2012雅礼中学理科实验班招生考试数学试卷
湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷(二)试卷
2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（二)一、选择题（每小题4分，共32分)1．(4分）当x＝时,代数式+的值是()A．3B．1﹣2C．3﹣2D．2﹣12．(4分）如果一直角三角形的三边为a,b，c,∠B＝90°，那么关于x的方程a(x2﹣1）﹣2cx+b （x2+1）＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定根的情况3．(4分)两年期定期储蓄的年利率为2。
25%，按照国家规定，所得利息要缴纳20％的利息税,王大爷于2002年6月存入银行一笔钱,两年到期时,共得税后利息540元，则王大爷2002年6月的存款额为（)A．20000元B．18000元C．15000元D．12800元4．（4分)如图，MN是⊙O的直径，∠A＝20°,∠PMQ＝50°,以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正六边形D．正十边形5．（4分）如图，AB＝AC，EA＝ED，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°,则∠B的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．不能确定6．（4分）已知非零实数a，b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，则+的值等于（）A．﹣1B．0C．1D．27．（4分）若函数y＝（x2﹣100x+196+|x2﹣100x+196｜），则自变量x取1，2，3,4,…99，100这100个自然数时,函数和的值是（）A．540B．390C．194D．978．（4分)设x1,x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根,实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004,则ax12005+bx22005的值为（)A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003二、填空题（每小题4分,共32分）9．（4分)已知实数a满足|2002﹣a｜+＝a，则a﹣20022的值为．10．(4分）如图，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD的长为．11．（4分）AD是△ABC的中线,∠ADC＝45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C′的位置,BC＝4，则BC′的长为．12．(4分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝24，P、Q三等分AC，DP交AB于M,MQ交CD于N，则CN＝．13．（4分）抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是．14．（4分）如图,ABCD和EBFG都是正方形,AB＝30cm，则阴影部分的面积为．15．（4分）如图,在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝4，CD＝3，BC＝7，O为AD边的中点，则点O到BC的距离为．16．(4分）如图，在△ABC中,∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE是∠ACB的平分线，D 是AC上的一点且BD＝ED，若∠CBD＝20°，则∠CED的度数为．三、解答题（每小题12分，共36分）17．（12分)某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,也不高于800元/件，经试销调查,发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似于一次函数y＝kx+b的关系,如图所示．(1）根据图象,求一次函数y＝kx+b的表达式;（2）设公司获得的毛利润为S元，试问销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润?最大毛利润是多少？此时销售量是多少？18．(12分）如图，在⊙O的内接△ABC中,AB＝AC,D是⊙O上一点，AD的延长线交BC的延长线于点P．（1）求证：AB2＝AD•AP；（2）若⊙O的直径为25,AB＝20，AD＝15，求PC和DC的长．19．（12分）已知抛物线y＝x2+(2﹣m）x﹣2m（m≠﹣2）与y轴交于点A，与x轴交于点B、C(B点在C点的左边）．（1）写出A、B、C三点的坐标；（2）设m＝a2﹣2a+4，试问是否存在实数a，使△ABC为直角三角形；（3）设m＝a2﹣2a+4，当∠BAC最大时，求实数a的值．2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共32分）1．(4分）当x＝时，代数式+的值是（)A．3B．1﹣2C．3﹣2D．2﹣1【考点】2C：实数的运算．【专题】11:计算题；511：实数．【分析】原式利用算术平方根、立方根的性质化简，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵x＝，∴x﹣2＜0，则原式＝｜x﹣2｜+1﹣x＝2﹣x+1﹣x＝3﹣2x＝3﹣2,故选：C．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（4分）如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B＝90°，那么关于x的方程a（x2﹣1)﹣2cx+b（x2+1）＝0的根的情况为()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定根的情况【考点】AA:根的判别式;KQ：勾股定理．【专题】16:压轴题．【分析】根据勾股定理，确立a2+c2＝b2，化简根的判别式，判断根的情况就是判断△与0的大小关系．【解答】解:∵∠B＝90°∴a2+c2＝b2化简原方程为：（a+b）x2﹣2cx+b﹣a＝0∴△＝4c2﹣4（b2﹣a2）＝4c2﹣4c2＝0∴方程有两个相等实数根故选：A．【点评】总结：1、勾股定理：在直角三角形中,∠C＝90°，有a2+b2＝c22、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根;(3）△＜0⇔方程没有实数根3．（4分）两年期定期储蓄的年利率为2.25%，按照国家规定,所得利息要缴纳20％的利息税，王大爷于2002年6月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息540元，则王大爷2002年6月的存款额为(）A．20000元B．18000元C．15000元D．12800元【考点】8A:一元一次方程的应用．【专题】12：应用题．【分析】如果设王大爷2002年6月的存款额为x元，根据本金×利率×时间×（1﹣税率）＝税后利息，列出方程求解即可．【解答】解：设王大爷2002年6月的存款额为x元,由题意，得x×2.25%×2×（1﹣20％）＝540，解得x＝15000．故选：C．【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据利息的求法得到相应的等量关系．4．（4分）如图，MN是⊙O的直径,∠A＝20°,∠PMQ＝50°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正六边形D．正十边形【考点】MM：正多边形和圆．【分析】首先根据圆周角定理得出∠POQ＝100°，进而利用等腰三角形的性质得出∠OPQ＝∠OQP,再由外角的性质得出∠A+∠APO＝∠POM＝20°+40°＝60°，即可得出△POM是等边三角形，再由正六边形的性质得出答案．【解答】解：连接QO，PO，如图所示；∵QO＝PO，∴∠OPQ＝∠OQP，∵∠PMQ＝50°,∴∠POQ＝100°,∴∠OPQ+∠OQP＝180°﹣100°＝80°,∴∠OPQ＝∠OQP＝40°，∴∠A+∠APO＝∠POM＝20°+40°＝60°，∵PO＝OM，∴△POM是等边三角形,∴PM＝OP＝OM，∴以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形．故选:C．【点评】此题主要考查了正六边形的性质以及圆周角定理和外角的性质等知识,根据已知得出△POM是等边三角形是解题关键．5．（4分）如图,AB＝AC，EA＝ED，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°,则∠B的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．不能确定【考点】KH：等腰三角形的性质．【分析】设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝x，得到∠AED＝x+10°，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．【解答】解：设∠C＝x，∵AB＝AC,∴∠B＝∠C＝x，∴∠AED＝x+10°,∵EA＝ED,∴∠DAE＝∠EDA＝85°﹣x，∴x+x+（20°+85°﹣x）＝180°，∴x＝50°，∴∠B＝50°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，题目比较好，难度适中．6．（4分）已知非零实数a，b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0,则+的值等于（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】1F：非负数的性质：偶次方；AE:配方法的应用．【分析】由a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，两边乘2,进一步利用完全平方公式分组分解，进一步利用非负数的性质得出a、b的数值，代入求得答案即可．【解答】解：∵a2+ab+b2+a﹣b+1＝0,∴2a2+2ab+2b2+2a﹣2b+2＝0,∴（a2+2ab+b2）+(a2+2a+1)+（b2﹣2b+1）＝0，∴（a+b）2+（a+1)2+（b﹣1）2＝0,∴a+b＝0，a+1＝0,b﹣1＝0，解得a＝﹣1,b＝1，∴+＝0．故选：B．【点评】此题考查配方法的运用，以及非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．7．(4分）若函数y＝（x2﹣100x+196+|x2﹣100x+196|），则自变量x取1，2,3，4，…99,100这100个自然数时，函数和的值是（）A．540B．390C．194D．97【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将x2﹣100x+196分解为:（x﹣2）（x﹣98）,然后可得当2≤x≤98时函数值为0，再分别求出x＝1，99，100时的函数值即可．【解答】解:∵x2﹣100x+196＝（x﹣2）（x﹣98）∴当2≤x≤98时，|x2﹣100x+196｜＝﹣（x2﹣100x+196）,当自变量x取2到98时函数值为0，而当x取1，99，100时，｜x2﹣100x+196|＝x2﹣100x+196，所以，所求和为（1﹣2）（1﹣98)+(99﹣2）（99﹣98)+（100﹣2）（100﹣98）＝97+97+196＝390．故选:B．【点评】本题考查函数值的知识,有一定难度，关键是将x2﹣100x+196分解为：(x﹣2）(x ﹣98)进行解答．8．（4分)设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003,ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（）A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003【考点】AB：根与系数的关系．【专题】11：计算题．【分析】由根与系数关系，x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005；化简式子ax12005+bx22005的值为：（x1+x2)（ax12004+bx22004)﹣x1x2（ax12003+bx22003）；将x1+x2＝2003，x1×x2＝2005,ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004代入即可得出结果．【解答】解：x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得:x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，故ax12005+bx22005＝（x1+x2)（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003），＝2003×2004﹣2005×2003，＝﹣2003．故选：D．【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及利用已知条件对所求式子的化简,难度中等，关键要掌握x1,x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．二、填空题（每小题4分，共32分）9．（4分）已知实数a满足|2002﹣a|+＝a，则a﹣20022的值为2003．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a的范围，把原式变形,计算即可．【解答】解：由题意得，a﹣2003≥0,则a≥2003，原式变形为:a﹣2002+＝a，则＝2002，∴a＝20022+2003,则a﹣20022＝2003．故答案为：2003．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键．10．(4分）如图，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD的长为2cm．【考点】KO：含30度角的直角三角形；KQ:勾股定理；M2：垂径定理．【专题】2B:探究型．【分析】过点O作OF⊥CD，连接OD，由AE＝1cm，EB＝5cm可求出圆的半径，进而可得出OE的长，在Rt△OEF中根据∠DEB＝60°及OE的长可求出OF的长，在Rt△ODF中利用勾股定理可求出DF的长,进而可得出CD的长．【解答】解：过点O作OF⊥CD，连接OD，∵AE＝1cm,EB＝5cm，∴AB＝AE+EB＝1+5＝6cm，∴OA＝OD＝3cm，∴OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2cm，在Rt△OEF中∠DEB＝60°，OE＝2cm，∴OF＝OE•sin∠DEB＝2×＝cm,在Rt△ODF中，DF＝＝＝cm，∵OF⊥CD,∴CD＝2DF＝2×＝2cm．故答案为:2cm．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11．（4分)AD是△ABC的中线,∠ADC＝45°，把△ADC沿直线AD翻折,点C落在点C′的位置，BC＝4，则BC′的长为2．【考点】PB：翻折变换(折叠问题）．【分析】由折叠得∠BDC′＝90°，C′D＝2，得△BDC′是等腰直角三角形，根据勾股定理求出BC′的长．【解答】解：如图，由折叠得：△ACD≌△AC′D,∴∠ADC＝∠ADC′＝45°，DC＝DC′，∴∠BDC′＝90°，∵AD是△ABC的中线,∴BD＝CD＝BC＝×4＝2，∴BD＝DC＝DC′＝2，∴△BDC′是等腰直角三角形,∴BC′＝＝＝2．【点评】本题是折叠问题，考查了折叠的性质和三角形中线的定义，明确折叠前后的两三角形全等,及三角形中线平分边长,在直角三角形中常利用勾股定理求线段的长度．12．（4分）如图,平行四边形ABCD中，AB＝24，P、Q三等分AC,DP交AB于M，MQ交CD于N，则CN＝6．【考点】L5：平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对边平行，所以＝，故进一步可推出CN．【解答】解：因P、Q三等分AC，故＝，∵AB∥CD∴＝＝，＝，又∵AB＝CD∴AM＝CD＝12，CN＝AM＝6．故答案为:6．【点评】运用平行四边形的性质解决以下问题,如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．13．（4分)抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1,y＝2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是．【考点】HF:二次函数综合题；LE:正方形的性质．【专题】11：计算题．【分析】建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标即可解答．【解答】解：如图，四条直线x＝1，x＝2,y＝1，y＝2围成正方形ABCD,因为抛物线与正方形有公共点，所以可得a＞0,而且a值越大，抛物线开口越小，因此当抛物线分别过A（1，2)，C（2，1）时,a分别取得最大值与最小值,代入计算得出:a＝2,a＝；由此得出a的取值范围是．故填．【点评】此题利用数形结合的思想，考查了二次函数最值问题以及抛物线开口方向与a 值的关系．14．（4分）如图，ABCD和EBFG都是正方形，AB＝30cm，则阴影部分的面积为450cm2．【考点】LE：正方形的性质．【专题】15：综合题．【分析】根据正方形的性质可证△OEG≌△OBF，由此可知S阴影＝S正方形ABCD．【解答】解：设小正方形EBFG的对角线相交于点O∵在正方形EBFG中，对角线EF与BG互相垂直平分,∴在△OEG与△OBF中,∴△OEG≌△OBF∴S阴影＝S正方形ABCD＝×30×30＝450（cm2）即阴影部分的面积为450cm2．故答案为：450cm2【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是证明S阴影＝S正方形ABCD15．（4分）如图,在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝4，CD＝3，BC＝7，O为AD边的中点，则点O到BC的距离为2．【考点】KQ:勾股定理;LH:梯形．【专题】11：计算题．【分析】作CE⊥AB于E,OH⊥BC于H,连接OC、OB，如图,先证明四边形ADCE为矩形得到AE＝CD＝3，AD＝CE,则BE＝1，再利用勾股定理计算出CE＝4,所以OD＝OA＝2，接着利用勾股定理的逆定理证明△BOC为直角三角形，∠BOC＝90°,然后利用面积法计算出OH的长即可．【解答】解：作CE⊥AB于E，OH⊥BC于H,连接OC、OB，如图,∵AB∥DC，∴∠D＝180°﹣∠A＝90°，而CE⊥AB,∴四边形ADCE为矩形,∴AE＝CD＝3，AD＝CE，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣3＝1，在Rt△BCE中，CE＝＝＝4，∴AB＝4，∵O为AD边的中点，∴OD＝OA＝2,在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2＝（2）2+32＝21，在Rt△OAB中,OB2＝OA2+AB2＝（2）2+42＝28，∴OC2+OB2＝49＝BC2，∴△BOC为直角三角形，∠BOC＝90°，∵OH•BC＝•OC•OB，∴OH＝＝2，即点O到BC的距离为2．故答案为2．【点评】本题考查了梯形:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．会利用三角形全等的知识证明角和线段相等；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．16．（4分）如图,在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE是∠ACB的平分线，D 是AC上的一点且BD＝ED，若∠CBD＝20°,则∠CED的度数为10°．【考点】KH：等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝20°,∠CBD＝20°，∴BD＝CD，∵BD＝ED，∴ED＝CD,∴∠CED＝∠DCE，∵CE平分∠ACB，∴∠CED＝∠DCE＝∠ACB＝10°，故答案为：10°．【点评】此题考查等腰三角形的问题,关键是根据等腰三角形的判定和性质解答．三、解答题（每小题12分，共36分）17．(12分）某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价,也不高于800元/件，经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x（元/件）可近似于一次函数y＝kx+b的关系，如图所示．（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b的表达式;（2）设公司获得的毛利润为S元，试问销售单价定为多少时,该公司获得最大毛利润?最大毛利润是多少？此时销售量是多少？【考点】HE:二次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象上的点可以求得一次函数y＝kx+b的表达式；（2）根据（1）中的函数解析式和S＝（x﹣500）y，可以解答本题．【解答】解：（1）∵点(600,400)，（700，300）在y＝kx+b上，∴，解得，即一次函数的表达式是y＝﹣x+1000（500≤x≤800)；（2）S＝（﹣x+1000)（x﹣500）＝﹣x2+1500x﹣500000＝﹣(x﹣750）2+62500，∴x＝750时，S取得最大值，此时S＝62500，y＝﹣750+1000＝250，即销售单价定为750元时，该公司获得最大毛利润，最大毛利润是62500元，此时销售量是250件．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的函数解析式，会求函数的最值．18．（12分)如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC，D是⊙O上一点，AD的延长线交BC 的延长线于点P．（1）求证:AB2＝AD•AP；（2）若⊙O的直径为25，AB＝20,AD＝15，求PC和DC的长．【考点】KQ：勾股定理;M6:圆内接四边形的性质;MH：切割线定理；S9：相似三角形的判定与性质．【专题】152：几何综合题．【分析】（1）欲证AB2＝AD•AP，需证AC2＝AD•AP，因此只需证△ADC∽△ACP即可；（2）由(1）的结论可求出AP的长，过点A作直径AE交BC于点F，用相交弦定理的推论可求出AF的长，进而可求出BF、CF的长．在Rt△APF中,已知AP、AF的长，可用勾股定理求出PF的长，进而可求出PC的长,根据割线定理，可求出PD的长．【解答】(1）证明：∵∠ADC+∠B＝180°,∠B＝∠ACB∴∠ACP+∠ACB＝∠ACP+∠B＝180°∴∠ADC＝∠ACP∴△ADC∽△ACP∴，即所以AB2＝AD•AP；（2)解：过点A作直径AE交BC于点F．∵△ABC是等腰三角形，∴AE垂直平分BC设AF＝a，则EF＝25﹣a，由BF2＝AF•EF，得400﹣a2＝a（25﹣a）所以AF＝a＝16,BF＝FC＝12．方法1:由（1）AB2＝AD•AP得：在Rt△AFP中，∴PC＝PF﹣FC＝＝又由△PCD∽△P AB得：∴；方法2:（前面部分给分相同)连接BE、EC、BD．∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，且BE＝∴EC＝BE＝15，又已知AD＝15，∴AD＝EC∴DC∥AE,即DC⊥BC,则BD是直径∴DC＝在Rt△PCD中，PD＝P A﹣AD＝＝∴PC＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识的综合应用．综合性强,难度较大．19．（12分）已知抛物线y＝x2+（2﹣m)x﹣2m（m≠﹣2)与y轴交于点A,与x轴交于点B、C（B点在C点的左边）．（1)写出A、B、C三点的坐标；（2）设m＝a2﹣2a+4，试问是否存在实数a，使△ABC为直角三角形；（3）设m＝a2﹣2a+4，当∠BAC最大时，求实数a的值．【考点】HF:二次函数综合题．【分析】（1）先令x＝0，求出点A坐标，再令y＝0求出方程的根，分两种情况得出点B，C坐标；（2)先判断得出点B，C坐标，再求出AB2，BC2,AC2，用m的范围得出AB,BC，AC的大小,从而得出结论；（3)根据三角形的边角的不等关系得出结论．【解答】解：（1)令x＝0,由y＝x2+（2﹣m）x﹣2m（m≠2）,∴y＝﹣2m，∴A的坐标为(0，﹣2m）令y＝0，由y＝x2+（2﹣m）x﹣2m（m≠2)，∴x2+（2﹣m)x﹣2m＝0，∴(x+2)（x﹣m）＝0∴x1 ＝﹣2，x2＝m∵B点在C点左边．∴①当m＜﹣2时，B，C的坐标分别为（m，0）和（﹣2，0)．②当m＞﹣2,但m≠2时,B，C的坐标分别为(﹣2,0）和(m，0）．(2）不存在，理由：∵m＝a2﹣2a+4＝(a﹣1)2+3≥3．由（1)的结论知，A的坐标为（0,﹣2m)，B，C的坐标分别为（﹣2，0）和（m,0）．∴AB2＝4m2+4BC2＝(m+2）2＝m2+4m+4AC2＝m2+4m2 ＝5m2∵m≥3,∴3m2＝m×3m≥9m＞4m，∴AB2 ＝4m2+4＞m2 +4m+4＝BC2，∴AB＞BC．∵m≥3，∴m2＞＝9＞4，∴AC2 ＝5m2 ＞4m2 +4＝AB2，∴AC＞AB．∴AC＞AB＞BC．∵AB2 +BC2＝5m2+4m+8＞5m2 ＝AC2．∴不存在实数a,使△ABC为Rt△．（3)不存在,理由：∵m＝a2﹣2a+4＝(a﹣1)2+3≥3．由(2）的结论知，AC＞AB＞BC．∴∠BAC最小．∴不存在实数a，能使得∠BAC最大．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，二次函数的极值,直角三角形的判断，三角形边的大小的判断方法，解本题的关键是得出AC＞AB＞BC．考点卡片1．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．2．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数,0指数)运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．3．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0)的式子叫做二次根式．(2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0)是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围,并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．4．一元一次方程的应用(一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；(3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100％)；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量);（5）行程问题（路程＝速度×时间）;（6）等值变换问题；（7）和，差,倍，分问题；（8）分配问题；(9）比赛积分问题;（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数(问什么设什么），也可设间接未知数．3．列:根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确,是否符合题意，完整地写出答句．5．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0)的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△＜0时,方程无实数根．上面的结论反过来也成立．6．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2）,q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立,即＝﹣（x1+x2),＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题:①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．7．配方法的应用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．关键是:二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．3、配方法的综合应用．8．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0）的图象是抛物线,顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是(x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．9．二次函数的应用(1)利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中,经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．(3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时,要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．10．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2)二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建,建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．11．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．12．含30度角的直角三角形(1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2)此结论是由等边三角形的性质推出,体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时,要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．13．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c,那么a2+b2＝c2．（2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3)勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4)由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．14．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．(2）平行四边形的性质:①边：平行四边形的对边相等．②角:平行四边形的对角相等．③对角线:平行四边形的对角线互相平分．(3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底)同高（等高）的平行四边形面积相等．15．正方形的性质(1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等,四个角都是直角;②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．16．梯形（1)梯形的定义:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的两边叫梯形的底,其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰,两底的距离叫梯形的高．（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．17．垂径定理。
