+-（6）322211limlim1134134x x x x xx x xx →∞→∞--==∞-+-+（7）3344411122limlim 0111x x x x xxxx x→∞→∞+-+-==++（8）33323122121limlim1142342423x x x xx x x x→∞→∞++===+-+-（注：5，6，7，8类型相同，当x →∞时，多项式的商的极限主要看分子分母的次数，分子次数大于分母次数，则极限为∞；分子次数小于分母次数，则极限为0；分子次数等于分母次数，极限为最高次项系数的商.做法见上）（9）12121111(1)(1)limlimlim (1)11nn n n n x x x x x xxxxn x x ----→→→--+++==+++=--（10） 12220()lim limn n n n nn nn x x a nax C ax x aa x axx--→→++++-+-=12221lim (())n n n n n x naC ax x na----→=++=4. 设21lim31x x ax b x→++=-，求,a b 的值.解：由于1lim (1)0x x →-=，故21lim()0x x ax b →++=，从而2x ax b ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x ax b x x c ++=-+，则1,a cbc =-=-.由极限211limlim ()1x x x ax b x c x→→++=-+-13c =--=可知4c =-.故5,4a b =-=5. 设322()2ax bx cx df x x x +++=+-，满足：（1）lim ()1x f x →∞=；（2）1lim ()0x f x →=，求,a b ，,c d 的值.解：由lim ()1x f x →∞=可知分子次数等于分母次数，且此时极限为b ，故有0,1a b ==.由1lim ()0x f x →=，可知21lim ()0x x cx d →++=，从而2x cx d ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x cx d x x e ++=-+，则1,c e d e =-=-.由极限2211limlim22x x x cx d x e x x x →→+++=+-+1012e +==+可知1e =-.故2,1c d =-=.6. 设()g x 在0x =的某邻域内有界，且(),0,()0,0.xg x x f x x ≠⎧=⎨=⎩求0lim ()x f x →.解：()g x 在0x =的某邻域内有界，而当0x →时x 为无穷小量，从而可知0lim ()0x f x →=.7. 设1lim ()x f x →存在，且21()23lim ()x f x x x f x →=+，求().f x解：由题可知，只需求出1lim ()x f x →即可，在21()23lim ()x f x x x f x →=+两边同时求当1x →时的极限.21111lim ()lim (23lim ())23lim ()x x x x f x x x f x f x →→→→=+=+，易解得1lim ()1x f x →=-，从而2()23f x x x =-.习题1.41. 利用数列极限存在的准则Ⅰ，求下列极限. （1）222111lim ()(1)()n nn n n →∞+++++ （2）1lim n n n →∞（3）22212lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ （4）limn →∞解：（1）设222111(1)()n a nn n n =+++++ ，显然有2222222211111111()()()()n n n a n n n n n n n n nnnn++=+++<<+++=++++ ，而2211limlim0()n n n n n n n→∞→∞++==+，由两边夹原理可知222111lim ()0(1)()n nn n n →∞+++=++ .（2）当1n >时，11nn >，令11n n n a -=，则显然0n a >.且由二项式公式有2(1)(1)12nnn n n n n n n a na a a -=+=++++ ，故2(1)2n n n n a ->，从而0n a <<而lim0n →∞=，不等式左边常数也是0，由两边夹原理可知lim 0n n a →∞=，从而1lim 1n n n →∞=.（3）设222122n n a n n n n πππ=++++++ ，显然有22222222(1)1212(1)2()2()n n n n n n n a n n n n n n n n n n n n ππππππππ++=+++<<+++=++++++++ 而22(1)(1)1limlim2()2()2n n n n n n n n n ππ→∞→∞++==++，由两边夹原理可知222121lim ()22n nn n n n πππ→∞+++=+++ .（4<<limlim3n n →∞→∞==，由两边夹原理可知lim 3n →∞=.2. 利用数列极限存在的准则Ⅱ，求下列数列的极限（1；（2）1103,n x x +<<=（3）111,(),(,0)2n n nb x a x x a b x +==+>.解：（1）显然数列为单调增的，设12a=<，22a=<=，依次得32a=<=，归纳可得2na<.即数列有上界，由单调有界原理可知此数列有极限，不妨设为a.对1na+=a=2a=或者1a=-（显然不可能）.故数列极限为2.（2）（i）当132x=时，232x==，依次可得32nx=，故此数列为常数数列，显然极限存在，且为32.（ii）当132x≠时，利用几何算术平均值不等式可知1123322x xx+-=<=，依次可得32nx<<（1n>）.而11nnxx+=>=（1n>），故此数列除了1x以外，均为单调增加的，且有界.由单调有界原理可知数列2{}n nx∞=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为a.对1nx+=a=32a=或者0a=（显然不可能）.故数列极限为32.综合（i）（ii）可知数列极限为32.（3）（i）当1x a==2111()2bx xx=+=nx=（ii）当1x≠时，利用几何算术平均值不等式可知2111()2bx xx=+>=，依次可得nx>1n>）.而11()02n n nnbx x xx+-=-<（1n>），故此数列除了1x以外，由单调有界原理可知数列2{}n nx∞=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为A.对11()2n nnbx xx+=+两端同时取极限，可得1()2bA AA=+，解得A=或者A=..综合（i）（ii）可知数列极限为3. 若lim n n x a →∞=，证明：lim ||||n n x a →∞=.证明：由lim n n x a →∞=，可知对0ε∀>，都0N ∃>，当n N >时，就有||n x a ε-<.从而当n N >时，||||||n n x a x a ε-≤-<，由定义可知lim ||||n n x a →∞=.（注：此结论对函数极限也同样成立，即“若lim ()x f x A →∙=，则lim |()|||x f x A →∙=”.反过来不对.但是有“若lim |()|0x f x →∙=，则lim ()0x f x →∙=”，对数列也成立.）4. 对于数列{}n x ，若212lim lim k k k k x x a -→∞→∞==，证明：lim n n x a →∞=.证明：第一种证法，用几何意义来说（不严格）.由212lim lim k k k k x x a -→∞→∞==可知，对0ε∀>，数列21{}k x -中落在区间(,)a a εε-+外的只有有限多项，数列2{}k x 中落在区间(,)a a εε-+外的也只有有限多项.而对于数列{}n x 来说，其中的项不在数列21{}k x -之中就在数列2{}k x 之中，从而落在区间(,)a a εε-+外的也只有有限多项.由几何意义即知lim n n x a →∞=.第二种证法：用极限定义.由21lim k k x a -→∞=，可知对0ε∀>，都10K ∃>，当1k K >时，就有21||k x a ε--<.由2lim k k x a →∞=，可知对上述的0ε>，都20K ∃>，当2k K >时，就有2||k x a ε-<.令12m ax{,}K K K =，2N K =，则当n N >时，有||n x a ε-<.由定义可知lim n n x a →∞=.习题1.51. 求下列各极限. （1）0sin 5limx x x → （2）0sin lim(0)sin x ax b bx→≠ （3）3tan sin limx x xx→- （4）1lim sinx x x→∞（5）lim (1)m xx k x →∞-（6）22lim ()1xx x x →∞++ (7) cot 0lim (13tan )xx x →- (8) 111lim (32)xx x -→-（9）2sin 0lim (1)x x x →+ （10）lim tan n x n n→∞（11）11lim (sin cos)x x xx→∞+ （12）2sec 2lim (1cos )xx x π→-解：（1）0sin 5sin 5limlim (5)55x x x x xx→→==（2）0sin sin limlim ()sin sin x x ax ax bx ax a bxax bx bx b→→== （3）23200022sintan sin sin 1cos sin 112lim lim ()lim ()cos cos 24()2x x x xx x x x x x x x x x x x →→→--=== （4）1sin 1lim sinlim11x x x x xx→∞→∞== （当x →∞时，10t x =→）（5）令x t k=-，则m x m kt =-，且当x →∞时，t →∞，所以11lim (1)lim (1)lim[(1)]m xm kt t m k m kx t t k ex t t---→∞→∞→∞-=+=+= （6）2221lim ()lim (1)11x xx x x x x →∞→∞+=+++，令1t x =+，则1x t =-，且当x →∞时，t →∞，所以22(1)2222111lim ()lim (1)lim[(1)](1)1xt t x t t x e x t t t--→∞→∞→∞+=+=++=+（7）令3tan t x =-，则3cot x t=-，且当0x →时，0t →.所以31cot 3300lim (13tan )lim (1)lim[(1)]xtt x t t x t t e---→→→-=+=+=（8）111111lim (32)lim[13(1)]x x x x x x --→→-=+-，令3(1)t x =-，则当1x →时，0t →，所以1313311lim (32)lim (1)lim[(1)]xtt x t t x t t e----→→→-=+=+=（9）2122sin sin 0lim (1)lim[(1)]xx x x x x x x e →→+=+=（10）因为0tan sin 1limlim1cos x x x x xxx→→== ，由数列极限与函数极限的关系可知1tan1limlim tan 11n n n n n n→∞→∞==，从而当0x ≠时，tan lim tan limn n x x n n x x x n n→∞→∞==当0x =时，lim tan 0n x n n →∞=.综合可知lim tan n xn x n →∞=.（11）1111lim (sin cos )lim [1(sin cos 1)]x xx x x x x x →∞→∞+=++-11(sincos1)111sin cos 111lim [1(sin cos 1)]x x x x xx x x +-+-→∞⎧⎫⎪⎪=++-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，令11sincos1t xx=+-，则当x →∞时，0t →，又1111lim (sincos1)lim sinlim (cos1)x x x x x x xxxx→∞→∞→∞+-=+-2111sin cos12()2limlim1lim1111x x x x x x xxx→∞→∞→∞--=+=+=，故11lim (sincos)xx e xx→∞+=.（12）令cos t x =-，则22sec x t=-，且当2x π→时，0t →，所以212sec 222lim (1cos )lim (1)lim[(1)]xtt t t x x t t e π---→→→-=+=+=.2. 求下列各极限. （1）0limx x→ （2）lim x →+∞（3）0limx →（4）0lim(,0)x m n →> （5）01lim []x x x +→ （6）limx →+∞（7）lim (ln(1)ln )x x x x →+∞+- （8）0lim x +→解：（1）000limlimlim1x x x x→→→===（2）lim limlim0x x x →+∞→+∞→+∞===（3）0sin 41)limlimlimx x x x x→→→==s i n 4l i m11)84x x x→=+= （4）22limlim2x x n n mm→→===（分子分母同时有理化）（5）讨论0x +→时函数的极限时，我们只关心那些离0很近的正数，不妨设01x <<，有11x >，故1111[]x x x-<≤，不等式三边同时乘以x ，不改变不等号的方向，故有111(1)[]1x x x x x x -<≤=，而001lim (1)lim (1)1x x x x x++→→-=-=，不等式右边为常数1，由两边夹原理可知01lim []1x x x+→=.（622211ln(cos 2sin )ln(1sin )x x x xxee++==，其中20ln(1sin )ln 2x ≤+≤，2ln(1sin )x +为有界函数，而当x →+∞时，10x→，为无穷小量，故21limln(1sin )0x x x→+∞+=.从而可得0lim1x e →+∞==（7）111lim (ln(1)ln )lim lnlim ln(1)lim ln[(1)]ln 1xx x x x x x x x x x e xxx→+∞→+∞→+∞→+∞++-==+=+==（8）11limlim (coslim [1(cos1)]xx x x x +++→→→==+1l i m {[1(s }x +→=+-，而222sin2sin cos112lim lim lim 22x x x xx +++→→→--===-，故12limx e+-→=.习题1.61. 比较下列无穷小的阶.（1）当0x →时，323x x +与sin x （2）当1x →-时，1x +与31x +（3）当0x →时，3tan x x x +与(1cos )x x +（4）当0x →1与1-解：（1）由于32322033lim limlim (3)0sin x x x x x x xx x xx→→→++==+=，故323x x +是sin x 的高阶无穷小. （2）由于3211111limlim113x x x xx x →-→-+==+-+，故1x +是31x +的同阶无穷小.