第八章 狄拉克函数

性质 4. x (x) 0
f (x) (x x0 ) f (x0 ) (x x0)
证明：对任意的连续函数 f (x)，均有：


x (x) f (x)dx
xf (x) (x 0)dx [xf (x)]x0 0
连续函数 f (x)的任意性得
0

(

x2

2
)
6.
(x)

lim
n
1


(1
n nx2
)
说明：因为 函数并不是给出普通的数值之间的对应关系，
所以 函数也不象普通的函数那样具有唯一确定的表达式。
数学物理方法
7 用阶跃函数的导数表示
H (x) 1
阶跃函数的定义为
H
(x)

0, 1,
x0 x0
0
数学物理方法
二、 函数的性质
性质 1：若 f (x)是定义在区间(,)的任一连续函数，则

f (x) (x x0)dx f (x0)
—将 (x x0 )乘上 f (x)进行积分，其值为将 f (x)的 x换为 x0或
者说： 函数具有挑选性（把 f (x)在 x x0的值挑选出来）
2
—积分形式
证明：由傅里叶积分及展开系数公式出发，有
f (x) 1 c(k)eikxdk （1）
2

c(k) f (x)eikxdk （2）
令 f (x) (x x)，代入（2）式：
c(k) (x x)eikxdx eikx
x2u

lim
u

1 x2u
0
（3）在 (, ) 区间的积分值：
sin2 (ux)dx 1 sin2 (ux)d (ux) 1
x2u
(ux)2

数学物理方法
4. (x) lim n enx2 n
5.
(
x)

lim
N (x xk ) k1 (xk )
证明：由一维 函数的定义可得


(x)

0, ,
当(x) 0,即x xk 当(x) 0,即x xk
,k
1, 2,L
,N
通过上式可得 (x)的函数曲线是有 N 个峰值的曲线，因此可
N
将 (x)展开为 (x) Ck (x xk ) k 1
（3）
（3）式代入（1）式： f (x) (x x) 1 eik(xx)dk
2
数学物理方法
2.
(x) lim 1
n
cos kxdk
n 2 n
——极限形式
证明：在 (x x) 1 eik(xx)dk 中，令 x, 0，则
数学物理方法
说明：
1. 函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数：
它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出
(x)
0
(x 0) (x 0)
这在通常情况下没有意义。
2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义。
例：

f (x) (x)dx f (0)

(xk ) [(x)]d(x)
( xk )
当 0， xk ，( ) (xk )，上式可写为
Ck

1
( xk
)
(xk ) [(x)]d(x)
( xk )
数学物理方法
Ck
1
(xk )
(xk ) [(x)]d(x)
上式的确切含义：在等式左右两边乘上任意连续函数
(x)以后，对 x 积分相等


(x) f (x) (x x0)dx


(
x)
f
(
x0
)
(
x

x0
)dx
证明：当 x x0时，等式两边均为零
当 x x0时，等式两边均为 f (x0 ) (x x0 )
数学物理方法
现在的问题归结为求展开系数Ck ，现在区间xm , xm 对上式
两端积分
数学物理方法
xm [(x)]dx xm

N
Ck
k 1
xm [x
xm
xk ]dx

N
Ck mk
k 1
Cm
将上式两端的指标m改为k ，即有Ck

(x)dx 1

数学物理方法
当l 0时，电荷分布可看作位于 x x0的单位点电荷。此时
(x)
0
(x x0 ) (x x0 )
(3)

(x)dx 1
（4）

把定义在区间(, )上，满足上述这两个要求的函数称为
函数，并记作 (x x0 )，即
k1 (xk )
说明：若(x)有重根，则上式不成立。例如(x) x2 有重根
x1 x2 0，这时 (x1) (x2) 0处在上式得分母上无意义。
数学物理方法
三、 函数的几个常用表达式
1. 函数的傅里叶积分
(x x) 1 eik(xx)dk


f (x0 ) ( )d f (x0 ) f (x) (x x0)dx
(x0 x)与 (x x0 )在积分号下对任一连续函数 f (x)的运
算性质相同 (x0 x)= (x x0 )
数学物理方法
性质 3. f (x) (x x0 ) f (x0) (x x0)
x (x) 0
另一种证法：由性质 3 中令 f (x) x，则
x (x x0 ) x0 (x x0 ) 令 x0 0，则 x (x) 0
数学物理方法
性质 5：若(x)为连续函数，且(x) 0只有单根
xk (k 1, 2L
N ),则[(x)]
(x x0)
0
(x x0 ) (x x0 )