2012雅礼省理科实验班考试
雅礼理科实验班考试试题（复试）1__________. 2．555的末尾三位数字是________.3．将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为_______.4．某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了 一个两位数ab cd 与，结果所得到的六位数28abcd 恰是一个完全立方数，则ab cd +=________.5．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，由两条含0120圆心角的弓形弧 AOB ， AOC 及边BC 所围成的（火炬形）阴影部分的面积是 .6．已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b .则b a a a b b+的值为________. 7．如果x 和y 是非零实数，使得3=+y x 和03=+x y x ，那么x +y 等于_______.8．一个一次函数图象与直线59544y x =+平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有_____个.9．已知21()()()4b c a b c a -=--且0a ≠，则b c a+＝ . 10．已知实数a 、b 、x 、y 满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则=+++)()(2222y x ab xy b a ________.11．设a 为整数,使得关于x 的方程a 2x -(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根.12．为丰富学生的校园文化生活，振兴中学举办了一次学生才艺比赛，三个年级都有男、女各一名选手进入决赛，初一年级选手编号为男1号、女1号，初二年级选手编号为男2号、女2号，初三年级选手编号为男3号、女3号。
比赛规则是男、女各一名选手组成搭档展示才艺。
(1)用列举法说明所有可能出现搭档的结果；(2)求同一年级男、女选手组成搭档的概率；(3)求高年级男选手与低年级女选手组成搭档的概率13．如图，O、H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边的中点，由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E是F.证明：D、E、F三点共线.14．120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？。
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷(二)
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10个小题，满分30分）1．（3分）已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2﹣c2+2abc（）A．一定是非零偶数B．等于零C．一定为奇数D．可能是奇数，也可能是偶数考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：先把代数式分解因式，再根据已知进行讨论得出正确选项．解答：解：a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2abc﹣2ab=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab），已知a+b+c为奇数，而改变加减运算符号，不改变奇偶性，∴a+b﹣c也为奇数，则（a+b+c）（a+b﹣c）也为奇数，2（abc﹣ab）是偶数，∴a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab）一定是奇数，故选：C．点评：本题考查了因式分解的应用，把式子分解因式是解题关键．2．（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A．﹣1 B．C．2D．考点：分式的化简求值．分析：由a+b+c=2，a2+b2+c2=3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac=；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．解答：解：由a+b+c=2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，将已知代入，得ab+bc+ac=；由a+b+c=2得：c﹣1=1﹣a﹣b，∴ab+c﹣1=ab+1﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1），同理，得bc+a﹣1=（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1=（c﹣1）（a﹣1），∴原式=++=====﹣．故选D．点评：本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．3．（3分）设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A．2B．3C．4D．0考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：分类讨论．分析：利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．解答：解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；α2+β2=p③，α2β2=q④．由②④可得α2β2﹣αβ=0，解之得αβ=1或0由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，即p2﹣p﹣2q=0，当q=0时，p2﹣p=0，解之得，p=0或p=1，即，，把它们代入原方程的△中可知符合题意．当q=1时，p2﹣p﹣2=0，解之得，p=﹣1或2，即，，把它们代入原方程的△中可知不合题意舍去，所以数对（p，q）的个数是3对．故本题选B．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．4．（3分）设函数y=﹣x2﹣2kx﹣3k2﹣4k﹣5的最大值为M，为使M最大，k=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：二次函数的最值．专题：计算题．分析：由于M是最大值，那么M=，即M=﹣2k2﹣4k﹣5，于是求k=﹣的值即可．解答：解：∵y=﹣x2﹣2kx+（﹣3k2﹣4k﹣5），∴M==∴M=﹣2k2﹣4k﹣5，又∵M最大，∴k=﹣=﹣=﹣1．故选A．点评：本题考查了函数的最值．注意y最大值=即可．5．（3分）若3x2﹣x=1，则9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=（）A．2011 B．2010 C．2009 D．2008考点：因式分解的应用．专题：计算题；整体思想．分析：将3x2﹣x=1化简为3x2﹣x﹣1=0，整体代入9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008变形的式子3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010，计算即可求解．解答：解：∵3x2﹣x=1，即3x2﹣x﹣1=0，∴9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010=2010．故选B．点评：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解．6．（3分）已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（）A．4B．5C．6D．8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：应用题．分析：根据等腰三角形的性质，要使△AOB等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点，当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现交点．解答：解：①作OA的垂直平分线，交坐标轴于两个点；②以O为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于四个点；③以A为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于两个点．如图所示，显然这样的点有8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的定义，运用数形结合的思想进行解决，难度适中．7．（3分）如图：有六个面积为1的正方形组成的长方形，其中有A、B、C、D、E、F、G 7个点，以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有（）A．11个B．12个C．13个D．14个考点：面积及等积变换．分析：由有六个面积为1的正方形组成的长方形，然后依据三角形的面积等于底乘以高，抓住底与高一个为2，一个为1，然后从一边开始，依次求解即可求得答案，小心别漏解．解答：解：∵如图是六个面积为1的正方形组成的长方形，∴以AB为边：△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，以AC为边：△ACG，以AD为边：△ADE，以AE为边：△AEF，以AF为边：△AFG，以BC为边：△BCF，以BD为边：△BDE，以BE为边：△BEF，以BF为边：△BFG，以CD为边：△CDF，以CE为边：△CEG．故以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有14个．故选D．点评：此题考查了三角形的面积问题．此题属于易错题，难度较大，解题的关键是注意依次数得，小心别漏解．8．（3分）锐角△ABC的三边两两不等，D是BC边上的一点，∠BAD+∠C=90°，则AD一定过△ABC 的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理．分析：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，根据三角形的内角和定理求出∠BAD+∠E=90°，推出∠C=∠E，根据三角形的外接圆的圆心的定义求出即可．解答：解：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，∴∠BAD+∠E=90°，∵∠C+∠BAD=90°，∴∠C=∠E，∴E在△ABC的外接圆上，∵∠ABE=90°，∴AE是直径，∴AD一定过△ABC的外心．故选C．点评：本题主要考查对三角形的外接圆与外心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠E=∠C是解此题的关键．9．（3分）有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3：5，则桶的容积为（）A．30升B．40升C．50升D．60升考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：首先设出桶的容积为x升，倒出两次后纯农药的容积为（x﹣20﹣）升，倒入两次水后水的容积为【20﹣（1﹣）×10+10】升，由农药与水的容积之比为3：5列出方程解答即可．解答：解：设桶的容积为x升，根据题意列方程得，（x﹣20﹣）：[20﹣（1﹣）×10+10]=3：5，整理得x2﹣48x+320=0，解得x1=40，x2=8（不合题意，舍去），答：桶的容积为40升．点评：解答此题需要计算农药与水占总容积的百分比，紧扣容积不变，再据题意，分别求得纯农药和水的容积，建立方程问题得解．10．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A．4B．5C．D．考点：正方形的性质；平行线之间的距离；勾股定理．分析：过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．解答：解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．∵AD=CD，∴△ADE≌△DCF，∴CF=DE=1．∵DF=2，∴CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．故选B．点评：此题考查正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．难度中等．二、填空题（每小题6分，满分42分）11．（6分）如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于76．考点：专题：正方体相对两个面上的文字．专题：计算题．分析：根据相对的两个面上两数之和都相等列出等式，并整理出a﹣b，b﹣c，a﹣c，的值，然后把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca整理分解因式，然后再代入数据计算即可．解答：解：根据题意得，a+13=b+9，b+9=c+3，c+3=a+13，整理得a﹣b=﹣4，b﹣c=﹣6，a﹣c=﹣10，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，=×16+×36+×100，=8+18+50，=76．故答案为：76．点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，把多项式乘以2后因式分解是解题的关键．12．（6分）Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA和sinB是方程的两个根，则k=﹣．考点：根与系数的关系；互余两角三角函数的关系．分析：根据锐角三角函数关系式，得sin2A+sin2B=1；根据一元二次方程根与系数的关系，得sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，再进一步利用完全平方公式得到关于k的方程进行求解．解答：解：∵sinA和sinB是方程的两个根，∴sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴sin2A+sin2B=1，∴2+2k=1，解得，k=﹣．故答案为：﹣．点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系以及锐角三角函数关系式．13．（6分）在△ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，，若，则BC=2．考点：三角形的重心；勾股定理．分析：根据中点这个条件，把CD延长至两倍于点F，连接AF，BF，则四边形ACBF为平行四边形，由ED=CD，CE=AB，得AB=CF，所以ACBF为矩形．再用勾股定理列式算出a，即可求出BC的长．解答：解：把CD延长至点F，使DF=CD．连接AF，BF．∵AD=DB，FD=DC，∴四边形ACBF为平行四边形，∵ED=CD，∴CE=CD，∵CE=AB，∴CD=AB，∴CD=AB，∴AB=CF，∴ACBF只能为矩形．设DE为a，则CE=2a，AD=3a，算出AE2=8a2，CE2=4a2，又因为AC=2，用勾股定理列式算出a，∴a=，∴AB=6×=2，∴BC==2．故答案为：2．点评：此题主要考查了重心的性质以及平行四边形的判定与矩形的判定和勾股定理的应用，根据已知得出正确的辅助线是解决问题的关键．14．（6分）方程的解为．考点：无理方程．分析：首先两边进行平方，然后移项合并同类项，再两边平方求解．解答：解：两边平方得：3x+2﹣2+3x﹣2=4移项得：2=6x﹣4两边平方得：36x2﹣16=36x2﹣48x+16解得：x=，检验：当x=时：原方程的左边=右边，∴x=是原方程的解．故答案为．点评：本题主要考查解无理方程，关键在于首先对方程两边分别平方已达到去根号的目的．15．（6分）在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．考点：多边形的对角线．专题：计算题．分析：根据n边形的对角线有n（n﹣3）条，将正八边形的边数代入可求出对角线的总数，而正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，由此可得出答案．解答：解：正八边形的对角线条数=×8×（8﹣3）=20，又∵正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，∴在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．故答案为：12．点评：本题考查多边形的对角线的知识，关键是掌握多边形的对角线与正多边形边数的关系n（n ﹣3），另外要知道正八边形的每条边均有2条对角线与之平行．16．（6分）若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有8个．考点：数的整除性．专题：新定义．分析：首先根据正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，可得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数），然后分别分析27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999是否符合奇异数的特点即可求得答案．解答：解：易得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．∴27=3×3×3=33，是奇异数（第一类）；42=2×3×7不是奇异数；69=3×23是奇异数（第二类），111=3×37是奇异数（第二类），125=53是奇异数（第一类），137是质数，不是奇异数，343=73是奇异数（第一类），899=900﹣1=（30﹣1）（30+1）=29×31是奇异数（第二类），3599=3600﹣1=（60﹣1）（60+1）=59×61是奇异数（第二类），7999=8000﹣1=203﹣1=（20﹣1）（202+20+1）=19×421是奇异数（第二类）．因此符合条件的奇异数有：27，69，111，125，343，899，3599，7999共8个．故答案为：8．点评：此题考查了学生的分析能力，考查了质数的性质与数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是找到奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．17．（6分）如图，MN是半圆O的半径，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN 上的点，若AP+PB的最小值为厘米，则圆的半径r=2厘米．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．专题：数形结合．分析：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB，易得∠BOA′=90°，利用等腰直角三角形的性质可得半径的长．解答：解：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB．∴A′B=2，∵A是半圆的一个三等分点，B是的中点，∴∠BON=30°，∠A′0N=60°，∴△A′OB是等腰直角三角形，∴OA′=2．故答案为2．点评：考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点；作出整个圆的辅助性是解决本题的难点．三、解答题（每小题16分，满分48分）18．（16分）已知二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象如图所示．（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．（2）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．解答：解：（1）∵y=mx2+（m﹣3）x﹣3=（mx﹣3）（x+1），∴x1=﹣1，x2=，∴AB=﹣（﹣1）=4，即m=1；∴y=x2﹣2x﹣3，得A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，∵AC==，∵AM=CM，∴AM==，∴R=，S=π．（2）设PD与BC的交点为E，可求直线BC解析式为y=x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3）；当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，得﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣3（x﹣3），解得x=2或3，∴或（舍去），∴P（2，﹣3）；当S△PBE：S△BED=1：2时，同理可得P（，﹣），故存在P（2，﹣3）或P（，﹣）．点评：此题是二次函数的综合类题目，涉及到：二次函数解析式的确定、圆周角定理、扇形面积的计算方法以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大．19．（16分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（m•n+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．考点：数的整除性．专题：计算题．分析：根据题意得到m+11=n+9，从（m+11）（n+9）+46的整除性得到m、n的值．解答：解：据题意m+11=n+9，且整除m•n+9m+11n+145，而m•n+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，故m+11，n+9都整除46，由此得①或②，在①时，得每人捐款25元，在②时，每人捐款47元，综上可知，每人捐款数为25元或47元．点评：此题考查了数的整除性，要通过逻辑推理得到正确答案，体现了竞赛题的一般特征．20．（16分）已知△ABC是圆O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长．考点：切线的性质．分析：利用切线的性质以及圆周角、弦切角、弧之间的关系证明直线平行和三角形相似分别求出AB、AC、DE、EC的值，然后利用三角形相似求出FC，AF，DF的值，最后利用相交弦定理求出BF的值，从而求出BC的值．解答：解：∵DE是圆O的切线，∴∠CDE=∠CBD=∠DAE．∴△ADE∽△DCE∴∴DE2=AE•EC∴DE2=（AC+EC）EC∵DE+EC=6∴DE=6﹣EC∴（6﹣EC）2=AC•EC+EC2∵∠CBD=∠DAC，∴∠CDE=∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∴∠CDE=∠BAD，BD=DC=3．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CDE=∠BCD．∴BC∥DE．∴△ABD∽△DCE，∴∴AB•EC=18∵AB：AC=3：2设AB=3x，AC=2x，EC=y，则有解得：∴AB=9，AC=6，EC=2∴DE=4∵BC∥DE．∴△AFC∽△ADE∴=∴∴FC=3可以证明△DFC∽△BFA∴∴FA=∴∴AD=6∴DF=∵DF•AF=BF•FC∴∴BF=∴BC==．故BC的长为．点评：本题是一道切线的性质运用的解答题，考查了切割线定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性质、平行线的判定．综合性较强，难度较大．。
炎德英才大联考2012雅礼中学2012届高考模拟卷(一)
姓暋暋名暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋
准考证号暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋
祝你考试顺利!