（3）由于33tan tan limlimlim0(1cos )(1cos )(1cos )x x x x x xx x xx x x x x x →→→+=+=+++，故3tan x x x +是(1cos )x x +的高阶无穷小.（4）由于21(1lim lim1x x x →→+==1与1-是等价无穷小.2. 证明：当0x →时，（1）x x 21~1+；（2）322(tan )x x o x +=证明：（1）由于01lim 1)lim02x x x →→-==，从而要证x x 21~1+只需计算极限即可.0limlim111)22x x xxx →→==，由定义即知x x 21~1+.（2）由于32lim (2)lim tan 0x x x x x →→+==，从而要证322(tan )x x o x +=只需计算极限即可.32322022limlimlim (2)0tan x x x x x x xx x xx→→→++==+=，由定义即知322(tan )x x o x +=.3. 利用极限的运算法则和无穷小的有关性质求下列极限. （1）21limcos 1xx ex →-- （2）21limsin1x xx x→∞+ （3）0limtan x x→（4）sin 01limln(13)xx ex →-+ （5）21limx x→-（6）0lim1x e →-（7）1limx → （8）213sin coslim(1cos )tan x x x x x x→++ （9）0limx +→（10）31lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x xx →∞+-+.解：（1）2221limlim21cos 12xx x ex x x→→-==--- （2）222211limsinlimlim111x x x xxxx xx xx x→∞→∞→∞===+++ （x →∞时，10x→，所以11sinxx）（3）0limlimlimlimtan tan tan tan x x x x xxxx→→→→==-（由()x x αα~1+）001111532lim lim236x x x x xx→→-=-=+=（4）sin 01sin 1limlimln(13)33xx x ex x x→→-==+（5）22201()1limlimlim 4x x x kx kx→→→-===（6）0limlim1xx x e →→=-lim1x →==，其中第一步用到了有理化.（7）111limlimlimx x x →→→===（8）222001113sin cos3sin cos cos3sin limlimlimlim(1cos )tan (1cos )(1cos )(1cos )x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx x→→→→++==+++++1cos33lim2(1cos )2x x x x →=+=+，其中第二项中，01lim cos 0x x x →= （无穷小乘以有界函数仍为无穷小）（9）01limlim 2x x ++→→==（10）3131lim [sin ln(1)sin ln(1)]lim sin ln(1)lim sin ln (1)x x x x x x xxxx→∞→∞→∞+-+=+-+3131lim ln(1)lim ln(1)lim lim 312x x x x x x xxxxxx→∞→∞→∞→∞=+-+=-=-=习题1.71. 讨论函数2,01,()2,1 2.x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩ 在1x =处的连续性.解：由于211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→===，故()f x 在1x =处左连续，又11lim ()lim (2)1(1)x x f x x f ++→→=-==，故()f x 在1x =处右连续，因此()f x 在1x =处连续.2. 求函数23()6x f x x x +=+-的连续区间，并求极限2lim ()x f x →、3lim ()x f x →-、0lim ()x f x →.解：由于()f x 为初等函数，所以()f x 在(,3)-∞-、(3,2)-和(2,)+∞上都连续.2lim ()x f x →=∞，2333311lim ()limlim625x x x x f x x x x →-→-→-+===-+--，031lim ()62x f x →==--3. 讨论下列函数的间断点，并指出间断点的类型. （1）21()2f x x x =+- （2）sin xy x=（3）21()cos f x x= （4）112xy =解：（1）由于()f x 为初等函数，故只有两个间断点，1x =和2x =-，而221211limlim 22x x x x x x →→-==∞+-+-，所以这两个都是第二类间断点.（2）由于sin xy x=为初等函数，故只在sin 0x =处间断，从而间断点为x k π=（k ∈Z ）.当0k =时，0lim 1sin x x x →=，故0x =为可去间断点；当0k ≠时，lim sin x k xx π→=∞，故x k π=（0k ≠）为第二类间断点.（3）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而当0x →时()f x 的左右极限都不存在，故0x =为第二类间断点.（4）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而11lim2x x-→=∞（当0x -→时，1x→-∞，120x →），故0x =为第二类间断点 4.已知函数0,(),0,2,0x f x a x x b x <==⎨⎪+>⎪⎩在0x =处连续，求a 与b 的值.解：由于()f x 在0x =处连续，故()f x 在0x =处既是左连续又是右连续，从而0lim ()lim 2lim ()lim (2)x x x x f x a f x x b b --++→→→→=====+=，即得2a b ==.5. 证明：方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根.证明：令5()31f x x x =--，显然()f x 在[1,2]上连续.又(1)13130f =--=-<，5(2)23213261250f =--=--=> ，由零点定理可知(1,2)ξ∃∈，使得()0f ξ=.即方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根. 6. 证明：方程3sin x x =在区间(,)2ππ内至少有一个实根.证明：令()3sin f x x x =-，显然()f x 在[,]2ππ上连续.又()3sin302222f ππππ=-=->，()3sin 0f ππππ=-=-<，由零点定理可知(,)2πξπ∃∈，使得()0f ξ=.即方程3sin x x =在区间(,)2ππ内至少有一个实根.7. 确定,a b 的值，使下式成立.（1）21lim ()01x x ax b x →+∞+--=+（2）lim )0x ax b →-∞-=.解：（1）由221(1)()1lim ()lim011x x x a x a b x bax b x x →+∞→+∞+--++---==++可知分子次数小于分母次数，从而10a -=，0a b +=.故1a =，1b =-. （2）由222lim )limx x ax b →-∞→-∞-=221(1)(12)(1)lim0x a x ab b →-∞--++-==可知21a =（若21a ≠，则极限为∞）且1a ≠（若1a =，则极限不能确定），因此1a =-.并且120ab +=，故12b =.8. 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，且()a f x b ≤≤，证明：必存在点[],c a b ∈，使得()f c c =.证明：令()()F x f x x =-，显然()F x 在区间[],a b 上连续，()()0F a f a a =-≥，()()0F b f b b =-≤.（i ）若()0F a =，取c a =即得. （ii ）若()0F b =，取c b =即得.（iii ）若()F a 与()F b 都不等于0，则有()()0F a F b < ，由零点定理可知(,)c a b ∃∈，使得()0F c =，即()f c c =.综合（i ）（ii ）（iii ）可得必存在点[],c a b ∈，使得()f c c =.复习题11. 已知2()x f x e =，[()]1f x x ϕ=-，且()0x ϕ≥，求()x ϕ并写出它的定义域.解：2()[()]1x f x e x ϕϕ==-，故2()ln(1)x x ϕ=-，而()0x ϕ≥，所以()x ϕ=，其定义域为(,0]-∞.2. 设函数1,0,()1,0.x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 2,0,()1,0.x x g x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 求[()]f g x ，[()]g f x .解：当0x ≥时，2()0g x x =≥ ，所以[()]1f g x =；当0x <时，()10g x x =->，所以[()]1f g x =.因此[()]1f g x ≡.当0x ≥时，()10f x =≥ ，所以2[()]11g f x ==；当0x <时，()10f x =-<，所以[()]1(1)2g f x =--=.因此1,0,[()]2,0.x g f x x ≥⎧=⎨<⎩.3. （1）设()f x 定义在区间(,)l l -内，判断函数1()[()()]2F x f x f x =+-与1()[()()]2G x f x f x =--的奇偶性；（2）证明：定义在区间(,)l l -内的任何函数()f x 都可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和.解：（1）由11()[()(())][()()]()22F x f x f x f x f x F x -=-+--=-+=可知()F x 为偶函数；由1()[()()]()2G x f x f x G x -=--=-，可知()G x 为奇函数.（2）显然()()()f x F x G x =+，故得证.4. 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，()g x 是()f x 的反函数，求()2xy f =及(21)y f x =+的反函数.解：由()2x y f =可得()2xg y =，故2()x g y =，所以()2xy f =的反函数为2()y g x =；由(21)y f x =+可得21()x g y +=，故()12g y x -=，所以(21)y f x =+的反函数为()12g x y -=.5. 求下列极限.（1）21111lim ()3153541n n →∞++++- ；（2）()()()nx x x n 22111lim +++∞→ ，（||1x <）；（3）2lim coscoscos222nn x x x →∞；（4）limn →∞；（5）142sin lim ()||1xx xe x x e →+++；（6）20lim (cot )sin xx ex x→-；（7）0lim (cosxx π+→；（8）1lim ()xx x x e →+.解：（1）2111111111111(1)31535412335572121n n n ++++=-+-+-++---+11(1)221n =-+，故21111111lim ()lim (1)31535412212n n n n →∞→∞++++=-=-+ . （2）()()()1111lim 22<+++∞→x xx x nn因()()()()()()()[]xxxx x x x x x x n nn--=-+++-=++++111111.1111122222 ，故()()()xxxxx x n nn n -=--=++++∞→∞→1111lim 111lim 1222.（注意到当||1x <时，12lim 0n n x+→∞=）（3）当0x ≠时，nnx x x x 2sin2cos2cos 2cos 2nn nnnx x x x x 2sin22sin2cos 2cos2cos 22=nnx x 2s i n2s i n =故=∞→nnn x x x x 2sin2cos2cos2coslim 2nnn x x 2sin 2sin lim∞→xx x x nnn sin 2.2sin lim==∞→；当0x =时，12sin 2cos2cos2coslim 2=∞→nnn x x x x .综合可知⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∞→.0,1,0,sin 2sin2cos2cos2coslim 2x x xxx x x x nnn （4≤≤，以及limlim1n n →∞→∞==，由两边夹原理可知lim1n →∞=.（5）1141302sin 21sin lim ()lim lim 1||1xxx x x xxxe x e x x xeee+++-→→→-+++=+=++，（1l i m x x e +→=∞）11442sin 2sin lim ()lim lim 211||11x xx x x xxe x e x x xee---→→→+++=+=-=-++（1lim 0x x e -→=）左右极限都存在并且相等，所以142sin lim ()1||1xx xe x x e →++=+.（6）2220cos (cos 1)(1)lim (cot )limlimsin sin xxxx x x ex e x ex x x x→→→-----==2201cos 1122limlimlimlim2xx x x x xx ex xxxx→→→→---=-=-=-.（7）0limlim lim x xxxx x eeπππ+→++→→==，而2112lim ln(coslim lim lim 2x x x x xxxxπππ++++→→→→-====-从而2lim xx e ππ+-→=（8）0111ln()limln()lim ()lim xxx x e x e xxxxx x x e ee→++→→+==，而1ln[1(1)]11limln()limlimlimlim2xxxxx x x x x x e x e x e x e xxxxx→→→→→++-+--+===+=，从而12lim ()x x x x e e →+=.6. （1）如果数列{}n x ，{}n y 都发散，问数列{}n n x y +是否发散？（2）如果数列{}n x 收敛，{}n y 发散，问数列{}n n x y 是否一定发散？答：（1）不一定，比如{}{}{}n n x n y ==都发散，{}{2}n n x y n +=也发散.又{}{}n x n =与{}{}n y n =-都发散，但是{}{0}n n x y +=为常数列显然收敛.（2）也不一定.比如1{}{}n x n=收敛，{}{}n y n =发散，{}{1}n n x y =为常数列显然收敛；。