(x x0 )dx 1

（5） （6）
数学物理方法
(x x0)
0
(x (x
x0 ) x0 )
（5）

(x x0 )dx 1（6）

根据（5）式，在 x x0时， (x x0 ) 0，所以（6）式左边
性质来定义。
数学物理方法
性质 2.（对称性）： (x x0 ) (x0 x) 函数是偶函数
证明：设 f (x)为定义在( )的连续函数，则

x0 x
f (x) (x0 x)dx f (x0 ) ( )(d )

( x

x0 )

d dx

(x

x0 )
说明： 函数的导数可按通常的导数公式进行运算
例：

f (x) (x x0 )dx
= 分部积分
f
(x) (x

x0 )



f (x) (x x0)dx
f (x0 )
数学物理方法
2. 函数 n 阶导数的定义：
( xk )
（1） 当(xk ) 0时，在区间xk , xk 中，积分上限大于积
分下限(xk ) (xk )，积分变为
Ck

1
(xk )
(xk ) [(x)]d(x) 1
( xk )
(xk )
（2） 当(xk ) 0时，在区间xk , xk 中，积分上限小于积

f
()
f
()
f
(0)
f
(0)
与 f (x) (x)dx f (0)相比较，由 f (x)的任意性得结论。
数学物理方法
四、 函数导数的定义
1.定义：对于任意连续函数 f (x)，若

f (x) (x x0)dx f (x0)
成立，则 (x x0 )称为 (x x0 )的导数，并记作
分下限(xk ) (xk )，积分变为
Ck

1
(xk )
(xk ) [(x)]d(x) 1
( xk )
(xk )
数学物理方法
综上所述：Ck

1
(xk )
，
(x)
N
Ck (x
k 1
xk )
[(x)] N (x xk )
的积分不需要在 (, ) 的区间进行，而只需要在一个包含
x x0点在内的区间内进行，即
b
a (x x0 )dx
1 0
(a x0 b) (a x0,b x0 )
引入 函数后，位于 x0处、电量为q的点电荷的线电荷密度为： (x) q (x x0)。位于坐标原点，质量为 m 的质点的质量线 密度为： (x) m (x 0) m (x)
xk [(x)]dx
xk
利用(x) d(x) 即dx d(x) 可得
dx
( x)
Ck
xk [(x)]dx
xk
(xk ) [(x)] d(x)
( xk )
(x)
利用第二中值定理得Ck

1
( )
数学物理方法
第一节 一维 函数的定义和性质
一、一维 函数的定义
通过点电荷密度的计算，引入 函数的定义。
设：均匀带电细线，中心位于 x0，长度：l ，总电量： 单位电荷 1。
线电荷密度
(x)

0 1
l
( x x0

l) 2
( x x0

l) 2
(1) (2)
总电量 Q

(
x

x0
)dx
(x0 x0 )
数学物理方法

f (x) (x x0 )dx
f ( )
x0 x0

(
x

x0
)dx
(x0 x0 )
当 0时， x0，连续函数 f ( ) f (x0)，且
第八章 狄拉克 函数
在物理和工程技术中, 常常会碰到狄拉克函数（单 位脉冲函数）。因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如 在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用 后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作 用后的运动情况等。 研究此类问题就会产生我们要介 绍的狄拉克函数。下面我们将从物理实例出发引入狄 拉克函数，并介绍函数的基本知识。
2
(x) 1 eikxdk
2
欧拉公式
1
{

cos kxdk i

sin kxdk}
2

1

cos kxdk lim
1
n
cos kxdk
2
n 2 n
数学物理方法
3.

(
x)

lim
u
sin

2 (ux) x2u
x
(x) H(x)
证明：设 f (x)是任意的连续函数，则
f (x)H (x)dx
f (x) dH (x) dx

f (x)dH (x)


dx

f (x)H (x)


f (x)H (x)dx


f

() 0
f
( x)dx
——根限形式
证明：（1）当 x 0时,令v xu，且有lim sin v 1 v0 v
lim
v0
sin

2 (ux) x2u
lim u [lim sin(xu)]2
u x0 xu
lim u
u

（2）当 x 为不等于 0 的常数时：
lim
u
sin2 (ux)
证明：设 是任意小的正数，则由于 (x x0 )在 x x0时为零，
所以

f (x) (x x0 )dx
x0 x0
f (x) (x x0)dx
由积分中值定理有：

f (x) (x x0 )dx
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f ( )
x0 x0
x0 x0

(
x

x0
)dx

1
所以

f (x) (x x0)dx
f (x0 )
特别地： x0
0时，

f (x) (x)dx
f (0)
说明：

f
(x) (x
x0 )dx

f
( x0 ) 也可作为δ函数的定义，即
δ函数可以通过它在积分号下对任一连续函数 f (x)的运算