绝密曪启封并使用完毕前
炎德·英才大联考雅礼中学2012届高三月考试卷(七)
数暋学(理科)
暋 暋 本 试 题 卷 包 括 选 择 题 、填 空 题 和 解 答 题 三 部 分 ,共 6 页 。 时 量 120 分 钟 ,满 分 150 分 。
之 间 的 “折 线 距 离 暠.在 这 个 定 义 下 ,给 出 下 列 命 题 :
栙 到 原 点 的 “折 线 距 离 暠等 于 1 的 点 的 集 合 是 一 个 正 方 形 .
栚 到 原 点 的 “折 线 距 离 暠等 于 1 的 点 的 集 合 是 一 个 圆 .
栛到 M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离暠之和为4的点的集合是面积为6的六边形.
一 、选 择 题 :本 大 题 共8 小 题 ,每 小 题5 分 ,共40 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ,只 有 一 项
是符合题目要求的.
1.已知i是虚数单位,z=i+2i2+3i3,则复数z 的共轭复数z 在复平面内所对应的点落在
A.第 一 象 限
B.第 二 象 限
C.第 三 象 限
(1)选择 题 部 分 请 按 题 号 用 2B 铅 笔 填 涂 方 框, 修改时用橡皮擦干净,不留痕迹;
(2)非选 择 题 部 分 请 按 题 号 用 0.5 毫 米 黑 色 墨 水签字笔书写,否则作答无效;
(3)请 勿 折 叠 答 题 卡。 保 持 字 体 工 整、笔 迹 清 晰、卡面清洁。
3灡 本试题卷共 6 页。如缺页,考生须及时 报 告 监考老师,否则后果自负。
长沙市雅礼中学理科实验班招生考试英语试题
2012年长沙市雅礼中学理科实验班招生试题英语（本卷原名：长沙市雅礼优生毕业测试卷）考生注意：本卷满分120分，考试时间90分钟，请将答案写在答题卡上。
一、单项选择（每题1分，共计20分）1.His father possesses a________factory，which does most of the pollution to this river.A.paper-makeB.paper-makingC.papers-madeD.paper-made2. The letter ―b‖ in the word ―doubt‖ is________.A.soundB.silentC.silenceD.sounded3.—I knocked into a tree when I went to the railway station for my friend.---I suppose you _____too fast.A. driveB.are drivingC.droveD.were driving4. ---What should I do, doctor?---_____healthy, you should take more exercise.A.KeepB.KeepingC.To keepD.Having kept5. ---Have you found the information about famous people____you can use for the report?---Not yet.I’ll search some on the Internet.A.whichB.whoC.whatD.whom6. ---Oh.Mary’s not here these days.Is she ill?---_____.Her mother told me that she was in hospital.A.I am afraid soB.I hope notC.I don’t mindD.I don’t think so7.---It looks like a television.Do you think so?---Yes,I________.A.understandB.knowC.meanD.agree8.---I don’t know how to use this machine.---It doesn’t matter. Here is the ________.A.instructionB.directionrmationD.advertisement9. He _______ go to sleep _______ his father came back.A. won’t; unlessB. doesn’t; untilC. didn’t; untilD. didn’t; when10. She can solve the problem, _______ is often the case.A. ItB. AsC. ThatD. Which11. --- Did you enjoy yourself at the party?--- Yes. I've never been to ________ one before.A. a more excitedB. the most excitedC. a more excitingD. the most exciting12. The telephone _______ four times in the last hour, and each time it _____ for the studentdoing a part-time job.A. has rung; wasB. has been ringing; isC. rang; had beenD. had rung; was13. –They’re really nice. I’ll ________ these two.-Anything else?-No, tha t’s all. __________?A. buy; How much is itB. get; How much does it costC. take; How much do they come toD. want; How much is that altogether14. –Do you know _______?-They moved here soon after their son was born.A. when would the Smiths move hereB. when the Smiths moved hereC. the Smiths would move hereD. when the Smiths would move here15. –What does Tom often do at school?-He often plays _______ football after _______ school?A. /;/B. /; theC. the;/D. a; a16. —What do you think of store shopping in the future?—Personally, I think it will exist along with home shopping but ______.A. will never replace B .would never replaceC .will never be replacedD .would never be replaced17. Please call my secretary to arrange a meeting this afternoon, or _____ it is convenient to you.A .wheneverB .howeverC .whicheverD .wherever18. Not until ______, ______ settle the problem.A. he returns; can weB. he returns; we canC .does he returns; we can D. does he can; we can19. I’ll go to the library as soon as I finish what I _____.A. was doing B .am doing C .have done D. had been doing20. English is a language shared by several diverse cultures, each of _____ uses it somewhat differently.A .whichB .what C. them D .those二、完形填空（每题1分，共计20分）A Happy Memory to Lift You UpI hear some actors keep sad memories to help them with scenes where they might need to cry.I think we should each try to find the opposite to 21 us up every day. I’m saying this because I just 22 mine!I had some work in Glasgow today. I was on such a 23 schedule that I had no time for myself all day.Walking across the square, I fished(取出) some 24 from my pocket. There was __25__ someone at the exit selling The Big Issue, a magazine helping homeless folk 26 a living.At the exit, I saw 27 selling The Big Issue. Her clothes were 28 and she obviously hadn’t had a bath for quite a while.As I 29 , I saw she was also rocking from side to side. At first I thought maybe she was trying to keep 30 against the biting wind. But she wasn’t. She was moving in time to a tune.I couldn’t 31 her, but I could see her lips 32 .As I got closer, I saw a white cane (拐杖) hanging from her elbow (肘) and noticed she had sunken (凹陷的) 33 . She was blind, dirty and living on the 34 . I came closer and through the 35 of the traffic and the crowd I heard her 36 the immortal (永恒的) line, ―...and I think to myself, what a wonderful world!‖I bought her 37 magazine for twice what I’d originally intended. She 38 me, then she picked up her stuff and went tapping off along the pavement —39 singing!So, I have my happy 40 for the day. And I think it will stay with me a long long time. Feel free to borrow it if you like.21. A. build B. give C. pick D. lift22. A. explained B. found C. invented D. described23. A. tight B. perfect C. free D. short24. A. tickets B. keys C. change D. paper25. A. barely B. sometime C. never D. usually26. A. understand B. earn C. offer D. complete27. A. someone B. anyone C. everyone D. no one28. A. well-known B. sold C. ragged D. packed20. A. stayed B. approached C. disappeared D. escaped30. A. fearless B. calm C. still D. warm31. A. see B. admire C. hear D. trust32. A. moving B. closing C. changing D. falling33. A. ears B. eyes C. mouth D. nose34. A. roofs B. stages C. streets D. trains35. A. cost B. bottom C. window D. noise36. A. writing B. singing C. recording D. retelling37. A. last B. next C. only D. extra38. A. served B. recognized C. thanked D. considered39. A. yet B. thus C. also D. still40. A. memory B. childhood C. adventure D. birthday三、阅读理解（41—53小题每题2分，54—62小题每题3分，共计50分）【A】阅读下面的短文，请根据短文内容从每题中所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳答案。
2012年高中实验班招生考试数学训练卷
2012年高中实验班招生考试数学训练卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题有8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）（2011•荆州）有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛．已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额．某同学知进自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在下列13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（）A．众数B．方差C．中位数D．平均数考点：统计量的选择；中位数．专题：应用题．分析：由于比赛设置了7个获奖名额，共有13名选手参加，故应根据中位数的意义分析．解答：解：因为7位获奖者的分数肯定是17名参赛选手中最高的，而且13个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．故选C．点评：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．2．（4分）（2011•日照）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（）A．54盏B．55盏C．56盏D．57盏考点：一元一次方程的应用．专题：优选方案问题．分析：可设需更换的新型节能灯有x盏，根据等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相等，列出方程求解即可．解答：解：设需更换的新型节能灯有x盏，则70（x﹣1）=36×（106﹣1），70x=3850，x=55，则需更换的新型节能灯有55盏．故选B．点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意根据实际问题采取进1的近似数．3．（4分）（2011•泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：计算题．分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为EC2==8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．4．（4分）（2011•日照）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O 的半径为的是（）A．B．C．D．考点：三角形的内切圆与内心；解一元一次方程；正方形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：连接OE、OD，根据AC、BC分别切圆O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，证出正方形OECD，设圆O的半径是r，证△ODB∽△AEO ，得出=，代入即可求出r=；设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，且AB于F，同样得到正方形OECD，根据a ﹣x+b﹣x=c，求出x即可；设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，则△BCA∽△OFA得出=，代入求出y即可．解答：解：A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，且AB于F，如图（1）同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a﹣x+b﹣x=c，求出x=，故本选项错误；B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），则△BCA∽△OFA，∴=，∴=，解得：y=，故本选项错误；C、连接OE、OD，∵AC、BC分别切圆O于E、D，∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，∵OE=OD，∴四边形OECD是正方形，∴OE=EC=CD=OD，设圆O的半径是r，∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B，∵∠AEO=∠ODB，∴△ODB∽△AEO，∴=，=，解得：r=，故本选项正确；D、O点连接三个切点，从上至下一次为：OD，OE，OF；并设圆的半径为x；容易知道BD=BF，所以AD=BD﹣BA=BF﹣BA=a+x﹣c；又∵b﹣x=AE=AD=a+x﹣c；所以x=，故本选项错误．故选C．点评：本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键．5．（4分）（2011•随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0B．1C．2D．3考点：二次函数的图象．专题：数形结合．分析：首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值．解答：解：函数的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3．故选D．点评：此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．6．（4分）（2009•湖州）已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个（）A．6B．7C．8D．9考点：二次函数综合题；二次函数的图象．专题：网格型．分析：建立如图坐标系，水平为x轴，竖直为y轴，设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，要使得点最多，取整数点（0，1），（1，1），（2，2）代入抛物线的解析式，求出a、b、c的值，再把各整数格点代入求解即可．解答：解：由题意，建立如图坐标系，水平为x轴，竖直为y轴，设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，要使得格点最多，抛物线如图所示：取整数点D（0，1），E（1，1），F（2，2）代入抛物线的解析式得，1=a×02+0×b+c，1=a×12+1×b+c，2=a×22+2b+c，解得a=，b=，c=1，故y=x2﹣x+1，∴A（﹣3，7）；B（﹣2，4）；C（﹣1，2）；D（0，1）；E（1，2）F（3，4）；G（3，4）；H（4，7）共8个．建立坐标系的方法：设方格左下角为（0，0），沿着方格的边沿建立直角坐标系．取抛物线为y=（x﹣3）（x﹣4），则它能经过8个格点：（0，6），（1，3），（2，1），（3，0），（4，0），（5，1），（6，3），（7，6）．对于任意的二次函数，如果我们依次考察x=0，1，2，…，8时的值，并依次用后一个值减去前一个值，总得到一个等差数列．要使经过的格点尽量多，则这个等差数列的公差要尽量小，且为整数．因此，令公差为1，这相当于取二次项系数为．验证：如果抛物线经过9个格点，那么在抛物线的顶点及一侧至少经过5个格点，由于这5个格点的横坐标都差1，考虑到抛物线的递增或递减趋势，这5点的纵坐标的极差不小于1+2+3+4=10，显然这5个格点不全在8×8网格之内．故选C．点评：此题是一道新颖题，定义了一个格点的概念，思路比较开放，要建立合适的坐标系来找最多格点，考查了抛物线的基本性质．7．（4分）（2010•兰州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析：本题需要根据抛物线的位置，反馈数据的信息，即a+b+c，b，b2﹣4ac的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置．解答：解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；∴双曲线的图象在第二、四象限；由于抛物线开口向上，所以a＞0；对称轴x=＞0，所以b＜0；抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；∴直线y=bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．故选D．点评：本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，同学们要细心解答．8．（4分）如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP=PQ=QB=BC，则∠PCQ的度数为（）A．30 B．36 C．45 D．37.5考点：等腰三角形的性质．分析：可设∠A=x，根据在AC上取点D，使QD=PQ，连接QD、BD，再利用已知得出△BDQ为等边三角形，进而得出x的角度，即可得出答案．解答：解：在AC上取点D，使QD=PQ，连接QD、BD，设∠A=x，则∠QDP=∠QPD=2x，∠BQD=3x，∵DQ=QB，∴∠QBD=90°﹣1.5x，∠BDC=90°﹣0.5x，又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=90°﹣0.5x，∴BD=BC，∴BD=BQ=QD，∴△BDQ为等边三角形，∴∠QBD=90°﹣1.5x=60°，故x=20°，∴∠ABC=80°，∴∠QCB=50°，∴∠PCQ=80°﹣50°=30°．故选A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质的理解和掌握，此题的关键是得出△BDQ为等边三角形．二、填空题：（本题有5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）“情系玉树，大爱无疆﹣抗震救灾大型募捐”晚会2010年4月20日晚在中央电视台演播大厅举行，这台募捐晚会共募得善款21.75亿，用科学记数法（保留三位有效数字）表示21.75亿元= 2.18×109元．考点：科学记数法与有效数字．专题：计算题．分析：首先用科学记数法表示成a×10n的形式，然后对a保留三个有效数字即可．解答：解：∵21.75亿元=2175000000元，∴2175000000元=2.175×109≈2.18×109，故答案为2.18×109．点评：本题考查了科学记数法及有效数字的确定，对比较大的数保留有效数字取近似值时，先用科学记数法表示．10．（4分）如图所示，将△ABC沿着DE翻折，B点落到了B′点处．