高等数学第一章参考答案（精华）

第一章参考答案习题1.11.（1）证：对0，（要使得33110nn ，考虑到311n n，只要1n，即1n）取1=[]+1N ，则当n N 时，有310n，故31lim0nn。

（2）证：2121131393n n n n，对0，（要使得212313n n ，只要1n 即可，即1n）取1=[]+1N ，则当nN 时，有212313n n ，故212lim313nn n 。

（3）证：0，（要使得22sin 10n nn，由于211nn ，只要1n，即1n）取1=[]+1N ，则当nN 时，有2sin 0n n ，则2sin lim0nn n。

（4）证：1111n nn n n故对0，（要使1n n，只要1n ，即21n）取21=[]+1N ，则当n N 时，有10n n，则lim 10nn n （）。

2.证明:对实数a 、b ，0,ab a b证“”ab ，则0a b，故0a b，即a b再证“”假设a b ，不妨令a b ，取0=2a b ，由条件可知=2a ba b，即112，矛盾。

3. 证明:“”，{}n a 收敛于a ，0，N ，当nN 时，na a，即naa a，nN 时，(,)n a U a ，故(,)U a之外最多只含数列n a 的前N 项。

“”，若对0，(,)U a 之外只含数列n a 的有限项，不妨设为120,,...,m k k k a a a ，取|精. |品. |可. |编. |辑. |学. |习. |资. |料. * | * | * | * | |欢. |迎. |下. |载.12max{,,...,}m Nk k k ，则当nN 时，na (,)U a ，即na a{}n a 收敛于a 。

4.证：lim nna a ，则对0,故N ，当nN 时，n a a（由于a ba b ），故此时nna aa alim nna a 。

该命题的逆命题不成立，例如数列{(1)}n，令(1)nna ，则有lim 1nn a ，而lim n n a 不存在。

高数第一章+习题详细解答

习题 1-11．求下列函数的自然定义域：（1）211y x =-；解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -=解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅．（3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<．（4）312x xy -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ，解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞．（6）1arctan y x =解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且．2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++-(0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-；当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +；当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅．3．设21()1,f x x ⎛⎫= ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫=- ⎝，则 2211(2)142a f a a a a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4．设1||1,()0||1,()21|| 1.x x f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21x x xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，1012||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11 ||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1, 1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证．6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？（1）))()ln,()ln3f x x g x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同．（2）()()f x g x == 是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-；不是，因为对应法则不同．（4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==；不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性：（1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞；解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x-=-，(,1)x ∈-∞．解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1x y x -=-是单调递减的．8. 判定下列函数的奇偶性．（1）lg(y x =；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-==-=-，所以lg(y x =是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数．（3）22cos sin 1y x x x =++-；解：因为2()2c o s s i n 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22c o s s i n 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2x xa a y -+=.解：因为()()2x x a a f x f x -+==，所以函数2x xa a y -+=是偶函数． 9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数；（2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则 ()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证．10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M ≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期：（1）|sin |y x =；周期函数，周期为π．（2）1sin πy x =+；周期函数，周期为2．（3）tan y x x =；不是周期函数．（4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：（1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1yx y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xf x x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax by ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a -=-，则反函数1()()b dxf x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =；解：依题意，1(1010)2y y x -=+，所以反函数11()(1010),2x x f x x R --=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．解：依题意，arccos32yx =，所以反函数1arccos 3(),[0,3]2x f x x -=∈．13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-．解：（1）215()e ,(0),(2)x y f x f e f e +====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πVh V r H r=∈．15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2, 4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+ ，（1）求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2）求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3）求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=．（2）要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1），则只要9997,9n > 取N ＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立．（3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε-> 取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-< 成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim 0!n n →∞=；（2）1n →∞=．解：（1）0ε∀>，要使111|0|!!n n n ε-<<＝，只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使2212)nε-=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有1|ε<, 则1n →∞=. 3．若lim n n x a →∞=，证明lim||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0,由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对0ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim||||n n x a →∞=成立.反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-, ||1n x =，显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤，又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>, 存在N ,当n N >时, |0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N >时, |0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=．5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞．解: 因为0x =, (3)π|cos |12n +≤, 所以 (3)π02x n +=. 6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞．证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<, 同理,0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时,||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<，只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X 等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--<0.001, 只要2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X ≥3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim(21)5x x →-=；（2）35lim31x x x →∞+=-；（3）224lim 42x x x →--=-+；（4）lim0x =. 证明:(1) 由于|(21)5|2|xx --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim(21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时, 对0ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim 31x x x →∞+=-．(3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim 42x x x →--=-+.(4) 由于0|-=<,任给0ε>,要使0|ε-<,ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有|0|ε<,故lim 0x =. 4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义：（1）lim ()1x f x →-∞=；（2）lim ()x f x a →∞=；（3）lim ()x af x b +→=；（4）3lim ()8x f x -→=-．解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=.证明: 由于0lim ||lim 0x x x x ++→→==, 0lim ||lim()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=. 6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则l i m ()x f x A →∞=．证明: 由于li m ()x f x A →+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A →-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M >时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x =为当x →∞时的无穷小；（3）13xy x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故211lim 01x x x →-=+．(2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x x x x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时, 总有1|sin |1|sin 0|||||x x x x x ε-=≤<, 故1lim sin 0x x x →∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x M x x x +=+>->,所以 013lim x x x→+=∞. 2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数 sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的. 0M ∀>,π2π2n x n ∃=+且()n x n →+∞→∞, πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M =+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cos y x x=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1t x=,类似第2题可得．习题 1-51．求下列极限：（1）23231lim 41n n n n n →∞+++-；（2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ ；（3）22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ；（4）1132lim 32n nn n n ++→∞+-；（5）2211lim 54x x x x →--+；（6）3221lim 53x x x x →+-+；（7）limx →+∞；（8）2221lim 53x x x x →∞+++；（9）330()lim h x h x h→+-；（10）22131lim 41x x x x →+-+；（11）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（12）23lim 531x x xx x →∞+-+；（13）x →（14）3lim 21x x x →∞+；（15）3lim(236)x x x →∞-+；（16）323327lim 3x x x x x →+++-．解:(1) 23231lim 41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n n n n n n→∞++=+-． (2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ = 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦ = 1lim(1)11n n →∞-=+． (3) 22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=21(1)12lim 2n n n n →∞+=． (4) 1132lim 32n nn n n ++→∞+-=21()13lim 2332()3n n n →∞+=-⋅． (5) 2211lim 54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim 43x x x →+=--．(6) 3221lim 53x x x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) limx →+∞=limx=limx=111lim2x -=． (8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim 2531x x x x→∞+=++． (9) 330()lim h x h x h →+-=322330(33)lim h x x h xh h x h→+++-=3220lim(33)3h x xh h x →++=．(10) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=2313(1)lim 1x x x x →⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-++ =212lim 11x xx x →+=++． (11) 23lim 531x x x x x →∞+-+=22311lim 0315x x x x x→∞+=-+．(12) x →=x →=x →(13) 3lim 21x x x →∞+=2lim 12x x x→∞=+∞+．(14) 3lim(236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x x x→∞-+=∞．(15) 323327lim 3x x x x x →+++-=32331lim(327)lim 3x x x x x x →→+++⨯=∞-．2．设,0,()2,0.x e x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在．解：因为0lim ()lim 1,lim ()lim(2)x x x x x f x e f x x a a --++→→→→===+=，所以，当0lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在．3．求当x 1→时，函数12111x x e x ---的极限．解：因为11211111limlim(1)0,1x x x x x e x e x ----→→-=+=- 11211111lim lim(1),1x x x x x e x e x ++--→→-=+=+∞- 所以12111lim1x x x e x -→--不存在。

高数A(一)第一章习题答案

《高等数学教程》第一章习题答案习题1-1 (A)1.(1)),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ (2)]1,0()0,1[⋃-(3)),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ (4)πk x ≠且),2,1,0(2±±=+≠k k x ππ (5)),2,1,0()352,32( ±±=++k k k ππππ(6)]3,1[- 2.202)(6,916,6h x +++ 3.0,22,22,21 5.(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数(6)当)(x f 为奇函数或偶函数时，该函数为偶函数；当)(x f 为非奇非偶函数时，该函数为非奇非偶函数. (7)偶函数 (8)奇函数6.(1)是周期函数，π2=T (2)是周期函数，4=T (3)是周期函数，4=T (4)不是周期函数7.(1)a cx b dx y -+-=(2)2arcsin 31xy = (3)21-=-x e y (4)xxy -=1log 2(5)2xx e e y --=8.(1)2,x a u u y -== (2)2,x u e y u == (3)cos ,lg ==u u y (4)x v tgv u u y 6,,2=== (5)21,,cos ,xw e v v u arctgu y w -==== (6)22,ln ,ln ,x w w v v u u y ====9.(1)]1,1[- (2) zk k k ∈+])12(,2[ππ (3)]1,[a a --(4)若210≤<a ,则]1,[a a D -=；若21>a ，则=D Ф. 10.4)]([x x =ϕϕ，xx 22)]([=ψψ，x x 22)]([=ψϕ，22)]([x x =ϕψ. 11.1,4-==b a12.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-1,1,11,)]([1x e x x e x f g13.)20(,])2([22r h h r h V <<-=π14.πααπααππ20,4)2(242223<<--=r V 15.),2(,])[(32232+∞--=r r r h h r V π16.(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<⋅--≤≤=1600,751600100,01.0)100(901000,90x x x x p(2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600,151600100,01.0311000,30)60(2x x x x x x x x p p(3)21000=p (元)习题1-1 (B)1.)(x f 为偶函数.2.41)1(,2)(222-+=--=xx xx f x x f 3.⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x g f ，⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x f g4.22123x x ++ 8.⎩⎨⎧-≤-<<--=-1,101,1)(x x e x f x9.]0,(,)1ln()(-∞-=x x g10.奇函数，偶函数，偶函数，偶函数. 12.1)2005(=f习题1-2 (A)1.(1)121+n ,0 (2)11)1(1+-+n n ,0 (3)2+n n,1 (4)1)1()1(+-⋅+n n ,没有极限(5)222)1(1)1(2)1(1+++++++n n n n ,21 (6)2)2)(1()1(++-n n ,没有极限.2.(1)17; (2)24; (3)]3[ε3.0,]1[ε习题1-3 (A)3.0002.0=δ4.397≥Z6.1)(lim )(lim 00==+-→→x f x f x x ,1)(lim 0=→x f x 1)(lim 0-=-→x x ϕ,1)(lim 0=+→x x ϕ,)(lim 0x x ϕ→不存在.习题1-4 (A)3.(1)0; (2)0; (3)04.0lim 1=-→y x ; ∞=→y x 1lim 习题1-4 (B)3.x x y cos =在),(+∞-∞上无界，但当+∞→x 时，此函数不是无穷大. 5.当1,0==b a 时，)(x f 是无穷小量；当b a ,0≠为任意实数时，)(x f 是无穷大量.习题1-5 (A)1.(1)0; (2)1; (3)1; (4)103; (5)231aa -; (6)23x ; (7)34; (8)1-. 2.(1)43-; (2)0; (3)∞; (4)41-;(5)503020532⋅; (6) 41-.3.(1)⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<1,11,010,1a a a ; (2)3; (3)34; (4)21-4.(1)10; (2)2)(m n mn -; (3)n m; (4)0; (5)0; (6)21; (7)43; (8)21.习题1-5 (B)1.(1)2; (2)21-; (3)561-; (4)2)13(2-a (5)23; (6)⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>2,2,12,0k k k ; (7)2; (8)0 .2.1,1-==βα3.9=a4.1,1-==b a5.不一定.习题1-6 (A)1.(1)2; (2)3; (3)21; (4)-1; (5)a cos ； (6)2π; (7)1; (8)2; (9)1; (10)x . 2.(1)1-e ; (2)2e ; (3)2-e ; (4)2-e ; (5)1-e ; (6)2e .习题1-6 (B)1.(1)21; (2)π2; (3)1; (4)0;(5)0; (6)1; (7)0; (8)1-e . 2.(4)3; (5)251+. 习题1-7 (A)1. 当0→x 时，34x x -比32x x +为高阶无穷小.2. (1)同阶，但不是等价； (2)同阶，且为等价.3.21=α 4.m =α6.(1)23; (2)⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<nm n m nm ,,1,0; (3)21;(4)21; (5)b a ; (6)41.习题1-7 (B)1.(1)32; (2)2e ; (3)21; (4)0; (5)1; (6)41-; (7)∞; (8)1. 5.x x x x p 32)(23++=. 6.a A ln .习题1-8 (A)1.1=a2.)(x f 在0=x 处连续3.(1)1=x 为可去间断点，补充2)1(-=f2=x 为第二类间断点(2)0=x 和2ππ+=k x 为可去间断点，补充0)2(,1)0(=+=ππk f f ；)0(≠=k k x π为第二类间断点.(3)1=x 为第一类间断点 (4)0=x 为第二类间断点.4.(1)1=x 为可去间断点，补充32)1(=f ;(2)0=x 为可去间断点，补充21)0(=f ；(3)1=x 为可去间断点，补充2)1(π-=f ；0=x 为第二类间断点；(4)2=x 为可去间断点，补充41)2(=f ；0=x 为第一类间断点；2-=x 为第二类间断点. (5)0=x 为第一类间断点； (6)a x =为第一类间断点; (7)1=x 为第一类间断点; (8)1-=x 为第二类间断点.习题1-8 (B)1. 1±=x 为第一类间断点.2. 1,0==b a3. 25=a 4. ),2,1,0(22 ±±=-=n n a ππ5. 0,=-=b a π6. (1)当1,0≠=b a 时，有无穷间断点0=x ； (2)当e b a =≠,1时，有无穷间断点1=x .习题1-9 (A)1.连续区间为：),2(),2,3(),3,(+∞---∞21)(l i m 0=→x f x ，58)(lim 3-=-→x f x ，∞=→)(lim 2x f x .2.连续区间为：),0(),0,(+∞-∞.3. (1) -1; (2) 1; (3) h ; (4) -1; (5) 22-; (6) -2; (7) 1; (8) 1; (9) ab ; (10) 5e ; (11) -1; (12) 2. 4. 1=a 5. 1=a习题1-9 (B)1. (1)0=x 为第一类间断点； (2)1-=x 为第一类间断点； (3)0=x 为第一类间断点; (4)1±=x 为第一类间断点; (5)无间断点.2. 1,0==b a3. (1)1-e ; (2)21-e ; (3)a e cot ; (4)0;(5)0; (6)-2; (7)21; (8)82π.4.21总复习题一一. 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D二.1. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-0,0,)(22x x x x x x f2. ]2,2[,)1arcsin(2--x3. －14. 必要，充分5. 必要，充分6. 充分必要7.21 8. b a = 9.56 10. 第二类，第一类三. 1. 11)(-+=x x x ϕ 2. 20051,20052004=-=βα 3. 1lim =∞→n n x 4. 4 5. 4e 6. －50 7.a ln 218. 当0≤α时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-=>βα时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-≠>βα时，)(x f 在0=x 处不连续. 9. 82-部分习题选解习题1-2 (B)1. 根据数列极限的定义证明：(1))0(1lim 时>=∞→a a nn证明：(ⅰ) 0>∀ε当1>a 时，令)0(1>+=n n n h h a n nn n n n n nh h h n n nh h a >++-++=+=∴ 22)1(1)1( εεan na h n ><<<∴0∴取1][+=εaN ，当N n >时，有ε<<=-nah a n n 1，即1lim =∞→n n a(ⅱ)当1=a 时，显然成立. (ⅲ)当10<<a 时，令11>=ab ∴11lim lim ==∞→∞→nn nn ab∴1lim =∞→nn a 综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，∴当0>a 时，有1lim =∞→nn a . 习题1-6 (B)3.设0,00>y x ，n n n y x x =+1，21nn n y x y +=+. 证明：n n n n y x ∞→∞→=lim lim 证明：2nn n n y x y x +≤),2,1,0(011 =≤≤∴++n y x n nnnn n n n nn n n n n y y y y x y x x x y x x =+≤+==≥=∴++2211),2,1,0( =n 由此可知数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少，又011110y y y y x x x x n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤≤++ ∴}{n x 与}{n y 都是有界的.由“单调有界数列必有极限”准则， ∴}{n x ，}{n y 都收敛.设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim由21n n n y x y +=+，2lim lim n n n n n y x y +=∴∞→∞→ b a b a b =⇒+=∴2即n n n n y x ∞→∞→=lim lim . 习题1-10 (B)3.设函数)(x f 在]1,0[上非负连续，且0)1()0(==f f ，试证：对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=. 证明：令)1,0(,)()()(∈∀+-=l l x f x f x F )(x f 在]1,0[上连续，)(l x f +在]1,[l l --上连续， )(x F ∴在]1,0[l -上连续.又 0)1()1()1()1(0)()()0()0(≥-=--=-≤-=-=l f f l f l F l f l f f F )0)((≥x f 0)1()0(≤-⋅∴l F F(ⅰ)若0)0(=F ，取00=x ，即)()0(l f f = (ⅱ)若0)1(=-l F ，取l x -=10，即)1()1(f l f =- (ⅲ))01(,0)0(≠-≠l F F 0)1()0(<-⋅∴l F F 由零点存在定理，必存在一点]1,0[0l x -∈，使0)(0=x F ，即)()(00l x f x f +=.综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=.总复习题一三.11.设)(x f 在],[b a 上连续，且)(x f 在],[b a 上无零点. 证明)(x f 在],[b a 上不变号.证明：(反证法)假设)(x f 在],[b a 变号，即],[,21b a x x ∈∃，使0)(,0)(21<>x f x f 即0)()(21<⋅x f x f )(x f 在],[b a 上连续，∴)(x f 在],[21x x 上连续. 由零点存在定理知，),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ，使0)(=ξf 即ξ是)(x f 在],[b a 上的一个零点. 这与)(x f 在],[b a 上无零点矛盾， )(x f ∴在],[b a 上不变号.。