若∠1+∠2=80°，则∠B′=40°．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：首先根据折叠可知∠BED=∠B′ED，∠BDE=∠B′DE，再根据平角定义可知∠1+2∠B′ED=180°，∠2+2∠B′DE=180°，把两式相加可得到∠1+∠2+2（∠B′ED+∠B′DE）=360°，再由三角形内角和可知∠B′ED+∠B′DE=180°﹣∠B′，进行等量代换即可得到∠B′的度数．解答：解：方法一：∵△ABC沿着DE翻折，∴∠BED=∠B′ED，∠BDE=∠B′DE，∴∠1+2∠B′ED=180°，∠2+2∠B′DE=180°，∴∠1+∠2+2（∠B′ED+∠B′DE）=360°，∵∠1+∠2=80°，∠B′+∠B′ED+∠B′DE=180°，∴80°+2（180°﹣∠B′）=360°，∴∠B′=40°．故答案为：40°．方法二：△ABC沿着DE翻折，连接BB′∴∠1=∠EBB′+∠EB′B，∴∠2=∠DBB′+∠DB′B，∴∠1+∠2=∠EBB′+∠EB′B+∠DBB′+∠DB′B，即80°=2∠EB′D∴∠EB′D=40°．故答案为：40°．点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．11．（4分）（2010•镇江）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为4．考点：二次函数的应用．分析：将函数方程x2+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．解答：解：由x2+3x+y﹣3=0得y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，∴x+y的最大值为4．故应填4．点评：本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．12．（4分）（2009•湖州）如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，D n，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BD n E n的面积为S1，S2，S3，…S n．则S n=S△ABC（用含n的代数式表示）．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的重心．专题：规律型．分析：根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质．解答：解：易知D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，以此类推；根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1=BC，CE1=AC，S1=S△ABC；∴在△ACB中，D2为其重心，∴D2E1=BE1，∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=S△ABC，∵D2E2：D1E1=2：3，D1E1：BC=1：2，∴BC：D2E2=2D1E1：D1E1=3，∴CD3：CD2=D3E3：D2E2=CE3：CE2=3：4，∴D3E3=D2E2=×BC=BC，CE3=CE2=×AC=AC，S3=S△ABC…；∴S n=S△ABC．点评：解决本题的关键是据直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到第一个三角形的面积与原三角形的面积的规律．也考查了重心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．13．（4分）如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PCQ=1，则图中三个阴影部分的面积和为13．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的性质．分析：根据全等三角形对应角相等，可以证明AC∥DE∥HF，再根据全等三角形对应边相等BC=CE=EF，然后利用平行线分线段成比例定理求出HF=3PC，KE=2PC，所以PC=DK，设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，表示出△DQK的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积．解答：解：∵△ABC≌△DCE≌△HEF，∴∠ACB=∠DEC=∠HFE，BC=CE=EF，∴AC∥DE∥HF，∴==，==，∴KE=2PC，HF=3PC，又∵DK=DE﹣KE=3PC﹣2PC=PC，∴△DQK≌△CQP（相似比为1）设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，则xh=1，整理得xh=2，S△BPC=x•2h=xh=2，S四边形CEKQ=×3x•2h﹣2=3xh﹣2=3×2﹣1=6﹣1=5，S△EFH=×3x•2h=3xh=6，∴三个阴影部分面积的和为：2+5+6=13．故答案为13．点评：本题主要利用全等三角形的性质，找出阴影部分的图形边的关系和三角形的面积公式的解题的关键．三、解答题：（本题有7个小题，共68分）解答应写出必要的说明、证明过程及步骤．14．（8分）先化简，再求值：•；其中．考点：分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：先根据非负数的性质求得a、b，再将分式化简，代入值计算即可．解答：解：，（3分）∵，∴a﹣tan60°=0，b+3=0，∴a=，b=﹣3，∴•，=•，=，当时，原式=（6分）．点评：本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．15．（10分）（2011•温州）一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．考点：列表法与树状图法；分式方程的应用．分析：（1）由一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，根据概率公式直接求解即可求得答案；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；（3）根据概率公式列方程，解方程即可求得n的值．解答：解：（1）∵一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，∴摸出1个球是白球的概率为；（2）画树状图、列表得：白红1 红2第二次第一次白白，白白，红1 白，红2红1 红1，白红1，红1 红1，红2红2 红2，白红2，红1 红2，红2∴一共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（3）由题意得：，解得：n=4．经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，∴n=4．点评：此题考查了概率公式与用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（9分）（2011•湖州）我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼，有关成本、销售情况如下表：养殖种类成本（万元）销售额（万元/亩）甲鱼 2.4 3桂鱼 2 2.5（1）2010年，王大爷养殖甲鱼20亩，桂鱼10亩，求王大爷这一年共收益多少万元？（收益=销售额﹣成本）（2）2011年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2010年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？（3）已知甲鱼每亩需要饲料500㎏，桂鱼每亩需要饲料700㎏，根据（2）中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需要全部饲料比原计划减少了2次，求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少㎏？考点：一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用．专题：函数思想；方程思想．分析：（1）根据已知列算式求解；（2）先设养殖甲鱼x亩，则养殖桂鱼（30﹣x）亩列不等式，求出x的取值，再表示出王大爷可获得收益为y万元函数关系式求最大值；（3）设大爷原定的运输车辆每次可装载饲料a㎏，结合（2）列分式方程求解．解答：解：（1）2010年王大爷的收益为：20×（3﹣2.4）+10×（2.5﹣2）=17（万元），答：王大爷这一年共收益17万元．（2）设养殖甲鱼x亩，则养殖桂鱼（30﹣x）亩则题意得2.4x+2（30﹣x）≤70解得x≤25，又设王大爷可获得收益为y万元，则y=0.6x+0.5（30﹣x），即y=x+15．∵函数值y随x的增大而增大，∴当x=25时，可获得最大收益．答：要获得最大收益，应养殖甲鱼25亩，桂鱼5亩．（3）设大爷原定的运输车辆每次可装载饲料a㎏由（2）得，共需要饲料为500×25+700×5=16000（㎏），根据题意得﹣=2，解得a=4000把a=4000代入原方程公分母得，2a=2×4000=8000≠0，∴a=4000是原方程的解．答：王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料4000㎏．点评：此题考查的知识点是一次函数的应用，分是方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是列不等式求x的取值范围，再表示出函数关系求最大值，再列分式方程求解．17．（9分）（2011•宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时，一次函数值小于反比例函数值．（1）求一次函数的解析式；（2）设函数y2=的图象与的图象关于y轴对称，在y2=的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ丄x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值得到点A的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）求得B点的坐标后设出P点的坐标，利用告诉的四边形的面积得到函数关系式求得点P 的坐标即可．解答：解：（1）∵x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值．∴A点的横坐标是﹣1，∴A（﹣1，3），设一次函数的解析式为y=kx+b，因直线过A、C，则，解之得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）∵y2=的图象与的图象关于y轴对称，∴y2=（x＞0），∵B点是直线y=﹣x+2与y轴的交点，∴B（0，2），设p（n，）n＞2，S四边形BCQP=S四边形OQPB﹣S△OBC=2，∴（2+）n﹣×2×2=2，n=，∴P（，）．点评：此题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．18．（10分）（2011•河南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E 运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．考点：菱形的性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形．分析：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，由已知条件求证；（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使▱AEFD为菱形则需要满足的条件及求得；（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得．②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，则得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AE•cos60°列式得．③∠EFD=90°时，此种情况不存在．解答：（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF．（2）解：能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=BC•tan30°=5=5，∴AC=2AB=10．∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=10﹣2t，t=．即当t=时，四边形AEFD为菱形．（3）解：①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE．即10﹣2t=2t，t=．②∠DEF=90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°．∵∠A=90°﹣∠C=60°，∴AD=AE•cos60°．即10﹣2t=t，t=4．③∠EFD=90°时，此种情况不存在．综上所述，当t=或4时，△DEF为直角三角形．点评：本题考查了菱形的性质，考查了菱形是平行四边形，考查了菱形的判定定理，以及菱形与矩形之间的联系．难度适宜，计算繁琐．19．（10分）（2011•娄底）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙O1，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0）．（1）求C，D两点的坐标．（2）求证：EF为⊙O1的切线．（3）探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰梯形的性质；圆周角定理；切线的判定与性质．专题：综合题．分析：（1）连接DE，由等腰梯形的对称性可知，△CDE≌△BAO，根据线段的等量关系求C，D 两点的坐标；（2）连接O1E，由半径O1E=O1C，得∠O1EC=∠O1CE，由等腰梯形的性质，得∠ABC=∠DCB，故∠O1EC=∠ABC，可证O1E∥AB，由EF⊥AB，证明O1E⊥EF即可；（3）存在．过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，由PC=PM，可知四边形OMPN为正方形，设ON=x，则PM=PC=x，CN=4﹣x，由△PNC∽△AOB，由相似比，列方程求解．解答：（1）解：连接DE，∵CD是⊙O1的直径，∴DE⊥BC，∴四边形ADEO为矩形．∴OE=AD=2，DE=AO=2．在等腰梯形ABCD中，DC=AB．∴CE=BO=2，CO=4．∴C（4，0），D（2，2）；（2）证明：连接O1E，在⊙O1中，O1E=O1C，∠O1EC=∠O1CE，在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB．∴O1E∥AB，又∵EF⊥AB，∴O1E⊥EF．∵E在⊙O上，∴EF为⊙O1的切线（3）解法一：存在满足条件的点P．如右图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM，在矩形OMPN中，ON=PM，设ON=x，则PM=PC=x，CN=4﹣x，∴∠ABO=60°，∴∠PCN=∠ABO=60°．在Rt△PCN中，cos∠PCN=，即，∴x=．∴PN=CN•tan∠PCN=（4﹣）•=．∴满足条件的P点的坐标为（，）．解法二：存在满足条件的点P，如右图，在Rt△AOB中，AB=．过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM，在矩形OMPN中，ON=PM，设ON=x，则PM=PC=x，CN=4﹣x，∵∠PCN=∠ABO，∠PNC=∠AOB=90°．∴△PNC∽△AOB，∴，即．解得x=．又由△PNC∽△AOB，得，∴PN=．∴满足条件的P点的坐标为（，）．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰梯形的性质，圆周角定理，切线的判定与性质．关键是根据等腰梯形的性质，作辅助线，利用相似三角形的性质求解．20．（12分）（2011•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由S△ABC=AB×OC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，根据2|m﹣2|=EF，列方程求解；（3）存在．因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，则直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．解答：解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由S△ABC=AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），即y=x2﹣4x﹣5；（2）设E点坐标为（n，n2﹣4n﹣5），抛物线对称轴为x=2，由2（n﹣2）=EF，得2（n﹣2）=﹣（n2﹣4n﹣5）或2（n﹣2）=n2﹣4n﹣5，解得n=1±或n=3±，∵n＞0，∴n=1+或n=3+，边长EF=2（n﹣2）=2﹣2或2+2；（3）存在．∴△OBC为等腰直角三角形，即B（5，0），C（0，﹣5），设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C代入得：，解得：，则直线BC解析式为y=x﹣5，依题意△MBC中BC边上的高为，∴直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7，联立，，解得或，∴M点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是采用形数结合的方法，准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意分类讨论．。
2014年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷和解析答案(一)
2014年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（一）一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）如图，AB为半圆O地直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC地面积为S1、S2、S3，则它们之间地关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S12．（5分）如图，表示阴影区域地不等式组为（）A．B．C．D．3．（5分）正实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1，设p=+++，则（）A．p＞5 B．p=5C．p＜5 D．p与5地大小关系不确定4．（5分）函数y=ax2+bx+c图象地大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，（a+c）2﹣b2，（a+b）2﹣c2，b2﹣a2等代数式地值中，正数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（5分）如图为某三岔路口交通环岛地简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C地机动车辆数如图所示．图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA地机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出地车辆数相等），则有（）A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x2＞x3＞x1D．x3＞x2＞x1二、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分）6．（6分）已知不等式ax+3≥0地正整数解为1，2，3，则a地取值范围是．7．（6分）在一个3×3地方格表中填有1～9这9个数字，现将每行中数字最大地那个格子涂红色，数字最小地那个格子涂绿色．设M为三个红色方格中数字最小地那个数，m是三个绿色方格中数字最大地那个数，则M﹣m可以有个不同地值．8．（6分）如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共边界地相邻区域不能涂相同地颜色．满足恰好A涂蓝色地概率为．9．（6分）方程2x2﹣xy﹣3x+3y+2006=0地正整数解（x，y）为．10．（6分）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4），B（﹣2，0），C（2，﹣3），D（2，0）、设P是x轴上地点，且PA、PB、AB所围成地三角形与PC、PD、CD所围成地三角形相似，请写出所有符合上述条件地点P地坐标：．11．（6分）以[x]表示不超过x地最大整数（例如：[π]=3，[﹣]=﹣4），记A=[x]+[2x]+[3x]+[4x]．在所有地正整数中，有些数是A取不到地，把所有A取不到地正整数从小到大排起来，第30个数是．12．（6分）现有长144cm地铁丝，要截成n小段（n＞2），每段地长度为不小于1cm地整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n地最大值为．13．（6分）已知方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a为非负整数）至少有一个整数根．那么a=．14．（6分）用标有1克，2克，6克，26克地砝码各一个，在一架无刻度地天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出地不同克数（正整数地重物）有种．15．（6分）如图，AB，CD是圆O地直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上一点，PE切圆O于E，BE交CD于F，AB=6cm，PE=4cm，则EF地长为cm．三、解答题（共1小题，满分15分）16．（15分）k、a、b为正整数，k被a2、b2整除所得地商分别为m，m+116．（1）若a，b互质，证明a2﹣b2与a2、b2都互质；（2）当a，b互质时，求k地值．（3）若a，b地最大公约数为5，求k地值．2014年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）如图，AB为半圆O地直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC地面积为S1、S2、S3，则它们之间地关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S1【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA=60°，∴∠COB=120°，则∠COD=60°．=；∴S扇形AOCS扇形BOC=．在三角形OCD中，∠OCD=30°，∴OD=，CD=，BC=R，=，S弓形==，∴S△OBC＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选B．2．（5分）如图，表示阴影区域地不等式组为（）A．B．C．D．【解答】解：∵x≥0表示直线x=0右侧地部分，2x+y≤5表示直线y=﹣2x+5左下方地部分，3x+4y≥9表示直线y=﹣x+右上方地部分，故根据图形可知：满足阴影部分地不等式组为：．故选D．3．（5分）正实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1，设p=+++，则（）A．p＞5 B．p=5C．p＜5 D．p与5地大小关系不确定【解答】解：∵a，b，c，d均为正数，且a+b+c+d=1，∴必有0＜a，b，c，d＜1∵p=+++，事实上我们在xOy坐标系中作出函数f（x）=地图象，显然可以发现其图象一定在点（0，1）和（1，2）这两点连线地上方，而这两点连线地方程为y=x+1，∴可以发现在（0，1）上恒有＞x+1，当然这样只是画图所得，未必准确，∴还要严格证明，证之如下：上式两边平方得：3x+1＞x2+2x+1，∴x2﹣x≤x（x﹣1）＜0，而此时x∈（0，1），可见上式显然成立．所以我们有：＞a+1，＞b+1，＞c+1，＞d+1，以上四式相加得p=+++＞a+b+c+d+4=5，即有P＞5．故选A．4．（5分）函数y=ax2+bx+c图象地大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，（a+c）2﹣b2，（a+b）2﹣c2，b2﹣a2等代数式地值中，正数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：观察图形，显然，a＜0，c＜0，b＞0，∴ab＜0，bc＜0，由，得b＜﹣2a，所以2a+b＜0；由a﹣b+c＜0得（a+c）2﹣b2=（a+b+c）（a﹣b+c）＜0；由a+b+c＞0得a+b＞﹣c＞0，因此（a+b）2﹣c2＞0，|b|＞|a|，b2﹣a2＞0．综上所述，仅有（a+b）2﹣c2，b2﹣a2为正数．故选A．5．（5分）如图为某三岔路口交通环岛地简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C地机动车辆数如图所示．图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA地机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出地车辆数相等），则有（）A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x2＞x3＞x1D．x3＞x2＞x1【解答】解：依题意，有x1=50+x3﹣55=x3﹣5=＞x1＜x3，同理，x2=30+x1﹣20=x1+10=＞x1＜x2，同理，x3=30+x2﹣35=x2﹣5=＞x3＜x2．故选C．二、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分）6．（6分）已知不等式ax+3≥0地正整数解为1，2，3，则a地取值范围是﹣1≤a＜﹣．【解答】解：不等式ax+3≥0地解集为：（1）a＞0时，x≥﹣，正整数解一定有无数个．故不满足条件．（2）a=0时，无论x取何值，不等式恒成立；（3）当a＜0时，x≤﹣，则3≤﹣＜4，解得﹣1≤a＜﹣．故a地取值范围是﹣1≤a＜﹣．7．（6分）在一个3×3地方格表中填有1～9这9个数字，现将每行中数字最大地那个格子涂红色，数字最小地那个格子涂绿色．设M为三个红色方格中数字最小地那个数，m是三个绿色方格中数字最大地那个数，则M﹣m可以有8个不同地值．【解答】解：∵因为M与m分别是红色方格与绿色方格中地数，故M﹣m≠0．∴M﹣m可能有8个不同地值：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4．故M﹣m可以有8个不同地值．故答案为：8．8．（6分）如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共边界地相邻区域不能涂相同地颜色．满足恰好A涂蓝色地概率为．【解答】解：要使有公共边界地相邻区域不能涂相同地颜色，则当A涂红时，可有A红、B蓝、C黄、D红；A红、B蓝、C黄、D蓝；A红、B黄、C蓝、D红；A红、B黄、C蓝、D黄共4种情况，；当A涂蓝时，同理也有4种情况；当A涂黄时也有4种情况．∴恰好A涂蓝色地概率为=．故答案为．9．（6分）方程2x2﹣xy﹣3x+3y+2006=0地正整数解（x，y）为（4，2026）；（8，442）；（16，19）；（34，136）；（68，170）；（158，332）；（406，820）；（2018，4040）．【解答】解：∵2x2﹣xy﹣3x+3y+2006=0，∴（2x2﹣6x）﹣（xy﹣3y）+（3x+9）=﹣2015，∴（x﹣3）（2x﹣y+3）=﹣2015，∴（x﹣3）（y﹣3﹣2x）=5×13×31，∴①，解得，即：（x，y）=（4，2026）；②，解得，即：（x，y）=（8，442）；③，解得，即：（x，y）=（16，19）；④，解得，即：（x，y）=（34，136）；⑤，解得，即：（x，y）=（68，170）；⑥，解得，即：（x，y）=（158，332）；⑦，解得，即：（x，y）=（406，820）；⑧，解得，即：（x，y）=（2018，4040）；故答案为：（4，2026）；（8，442）；（16，19）；（34，136）；（68，170）；（158，332）；（406，820）；（2018，4040）．10．（6分）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4），B（﹣2，0），C（2，﹣3），D（2，0）、设P是x轴上地点，且PA、PB、AB所围成地三角形与PC、PD、CD所围成地三角形相似，请写出所有符合上述条件地点P地坐标：（，0），（14，0），（4，0），（﹣4，0）．【解答】解：设OP=x（x＞0），分三种情况：一、若点P在AB地左边，有两种可能：①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD=AB：PD，则（x﹣2）：3=4：（x+2）解得x=4，∴点P地坐标为（﹣4，0）；②若△ABP∽△CDP，则AB：CD=PB：PD，则（﹣x﹣2）：（2﹣x）=4：3解得：x=14，与假设在B点左边矛盾，舍去．二、若点P在AB与CD之间，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD=BP：PD，∴4：3=（x+2）：（2﹣x）解得：x=，∴点P地坐标为（，0）；②若△ABP∽△PDC，则AB：PD=BP：CD，∴4：（2﹣x）=（x+2）：3，方程无解；三、若点P在CD地右边，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD=BP：PD，∴4：3=（2+x）：（x﹣2），∴x=14，∴点P地坐标为（14，0），②若△ABP∽△PDC，则AB：PD=BP：CD，∴4：（x﹣2）=（x+2）：3，∴x=4，∴点P地坐标为（4，0）；∴点P地坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．11．（6分）以[x]表示不超过x地最大整数（例如：[π]=3，[﹣]=﹣4），记A=[x]+[2x]+[3x]+[4x]．在所有地正整数中，有些数是A取不到地，把所有A取不到地正整数从小到大排起来，第30个数是77．【解答】解：∵随着x增大，[x]，[2x]，[3x]，[4x]中有时候只有一个数会增加1，如x=0.25时，在x＜0.25时，[x]，[2x]，[3x]都是0，[4x]是1，A=0+0+0+1=1；当4x=1时，有时几个数同时增加1，使得中间数有跳过．如当0.25＜x＜0.5，A=0+0+1+1=2，当x=0.5时，A=0+1+1+2，中间就跳过了3．如当0.5＜x＜1，A=0+1+2+3，当x=1，A=1+2+3+4，中间跳过3，7，8，9．再增加也是这个规律，每隔10会有一个循环．∴从小到大排列，第30个数应该是，30除以4等于7余2，∴第30个数是为77．故答案为：77．12．（6分）现有长144cm地铁丝，要截成n小段（n＞2），每段地长度为不小于1cm地整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n地最大值为10．【解答】解：∵每段地长为不小于1（cm）地整数，∴最小地边最小是1，∵三条线段不能构成三角形，则第二段是1，第三段是2，第四段与第二、第三段不能构成三角形，则第四边最小是3，第五边是5，依次是8，13，21，34，55，再大时，各个小段地和大于150cm，不满足条件．上述这些数之和为143，与144相差1，故可取1，1，2，3，5，8，13，21，34，56，这时n地值最大，n=10．故答案为：1013．（6分）已知方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a为非负整数）至少有一个整数根．那么a=1，3或5．【解答】解：显然a≠0．故原方程为关于x地二次方程．△=[﹣（3a2﹣8a）]2﹣4a2（2a2﹣13a+15），=[a（a+2）]2是完全平方式．故x=即x1==2﹣，x2==1﹣．当2﹣是整数时，a=1，3；当1﹣是整数时，a=1，5．综上所述，a=1，3或5．14．（6分）用标有1克，2克，6克，26克地砝码各一个，在一架无刻度地天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出地不同克数（正整数地重物）有28种．【解答】解：（1）当一端放砝码，另一端不放砝码时：①当天平一端只放一个砝码时，可称量重物地克数有：1克，2克，6克，26克4种；②当天平地一端只放两个砝码时，当天平一端只放一个砝码时，可称量重物地克数有：1+2=3克，1+6=7克，1+26=27克，2+6=8克，2+26=28克，6+26=32克6种；③当天平一端只放三个砝码时，可称量重物地克数有：1+2+6=9克，1+2+26=29克，1+6+26=33课，2+6+26=34克共4种；④当天平一端放四个砝码时，可称量重物地克数有1+2+6+26=35克共1种（2）当两端都放砝码时：①当两端都有一个砝码时，可称量地重物地克数有：2﹣1=1克，6﹣1=5克，6﹣2=4克，26﹣1=25克，26﹣1=24克，26﹣6=20克除去和上面重复地外，共5种；②当两端共有三个砝码时，可称量地重物地克数有：6+1﹣2=5克，6+2﹣1=7克，1+26﹣2=25克，2+26﹣1=27克，26+1﹣6=22克，6+26﹣2=30克，26+1﹣6=21克，26+6﹣1=31克，26﹣1﹣2=23克，26﹣1﹣6=19克，26﹣2﹣6=18克除去重复地外，共有7种③当天平两端放四个砝码时，可称量重物地克数有：26+1+2﹣6=23克，26+2+6﹣1=33克，26+1+6﹣2=31克，26+1﹣2﹣6=19克，26+2﹣1﹣6=21克，26+6﹣1﹣2=29克，26﹣1﹣2﹣6=17克除重复地外共1种．所以共有4+6+4+1+5+7+1=28（种）故答案为：28．15．（6分）如图，AB，CD是圆O地直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上一点，PE切圆O于E，BE交CD于F，AB=6cm，PE=4cm，则EF地长为cm．【解答】解：如图，连接OE，∵∠PEF=90°﹣∠OEB=90°﹣∠OBE=∠OFB=∠EFP，∴PF=PE=4，在Rt△OPE中，由勾股定理可得OP2=PE2+OE2，∴OP2=32+42=25，解得OP=5cm，∴OF=OP﹣PF=5﹣4=1（cm），DF=OD﹣OF=2cm，CF=OF+OC=4cm，在Rt△OBF中，由勾定理可得BF2=OB2+OF2，即BF2=32+12=10，∴FB=cm，又由相交弦定理可知BF•EF=CF•DF，∴EF==cm，故答案为：．三、解答题（共1小题，满分15分）16．（15分）k、a、b为正整数，k被a2、b2整除所得地商分别为m，m+116．（1）若a，b互质，证明a2﹣b2与a2、b2都互质；（2）当a，b互质时，求k地值．（3）若a，b地最大公约数为5，求k地值．【解答】解：（1）设s为a2﹣b2与a2地最大公约数，则a2﹣b2=su，a2=sv，u，v是正整数，∴a2﹣（a2﹣b2）=b2=s（v﹣u），可见s是b2地约数，∵a，b互质，∴a2，b2互质，可见s=1．即a2﹣b2与a2互质，同理可证a2﹣b2与b2互质；（2）由题知：ma2=（m+116）b2，m（a2﹣b2）=116b2，∴（a2﹣b2）|116b2，∵（a2﹣b2，b2）=（a2，b2）=1，∴（a2﹣b2）|116，所以a2﹣b2是116地约数，116=2×2×29，a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），而a﹣b和a+b同奇偶性，且a，b互质，∴a2﹣b2要么是4地倍数，要么是一个大于3地奇数，∴（a﹣b）（a+b）=29 或（a﹣b）（a+b）=116，∴a﹣b=1，a+b=29或a﹣b=1，a+b=116或a﹣b=2，a+b=58或a﹣b=4，a+b=29，解得只有一组解符合条件，a=15，b=14，∴m（152﹣142）=116×142，∴m=4×142=784，∴k=784×152=176400；（3）设a=5x，b=5y，即x，y地最大公约数为1，则m（a2﹣b2）=116b2，∴即m（25x2﹣25y2）=116（5y）2，∴m（x2﹣y2）=116（y）2，∵x ，y 互质，则有：m=24×72， ∴x=15，y=14， a=75，b=70，m=784， k=784×752=4410000．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2014年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（四）
2014年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（四）一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. （3分）如图，已知必是。
的切线，4为切点，FC 与相交于3、C 两点，PB=2cm,D. 2\[^cm2. （3分）二元二次方程组/x+y=3的解是（[xy=-10C . 20cm)x ]二-5x 2 2皿=-2[y 2=-53. （3分）如图，口ABCD 的周长是28cm, AABC 的周长是22cm,则AC 的长为（)12cm C. 4cm D. 8cm4. （3分）如图为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30° ,沿C8方向前进12m 到达。
处，在Q 处测得建筑物顶端A 的仰角为45° ,则建筑物A8的高度等于（）5.（3分）已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）A.1：2B.2：1C.1：4D.4：16.（3分）已知二次函数j=2x2+9x+34,当自变量工取两个不同的值xi,工2时，函数值相等，则当自变量工取X1+X2时的函数值与（）A.工=1时的函数值相等B.工=0时的函数值相等C.时的函数值相等D.工=-业■时的函数值相等44二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）7.（3分）根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角a,都有sin2a+cos2a=l.如果关于x的方程S^sina-4xcosa+2=0有实数根，那么锐角a的取值范围是.8.（3分）如图，在口ABCD中，ZB=60°,AE±BC,AFA.CD,E,F为垂足.设口ABCD9.（3分）如图，AZ）是RtAABC的斜边BC±的高线，要使/XACZ）的面积是左ABC和△A8Z）面积的比例中项，请你添加一个适当的条件：・10.（3分）分解因式：x2-2x-2y2+4y-xy=・11.（3分）如图梯形A8CQ中，AD//BC,时为中位线，S mbd：S a bcz）=3：7,则5梯形aefd：S梯形EBCF=DE,B C212.（3分）若?-3x+l=0,则——-----的值为4,2..x+x+113.（3分）如图A是一个面积为"的正三角形，现将它作如下变换：取三角形各边的三等分点向形外作没有底边的等边三角形，这样得到一个六角星（如图B）；继续对六角星各边施行相同的变换，得到“雪花形”（如图C）.则雪花形的面积为.14.（3分）已知xi=2,x，二1一（〃=1,2,3,…），贝!］工2004=・n+1【yA n15.（3分）如图是由数字组成的三角形，除最顶端的1以外，以下出现的数字都有一定的规律.根据它的规律，则最下排数字x的值是.10111001225542005101416166161564632160«»»x*««»16.（3分）在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式/-因式分解的结果是（x-y）（x+y）（J+y2）,若取x=9,y=9时，则各个因式的值是：（x-y）=0,（x+y）=18,（x2+y2）=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4p-xy2,取x=10,>=io 时，用上述方法产生的密码是：（写出一个即可）.三、解答题（共5小题，满分52分）17.（8分）（1）计算也忑二^•三筝+（岳-1）°'x+1〉3-x（2）解不等式组］飞一3—4（x+4）<3（x+6）X.18.（10分）初取什么值时，（xyzv^O）能被i+y+z整除？19.(10分)已知：如图，。
雅礼中学高一理科实验班招生数学
雅礼中学高一理科实验班选拔考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共30分。
每小题均给出了A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得０分）1、有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的 结果如图所示。
如果记6的对面的数字为a ，2的对面的数字为b ，那么b a +的值为A ．3B ．7C ．8D ．112、右图是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图像（收支差额=车票收入-支出费用） 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车 票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格。
下面 给出四个图像（如图所示）则A ．①反映了建议（2），③反映了建议（1）B ．①反映了建议（1），③反映了建议（2）C ．②反映了建议（1），④反映了建议（2）D ．④反映了建议（1），②反映了建议（2）3、已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根，则 实数b a n m ,,,的大小关系可能是A ．n b a m <<<B ．b n a m <<<C ．n b m a <<<D ．b n m a <<<4、记n S =n a a a +++Λ21，令12nnS S S T n+++=L ，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。
已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为A ．200４B ．2006C ．2008D ．20105、以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后1 1xyOA 1 1x yO A 1 1 xyO y1 1xO A A 1 1xyO ① ② ③④OD CBAFE D CBAxyE ODCBA 与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且10=AB ，则CB 的 长为A ． 54B ．34C ． 24D ．46、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。
2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷(一)
2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（一）一、选择题（每小题4分，满分32分）1．（4分）函数y=﹣的图象是（）A．B．C．D．2．（4分）同时抛掷两枚硬币，每次出现正面都向上的概率为（）A．B．C．D．3．（4分）如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．B．C．D．4．（4分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4.5米B．6米 C．7.2米D．8米5．（4分）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间6．（4分）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置，…，这样一直下去，第2008次交换位置后，小鼠所在的座号是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（4分）若x﹣1=2（y+1）=3（z+2），则x2+y2+z2可取得的最小值为（）A．6 B．C．D．8．（4分）将一个无盖的正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②），则所剪得直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比是（）A．1：2 B．：3 C．1：3 D．不能确定二、填空题（每小题4分，满分32分）9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为．10．（4分）已知a，b为一元二次方程x2+2x﹣9=0的两个根，那么a2+a﹣b的值为．11．（4分）已知x=sin60°，则=．12．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=，AC=2，则cosB的值是．13．（4分）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在利用长度为30cm和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么所构成的木架的三边长度（单位：cm）分别为．14．（4分）如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24，将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为．15．（4分）已知a+b+c=0，a2+b2+c2=4，那么a4+b4+c4的值等于．16．（4分）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（每小题12分，共36分）17．（12分）一商场计划到计算器生产厂家购进一批A、B两种型号的计算器．经过商谈，A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的超过部分，每只优惠20%；B型计算器单价为22元，150只起售，超过150只的超过部分，每只优惠2元．如果商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金？18．（6分）如图，⊙O1与⊙O2经过A，B两点，过A点的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，过B点的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．证明：CE ∥DF．19．（6分）（北师大版）某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其它费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其它费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完．设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．（1）写出m与x之间的关系式；（2）写出y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量的范围）；（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大，最大利润是多少？20．（12分）已知二次函数的图象如图所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A （﹣1，0）、B（2，0）、C（0，﹣2）．