高等数学第1章课后习题答案(科学出版社).

第一章函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：x3+ (1)y=21-xx-1arccos (3) y=解：(1)解不等式组⎨(2) y=arctan1x⎧3x≠1⎪(4) y=⎨. ⎪3 , x=1⎩⎧x+3≥0得函数定义域为[-3,-1) (-1,1) (1,+∞); 2⎩1-x≠0⎧3-x2≥0(2)解不等式组⎨得函数定义域为[ ; ⎩x≠0x-1⎧-1≤≤1⎪(3)解不等式组⎨得函数定义域为[-4,-2) (3,6]; 52⎪⎩x-x-6>0(4)函数定义域为(-∞,1].2．已知函数f(x)定义域为[0,1]，求ff(cosx),f(x+c)+f(x-c) (c>0)义域．解：函数f要有意义，必须0≤1，因此f的定义域为[0,1]；同理得函数f(cosx)定义域为[2kπ-,2kπ+]； 22⎧0≤x+c≤11函数f(x+c)+f(x-c)要有意义，必须⎨，因此，（1）若c<，定义域为：2⎩0≤x-c≤1（2）若c=[c,1-c]；的定ππ111，定义域为：{；（3）若c>，定义域为：∅． 222 1⎛x-a⎫3．设f(x)=2 1-⎪,a>0,求函数值f(2a),f(1)． x⎝|x-a|⎭解：因为f(x)=f(2a)=1⎛x-a⎫1- ⎪，所以 2x⎝|x-a|⎭1⎛a⎫1⎛1-a1-=0，f(1)=1- ⎪2 4a⎝a⎭12 ⎝-a⎫⎧2 ,a>1,． =⎪⎪⎨0 ,0<a<1⎭⎩4. 证明下列不等式:(1) 对任何x∈R有 |x-1|+|x-2|≥1;(2) 对任何n∈Z+有 (1+1)n+1>(1+1)n; n+1n(3) 对任何n∈Z+及实数a>1有 a-1≤a-1. n1n证明：（1）由三角不等式得|x-1|+|x-2|≥|x-1-(x-2)|=1（2）要证(1+1)n+1>(1+1)n，即要证1+1>n+1nn+1=111(1+)+(1+)+ +(1+)+11 < =1+n+1n+1得证。

高等数学教程习题答案

《高等数学教程》第一章习题答案习题1-1 (A)1.(1)),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ (2)]1,0()0,1[⋃-(3)),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ (4)πk x ≠且),2,1,0(2Λ±±=+≠k k x ππ (5)),2,1,0()352,32(Λ±±=++k k k ππππ(6)]3,1[- 2.202)(6,916,6h x +++ 3.0,22,22,21 5.(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数(6)当)(x f 为奇函数或偶函数时，该函数为偶函数；当)(x f 为非奇非偶函数时，该函数为非奇非偶函数. (7)偶函数 (8)奇函数6.(1)是周期函数，π2=T (2)是周期函数，4=T (3)是周期函数，4=T (4)不是周期函数7.(1)a cx b dx y -+-=(2)2arcsin 31xy = (3)21-=-x e y (4)xxy -=1log 2(5)2xx e e y --=8.(1)2,x a u u y -== (2)2,x u e y u == (3)cos ,lg ==u u y (4)x v tgv u u y 6,,2=== (5)21,,cos ,xw e v v u arctgu y w -==== (6)22,ln ,ln ,x w w v v u u y ====9.(1)]1,1[- (2)Y zk k k ∈+])12(,2[ππ (3)]1,[a a --(4)若210≤<a ,则]1,[a a D -=；若21>a ，则=D Ф. 10.4)]([x x =ϕϕ，xx 22)]([=ψψ，x x 22)]([=ψϕ，22)]([x x =ϕψ. 11.1,4-==b a12.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-1,1,11,)]([1x e x x e x f g13.)20(,])2([22r h h r h V <<-=π14.πααπααππ20,4)2(242223<<--=r V 15.),2(,])[(32232+∞--=r r r h h r V π16.(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<⋅--≤≤=1600,751600100,01.0)100(901000,90x x x x p(2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600,151600100,01.0311000,30)60(2x x x x x x x x p p(3)21000=p (元)习题1-1 (B)1.)(x f 为偶函数.2.41)1(,2)(222-+=--=xx x x f x x f 3.⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x g f ，⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x f g4.22123x x ++ 8.⎩⎨⎧-≤-<<--=-1,101,1)(x x e x f x9.]0,(,)1ln()(-∞-=x x g10.奇函数，偶函数，偶函数，偶函数. 12.1)2005(=f习题1-2 (A)1.(1)121+n ,0 (2)11)1(1+-+n n ,0 (3)2+n n,1 (4)1)1()1(+-⋅+n n ,没有极限(5)222)1(1)1(2)1(1+++++++n n n n Λ,21(6)2)2)(1()1(++-n n ,没有极限.2.(1)17; (2)24; (3)]3[ε3.0,]1[ε习题1-3 (A)3.0002.0=δ4.397≥Z6.1)(lim )(lim 00==+-→→x f x f x x ,1)(lim 0=→x f x1)(lim 0-=-→x x ϕ,1)(lim 0=+→x x ϕ,)(lim 0x x ϕ→不存在.习题1-4 (A)3.(1)0; (2)0; (3)04.0lim 1=-→y x ; ∞=→y x 1lim习题1-4 (B)3.x x y cos =在),(+∞-∞上无界，但当+∞→x 时，此函数不是无穷大. 5.当1,0==b a 时，)(x f 是无穷小量；当b a ,0≠为任意实数时，)(x f 是无穷大量.习题1-5 (A)1.(1)0; (2)1; (3)1; (4)103; (5)231aa -; (6)23x ; (7)34; (8)1-. 2.(1)43-; (2)0; (3)∞; (4)41-;(5)503020532⋅; (6) 41-.3.(1)⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<1,11,010,1a a a ; (2)3; (3)34; (4)21-4.(1)10; (2)2)(m n mn -; (3)n m; (4)0; (5)0; (6)21; (7)43; (8)21.习题1-5 (B)1.(1)2; (2)21-; (3)561-; (4)2)13(2-a(5)23; (6)⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>2,2,12,0k k k ; (7)2; (8)0 .2.1,1-==βα3.9=a4.1,1-==b a5.不一定.习题1-6 (A)1.(1)2; (2)3; (3)21; (4)-1; (5)a cos ； (6)2π; (7)1; (8)2; (9)1; (10)x . 2.(1)1-e ; (2)2e ; (3)2-e ; (4)2-e ; (5)1-e ; (6)2e .习题1-6 (B)1.(1)21; (2)π2; (3)1; (4)0; (5)0; (6)1; (7)0; (8)1-e . 2.(4)3; (5)251+. 习题1-7 (A)1. 当0→x 时，34x x -比32x x +为高阶无穷小.2. (1)同阶，但不是等价； (2)同阶，且为等价.3.21=α 4.m =α6.(1)23; (2)⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<nm n m nm ,,1,0; (3)21;(4)21; (5)b a ; (6)41.习题1-7 (B)1.(1)32; (2)2e ; (3)21; (4)0; (5)1; (6)41-; (7)∞; (8)1. 5.x x x x p 32)(23++=. 6.a A ln .习题1-8 (A)1.1=a2.)(x f 在0=x 处连续3.(1)1=x 为可去间断点，补充2)1(-=f2=x 为第二类间断点(2)0=x 和2ππ+=k x 为可去间断点，补充0)2(,1)0(=+=ππk f f ；)0(≠=k k x π为第二类间断点.(3)1=x 为第一类间断点 (4)0=x 为第二类间断点.4.(1)1=x 为可去间断点，补充32)1(=f ;(2)0=x 为可去间断点，补充21)0(=f ；(3)1=x 为可去间断点，补充2)1(π-=f ；0=x 为第二类间断点；(4)2=x 为可去间断点，补充41)2(=f ；0=x 为第一类间断点；2-=x 为第二类间断点. (5)0=x 为第一类间断点； (6)a x =为第一类间断点; (7)1=x 为第一类间断点; (8)1-=x 为第二类间断点.习题1-8 (B)1. 1±=x 为第一类间断点.2. 1,0==b a3. 25=a 4. ),2,1,0(22Λ±±=-=n n a ππ5. 0,=-=b a π6. (1)当1,0≠=b a 时，有无穷间断点0=x ； (2)当e b a =≠,1时，有无穷间断点1=x .习题1-9 (A)1.连续区间为：),2(),2,3(),3,(+∞---∞ 21)(lim 0=→x f x ，58)(lim 3-=-→x f x ，∞=→)(lim 2x f x .2.连续区间为：),0(),0,(+∞-∞.3. (1) -1; (2) 1; (3) h ; (4) -1; (5) 22-; (6) -2; (7) 1; (8) 1; (9) ab ; (10) 5e ; (11) -1; (12) 2. 4. 1=a 5. 1=a习题1-9 (B)1. (1)0=x 为第一类间断点； (2)1-=x 为第一类间断点； (3)0=x 为第一类间断点; (4)1±=x 为第一类间断点; (5)无间断点.2. 1,0==b a3. (1)1-e ; (2)21-e ; (3)a e cot ; (4)0;(5)0; (6)-2; (7)21; (8)82π.4.21总复习题一一. 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D二.1. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-0,0,)(22x x x x x x f2. ]2,2[,)1arcsin(2--x3. －14. 必要，充分5. 必要，充分6. 充分必要7.21 8. b a = 9.56 10. 第二类，第一类三. 1. 11)(-+=x x x ϕ 2. 20051,20052004=-=βα 3. 1lim =∞→n n x 4. 4 5. 4e 6. －50 7.a ln 218. 当0≤α时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-=>βα时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-≠>βα时，)(x f 在0=x 处不连续. 9. 82-部分习题选解习题1-2 (B)1. 根据数列极限的定义证明：(1))0(1lim 时>=∞→a a nn证明：(ⅰ) 0>∀ε当1>a 时，令)0(1>+=n n n h h a n nn n n n n nh h h n n nh h a >++-++=+=∴Λ22)1(1)1( εεan na h n ><<<∴0∴取1][+=εaN ，当N n >时，有ε<<=-nah a n n 1，即1lim =∞→n n a (ⅱ)当1=a 时，显然成立. (ⅲ)当10<<a 时，令11>=ab ∴11lim lim ==∞→∞→n n nn ab∴1lim =∞→nn a 综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，∴当0>a 时，有1lim =∞→nn a . 习题1-6 (B)3.设0,00>y x ，n n n y x x =+1，21nn n y x y +=+. 证明：n n n n y x ∞→∞→=lim lim证明：2nn n n y x y x +≤Θ ),2,1,0(011Λ=≤≤∴++n y x n nnnn n n n nn n n n n y y y y x y x x x y x x =+≤+==≥=∴++2211),2,1,0(Λ=n 由此可知数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少，又011110y y y y x x x x n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤≤++ΛΛ ∴}{n x 与}{n y 都是有界的.由“单调有界数列必有极限”准则， ∴}{n x ，}{n y 都收敛. 设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim由21n n n y x y +=+，2lim lim n n n n n y x y +=∴∞→∞→ b a b a b =⇒+=∴2即n n n n y x ∞→∞→=lim lim . 习题1-10 (B)3.设函数)(x f 在]1,0[上非负连续，且0)1()0(==f f ，试证：对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=. 证明：令)1,0(,)()()(∈∀+-=l l x f x f x F )(x f Θ在]1,0[上连续，)(l x f +在]1,[l l --上连续， )(x F ∴在]1,0[l -上连续.又Θ0)1()1()1()1(0)()()0()0(≥-=--=-≤-=-=l f f l f l F l f l f f F )0)((≥x f Θ 0)1()0(≤-⋅∴l F F(ⅰ)若0)0(=F ，取00=x ，即)()0(l f f = (ⅱ)若0)1(=-l F ，取l x -=10，即)1()1(f l f =- (ⅲ))01(,0)0(≠-≠l F F 0)1()0(<-⋅∴l F F 由零点存在定理，必存在一点]1,0[0l x -∈，使0)(0=x F ，即)()(00l x f x f +=. 综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=.总复习题一三.11.设)(x f 在],[b a 上连续，且)(x f 在],[b a 上无零点. 证明)(x f 在],[b a 上不变号.证明：(反证法) 假设)(x f 在],[b a 变号，即],[,21b a x x ∈∃，使0)(,0)(21<>x f x f 即0)()(21<⋅x f x f Θ)(x f 在],[b a 上连续，∴)(x f 在],[21x x 上连续. 由零点存在定理知，),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ，使0)(=ξf 即ξ是)(x f 在],[b a 上的一个零点. 这与)(x f 在],[b a 上无零点矛盾， )(x f ∴在],[b a 上不变号.。

高等数学(同济第七版)第一章课后答案

高等数学(同济第七版)第一章课后答案高等数学(同济第七版)第一章课后答案答案如下：1.a) 设 y=f(x)=x^2 +2x-3则f’(x)=2x+2当f’(x)=0 时，2x+2=0，解得 x=-1所以函数 f(x) 的驻点为 x=-1b) f’’(x)=2当 x=-1 时，f’’(x)=2>0所以驻点 x=-1 对应的函数值 f(-1)=4 为极小值c) 当x→±∞ 时，f(x)→+∞当x→-∞ 时，f(x)→+∞所以函数 f(x) 在 x=-1 处的极小值为最小值2.a) 设 y=f(x)=x^3-3x则f’(x)=3x^2-3当f’(x)=0 时，3x^2-3=0，解得 x=±1所以函数 f(x) 的驻点为 x=±1b) f’’(x)=6x当 x=1 时，f’’(1)=6>0，所以驻点 x=1 对应的函数值 f(1)=-2 为极小值当 x=-1 时，f’’(-1)=-6<0，所以驻点 x=-1 对应的函数值 f(-1)=2 为极大值c) 当x→±∞ 时，f(x)→+∞所以函数 f(x) 在 x=1 处的极小值为最小值，函数 f(x) 在 x=-1 处的极大值为最大值3.a) 设 y=f(x)=x^3-9x^2+24x-10则f’(x)=3x^2-18x+24当f’(x)=0 时，3x^2-18x+24=0，化简得 x^2-6x+8=0，解得 x=2 或x=4所以函数 f(x) 的驻点为 x=2 或 x=4b) f’’(x)=6x-18当 x=2 时，f’’(2)=6(2)-18=-6<0，所以驻点 x=2 对应的函数值f(2)=-10 为极大值当 x=4 时，f’’(4)=6(4)-18=6>0，所以驻点 x=4 对应的函数值f(4)=10 为极小值c) 当x→±∞ 时，f(x)→+∞所以函数 f(x) 在 x=2 处的极大值为最大值，函数 f(x) 在 x=4 处的极小值为最小值4.a) 设 y=f(x)=x^3-3x^2-9x+17则f’(x)=3x^2-6x-9当f’(x)=0 时，3x^2-6x-9=0，化简得 x^2-2x-3=0，解得 x=3 或 x=-1所以函数 f(x) 的驻点为 x=3 或 x=-1b) f’’(x)=6x-6当 x=3 时，f’’(3)=6(3)-6=18>0，所以驻点 x=3 对应的函数值f(3)=8 为极小值当 x=-1 时，f’’(-1)=6(-1)-6=-12<0，所以驻点 x=-1 对应的函数值f(-1)=18 为极大值c) 当x→±∞ 时，f(x)→+∞所以函数 f(x) 在 x=3 处的极小值为最小值，函数 f(x) 在 x=-1 处的极大值为最大值在本章的课后练习中，我们通过求导数、求二阶导数和讨论函数的单调性，求解了各种函数的极值及其最值。

高等数学第一章1-3节参考答案

第一章函数与极限第一节函数教材习题1-1答案（上册P17） 1. 解:（1）(]2,6x ∈.（2）911,21010x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (3). (,100)(100,)x ∈-∞-⋃+∞.(4). (0.99,1)(1,1.01)x ∈⋃.2.解:由2212x x εε-<⇒-<.又因(1,)x U δ∈,即该邻域以1为中心, δ为半径,所以2εδ=.当0.1ε=时, 0.05δ=;当0.01ε=时, 0.005δ=.3.解: (1)不同. ()f x 的定义域为0x ≠,而()g x 的定义域为0x >. (2) 不同.对应法则不同: ()f x x =,而()g x x =. (3)相同. ()()f x g x ==.(4)不同.对应法则不同: ()sin f x x ∈而()sin g x x =.4.解(1) {}110x x x -≤≤≠且 . (2) {}12x x ≠≠且 . (3) {}24x x ≤≤ . (4) {}30x x x ≤≠且. (5) {}1x x >- . (6) {}0x x ≠.5.解: (0)2f ==,(1)f ==(1)f -==1()f a ==0()f x =0()f x h +=6.解: ()sin 66ππϕ==12,()()sin4442πππϕϕ=-==, (2)0ϕ-=.7.证: 2211251()2()5()()11()()f f t ttt tt=+++=.# 8.证：(1)左边=()()()xyx yF x F y e e eF x y +=⋅==+=右边(2)左边= ()()()x x yyF x e e f x y F y e-==-=右边.#9. 证：(1)左边=()()ln ln ln()()G x G y x y xy G xy +=+===右边(2)左边= ()()ln ln ln()()x xG x G y x y G y y-==-===右边.#10.解(1)偶函数 . (2) 既非奇函数又非偶函数 . (3) 奇函数. (4) 偶函数.(5) 既非奇函数又非偶函数. (6) 既非奇函数又非偶函数. 11.证:(1)设12(),()f x f x 都是偶函数, 12(),()g x g x 都是奇函数.令12()()(),F x f x f x =+12()()(),G x g x g x =+则12()()()F x f x f x -=-+-=12()()()f x f x F x +=,所以()F x 为偶函数.12()()()G x g x g x -=-+-=12()(())g x g x -+-=12(()())g x g x -+=()G x -,所以()G x为奇函数. #12.证: ()12,,0,x x l ∀∈- 不妨设12x x <,,则()12,0,,x x l --∈且12x x ->-,因为()()0,f x l 在内单调更加,所以12()()f x f x ->-.又因为()f x 为奇函数,所以12()()f x f x ->-,即12()()f x f x <.所以()(),0f x l -在内单调更加. #13.解:(1) 周期2T π= . (2) 22T ππ== . (3)不是周期函数 . (4) 21cos 2sin 2xy x -==,22T ππ∴==.14.解(1)由11x y x-=+得11y x y-=+,则11x y x -=+的反函数为11x y x-=+.(2) 由2sin 3y x =得1arcsin 32y x =,则2sin 3y x =的反函数为1arcsin 32x y =.(3) 由1ln(2)y x =++得2yex e =-,则所求的反函数为12x y e-=-.(4) 由221xxy =+得2log 1yx y=-,则所求的反函数为2log 1x y x=-.15.解(1)复合函数为2()sin y f x x ==,则1()6y f π=2sin 6π==14,2()3y f π=23sin34π== (2) 复合函数为()y f x ==,则1(1)y f ===,2(2)y f ===(3) 复合函数为2()xy f x e ==,则01(0)1y f e ===,12(1)y f e e ===.(4) 复合函数为22()()x x y f x e e ===,则21(1)y f e ==,22(1)y f e -=-=.16.解:此函数为分段函数: 10.15(50)()0.1550(50)(50)x x y x x x ⎧≤⎪=⎨⨯+->⎪⎩为正整数.图形略.17.解:总数为一年期存款为A 时：一年后连本带息共有0.042(10.042)A A A +=+;将(10.042)A +再存一年即两年后连本带息共有2(10.042)(10.042)(10.042)A A ++=+;半年期存款时：半年后连本带息共有(10.02),A +一年后连本带息共有2(10.02)(10.02)(10.02)A A ++=+，一年半后可取出3(10.02)(10.02)(10.0A A +++=+，两年后可取出4(10.02)(10.02)(10.2)A A ++++=+，所以存一年期的定期收益较多，多了24(10.042)(10.02)0.0033A A A +-+=.第二节数列的极限教材习题1-2答案（上册P27） 1. 解(1)收敛, 1lim lim02n nn n x →∞→∞==. (2) 收敛, 1lim lim (1)0nn n n x n →∞→∞=-=. (3) 收敛, 21lim lim (2)2n n n x n→∞→∞=+=.(4) 收敛, 12lim limlim (1)111n n n n n x n n →∞→∞→∞-==-=++.(5)发散,因为当n 为偶数时, n x =n ,n →∞时, n x →+∞;当n 为奇数时, n x =-n ,n →∞ 时, n x →-∞. 2. 解:1lim limcos 02n n n n x nπ→∞→∞==. 对0,ε∀>要使11cos02n nnπε-≤<,只需使1n ε>,即取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,有0n x ε-<.所以当0.001ε=时, 110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 3.证:(1) 对0,ε∀>要使221100n a nnε-=-=<,只需使21n ε>,即n >.于是对0,ε∀>取N=,当n N >时,都有2100n a n ε-=-<.由数列极限的定义21lim0n n→∞=.#(2)331311221221n n a n n n+-=-<<++ ,要使313212n n ε+-<+,只需1nε<,即1n ε>.于是对0,ε∀>取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,都有313212n n ε+-<+, 由313lim212n n n →∞+∴=+.#(3) 2211n aa nn-==<<故对0,ε∀>1ε<,只需2anε<,即2an ε>.于是对0,ε∀>取2a n ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,1ε<,.lim1n n→∞∴=.#(4) 110.9999110n na -=⋅⋅⋅-=n 个,故对0,ε∀>要使1n a ε-<,只需110nε<,即1lgn ε>.于是对0ε∀>(1)ε<,取 1lg n ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,都有,10.99991,n a ε-=⋅⋅⋅-<lim 0.99991n →∞∴⋅⋅⋅=n 个. # 4. 证:lim n n u a →∞= ,∴对0ε∀>,,N Z +∃∈当n N >时, n n u a u a ε-≤-<,∴lim n n u a →∞=.#例如: 若()1nn u =-,则1n u =,lim 1n n u →∞=,而数列{}n u 没有极限.第三节函数的极限教材习题1-3答案（上册P36）1. 证:(1) ()(31)833f x A x x -=--=- ,要想使33x ε-<,即33x ε-<, 0ε∴∀>,取03εδ=>,当03x δ<-<时, 总有(31)8333,x x δε--=-<=由函数极限的定义3lim (31)8x x →-=.#(2)24()(4)24(2)2x f x A x x x --=--=-+=--+ ,要想使24(4)2x x ε---<+,即(2)x ε--<,0ε∴∀>,取0δε=>,当0(2)x δ<--<时, 总有24(4)24(2)2x x x x ε---=-+=--<+,由函数极限的定义224lim42x x x →--=-+. #2. 证:(1) 333111()222x f x A xx+-=-=,要想使331122x xε+-<,即312xε<,亦即 x >0ε∴∀>,取0M =>,当x M >时,总有333311112222x xMxε+-=<=,由函数极限的定义,3311lim22x x x→∞+=. #(2) ()0f x A-=-≤,0ε-<,ε<,亦即21x ε>,0ε∴∀>,取210M ε=>,当x M >时,0ε<,∴sin limx x →+∞=.#3. 解: 222lim 4422x x x x x →=⇔-=+⋅- ,要想使24x ε-<,即2222221144lim11333x x x x x x x→∞--=⇔-=<+++ 22x x ε+⋅-<,(此时13x <<),亦即52x ε-<25x ε⇒-<,0ε∴∀>,取m in(1,)5εδ=,当02x δ<-<时, 总有24225x x x δε-=+⋅-<=.#若取0001ε=⋅,则0001m in(1,)000025δ⋅==⋅.4. 解: 2222221144lim11333x x x x x x x→∞--=⇔-=<+++ ,要想使22113x x ε--<+,即24xε<⇒x >,0ε∴∀>,取X =,当x X >时,222221444133x x x xXε--=<<=++. # 若取001ε=⋅,则20,X ==即当20x >时,就有22110.013x x --<+.5. 证: ()0,f x A x x -=-= 要想使0,x ε-<即,x ε<0ε∴∀>,取0δε=>,当00x δ<-<时,()()00,f x A f x x x δε-=-=-=<=由函数极限的定义 0lim 0x x →=.#6.解: 0lim ()limlim 11x x x x f x x+++→→→=== ,0lim ()lim lim 11x x x x f x x---→→→===,0lim ()1x f x →∴=.而0lim ()lim lim 11,x x x x x xϕ+++→→→===0lim ()lim lim lim (1)1,x x x x x x x xxϕ----→→→→-===-=-由于lim ()lim ()x x x x ϕϕ-+→→≠,所以0lim ()x x ϕ→不存在.。