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC 的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC补成矩形，将△OAC的两个顶点成为矩形的一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，满分32分）1．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）函数y=﹣的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=﹣可知，x可以取正数，也可以取负数，但函数值只能是负数，所以函数图象应该是在x轴的下方，并且x、y均不为零．故选：C．2．（4分）（2006•邵阳）同时抛掷两枚硬币，每次出现正面都向上的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：所有出现机会均等的情况有四种：正正，正反，反正，反反，正正只有一种，所以每次出现正面都向上的概率为．故选A．3．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：对角线长为a的正方形桌面的边长EF=a，又∵四边形AEFD为矩形，∴AD=EF=a，又BC=a，∴AB==，则桌布下垂的最大长度为．故选C．4．（4分）（2006•深圳）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4.5米B．6米 C．7.2米D．8米【解答】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB，∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），∴，设BC=x，则，同理，得，∴，∴x=3，∴，∴AB=6．故选：B．5．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×100+10×300=4500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×100+10×200=5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+15×200=12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）=4500+5m＞4500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）=5000+35n＞4500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．6．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置，…，这样一直下去，第2008次交换位置后，小鼠所在的座号是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因为2008÷4=502，即第2008次交换位置后，小鼠所在的号位应和第一次交换位置相同，即图2中1号位．故选：A．7．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）若x﹣1=2（y+1）=3（z+2），则x2+y2+z2可取得的最小值为（）A．6 B．C．D．【解答】解：设x﹣1=2（y+1）=3（z+2）=k，则x=k+1，y=﹣1，z=﹣2，所以，x2+y2+z2=（k+1）2+（﹣1）2+（﹣2）2，=k2﹣k+6，=（k﹣）2+，所以，当k=时，x2+y2+z2可取得的最小值为．故选D．8．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）将一个无盖的正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②），则所剪得直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比是（）A．1：2 B．：3 C．1：3 D．不能确定【解答】解：由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是1：2．故选：A．二、填空题（每小题4分，满分32分）9．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为40°．【解答】解：∵AC=AE，BC=BD，∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，∴x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故答案为40°．10．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）已知a，b为一元二次方程x2+2x﹣9=0的两个根，那么a2+a﹣b的值为11．【解答】解：∵解方程：x2+2x﹣9=0得：∴ab=﹣9②，a+b=﹣2，∴b=﹣2﹣a③，把③代入②得：a2+2a﹣9=0∴a1=，a2=，∴b1=，b2=，∴当a1=，b1=时，∴a2+a﹣b=（）2+（）﹣（）=11．当a2=，b2=，∴a2+a﹣b=（﹣）2+（﹣）﹣（）=11故答案为11．11．（4分）（2003•黄冈）已知x=sin60°，则=．【解答】解：===2x，∵x=sin60°=，∴原式=．12．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=，AC=2，则cosB的值是．【解答】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．Rt△ACD中，AD=2r=3，AC=2．根据勾股定理，得：CD===．∴cosD==．∵∠B=∠D，∴cosB=cosD=．13．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在利用长度为30cm和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么所构成的木架的三边长度（单位：cm）分别为10cm，25cm，30cm 或12cm，30cm，36cm．【解答】解：因为所作的三角形与△ABC相似，可设所作三角形的三边长为2a，5a，6a，①当2a=30cm时，a=15cm，∴所作三角形的另外两边长为90cm和75cm，∵75＞60，因此这种情况不成立；②当5a=30cm时，a=6cm，∴所作三角形的另外两边长为12cm和36cm，12+36＜60，因此这种情况成立；③当6a=30cm时，a=5cm，∴所作三角形的另外两边长为10cm和25cm，10+25＜60，因此这种情况成立．综合三种情况可知：所作三角形的三边长为10cm，25cm，30cm或12cm，30cm，36cm．故答案为：10cm，25cm，30cm或12cm，30cm，36cm．14．（4分）（2006•遂宁）如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24，将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为30．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意，BF=CD==7，AF=AB﹣BF=25﹣7=18，在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD===30．15．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）已知a+b+c=0，a2+b2+c2=4，那么a4+b4+c4的值等于8．【解答】解：∵a+b+c=0，∴（a+b+c）2=0，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0，∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=0，①∵a2+b2+c2=4，②把②代入①，得4+2（ab+bc+ca）=0，解得，ab+bc+ca=﹣2；∵a4+b4+c4=（a2+b2+c2）2﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）=（a2+b2+c2）2﹣2[（ab+bc+ac）2﹣2abc（a+b+c）]，ab+bc+ca=﹣2，a+b+c=0，∴a4+b4+c4=16﹣2×[（﹣2）2﹣0]=8．故答案为：8．16．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为2π．【解答】解：阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积=﹣==2π．三、解答题（每小题12分，共36分）17．（12分）（2006•无锡）一商场计划到计算器生产厂家购进一批A、B两种型号的计算器．经过商谈，A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的超过部分，每只优惠20%；B型计算器单价为22元，150只起售，超过150只的超过部分，每只优惠2元．如果商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金？【解答】解：设购买A型计算器x只，B型计算器y只，则化简得解得设所需资金为P元，则P=2[100×50+（x﹣100）×50×（1﹣20%）]=80x+2000因为x为整数，且P随x的增大而增大，所以当x=222时，P的最小值为19760．答：该商场至少需要准备资金19760元．18．（6分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，⊙O1与⊙O2经过A，B两点，过A点的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，过B点的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．证明：CE∥DF．【解答】解：连接AE、AB，由圆周角定理得，∠ACE=∠ABE，∵四边形ABFD是圆内接四边形，∴∠ABF+∠D=180°，∴∠ACE+∠D=180°，∴CE∥DF．19．（6分）（2006•武汉）（北师大版）某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其它费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其它费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完．设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．（1）写出m与x之间的关系式；（2）写出y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量的范围）；（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）m 与x之间的关系式为：m==75﹣2.5x．（2）生产1吨甲产品获利：4600﹣（10×200+4×400+400）=600；生产1吨乙产品获利：5500﹣（4×200+8×400+500）=1000．y与x的函数表达式为：y=600x+×1000=﹣1900x+75000；（3）根据题意列出不等式解得30≥x≥25．∴y与x的函数表达式为：y═﹣1900x+75000，∴y随x的增大而减小，∴当生产甲产品25吨时，公司获得的总利润最大．y最大=﹣1900×25+75000=27500（元）．20．（12分）（2013•雨花区校级自主招生）已知二次函数的图象如图所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，﹣2）．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC 的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC补成矩形，将△OAC的两个顶点成为矩形的一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），把（0，﹣2）代入得：﹣2=a（0+1）（0﹣2），a=1，∴y=（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，∴二次函数的解析式为：y=x2﹣x﹣2，顶点M的坐标为（，﹣）；（2）如图1，设线段BM的解析式为：y=kx+b，把B（2，0）、M（，﹣）代入得：，解得：，∴线段BM所在的直线解析式为：y=x﹣3，设N（h，﹣t），把点N（h，﹣t）代入y=x﹣3得：h﹣3=﹣t，h=2﹣t，其中＜h＜2，∴S=×1×2+（2+t）（2﹣t）=﹣+t+3，则S与t之间的函数关系式为：S=﹣+t+3，∵顶点M的坐标为（，﹣），∴QN的最大值为，∴自变量t的取值范围为0＜t＜；（3）存在，设点P（m，n），则n=m2﹣m﹣2，PA2=（m+1）2+n2，PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，若△PAC为直角三角形时，分以下三种情况：①当∠ACP=90°时，如图2，则PA2=AC2+PC2，得（m+1）2+n2=m2+（n+2）2+5，解得：m1=0（舍去），m2=，当m=时，n=（）2﹣﹣2=﹣，∴P（，﹣），②当∠PAC=90°时，如图3，则PC2=PA2+AC2，得：m2+（n+2）2=（m+1）2+n2+5，解得：m1=，m2=﹣1（舍去），当m=时，n=（）2﹣﹣2=，∴P（，），③由图象观察得，当点P在对称轴的右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC 不可能为90°，综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（，）；（4）如图4，矩形ADCO，∵A（﹣1，0），C（0，﹣2）∴D（﹣1，﹣2）如图5，矩形ACED，过D作DF⊥x轴于F，过E作EM⊥y轴于M，过O作ON⊥AC于N，sin∠OAC=，∴，∴ON=，∴AD=ON=，cos∠ADF=cos∠OAC=，∴=，∴DF=，由勾股定理得：AF===，∴OF=1﹣=，∴D（﹣，），同理得：E（，﹣），综上所述，矩形的未知的顶点坐标是（﹣1，﹣2）或（﹣，）或（，﹣）．参与本试卷答题和审题的老师有：dbz1018；lanyan；137﹣hui；1987483819；Linaliu；leikun；郝老师；sjzx；星期八；gbl210；HJJ；ZHAOJJ；Liuzhx；lf2﹣9；MMCH；wdxwzk；王学峰；lanchong；开心；蓝月梦；知足长乐；zxw；399462；tcm123（排名不分先后）菁优网2017年4月5日。
炎德英才大联考2012雅礼中学2012届高考模拟卷(一)答案
炎德·英才大联考雅礼中学2012届高三月考试卷(七)数学(理科)参考答案一㊁选择题题 号12345678答 案B A ACD C C B二㊁填空题9.7 10.75 11.2712.3 13.2 14.1115.2012 42 16.(1)33 (2)(1,0)三㊁解答题17.解:(1)因为a 2+b 2=6a b c o s C ,由余弦定理知a 2+b 2=c 2+2a b c o s C (2分)………………………………………所以c o s C =c 24a b .(3分)………………………………………………………………………………………………又因为s i n 2C =2s i n A s i n B ,则由正弦定理得:c 2=2a b ,(4分)……………………………………………………所以c o s C =c 24a b =2a b 4a b =12,所以C =π3.(6分)……………………………………………………………………(2)f (x )=s i n (ωx -π3)+s i n ωx =32s i n ωx -32c o s ωx =3s i n (ωx -π6)由已知2πω=π,ω=2,则f (x )=3s i n (2x -π6)(9分)……………………………………………………………2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2,k ∈Z 函数f (x )=3s i n (2x -π6)的单调增区间为[k π-π6,k π+π3],k ∈Z .(12分)…………………………………18.解:(1)由于南雅中学高一年级定向越野运动队有10名运动员,南雅中学高二年级定向越野运动队有5名运动员,根据分层抽样原理,若从南雅中学高一与高二定向越野运动队中共抽取3名运动员进行定向越野测试,则从高一年级定向队抽取2名运动员且高二年级定向队抽取1名运动员.(2分)…………………………………记A 表示事件:从高一年级定向越野运动队抽取的运动员中恰有1名女运动员,则P (A )=C 14C 16C 210=815.(4分)…………………………………………………………………………………………(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.A i 表示事件:从高一年级定向队抽取的2名运动员中恰有i 名男运动员,i =0,1,2.B 表示事件:从高二年级定向运动队抽取的是1名男运动员.A i (i =0,1,2)与B 独立,P (ξ=0)=P (A 0⎺B )=P (A 0)P (⎺B )=C 24C 210C 13C 15=225(6分)……………………………………………………………P (ξ=1)=P (A 0B +A 1⎺B )=P (A 0)P (B )+P (A 1)P (⎺B )=C 24C 210C 12C 15+C 16C 14C 210C 13C 15=2875(8分)………………………………………………………………………………………P (ξ=2)=P (A 1B +A 2⎺B )=P (A 1)P (B )+P (A 2)P (⎺B )=C 16C 14C 210C 12C 15+C 26C 210C 13C 15=3175(9分)………………………………………………………………………………………P (ξ=3)=P (A 2B )=P (A 2)P (B )=C 26C 210C 12C 15=215(10分)……………………………………………………………故ξ的概率分布为ξ0123P675287531751075E (ξ)=0×675+1×2875+2×3175+3×1075=85.(12分)……………………………………………………………19.解:(1)证明:由图1结合已知条件知四边形C B E D 为正方形,如图2∵F ㊁H ㊁G 分别为A C ㊁A D ㊁D E 的中点,∴F H ∥C D ,H G ∥A E ,∵C D ∥B E ,∴F H ∥B E ∵B E ⊂面A B E ,F H ⊄面A B E ,∴F H ∥面A B E ,同理可得H G ∥面A B E又∵F H ∩H G =H ,∴平面F H G ∥平面A B E .(4分)………………………………………………………………(2)∵平面A C D ⊥平面C B E D ,且A C ⊥C D ∴A C ⊥平面C B E D∴V (x )=V A -B C E =13S △B C E ㊃A C ,∵B C =x ,∴A C =2-x (0<x <2),∴V (x )=13×12x 2(2-x )=16x 2(2-x )∵V '(x )=16(4x -3x 2),令V '(x )=0,得x =0(不合舍去)或x =43当x >43时,V '(x )<0,当0<x <43时,V '(x )>0∴当x =43时V (x )有最大值,V (x )m a x =V (43)=1681.(8分)………………以点C 为坐标原点,C B 为x 轴㊁C D 为y 轴㊁C A 为z 轴建立空间直角坐标系如图2所示:∵当V (x )取得最大值时x =43,即B C =43这时A C =23,∴B (43,0,0),D (0,43,0),A (0,0,23),∴平面A C B 的法向量→C D =(0,43,0),设平面A B D 的法向量为m =(a ,b ,c ),∵→A B =(43,0,-23),→B D =(-43,43,0)由m ⊥→A B ,m ⊥→B D 得-43a +43b =0,43a -23c =0,令c =1得m =(12,12,1)设二面角D -A B -C 的大小为θ,则c o s θ=m ㊃→C D |m |㊃|→C D |=2343㊃14+14+1=66.(12分)…………………20.解:(1)当n =1时,b 1=181;当n =2时,b 2=182(2分)………………………………………………………………(2)当1≤n ≤20时,a 1=a 2=a 3= =a n -1=a n =1.∴b n =a n 81+a 1+a 2+ +a n -1=181+n -1=180+n .当21≤n ≤60时,b n =a n 81+a 1+a 2+ +a 20+a 21+ +a n -1=n 1081+20+a 21+ +a n -1=n 10101+(n -21)(n +20)20=2n n 2-n +1600,∴第n 天的利润率b n =1n +80,1≤n ≤20(n ∈N *)2n n 2,21≤n ≤60(n ∈N *ìîíïïïï)(7分)……………………………………………(3)当1≤n ≤20时,b n =180+n 是递减数列,此时b n 的最大值为b 1=181;(9分)…………………………………当21≤n ≤60时,b n =2n n 2-n +1600=2n +1600n -1≤221600-1=279(当且仅当n =1600n ,即n =40时, =”成立).(12分)………………………………………又∵279>181,∴当n =40时,(b n )m a x =279.∴该商店经销此纪念品期间,第40天的利润率最大,且该天的利润率为279.(13分)…………………………21.解:(1)∵→A F =λ→F B ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),又F (1,0),∴(1-x 1,-y 1)=λ(x 2-1,y2).即1-x 1=λ(x 2-1), ①-y 1=λy 2. {②把②两边平方得y 21=λ2y 22.又y 21=4x 1,y22=4x 2,代入上式得x 1=λ2x 2. ③把③代入①得1-λ2x 2=λ(x 2-1),解之得x 2=1λ,x 1=λ,∴x 1+x 2=λ+1λ设直线A B 的方程为y =k (x -1),则由y =k (x -1),y 2=4x {,消去y 并整理得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0.根据韦达定理得x 1+x 2=2k 2+4k2,x 1x 2=1从而有λ+1λ=2k 2+4k 2,由于λ=4,∴2k 2+4k 2=174,解得k =±43(舍负值),即直线A B 的斜率为43.(7分)…………………………………………………………(2)设直线A B 的倾斜角为α,由图可知α是锐角,则k =t a n α>0.S 1=S △A O B =12O F ㊃A B s i n α=12㊃4s i n 2α㊃s i n α=2s i n α.S 2=S △K O M =12O K ㊃KM =12㊃2t a n α=t a n α从而S 1㊃S 2=2s i n α㊃t a n α=2c o s α=21+t a n 2α=21+k 2.根据(1)知,2k 2+4k2=λ+1λ.令ϕ(λ)=λ+1λ,λ∈(1,+∞),下面证明ϕ(λ)是增函数.任取λ1,λ2∈(1,+∞),且λ1<λ2,则ϕ(λ1)-ϕ(λ2)=(λ1+1λ1)-(λ2+1λ2)=(λ1-λ2)(λ1λ2-1)λ1λ2,∵1<λ1<λ2,∴λ1-λ2<0,λ1λ2-1>0,λ1λ2>0,∴ϕ(λ1)-ϕ(λ2)<0,即ϕ(λ1)<ϕ(λ2).∴函数ϕ(λ)在(1,+∞)上是增函数.由于λ∈[2+3,3+22],∴ϕ(2+3)≤ϕ(λ)≤ϕ(3+22)即2+3+12+3≤λ+1λ≤3+22+13+22,即4≤λ+1λ≤6,从而4≤2k 2+4k 2≤6,∴1≤k 2≤2,∴2≤1+k 2≤3,∴22≤21+k 2≤23.即22≤S 1㊃S 2≤23.因此,S 1㊃S 2的取值范围是[22,23].(13分)……………………………………………………………………22.解:(1)f (-x )=1(-x )2e -1|-x |=1x 2e -1|x |=f (x ),∴f (x )是偶函数.(2分)……………………………………当x <0时,f (x )=1x 2e 1x f '(x )=-2x 3e 1x +1x 2e 1x (-1x 2)=-1x 4e 1x (2x +1)(4分)……………………………………………………………令f '(x )=0有x =-12,当x 变化时f '(x ),f (x )的变化情况如下表:由表可知:x(-∞,-12)-12(-12,0)f'(x )+0-f (x )增极大值减当x =-12时f (x )取极大值4e -2.(7分)…………………………………………………………………………(2)当x >0时f (x )=1x 2e -1x ,∴f (1x )=x 2e -x 考虑到:x >0时,不等式f (1x)<n !㊃x 2-n 等价于x 2e -x <n !㊃x 2-n ⇔x n <n !㊃e x (*)所以只要用数学归纳法证明不等式(*)对一切n ∈N *都成立即可(9分)………………………………………(ⅰ)当n =1时,设g (x )=e x -x ,(x >0)∵x >0时,g '(x )=e x -1>0,∴g (x )是增函数,故g (x )>g (0)=1>0,即e x >x ,(x >0)所以,当n =1时,不等式(*)都成立.(ⅱ)假设n =k (k ∈N *)时,不等式(*)都成立,即x k <k !㊃e x 当n =k +1时设h (x )=(k +1)!㊃e x -x k +1,(x >0)有h '(x )=(k +1)!㊃e x -(k +1)x k =(k +1)(k !㊃e x -x k )>0故h (x )=(k +1)!㊃e x -x k +1,(x >0)为增函数,所以,h (x )>h (0)=(k +1)!>0,即x k +1<(k +1)!㊃e x ,这说明当n =k +1时不等式(*)也成立,根据(ⅰ)(ⅱ)可知不等式(*)对一切n ∈N *都成立,故原不等式对一切n ∈N *都成立.(13分)…………………………………………………………………………。