高中数学必修第一册第一章课后答案

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念P5练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）与定点A ，B 等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手.【答案】（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析.2.用符号“∈”或“∉”填空：0______N ；3-______N ；0.5______Z ______Z ；13______Q ；π______R .【答案】①.∈②.∉③.∉④.∉⑤.∈⑥.∈3.用适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）一次函数3y x =+与26y x =-+图象的交点组成的集合；（3）不等式453x -<的解集.【答案】（1）{3,3}-；（2）{(1,4)}；（3）{|2}x x <.P5习题1.1复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A ，美国__________A ，印度____________A ，英国_____________A ；（2）若{}2|A x x x ==，则-1_____________A ；（3）若{}2|60B x x x =+-=，则3________________B ；（4）若{|110}C x x =∈N，则8_______________C ，9.1____________C .【答案】（1）,,,∈∉∈∉（2）∉（3）∉（4）,∈∉2.用列举法表示下列集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{}(1)(2)0A x x x =-+=；（3）{}3213B x Z x =∈-<-<．【答案】（1）{}2,3,4,5（2）{}1,2A =-（3）{}0,1B =P6综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来：（1）{2,4,6,8,10}；（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；（3）{|37}x N x ∈<<；（4）中国古代四大发明【答案】（1）{|2,x N x k k Z ∈=∈且111x <<}（2）{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}（3）{4,5,6}（4）{造纸术，印刷术，指南针，火药}4.用适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系P8练习1.写出集合{,,}a b c 的所有子集.【答案】∅，{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c ，{,,}a b c .2.用适当的符号填空：（1）a _____{,,}a b c ；（2）0____2{}|0x x =；（3）∅____2{0}|1x x ∈+=R ；（4）{0,1}____N ；（5）{0}____2{|}x x x =；（6）{2,1}____2|320{}x x x -+=.【答案】①.∈②.∈③.=④.真包含于⑤.真包含于⑥.=3.判断下列两个集合之间的关系：（1）{|0}A x x =<，{|1}B x x =<；（2）{|3,}A x x k k ==∈N ，{|6,}B x x z z ==∈N ；（3）{,|A x x =∈N 是4与10的公倍数}，{|20,}B x x m m +==∈N .【答案】（1）A 真包含于B ；（2）A 真包含B ；（3）A B =.P9习题1．2复习巩固1.选用适当的符号填空：（1）若集合{}233A x x x =-<，{}2B x x =≥，则4-______B ，3-______A ，{}2______B ，B ______A（2）若集合{}210A x x =-=，则1______A ，{}1-______A ，∅______A ，{1,1}-______A ；（3）{|x x 是菱形}______{|x x 是平行四边形}；{|x x 是等边三角形}______{|x x 是等腰三角形}【答案】①.∉②.∉③.真包含于④.真包含于⑤.∈⑥.真包含于⑦.真包含于⑧.=⑨.真包含于⑩.真包含于2.指出下列各集合之间的关系，并用Venn 图表示：A ={|x x 是四边形}，B ={|x x 是平行四边形}，C ={|x x 是矩形}，D ={|x x 是正方形}.【答案】D C B A ，Venn 图见解析.P9综合运用3.举出下列各集合的一个子集：（1）A ={|x x 是立德中学的学生}；（2）B ={|x x 是三角形}；（3）{0}C =；（4）{|330}D x Z x =∈<<.【答案】（1）{|x x 是立德中学的女生}（2）{|x x 是直角三角形}（3）{0}（4）{4,5,6}4.在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎧⎫=⎨⎨⎬+=⎩⎭⎩表示什么？集合C ，D 之间有什么关系？【答案】D 真包含于CP9拓广探索5.请解决下列问题：（1）设,,{1,},{1,}a b R P a Q b ∈==--，若P Q =，求-a b 的值；（2）已知集合{|0},{|12}A x x a B x x =<<=<<，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a b -=（2）2a ≥第一章集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算P12练习1.设{}3,5,6,8A =，{4,5,7,8}B =，求A B ，A B .【答案】{}5,8A B = ，{}3,4,5,6,7,8A B = 2.设2{|450}A x x x =--=，2{|1}B x x ==，求A B ，A B .【答案】{}1,1,5A B =- ，{}1A B ⋂=-.3.设{|A x x =是等腰三角形}，{|B x x =是直角三角形}，求A B ，A B .形}4.设{|A x x =是幸福农场的汽车}，{|B x x =是幸福农场的拖拉机}，求A B .【答案】{|x x 是幸福农场的汽车或拖拉机}P13练习1.已知{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，求()U A B ð，()()U U A B 痧.【答案】(){}2,4U A B = ð，()(){}6U U A B = 痧.2.设{|S x x =是平行四边形或梯形}，{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是菱形}，{|C x x =是矩形}，求B C ⋂，S B ð，S A ð.【答案】{|x x 是正方形}，{|x x 是邻边不相等的平行四边形或梯形}，{|x x 是梯形}.3.图中U 是全集，A ，B 是U 的两个子集，用阴影表示：（1）()()U U A B 痧；（2）()()U U A B ⋃痧.【答案】如下图阴影部分所示.P14习题1.3复习巩固1.已知集合{|24}A x x =≤<，{|3782}B x x x =-≥-，求A∩B，A∪B.【答案】{|34}A B x x =≤< ,{|2}A B x x ⋃=≥2.设{|A x x =是小于9的正整数}，{}{},1,2,33,4,5,6B C ==.求,,A B A C ⋂⋂()(),A B C A B C ⋂⋃⋃⋂.【答案】{}1,2,3，{}3,4,5,6，{}1,2,3,4,5,6，{}1,2,3,4,5,6,7,8.3.学校开运动会，设A ={|x x 是参加100m 跑的同学}，B ={|x x 是参加200m 跑的同学}，C ={|x x 是参加400m 跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C .【答案】A B C =∅ ；（1）表示参加100m 跑或参加200m 跑的同学；（2）表示既参加100m 跑又参加400m 跑的同学P14综合运用4.已知集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，求R ()A B ⋃ð，R ()A B ð，()A B Rð，()R A B ð.【答案】答案见解析.(){}R |210A B x x x ⋃=≤≥或ð；(){}R |37A B x x x ⋂=<≥或ð；(){}R|23710A B x x x ⋂=<<≤<或ð；(){}R |23710A B x x x x ⋃=≤≤<≥或或ð.5.设集合{}(3)()0,A x x x a a =--=∈R ，{}(4)(1)0B x x x =--=，求A B ，A B ．所以{}1,4B =当3a =时{}3A =，所以{}1,3,4A B = ，A B =∅ 当1a =时{}1,3A =，所以{}1,3,4A B = ，{}1A B ⋂=当4a =时{}4,3A =，所以{}1,3,4A B = ，{}4A B ⋂=当1a ≠且3a ≠且4a ≠时{},3A a =，所以{}1,3,4,A B a = ，A B =∅ P14拓广探索6.已知全集(){|010},{1,35,7}U U A B x N x A C B =⋃=∈≤≤⋂=，，试求集合B .【答案】{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U A B =⋃= ，(){1,3,5,7}U A B ⋂=ð，{1,3,5,7}U B ∴=ð.故(){0,2,4,6,8,9,10}U U B B ==痧.第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件P20练习1.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若平面内点P 在线段AB 的垂直平分线上，则PA PB =；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.【答案】（1）p 是q 的充分条件；（2）p 不是q 的充分条件；（3）p 是q 的充分条件2.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若直线l 与o 有且仅有一个交点，则l 为o 的一条切线；（2）若x 是无理数，则2x 也是无理数.【答案】（1）q 是p 的必要条件；（2）q 不是p 的必要条件3.如图，直线a 与b 被直线1所截，分别得到了1∠，2∠，3∠和4∠.请根据这些信息，写出几个“a b ∥”的充分条件和必要条件.【答案】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到a b ∥，所以“a b ∥”的充分条件：12∠=∠，14∠=∠，13180︒∠+∠=；因为a b ∥可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，所以“a b ∥”的必要条件：12∠=∠，14∠=∠，13180︒∠+∠=.1.4.2充要条件P22练习1.下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）p ：三角形为等腰三角形，q ：三角形存在两角相等；（2）:p O 内两条弦相等，:q O 内两条弦所对的圆周角相等；（3）:p A B ⋂为空集，:q A 与B 之一为空集.【答案】（1）p 是q 的充要条件；（2）p 不是g 的充要条件；（3）p 不是q 的充要条件2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.【答案】“两个三角形全等”的充要条件如下：①三边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两角及其夹边对应相等；④两角及一角的对边对应相等.“两个三角形相似”的充要条件如下：①三个内角对应相等（或两个内角对应相等）；②三边对应成比例；③两边对应成比例且夹角相等.3.证明：如图，梯形ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC BD =.【答案】证明：（1）必要性.在等腰梯形ABCD 中，AB DC =，ABC DCB ∠=∠，又∵BC CB =，∴BAC CDB ≅ ，∴AC BD =.（2）充分性.如图，过点D 作//DE AC ，交BC 的延长线于点E .∵//AD BE ，//DE AC ，∴四边形ACED 是平行四边形.∴DE AC =.∵AC BD =，∴BD DE =，∴1E ∠=∠.又∵//AC DE ，∴2E ∠=∠，∴12∠=∠.在ABC 和DCB 中，,21,,AC DB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DCB ≅ .∴AB DC =.∴梯形ABCD 为等腰梯形.由（1）（2）可得，梯形ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC BD =.P22习题1.4复习巩固1.举例说明:(1)p 是q 的充分不必要条件;(2)p 是q 的必要不充分条件;(3)p 是q 的充要条件.【答案】(1)“1x >”是“0x >”的充分不必要条件;(2)“22x y =”是“x y =”的必要不充分条件;(3)“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件2.在下列各题中,判断p 是q 的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):(1)p :三角形是等腰三角形,q :三角形是等边三角形;(2)在一元二次方程中，:p 20ax bx c ++=有实数根，2:40q b ac -;(3):,:p a P Q q a P ∈⋂∈;(4):,:p a P Q q a P ∈⋃∈;(5)22:,:p x y q x y >>.【答案】(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件.3.判断下列命题的真假:(1)点P 到圆心O 的距离大于圆的半径是点P 在O 外的充要条件;(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;(3)A B A ⋃=是B A ⊆的必要不充分条件;(4)x 或y 为有理数是xy 为有理数的既不充分又不必要条件.【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题.P23综合运用4.已知A ={|x x 满足条件p },B ={|x x 满足条件q },(1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件?(2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?(3)如果A B =,那么p 是q 的什么条件?【答案】(1)充分条件;(2)必要条件;(3)充要条件.5.设,,a b c ∈R 证明:222a b c ab ac bc ++=++的充要条件是a b c ==.【答案】证明:(1)充分性:如果a b c ==,那么222()()()0a b b c a c -+-+-=,2222220,a b c ab ac bc a b c ab ac bc ∴++---=∴++=++.(2)必要性:如果222a b c ab ac bc ++=++,那么2220a b c ab ac bc ++---=,222()()()0,0,0,0a b b c c a a b b c c a ∴-+-+-=∴-=-=-=,a b c ==∴.由(1)(2)知,222a b c ab ac bc ++=++的充要条件是a b c ==.P23拓广探索12.设a ,b ,c 分别是ABC 的三条边,且a b c.我们知道,如果ABC 为直角三角形,那么222+=a b c (勾股定理).反过来,如果222+=a b c ,那么ABC 为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,ABC 为直角三角形的充要条件是222+=a b c .请利用边长a ,b ,c 分别给出ABC 为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.【答案】解:(1)设a ,b ,c 分别是ABC 的三条边,且a b c,ABC 为锐角三角形的充要条件是222a b c +>.证明如下:必要性:在ABC 中,C ∠是锐角,作AD BC ⊥,D 为垂足,如图(1).显然2222222222()2AB AD DB AC CD CB CD AC CD CB CD CB CD =+=-+-=-++-⋅22222AC CB CB CD AC CB =+-⋅<+,即222c a b <+.充分性:在ABC 中,222a b c +>,C ∴∠不是直角.假设C ∠为钝角,如图(2).作AD BC ⊥,交BC 延长线于点D .则2222222222()2AB AD BD AC CD BC CD AC CD BC CD BC CD =+=-++=-+++⋅22222AC BC BC CD AC BC =++⋅>+.即222c b a >+,与“222a b c +>”矛盾.故C ∠为锐角,即ABC 为锐角三角形.(2)设a ,b ,c 分别是ABC 的三条边,且a b c ≤≤,ABC 为钝角三角形的充要条件是222a b c +<.证明如下:必要性:在ABC 中,C ∠为钝角,如图(2),显然:2222222222()2AB AD BD AC CD CD CB AC CD CD CB CD CB =+=-++=-+++⋅22222AC CB CD CB AC CB =++⋅>+.即222a b c +<.充分性:在ABC 中,222a b c +<,C ∴∠不是直角,假设C ∠为锐角,如图(1),则222222()AB AD DB AC CD CB CD =+=-+-2222222222AC CD CB CD CD CB AC CB CD CB AC CB =-++-⋅=+-⋅<+.即222a b c +>,这与“222a b c +<”矛盾,从而C ∠必为钝角,即ABC 为钝角三角形.第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词P28练习1.判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题2.判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；（2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定P31练习1.写出下列命题的否定：（1）n ∀∈Z ，Q n ∈；（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形.【答案】（1）n ∃∈Z ，n ∉Q ；（2）存在一个奇款的平方不是奇数；（3）存在一个平行四边形不是中心对称图形.2.写出下列命题的否定：（1）有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.【答案】（1）任意三角形都不是直角三角形；（2）所有的梯形都不是等腰梯形；（3）任意一个实数，它的绝对值都是正数.P31习题1.5复习巩固1.判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.2.判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.3.写出下列命题的否定:(1),||x Z x N ∀∈∈;(2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;(3),10x R x ∃∈+;(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.(2)存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0;(3),10x R x ∀∈+<;(4)任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.P32综合运用8.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:(1)平面直角坐标系下每条直线都与x 轴相交;(2)每个二次函数的图象都是轴对称图形;(3)存在一个三角形,它的内角和小于180°;(4)存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上.【答案】(1)假命题;命题的否定:平面直角坐标系下,存在一条直线不与x 轴相交;(2)真命题;命题的否定:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形;(3)假命题;命题的否定:任意一个三角形,它的内角和不小于180°;(4)真命题;命题的否定:任意一个四边形,它的四个顶点都在同一个圆上,5.将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定:(1)平行四边形的对角线互相平分;(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)一元二次方程不总有实数根.【答案】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分;(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数;(3)存在一个三角形不是中心对称图形;它的否定:所有的三角形都是中心对称图形;(4)存在一个一元二次方程没有实数根;它的否定:任意一元二次方程都有实数根.P32拓广探索10.在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p ,则q ”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如:①若1x >,则215x +>;(假命题)②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题)这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题.(1)有人认为,①的否定是“若1x >,则215x +≤”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定.(2)请你列举几个“若p ,则q ”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假.【答案】解:(1)不对.①的否定:存在1,215x x >+≤;②的否定:存在一个四边形为等腰梯形,它的对角线不相等.(2)命题1:矩形的对角线相等,是真命题;它的否定是:存在一个矩形,它的对角线不相等,是假命题.命题2:实数的平方是正数,是假命题;它的否定:存在一个实数,它的平方不是正数,是真命题.复习参考题1P34复习巩固1.用列举法表示下列集合：（1）{}2|9A x x ==；（2）{}|12B x N x =∈≤≤；（3）{}2|320C x x x =-+=.【答案】(1){}3,3-；(2){}1,2；(3){}1,2.2.设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？(1){|}P PA PB =(A ,B 是两个不同定点)；(2){|3}P PO cm =(O 是定点)【答案】(1)线段AB 的垂直平分线；(2)以点O 为圆心,3cm 长为半径的圆.3.设平面内有ABC ，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC =⋂=的点是什么.【答案】ABC 三条边的垂直平分线的交点.4.请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空：(1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的_______；(2)x A ∈是x A B ∈U 的___________；(3)x A ∈是x A B ∈ 的__________；(4)x ,y 为无理数是x y +为无理数的_________.【答案】①.充分不必要条件②.充分不必要条件③.必要不充分条件④.既不充分也不必要条件5.已知a ,b ,c 是实数,判断下列命题的真假：(1)“a b >”是“22a b >”的充分条件；(2)“a b >”是“22a b >”的必要条件；(3)“a b >”是“22ac bc >”的充分条件；(4)“a b >”是“22ac bc >”的必要条件.【答案】(1)假命题(2)假命题(3)假命题(4)真命题6.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假：(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称；(3)存在整数x ，y ，使得243x y +=；(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.【答案】(1)2,0x R x ∀∈.真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈ð，真命题.7.写出下列命题的否定,并判断它们的真假：(1)a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根；(2)每个正方形都是平行四边形；(3)m N N ∃∈；(4)存在一个四边形ABCD ，其内角和不等于360 .【答案】(1)a R ∃∈,一元二次方程210x ax --=没有实根,假命题.(2)存在一个正方形不是平行四边形,假命题.(4)任意四边形ABCD ,其内角和等于360°,真命题.P35综合运用8.已知集合{(,)|20},{(,)|30},{(,)|23|A x y x y B x y x y C x y x y =-==+==-=,求,A B A C ⋂⋂,并解释它们的几何意义.【答案】{(0,0)}A B = ,几何意义是直线20x y -=与30x y +=相交于点(0,0);A C ⋂=∅,几何意义是直线20x y -=与23x y -=平行,无交点.9.已知集合{}21,3,,{1,2}A a B a ==+,是否存在实数a ,使得A B A ⋃=?若存在,试求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:{}2{1,2}1,3,A B A B A a a ⋃=⇔⊆∴+⊆，222313a a a +=⎧⎪∴≠⎨⎪≠⎩或22222113a a a a a ⎧+=⎪+≠⎪⎨≠⎪⎪≠⎩，2a ∴=，∴存在实数2a =，使得A B A ⋃=.10.把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:(1)勾股定理;(2)三角形内角和定理.【答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；(2)所有三角形的内角和都是180°.P35拓广探索11.学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?【答案】解:如图.设同时参加田径和球类比赛的有x 人,则281581433x =++---,3x ∴=,即同时参加田径和球类比赛的有3人,而只参加游泳一项比赛的有15339--=(人).21/2112.根据下述事实,分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题:(1)2222211,132,135313574,1,35795,=+=++=+++=++++= .(2)如图,在ABC 中,AD ,BE 与CF 分别为BC ,AC 与AB 边上的高,则AD ,BE 与CF 所在的直线交于一点O.【答案】(1)*2,135(21)n N n n ∀∈++++-= ;(2)任意三角形的三条高交于一点.。

高等数学课后习题答案--第一章

《高等数学》习题参考资料第一篇一元函数微积分第一章极限与连续§1 函数习题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1．【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4．【答案】设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

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高数第一章-Microsoft-Word- 文档1.解:⑴相等.因为两函数的定义域相同，都是实数集R;由X2x知两函数的对应法则也相同；所以两函数相(2)相等.因为两函数的定义域相同，都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同，所以两函数相等.(3)不相等.因为函数f(x)的定义域是{XX R,X 1},而函数g(x) 的定义域是实数集R,两函数的定义域不同，所以两函数不相等.2.解:(1)要使函数有意义，必须4x0x 0所以函数的定义域是((2)要使函数有意义x 3 0lg(1 x) 0x 4 即x 0 ,0) U(0,4]■必须即所以函数的定义域是［-3,0) U (0,1).(3)要使函数有意义x2 1 0 即x1所以函数的定义域是((4)要使函数有意义1 x 0,1)U( 1,1)U(1,必须1 s i n x1 2si nx 1即 2n5 n7 n 2k n x 2k n2k n x2k n6或66必须 ,(k 为整数).所以函数的定义域是［i k n,6kn, k 为整数.3.解:由已知显然有函数的定义域为(-s ,+x),i. i又当x 0时,X 可以是不为零的任意实数,此时,sinx 可以取遍［-1,1］上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].为反函数.1 Xx1__y8.解:(1)由y 「解得 1 y,1 x 1 x所以函数y「的反函数为yc(x 1).(2)由 y ln(x 2) 1得 x e y 12,所以函数y ln(x 2) 1的反函数为y e x12(x R).也即nk n x n k n 6 6(k 为整数). 4.解:1 f(0) -1 01 0f( x)1 ( x) 1 ( x)1,1 x 1 0 5.解: f(x 1)(x 1) 1, 0x 126.解: f (g(x))2g(x) ?xl nx1丄 X x 1Flg(f(x))f(f(x)) g(g(x))g(x)ln g(x) xlnxln(xln x).7.证:由y2x 31解得x故函数f(x) 2x 3g(x)G 1是同一个函数,所以f(x) 1的反函数是x 1 2(x R),这与2x 31和g(x)1 x'1, 0 x 1 x, 1 x 3f(x)ln f(x) 2x ln2x (xln 2) 2x, 2f(x) ?2xy 1y1 (3)由y 32x5解得x 2(log3y 5)2x 2x 2x 2x 2xe sin( x) e e sin x (e e 函数y e 2xe 2xsinx 是奇函数.10.解：⑴函数的定义域为(-8，+ 8 ),当x 0X 0X x 1时，有1X 2，当X 0时，有1X22x 2,1X故X (,),有y2 .即函数yC 有上界.X 又因为函数yr 为奇函数，所以函数的图形关于原点对称，由对称性及函数有上界知，函数必有X下界，因而函数yr 有界.X ,X 2(x-i x 2)(1 X 1X 2)又由 “ y 21 X 121 X ；时,y1 y2,而当 X 1 X 2且 X 1X 21 时，y 1 y2X故函数yc 在定义域内不单调.(2)函数的定义域为(0,+8), Q M 0, x 10 且 x-i M ; x 2 eM0 ^使 ln x 2M1贰5的反函数为y 严3%5) (xy 1 cos 3x 得 cosx 寻 y 1 又 x所以屈数y(4少x arccos ~1又由 1即0 y 2 以,函数 y 1 cos 3x,x [0, n 的3in (0 x 2)■解：(1)Q f( x) J ( x) X1 ( x) f(x) 是偶函数. y arccos 9. 0) [0, n,故cosx 1得 0 1 cos 3x 2,,故可得反函数的定义域为反函数为[0,2],所.1 x . 1 x f(x)⑵Q f( x) e2xsin x) f (x) (1 x2)(1 xf)知,当 X1x且 X 1X21^取 x 0max{x 1, x 2}贝x 0ln x 0x 1ln x22M M所以函数y xlnx 在定义域内是无界的. 一又当0捲X 2时寸~有捲X 20,ln 捲In X 20 ^故 y iy 2(x-ilnxj (x 2 ln x 2) (x 1 x 2) (ln 人 l nx 2) 0 即当Ox 」时恒有单调递增.1 1解：(1)y (1X 2)4是由 yuju 1si n 2(1 2x)是由 y u 2,u si nv,v 1 1(1 10 x 5)2是由 y u 2,u 1 v,v11 arcsin2 x^是由y u 1,u1 v,X-|x 2y 1 y 2所以函数y x lnx 在(0,呐11. (2) y (3) y(4) y成.x 2复合而成.1 2x 复合而成.10W ,w x 5复合而成.arcsin w, w 2x合12证：(1)设 F(x) f (x) f( 有 F( x) f( x) f(x) F(x) 故f(x) f( X)为偶函数.(2)设 G(x) f(x) f( x),贝 y x 有 G( x) f( x) f( x) [ f (x)故f (x) f( x)为奇函数. 13.解:设年销售批数为x,则准备费为103x;106106X),则(, f( x)]) JG(x)又每批有产品x 件，库存数为2x件,库存费为泄0.05 — 2x 兀. 1060.05x ---------2x设总费用为，则y 10 14.解：当x 能被20整除，即[20]20时,邮资xx0.80当x 不能被20整除时，即杓 x刃时，由题意知 x邮资y % 1 0.80x 25,综上所述有其中 20 20整数.15.证:(1)由得y sinh x 2000且X X20 20 2000且X X2020 X X20,120的最大f X 2 ye 1 0分别表示不超过0 xxxe eh 得 e 2xx1 0.80, 0 x 20解方程e 2x2ye x因为e x 0,所以所ln( y .. 1y 2) sinh xy arcs inhx ln(x y tanh x ⑵由'1 y又由1y得1y 1所以函数ye 2x).y1y ,得2xlnj1 y16.解:S o tanhx的反函数为1 , 1 xIn 2 1 x1 -h(2hcot2y arcta n hx】h(AD BC) 2x 1). BC BC) h(BC hcot ) 从而BCS c hhcotAB BC h2 sin CD (ABhBC 2—— sinCD)hcoth由 h 0，BCShhcotS ° 2 cosS ° h h sin h 2 cos40° , -hsin 40得定义域为(0,Atan40)17.解：⑴X n百,当n时,X n1(2) x n n cos当n 无限增大时，有三种变化趋势：趋向于趋向于0,趋向于•n2n 1()X n()277，当 n 无限增大时,变化趁势有两种分别趋于1,-1.18.解：⑴animx ",,要使X n 0品马nn1 N — 只须.取，则当n N时,必有人.当 0.001 时,N1 0.001 1000或大于1000的整数.(2) a lim x n nJJ要 X n 0 J n 2 v n i2 2 1J n 2 V n 2麻 V n只要乔 1一即 1飞即可.丄［则当nN0.0001时,19.证:(1),要使，则当n>N 时，恒有3n 13(2),要使5,则当n>N 时恒有希丄1(3) 0,要使2n 12 2(2 n 1) 4n,只要n1lim 2.故nn55；,只要 3n 1 3 2n 12「 3n 1 3 lim.故n2n 1 22 2aa_n(、n 2a 2n) n?,只要10或大于108的整数.a2n__取-2 2 lim —— 1 n n ，则当n>N时，恒有(4)因为对于所有的正整数n,有6 7个80.99L 9 1 筝7个80.999L 9，从而1,故0,不防设1,要使ln110n 6 7个8 0.99L 9 1N ln10 '则当n N时恒有20.证：Q n imX n 0,由极限的定义知，时恒有而ln ,只要n 1M0,取6 7个8,故]im0.99L9 1,X n a0, N 0,当n N 时，丿由极限的定义知n im x但这个结论的逆不成立.如X n 存在. (1)n,limnX n 1但n im X n不21.解:k(1)Q0 (n 1) nn k (11(1 ) 1n而n im0 0,当k 1 时,n imlim[(n 1)k n k] 0n⑵记 a max{a1, a2,L , a m}则有n n n n n nn a a2L a m m aaa；n .a2 Lnam1m n alim a a,n1lim m nna a,lim na；nn . na2 L a mlim na ： a ； L a1(3)Q (3n )n(1max{a「a 2，L ,a m}12n3nf 1(3 3nf3 (12nlim 3n3, lim(1n2n1 n 13导 3—n 1lim3 — 3n13n )731lim1 0, lim(1 -) 1 n nn lim」1丄1n, n■2,不妨设X k2,则.2、、r~2 2■ 故对所有正整数n 有X n2,即数列X 有上界. 又 Xn 1 X n、2X n X n ,人（.2 X .）显然有只0,又由召2得戈2 ,从而紀& 0即X n 1 X n 即数列x.是单调递增的• 由极限的单调有界准则知，数列X "有极限. 设nimx a,则a 云,于是去）l nim X n222.证:(1) Q为 X k 1a 22a 2,a 0（不合题意，舍（2）因为所以 x n 1 11 0 且 n11 X n 0 X n2,即数列有界 4 X X n 1 X n 1-1 X n0,1 X n 1 0知 Xn 1 X n与 XnX 11人11 Xm (1 X n )(1 X n 1)同号，Xn Xn 1从而可推得X n1 X n与X2治同号，1,X2 1 X i 1?,X2 x i 0 2 2而故X n 1 X n 0 即X n 1 X.所以数列｛X"｝单调递增，由单调有界准则知，｛X"｝的极限存在•设n imx n a解得舍去）. aa，_ _1 5 1 5丁,& 丁（不合题意，所以23.证:lim n (1) 0,要使sin只须sinx故⑵只须1 、521，则当x X时，必有0x■0,要使13X2 413 |x|2，则当x X时，必有3K J|i 3x 2 13lim 2 3 故x x 4.(3) o,要使,要使lim 故x1 4x 2.1xsi nx.1 xsin — x1llm xsin 0 x 0xx 2 3肌 x 23只要取，则故ximx 242(4)x 2 4时，必有 x 2 4(4)1 4x 2----- 2 2x 1|2x 1| 2 1x —2只须1x一2，取, 则114x 2时，必有 2x(5),要使只要取，则时，必有xsi n1x(1)lim飞 3x 3x 1 lim x 21x 324. 解:mx 22123X Xd i(4)limx3x xx 43x 2li mxlim 1 xx 3 ~2 x0.X 1(5)Qxim厂limx1x 1匚 x2 1 lim 2 X xx lim 1丄 xx由无穷大与无穷小的关系知， 1 2n⑹ lim (n 1)(n 2)(n 3)n5n 3him 5n〕lim 5n 1 1 n1 1n lim 1li mxx 21 2x 1⑺因为匚 x 2 11ax(1 a)x 2 (a b)x的次数相同解得1,b25解:(1)li mnn(1lim nb) 12知，分式的分子与分母1项的系数之比为2 (a b) 11 2ax亠4讪冲n2n2n 2,于是1 lim 1 n2⑵ lim 1n11lim n2.2X (3)lim1—x1 X2X ⑷叽丁-X 4 X116X 85X 42x (X 1)2X 1lim(x 2)(X 4)X 4 (X 1)(X 4)01 lim(X1) 0.3 (5) lim X2X..X 2limX 4X 14 x3_____ lim2 . X3 2 X2.23 .'1 23X , Xx2(6)lim ——------X 01 ；1 x2V X逅⑺ lim5X 5 .X -5lim X2(1 1 x2)X 0lim(1 、1 X2) 2.X 0> x23X3 5 ?X"3 5X3 25 X . 5lim _ _ _ _ —X 5、x .5. 5 3 x2(X 5)、、x J535x 3 25(8)陀4(9)[im(1limX(1limXlimX 5(X 5) 3 x2 35X3 25.X .5 2、一 5叽3 x2 3 5X3 25 33 25 1 cot3X 1 cot3Xcotxx)(1X)(1n 11 X2 1 Xcot3Xx2)L (123^5 .lim 3X n(1 cot X) (1 cot X)2(1 cot X)(1 cot X cot X)lim 2—X n(1 cot X)(1 1 cot X cot X)limX n 24X )21 cotx cot X 32cot X cot X 4(x 1)x)(1 X2)L (1(10)lim (1 "(1^L (1 n x)(1 x)n1(1 x)n1limx 1(1 x)n 1(17x)(1 VxVx^)(1仮仮2Vx^)L (1 Vx阪2L xn 1)1依 Vx 2lim ——x 1(1 .x)(1?x3x 2)(1 1 _____ L n 3 1 x 32 3 41 (11)lim 1 -— x 11 x1n!d)L (1 n x n£ L ：歼)lim 』x 1 (1 x)(1 x(12)Qlim 1(2"1^1 x 1x x 11)(x 2)lim x 1 (1 x)(1 x ..(x 2) 2 - lim x 2) x 1 1 xl x m 1( x 1)2lim( x 2x 1) lim x 1 (1 2X 2 x 2x)(1 x x 2) x 21.2x x 1 lim 2 x 1(x 1)2l0g a (1 x)(13)Q - log a (1 x1x)‘1X)'e .log a e1 ln alimlog a(1 x)x 0x(14)令u -X1ln a 1,则log a (1 u),当 x时，ux 所以题的结果）.x..a 1 limlimu 0lOg a (1u) limlog a(1 u)u 0ln a(利用(13)(15)lim(1 x 02x)sinx3 ln(1 lim esinxx 0 2x)6xln(1lim e2xsinxx2x)xlim 6 ln(1 e * 0 sinx6 1e12x)2xx6 lim limln(1x 0sinx x 012x)2xlnesin x(16)令uV ,26.解:li mx 02x 3 x 2xlimln 所以x 02lim BA 0 x 0 2 x・••当x0时，X2 X3是比2x X2高阶的无穷小量.27.解:小. 小.1 X(1)Q2X 1 1 X・••当limX111 X1时X是与1X2同阶的无穷所以⑵Q壮・••当X 1时，X2)Xlim -X 11i(1X是与2\X)等价的无穷28.解：(1)因为当X 0 时，sinmx~ mx,sinnx〜nx,sin mx mx mlim lim .⑵ ^xcotx lim」X0sinxCOSX limX (COSX0sin Xlimcos x 以1...sinxlimx 0x(3)l i m0L^s2Xx 0xsinx(4)因为当2si n2xlim x 0xsinx2lim sinXx 02.X 0时，ln(1x 2 x 2 'e sin x) ~ e sin x, ,1X21〜Jx2ln(1 e X s in2x)lim ------x 0 1 xx・2,・ e sin xlimx 0lim 2e x limx 0 x 02sin x 2.(5)因为当0时，x 0 xarctan3 x ~ 3x, 以lim 3XX(6) lim 2n sin n limnxsin飞2n xlimn2n(7)因为当arcsin(1 2x) ~ 1 2x 以4x 1 lim x 1 arcsi n(1 2x) lim.x 4x 11 1 2x 2lim(2x 1)(2x 1)x122xli叫2 x 1) 2.x2sin —— 2(8)因为当(9)因为当 (10)时，arctanx 2 2 . X X~ x ,sin 〜 ,arcsin x 〜x, ^所以arcta nx 2lim x 0xsin arcs in x 2li m x 2x 0xx 20 时，sintanx sinx limx 0. 3 sin x —x,sin ------ x 2 2moH x,1 cosx 〜丄x 2,sin23x所以sin x(1 cosx). 3sin x 1 lim x 02cosx为cosx12.当xlimx 03x cosx厂x，所以lns2m oz<2 lim ——x 0(11)因为当xsi n x 2 2_2x xx2 22x 2). arcsinx~ x山仆 x) ~ V 1°x 21 x2x ，所__ x_lim — x 0ln(1 x)arcsl n (12)因为当x 0时，1 cos4xlim x 02sin x xtan x*2sin x ~ x,sin 2x ~ 2x, ^所以2sin 22x2 2二xsec2(2x)lim x 0x (2 xsec x) lim x 0 sin 2x(2x)lim 8 — x 02 xsec xlim(2 xsec x)x 0(13)因^为 ln cosax ln[1 (cosax 1)],ln cosbx ln[1 (cosbx1)],而当x 0时， cos ax 1 0,cos bx 1 故，又当xf 0进，1cos ax ~ !a 2x 2,1 2 cosbx ~ 1b 222 x,所以In cosax cosaxlim lim x 0In cosbx x 0 cosbx 11 cosax lim x 01 cosbxlim xsin 2x(14)因为当x时，2c x 0, 2x e 12 2 a x2-b 22x 2 故所以ln 1 sin 2x sin 2x ,ln2x-2xe2x 2x ， elim 冒/% x 0 ln(x 2 e 2) 2xlim^ x 0In(x 2x—2x、e )X\e )lnlne2x ln lim一xlnmoI Ke- X e叫z <. 2sin x x叫IK .2sin x xe2 x2xe1.29.解:(1)limx limx limxe 2e.(2)limx2xlimx2x10limx10limxlimxe 10 1510e .2、cot 2 x3tan x)(1 13ta n 2x)3ta『xlim(1 x 013tan 2x)3^ln[1 (cos ax 1)] ~ cosax 1,ln[1 (cosbx 1)] ~ cosbx 1,(4)Iim(cos2x)32In cos2x lim e xx 03In cos 2 x 21 (cos2x 1)lim e x 0 '1cos 2x 1 3(cos2 x 1) 2lim e x x 0 In1 cos 2x 1 1 (cos2x 1) (5) lim x[ln(2xx) 1XImotcos2x 1 ...3lim 2 lim Inx 0 x 2x e x 1cos 2 x 1 1 (cos2 x 1) 3li m x 1e2Sin 2 xIn lim 竺x 0lim 1 (cos2 x x "1) 1cos2 x 1 2In e12Inx] Iim 2x2Iim InxI LI n lim 2lnxI n Ii mximo^-1 ILmm。