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷(一)
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）在﹣0.3168中，用数字4替换其中的一个非0数字后，使所得的数最大，则被替换的数字是（）A．1B．3C．6D．8考点：有理数大小比较．专题：存在型．分析：先用4替换该数中任一不等于0的数，再根据负数比较大小的法则进行解答即可．解答：解：若使所得数最大，则替换后的数的绝对值应最小，当4替换3时所得数为：﹣0.4168；当4替换1时所得数为：﹣0.3468；当4替换6时所得数为：﹣0.3148；当4替换8时所得数为：﹣0.3164；∵0.4168＞0.3468＞0.3164＞0.3148，∴﹣0.4168＜﹣0.3468＜﹣0.3164＜﹣0.3148，∴﹣0.3148最大，∴被替换的数字是6．故选C．点评：本题考查的是有理数的大小比较，解答此题的关键是熟知两负数比较大小时，绝对值大的反而小．2．（3分）如图，线段AF中，AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（）A．5a+8b+9c+8d+5e B．5a+8b+10c+8d+5eC．5a+9b+9c+9d+5e D．10a+16b+18c+16d+10e考点：比较线段的长短．分析：首先求出以A为端点线段的长度，类比依次求出B、C、D、E为端点的线段的长度，然后求出这些线段的长度总和．解答：解：以A为端点线段有AB、AC、AD、AE、AF，这些线段长度之和为5a+4b+3c+2d+e，以B为端点线段有BC、BD、BE、BF，这些线段长度之和为4b+3c+2d+e，以C为端点线段有CD、CE、CF，这些线段长度之和为3c+2d+e，以D为端点线段有DE、DF，这些线段长度之和为2d+e，以E为端点线段有EF，线段的长度为e，故这些线段的长度之和为5a+8b+9c+8d+5e，故选A．点评：本题主要考查比较线段的长短的知识点，解答本题的关键是求出A，B，C，D，E，F为端点的所有线段的条数，本题不是很难．3．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（ac，b）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题．分析：根据二次函数的图象判断a、b、c的符号，再判断点P所在的象限．解答：解：抛物线开口向上，∴a＞0，抛物线对称轴y=﹣＞0，且a＞0，∴b＜0，抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴点P（ac，b）在第四象限．故选D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．4．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于（）A．B．C．12 D．考点：勾股定理；特殊角的三角函数值．分析：分别延长AD、BC，两条延长线相交于点E，构造特殊三角形ABE，其中有一个锐角是60°，∠A是90°，那么另一个锐角是30°，在Rt△CDE中，∠E=30°，有CD=10，可求DE，那么AE的长就求出，在Rt△ABE中，利用∠E的正切值可求出AB，在Rt△ABD中，再利用勾股定理可求斜边BD的长．解答：解：延长AD、BC，两条延长线相交于点E，∵在Rt△ABE中，∠A=90°，∠B=60°，∴∠E=90°﹣60°=30°．∴在Rt△DCE中，∠E=30°，CD=10，∴DE=2CD=20，∴AE=AD+DE=20+4=24．∴在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠E=AE•tan30°=×24=8，∴在Rt△ABD中，BD====4．故选A．点评：关键是作辅助线，构造特殊直角三角形，然后利用了勾股定理、特殊三角函数值解题．5．（3分）给出一列数，在这列数中，第50个值等于1的项的序号是（）A．4900 B．4901 C．5000 D．5001考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：观察数字可知分子分母的和为k的分数的个数为k﹣1，并且分子分母的和为偶数的项中，有一个值等于1，依此即可求出第50个值等于1的项的序号．解答：解：第50个值等于1的项的分子分母的和为2×50=100，由于从分子分母的和为2到分子分母的和为99的分数的个数为：1+2+…+98=4851．第50个值等于1的项为．故4851+50=4901．故选B．点评：本题考查了规律型：数字的变化，有一定的难度，找到分子分母的和与分数的个数的关系，以及分子分母的和为偶数的项中，有一个值等于1的规律是解题的关键．6．（3分）如图，⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为2，1．O1A为⊙O2的切线，AB 为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C，D，则CD+3PD的值为（）A．B．C．D．考点：相切两圆的性质．专题：计算题．分析：分别求出CD和PD的长度，再计算CD+3PD：（1）由相似关系求PD的长度．连接O1O2，则O1O2过P点，三角形O1PD相似于O1BO2，由相似关系求出PD；（2）由切割线定理求CD的长度．这个要分两步做：①由勾股定理求出O1A、O1B的长度．在直角三角形O1O2A和O1AB中，分别用勾股定理求出O1A、O1B的长度；②由切割线定理求O1D的长度．由切割线定理O1A2=O1D•O1B，所以O1D可求出来．而解答：解：连接O1O2，∵AO2=1，O1O2=3，∴AO1==2，∴BO1===2，∴由切割线定理O1A2=O1D•O1B，得O1D==，∴CD=O1D﹣O1C=﹣2，又∵cos∠O2O1B==，则PD2=4+﹣cos∠O2O1B=4+﹣×=，∴PD=，∴CD+3PD=﹣2+3×=．故选D．点评：本题考查了相切两圆的性质，三角形的相似以及性质，是重点知识，要熟练掌握．二、填空题7．（5分）已知，且a+b+c≠0，那么直线y=mx﹣m一定不通过第二象限．考点：一次函数的性质；等式的性质；比例的性质．专题：计算题．分析：根据比例的性质得到3a+2b=cm，3b+2c=am，3c+2a=bm，相加即可求出m的值是5，得出y=5x ﹣5，即可得出答案．解答：解：∵，∴3a+2b=cm，3b+2c=am，3c+2a=bm，∴5a+5b+5c=（a+b+c）m，∵a+b+c≠0，∴m=5，∴y=mx﹣m=5x﹣5，∴不经过第二象限．故答案为：二．点评：本题主要考查对一次函数的性质，比例的性质，等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知求出m的值是解此题的关键．题型较好．8．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=30°．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：数形结合．分析：根据三角形外角的性质，可得：∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠AED=∠EDC+∠C．解答：解：∵△ADE中，AD=AE，∴∠ADE=∠AED；∵∠AED=∠EDC+∠C①，而∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD②；∴②﹣①得：2∠EDC=∠B﹣∠C+∠BAD；∵AB=AC，∴∠B=∠C；∴∠EDC=∠BAD=30°．故答案为：30°．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，难度不大，注意等腰三角形性质的掌握与运用．9．（5分）如图，在直角△ABC中，AB=AC=2，分别以A，B，C为圆心，以为半径做弧，则三条弧与边BC围成的图形（图中阴影部分）的面积为．考点：扇形面积的计算；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：阴影部分的面积=三角形ABC的面积减去三个扇形的面积，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式计算即可．解答：解：三个扇形的面积S==，∴S阴影部分=S△ABC﹣S=•2•2﹣=2﹣．故答案为2﹣．点评：本题考查了扇形的面积公式：S=．也考查了三角形的面积公式．10．（5分）分解因式：2m2﹣mn+2m+n﹣n2=（2m+n）（m﹣n+1）．考点：因式分解-分组分解法．专题：计算题．分析：多项式有5项，采用分组分解法，1，2，5项结合，因式分解，再与3，4两项提公因式．解答：解原式=（2m2﹣mn﹣n2）+（2m+n）=（2m+n）（m﹣n）+（2m+n）=（2m+n）（m﹣n+1）．故答案为：（2m+n）（m﹣n+1）．点评：本题考查了分组解法进行因式分解，关键是分组后组与组之间可以继续进行因式分解．11．（5分）如图：四边形EFGH是一个长方形台球桌面，有白、黑两球分别位于A，B两点的位置上．试问，怎样撞击白球A，才能使白球A先碰撞台边GH，再碰撞FG，经两次反弹后再击中黑球B？（将白球A移动路线画在图上，不能说明问题的不予计分）考点：作图—应用与设计作图．专题：作图题．分析：分别作出点A关于HG的对称点A′，点B关于FG的对称点B′，然后连接A′B′，交HG、FG 于点M，N，再连接AM、BN，则白球A移动路线图可得．解答：解：（1）作出点A关于HG的对称点A′，点B关于FG的对称点B′，（2）连接A′B′，分别交HG、FG于点M、N，（3）连接AM，BN，所以白球A的移动路线为A→M→N→B．点评：本题是考查了作图问题的应用与设计作图，利用轴对称的性质作出对称点是解题的关键，难度中等．12．（5分）有三位学生参加两项不同的竞赛，则每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有两位学生参加的概率为．考点：列表法与树状图法．分析：先根据题意画出树状图，从图上可知每项竞赛只许有两位学生参加的情况有6种，共有8种解答：解：用A、B分别表示两项不同的竞赛，如图所示：每项竞赛只许有两位学生参加的情况是AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，共6种，则每项竞赛只许有两位学生参加的概率为=．故答案为：．点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[2]=2，[1.25]=1），则方程3x﹣2[x]+4=0的解为﹣4或﹣或﹣．考点：取整计算．分析：首先令[x]=n，可得方程3x﹣2n+4=0，即可求得x的值，然后由[x]≤x＜[x]+1，可得关于n的不等式组，解不等式组即可求得n的值，则代入方程即可求得x的值，注意要检验．解答：解：令[x]=n，代入原方程得3x﹣2n+4=0，即x=，又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤＜n+1，整理得：3n≤2n﹣4＜3n+3，即﹣7＜n≤﹣4，∴n=﹣4或n=﹣5或n=﹣6，∴当n=﹣4时，x=﹣4，当n=﹣5时，x=﹣，当n=﹣6时，x=﹣，经检验，x=﹣4或x=﹣或x=﹣是原方程的解．故答案为：﹣4或﹣或﹣．点评：此题考查了取整函数的知识．注意[x]≤x＜[x]+1性质的应用是解此题的关键．14．（5分）如图，是一个挂在墙壁上时钟的示意图．O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=8cm，l是过点O的铅直直线．现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M 到l的距离始终相等．则1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程（非蚂蚁在秒针上爬行的路程）是16πcm．考点：弧长的计算．分析：作出辅助线得出△OMN≌△Q2OP，进而得出∠OPQ2=∠NOM=90°，得出从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆，求出即可．解答：解：过M作MN⊥L于点N，过O作L的垂线交于点Q1，Q2，连接PQ2，则MN∥OQ2，∠M=∠MOQ2，∵OM=OQ2，MN=OP，∴△OMN≌△Q2OP，∴∠OPQ2=∠MNO=90°，∴点P在以OQ1为直径的圆上，同理点P在以OQ2为直径的圆上，从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆，移动的路程为：2×8π=16π．故答案为：16π．点评：此题主要考查了弧长的计算以及物体移动路线问题，此题综合性较强得出从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆是解决问题的关键．三、解答题15．（12分）已知A、B两地相距45千米，骑车人与客车分别从A、B两地出发，往返于A、B两地之间．如图中，折线表示某骑车人离开A地的距离y与时间x的函数关系．客车8点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶．（乘客上、下车停车时间忽略不计）①在阅读如图的基础上，直接回答：骑车人共休息几次？骑车人总共骑行多少千米？骑车人与客车总共相遇几次？②试问：骑车人何时与客车第二次相遇？（要求写出演算过程）．考点：一次函数的应用．专题：应用题；图表型．分析：（1）看图可知，折线图中有两段水平的线，故休息了两次，时间是两次之和（看横轴）；（2）根据题意，客车一小时行驶45千米，故它的图象是两小时一个来回．从左向右看，两条折线的第二个交点就是它们第二次相遇．求出EF的函数解析式就可以了，找到特殊点（9，0）和（10，45）用待定系数法可求出．解答：解：（1）依题意得：骑车人共休息2次；骑车人总共骑行90千米；骑车人与客车总共相遇8次；（2）已知如图：设直线EF所表示的函数解析式为y=kx+b．把E（9，0），F（10，45）分别代入y=kx+b，得，解得，∴直线EF所表示的函数解析式为y=45x﹣405，把y=20代入y=45x﹣405，得45x﹣405=20，∴．答：时骑车人与客车第二次相遇．点评：本题考查了一次函数的应用：通过表格当中的信息是解题关键；根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．此题比较复杂，首先是正确理解题意，这要求仔细观察图象，从图象中得到需要的信息，关键知道它们走的方向不同．此外还用到了待定系数法求函数解析式．16．（12分）如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的．①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC 都是等边三角形，求四边形ADFE的面积；②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可）考点：旋转的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：①最外沿大五边形等于一个正三角形+2个直角三角形，故可求其面积；用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果（三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）；②结论应该是：如果两个等腰三角形有公共顶点，则该图形可以看成是一个三角形绕着该顶点旋转θ度形成的．解答：解：①S FDAE=S DFECB﹣S△ABD﹣S△ABC﹣S△ACE，=S△BCF+S△BDF+S△CEF﹣S△ABD﹣S△ABC﹣S△ACE，=××5+﹣××3﹣×2×4﹣×3×4，=6；②结论：如果两个等腰三角形有公共顶角顶点，顶角均为θ，则该图形可以看成一个三角形绕着该顶点旋转θ形成的．点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形面积的计算，解题的关键是要把握图形的变换．17．（12分）在三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对应的边分别是a，b，c，其中a﹣b=2，CD⊥AB于D，BD﹣AD=2，求△ABC三边的长．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：设出斜边长和斜边上的高，利用锐角三角函数表示出a与b的和，再利用已知条件中的两边之差求得a和b的值即可．解答：解：设AB=c，CD=hBD=a×sinA=a×，AD=b×cosA=b×，BD﹣AD=﹣==2a﹣b=2a+b=（）×c两边同时平方得：c2+2ab=c2 ∴2ab=c2，∵ab=ch，∴ab=ch=c2，∴4h=ca2+b2﹣2ab=8c2﹣2ch=8c2﹣c2=8c=4a=+b=﹣点评：本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用锐角三角函数值表示出两直角边的和，然后利用已知条件求得两直角边的值．18．（12分）按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；②能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由．考点：因式分解的应用．分析：①将2与3分别代入求解，再取其最大的两个值依次代入即可求得答案；②找到规律：设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，即可得当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，然后求解即可．解答：解：①∵a=2，b=3，c1=ab+a+b=6+2+3=11，∴取3和11，∴c2=3×11+3+11=47，取11与47，∴c3=11×47+11+47=575，∴扩充的最大新数575；②5183可以扩充得到．∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）﹣1，∴c+1=（a+1）（b+1），取数a、c可得新数d=（a+1）（c+1）﹣1=（a+1）（b+1）（c+1）（a+1）﹣1=（a+1）2（b+1），即d+1=（a+1）2（b+1），同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）﹣1，∴e+1=（b+1）2（a+1），设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，又∵5183+1=5184=34×43，故5183可以通过上述规则扩充得到．点评：此题考查了因式分解的应用，解题的关键是找到规律设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数．19．（14分）如图，二次函数y=ax2+bx（a＞0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．①求实数k的值；②求二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式；③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式；④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题；解二元一次方程；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：①把A（1，4）代入即可；②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，根据S=S△ABQ﹣S△AOH﹣S△BNO﹣S矩形ONQH，和cd=4，求出c=2，d=2，得到B（﹣2，﹣2），把A（1，4）和B（﹣2，﹣2）代入抛物线得出方程组，求出方程组得解即可；③充分利用（﹣2，﹣2）这一坐标，由△DFE相似于△DBO求得EF的长（含m），再表示出F到x轴的距离，利用△EDB的面积减去△EDF的面积即可建立S与m的函数关系④S=m（1+﹣m），当m=时，S最大，把m=代入即可求出s，从而得到E的坐标．解答：解：①把A（1，4）代入得：k=xy=4，答：实数k的值是4．②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，则：S=S△ABQ﹣S△AOH﹣S△BNO﹣S矩形ONQH，即：3=（1+c）（4+d）﹣×1×4﹣cd﹣d×1，cd=k=4，解得：c=2，d=2，∴B（﹣2，﹣2），把A（1，4）和B（﹣2，﹣2）代入抛物线得：，解得：，∴y=x2+3x，答：二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式是y=x2+3x．⑨把y=0代入y=x2+3x得：x2+3x=0，解得：x1=0，x2=﹣3，∴D（﹣3，0），即OD=3，∵B（﹣2，﹣2），∴由勾股定理得：OB=2，∵EF∥OB，∴△DFE∽△DBO，∴=，∴=，∴EF=2﹣m，过F作FC⊥x轴于C，根据相似三角形的对应高之比等于相似比得：=，∴=，FC=S=S△EDB﹣S△EDF=DE×BM﹣FC×DE，即S=﹣m2+m，∴S与m的函数关系S=﹣m2+m．④S=﹣m2+m．当m=时，S最大，是，∴，答：在③的基础上，S存在最大值，S的最大值是，此时E点的坐标是（﹣，0）．点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，反比例函数的图象上点的坐标特征，解二元一次方程，三角形的面积，平行线的性质，勾股定理，函数的最值，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．。
雅礼中学初升高招生试题数学(二)
雅礼中学初升高招生试题（二）考生注意：本卷共二道大题，18道小题，考试时间为60分钟。
一、 填空题：每小题5分，满分40分。
1. 有一列数122007,,...,,a a a ，其任意相邻两个数的和是3，已知11a =，则122007...a a a +++的值是 。
2. 对任意实数,,,,a b c d ，规定abc d ad bc =-，则不等式22118x --<的解是 。
3. 已知220,4,b a a b ab >>+=，则a b a b+-等于 。
4. 若334x kx -+被31x -除后余3，则k 的值为 。
5. 已知：112a b -=，则223a ab b a ab b+-=-- 。
6. 如图，AB AC AD ==，如果DAC ∠是CAB ∠的k 倍，那么DBC ∠是BDC ∠的 倍。
7. 直线()y x b b 0=-+>与双曲线在第一象限的一支交于A B 、两点，与坐标轴交于C D ，两点，P 是双曲线上的点，且PO PD =，且P O B ∆的面积为1，则k = .8. 设a,b 是整数，方程有一个根是，则a b += 。
二、 填空题：每小题6分，满分60分。
9. 多项式12341231234()()()a a a a b b b c c c c ++++++++的展开后共有 项。
10. 已知,,a b c 为整数，222494612a b c a b c +++---<1，则111()abc a b c ++= 。
11. 如果a,b 为常数，关于x 的方程2236kx a x bx +-=+，无论k 为何值，它的解总是1，则2a b += . 12. 如图1，在等腰直角ΔABC 中，0A 90∠=，P 是ΔABC 内一点，PA 1PB 3==，，PC =CPA ∠的大小是 。
图一13. 如图2，点E F 、分别是正△ABC 的边AC AB 、上的点，AE BF =，BE CF 、相交于点P ，CQ BE ⊥于Q ，若P F 1P Q 3==，，则BE = 。
长沙市雅礼中学招生考试试题
长沙市雅礼中学理科实验班招生试题一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色•若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是 这一个正方体的展开图的是（）元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（）A a > bB a v bC 、a=bD 与a 和b 的大小无关4、若D 是厶ABC 的边AB 上的一点，/ ADCM BCA AC=6 DB=5,AABC 的面积是 5,则厶BCD 的面积是（）3、甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b 元，后来他又以每条6 cD__5、（2007?玉溪）如图，AEL AB 且AE=AB BCLCD 且BC=CD 请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图 形的面积S 是（ ）A 50B 、62C 、65D 686、如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为 a ,右图轮子上方的箭头指的数字为 b ,数对（a , b ）所有可能的个数为n ,其中a+b 恰为偶数的不同个数为m,则一等于（7、如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 勺顶点A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 4倍，则它们第2000次相遇在边（）A&已知实数a 满足.\ I 二-.. ，…一.-」"7■•.,那么a - 20062的值是（A 2005B 2006C 、2007D 2008、填空题（共 8小题，每小题5分，满分40分）A 2x%B 1+2x%C 、(1+x% x%D (2+x% x%B9、 小明同学买了一包弹球，其中•.是绿色的，背是黄色的，余下的是蓝色的•如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了 —_个弹球.10、 已知点A (1, 1)在平面直角坐标系中，在 x 轴上确定点P 使厶AOP 为等腰三角形.则符合条件的点 P 共有个.2 211、 不论 m 取任何实数，抛物线 y=x+2mx+m+m- 1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是 12、 将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球•已知：(1) 黄盒中的小球比黄球多； (2) 红盒中的小球与白球不一样多； (3) 白球比白盒中的球少.则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是_ _ .1313、 在梯形ABCD 中, AB// CD AC BD 相交于点O,若AC=5, BD=12,中位线长为于，△ AOB 的面积为$,△ COD 勺14、 已知矩形A 的边长分别为a 和b ,如果总有另一矩形 B ,使得矩形B 与矩形A 的周长之比与面积之比都等于k ,贝y k 的最小值为 __ .22432 23415、 已知 x 、y 均为实数，且满足 xy+x+y=17 , x y+xy =66，则 x +x y+x y +xy +y = _____________ . 16、 (2007?天水)如图，已知在OO 中，直径 MN=10正方形 ABCD 勺四个顶点分别在OO 及半径OM OP 上，并且三、解答题(共2小题，满分20分)17、甲、乙两班同时从学校 A 出发去距离学校75km 的军营B 军训，甲班学生步行速度为4km/h ，乙班学生步行速度为5km/h ，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h ，载人时的速度为 20km/h ，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？18、如图，已知矩形 ABCD AD=2, DC=4 BN=2AM=2MNP 在CD 上移动，AP 与DM 交于点 E , PN 交CM 于点F ,设四 边形MEPF 勺面积为S ,求S 的最大值.面积为S 2,则答案与评分标准一、选择题(共 8小题，每小题5分，满分40分)1、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色•若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是解答：解：选项C 中红色面和绿色面都是相邻的，故不可能是一个正方体两个相对面上的颜色都一样，故选 C.点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题.2、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%则第三季度的产值比第一季度的产值增长了()A 2x%B 1+2x%C 、(1+x% x%D (2+x% x%考点：一元二次方程的应用。
雅礼中学理科实验班初升高试卷4
雅礼中学理科实验班初升高试卷4英语试题四考试时间60分钟。
试卷满分100分第一节：单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分）从A、B、C、D四个选项中，选出一个可以填入空白处的最佳答案。
1.The second Sunday of May is Day.A. MothersB. Mother'sC. the MothersD. the Mother2.-- A latest Crazy English, please!--Only one magazine left. Would you like to have , Madam?A. thatB. thisC. oneD. it3.-- How far is it from our school to shopping mall?-- It is eight-minute walk from here.A. the;anB. /;anC. the;aD. /;a4.of the students in our class boys.A. Three-five;areB. Three-fifths;areC. Three-fifth;isD. Three-fives;is5.--Dad, could you buy me a hat like this?-- Certainly, we can buy one than this, but this.A. a more important; not as good asB. a better; better thanC. a cheaper; as good asD. a worse; as good as6.-- What's the time your watch?--8:00 a.m.A. onB. atC. inD. by7.-- Don't forget to close the windows when ou leave the lab. -- Of course I .A. didn'tB. don'tC. haven'tD. won't8.There a temple at the top of the hill.A. hasB. standC. standsD. have9.Soon you will find the road with thick snow.A. coverB. coveredC. coveringD. to cover10.-- Shall I telephone John?-- No, you . I've told him already.A. needn'tB. mustn'tC. can'tD. shan't11.There is a beautiful map on the wall, ?A. isn't itB. isn't thereC. is thereD. doesn't it12.fresh air it is!A. WhatB. What aC. HowD. Where/doc/d916308807.html,e here earlier, you will see Doctor Wang.A. butB. orC. thoughD. and14.I'm satisfied with he has done.A. whichB. whenC. whateverD. whichever15.Nobody but Tom and John in the library yesterday.A. wasB. wereC. has beenD. have been第二节：完形填空（共20小题；每小题1.5分，满分30分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从16-35各题所给的四个选项中，选出一个最佳答案。
2012年雅礼中学理科实验班招生考试数学试题
ABC EFO2012年长沙市雅礼中学理科实验班招生试题数 学（本卷原名：长沙市雅礼优生毕业测试卷）考生注意：本卷满分120分，考试时间150分钟。
一、填空题（请将最后答案填写在横线上。
每小题3分，本大题满分60分）1.在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC ；②∠ABE=∠DCE ；③AE=DE ；④∠A=∠D ；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC 不能构成等腰三角形的概率是______________.2．如图，“L ”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A 点切一刀，刀痕是线段EF.若阴影部分面积是纸片面积的一半，则EF 的长为________ ______.3. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两个动点，且CD ∥AB,若半圆的半径为1,则梯形ABCD 周长的最大值是 。
4. 已知2152522＝－－－x x ，则221525x x －＋－的值为 。
5. 一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点P （1，4），且分别与x 轴和y 轴的正半轴交于点A ，B ．点O 为坐标原点．当△AOB 面积最小时，k 和b 的值分别为 。
6. 如图，直线b kx y +=1过点A （0，2），且与直线mx y =2交于点P （1，m ），则关于x 的不等式组mx ＞kx +b ＞mx －2的解集是______________。
7. 已知实数a 满足2008a -a ，那么a －20082值是 。
8. 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于 。
9.设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …20072006x x -=1，则2000x 的值是 ．10. 在Rt △ABC 中,∠C ＝900,AC ＝3,BC ＝4.若以C 点为圆心, r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点,则r 的取值范围是___________ ．11. 已知a 、b 、c 满足6102b 2－＝，则代数式a ＋c 的值是 。
2012年湖南省长沙市雅礼雨花中学小升初数学试卷与解析
2012年湖南省长沙市雅礼雨花中学小升初数学试卷一、填空题（每小题5分，共75分）1．（5分）有数组{1，2，3，4}，{2，4，6，8}，{3，6，9，12}，…，那么第100个数组的四个数的和是．2．（5分）食堂有大米和面粉共351袋，如果大米增加20袋，面粉减少50袋，那么大米的袋数比面粉的袋数的3倍还多1袋，原来大米有袋，面粉有袋．3．（5分）兄弟俩比年龄，哥哥说：“当我是你今年岁数的那一年，你刚5岁．”弟弟说：“当我长到你今年的岁数时，你就17岁了．”哥哥今年岁，弟弟今年岁．4．（5分）一只汽船所带的燃料，最多用6小时，去时顺流每小时行15千米，回来是逆流每小时行12千米，这只汽船最多行出千米就需往回开．5．（5分）周老师给同学是发练习本，每人分7本还多出7本，如果每人多发2本，就有一个同学分不到，那么一共有个同学，个练习本．6．（5分）一个不为0的自然数与它本身相加、相减、相除所得的和、差、商再相加，结果是2011，那么原来的自然数是．7．（5分）将5、11、14、15、21、22六个数分成两组，要使其中一组三个数的积等于另一组三个数的积，则其中一组数分别是．8．（5分）一个数的小数点向右移动一位，则新数比原数大56.34，则原数是．9．（5分）用100个盒子装杯子，每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么至少有个杯子．10．（5分）某同学在计算一道除法时，误将除数35写成53，所得的商是35余12，正确的商与余数的和是．11．（5分）如图，有两个边长均为2厘米的正方形，其中以一个正方形的某一个顶点绕另一个正方形的中心旋转．某一时刻这两个正方形不重合部分的面积是．12．（5分）某校六年级有320位学生，其中至少有个人在同一个月生日．13．（5分）有一个长方形，它的长和宽各增加7厘米，这个长方形的面积就增加了161平方厘米，原来长方形的周长是厘米．14．（5分）甲乙二人环绕周长是400米的跑道跑步，如果两人从同一地点出发背向而行，那么经过2分钟两人相遇；如果两人从同一地点出发同向而行，那么经过20分钟两人相遇，已知甲的速度比乙的速度快，甲每分钟跑米．15．（5分）各位上的数字和是34的四位数一共有个．二、解答题（共25分）16．（9分）如图一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为9，18，14，图中阴影部分的面积是多少？17．（8分）已知0.123456789101112131415…是一个有规律的小数．（1）小数点后第100位上的数字是数．（填奇或偶）（2）小数点后第100位上的数字大小是．（3）探究并填空：小数点后第100位前（包括第100位）的数字之和是．18．（8分）甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要小时．2012年湖南省长沙市雅礼雨花中学小升初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共75分）1．（5分）有数组{1，2，3，4}，{2，4，6，8}，{3，6，9，12}，…，那么第100个数组的四个数的和是1000．【分析】要求“第100个数组的四个数的和”有两种可能：或者知道这四个数分别是多少；或者通过积来解答．（1）通过观察知道这串数组，各组数的和是10，20，30，40，…所以第100个数中的四个数的和是100×10=1000．（2）或者通过观察可以发现，每一组数括号中四个数的关系是：第一个数表示组数，第二个数是第一个数的2倍，第三个数是第一个的3倍，第四个数是第一个数的4倍．因此，第100个数组内的四个数分别是：（100，200，300，400）．【解答】解：方法一：这串数组，各组数的和是10，20，30，40．因此，第100个数中的四个数的和是100×10=1000．方法二：通过观察可以发现，每一组数括号中四个数的关系是：第一个数表示组数，第二个数是第一个数的2倍，第三个数是第一个的3倍，第四个数是第一个数的4倍．因此，第100个数组内的四个数分别是：（100，200，300，400）．所以，第100个数组的四个数的和是：100+200+300+400=1000．故答案为：1000．2．（5分）食堂有大米和面粉共351袋，如果大米增加20袋，面粉减少50袋，那么大米的袋数比面粉的袋数的3倍还多1袋，原来大米有221袋，面粉有130袋．【分析】可设原来大米有x袋，根据题意则面粉有（351﹣x）袋，根据等量关系：（大米的袋数+20）﹣3×（面粉的袋数﹣50）=1，由此可以列方程解决问题．【解答】解：设原来大米有x袋，根据题意则面粉有（351﹣x）袋，根据题意可得方程，（x+20）﹣3×（351﹣x﹣50）=1，x=221，351﹣221=130（袋）；答：原来有大米221袋，面粉130袋．故答案为：221，130．3．（5分）兄弟俩比年龄，哥哥说：“当我是你今年岁数的那一年，你刚5岁．”弟弟说：“当我长到你今年的岁数时，你就17岁了．”哥哥今年13岁，弟弟今年9岁．【分析】根据题意可知，两人的年龄差是一个不变量，无论当哥哥是弟弟今年的岁数时，还是当弟弟长到哥哥今年的岁数时，这个年龄差是不变的．由题意可设兄弟两人的年龄差为x岁，由题意可知弟弟今年的年龄就是（5+x）岁，哥哥今年的年龄就是（5+2x）岁，再根据题意可知，如果弟弟到了今年哥哥的年龄，也就是到了（5+2x）岁，哥哥就17岁了，可列出方程求出两人的年龄差是多少，就可以求出两人今年的年龄各是多少岁．【解答】解：设兄弟两人的年龄差为x，那么弟弟今年的年龄就是（5+x）岁，哥哥今年的年龄就是（5+2x）岁，根据题意如果弟弟到了今年哥哥的年龄，哥哥就17岁了，可得：5+2x+x=175+3x=173x=17﹣53x=12x=4则弟弟今年是：5+x=9（岁），哥哥今年是：5+2x=5+2×4=13（岁）．故填：13，9．4．（5分）一只汽船所带的燃料，最多用6小时，去时顺流每小时行15千米，回来是逆流每小时行12千米，这只汽船最多行出40千米就需往回开．【分析】要求这只汽船最多行出多少千米就需往返，可以先求出顺流的最长时间；根据路程不变，速度与时间成反比，进而根据按比例分配知识求出顺流的最长时间，继而计算得出结论．【解答】解：往返速度比为15：12=5：4，所以时间比为4：5，顺流最长时间：6×=（小时），15×=40（千米）；这只汽船最多行出40千米就需往返；故答案为：40．5．（5分）周老师给同学是发练习本，每人分7本还多出7本，如果每人多发2本，就有一个同学分不到，那么一共有8个同学，63个练习本．【分析】设有x个同学，每人发7本还多7本，那么有练习本表示为7x+7，每人多发2本，也就是每人发9本，就有一个同学分不到，练习本数量表示为9（x ﹣1）根据题意，7x+7=9（x﹣1）．【解答】解：设有x 个学生，7x+7=（7+2）×（x﹣1）7x+7=9x﹣92x=16x=87x+7=7×8+7=63（本）故填：8，63．6．（5分）一个不为0的自然数与它本身相加、相减、相除所得的和、差、商再相加，结果是2011，那么原来的自然数是1005．【分析】一个自然数与它本身相加得它的2倍，相减结果为0，相除结果为1，所以这个数为（2011﹣1）÷2，计算即可．【解答】解：（2011﹣1）÷2=2010÷2=1005答：原来的自然数是1005；故答案为：1005．7．（5分）将5、11、14、15、21、22六个数分成两组，要使其中一组三个数的积等于另一组三个数的积，则其中一组数分别是（5、21、22）和（15、14、11）．【分析】先把14、15、21、22分解质因数，看这六个数中共有哪几个质因数，再分摊在两组中，则两组数乘积相等．【解答】解：因为14=2×7，15=3×5，21=3×7，22=2×11，所以含有相同质因数的两个数不能在同一组，即两组分别为（5、21、22）和（15、14、11）．故答案为：（5、21、22）和（15、14、11）．8．（5分）一个数的小数点向右移动一位，则新数比原数大56.34，则原数是6.26．【分析】一个小数的小数点向右移动一位，相当于此数扩大了10倍，原数是1份数，现在的数就是10份数，现在的数比原数大9份数，再根据这个数就比原数大56.34，进一步求出原数即可．【解答】解：56.34÷（10﹣1）=56.34÷9=6.26答：原数是6.26．故答案为：6.26．9．（5分）用100个盒子装杯子，每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么至少有5050个杯子．【分析】因为每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么求至少有多少个，所以第一个盒子放一个被子，第二个放2个，第三个放三个，以此类推，那么被子总数就是1+2+3+4+…+100即可．改算式的算法是：因为第一个数1加上最后一个数100，等于第二个数2加上倒数第二个数99，等于第三个数3加上倒数第三个数98，即为收尾对称着加，其和都相等，从1到100共100个数，一个和是由两个数构成，所以和的个数是100÷2，据此解答即可．【解答】解：因为每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，要想让被子数量最少，那么只能是第一个盒子放一个被子，第二个放2个，第三个放3个，以此类推，第100个盒子放100个，1+2+3+4+…+100=（1+100）×100÷2=101×50=5050（个）答：那么至少有5050个被子．故答案为：5050．10．（5分）某同学在计算一道除法时，误将除数35写成53，所得的商是35余12，正确的商与余数的和是65．【分析】先根据有余数的除法各部分的关系可列算式35×53+12，求出正确的被除数，再找到正确的除数，求得正确的商与余数，相加即可求解．【解答】解：35×53+12=1855+12=18671867÷35=53 (12)商与余数的和：53+12=65答：商与余数的和是65；故答案为：65．11．（5分）如图，有两个边长均为2厘米的正方形，其中以一个正方形的某一个顶点绕另一个正方形的中心旋转．某一时刻这两个正方形不重合部分的面积是6平方厘米．【分析】给这图上的点命名，并作AB边上的垂线OD，由于O是正方形的中心，所以OD的长度是边长的一半1厘米；也△AOB的高，它的底是正方形的边长2厘米，由此求出△AOB的面积；△AOE的面积和△BOC的面积相等，所以△AOB的面积就是两个正方形重合部分四边形AEOC的面积；用两个正方形的面积减去2个重合部分的面积就是剩下不重合的面积．【解答】解：过O点做AB的垂线OD，那么OD=1厘米；S△AOB=2×1÷2=1（平方厘米）；△AOB的面积就是两个正方形重合部分四边形AEOC的面积，所以不重合部分的面积是：2×2×2﹣1×2=8﹣2=6（平方厘米）答：两个正方形不重合的部分面积的和是6平方厘米．故答案为：6平方厘米．12．（5分）某校六年级有320位学生，其中至少有27个人在同一个月生日．【分析】把12个月看作12个抽屉，把320人看作320个元素，那么每个抽屉需要放320÷12=26（个）…8（个），所以每个抽屉需要放26个，剩下的8个再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：26+1=27（个），所以，至少有27人的生日在同一个月，据此解答．【解答】解：320÷12=26（人）…8（人），26+1=27（人）；答：至少有27人的生日在同一个月．故答案为：27．13．（5分）有一个长方形，它的长和宽各增加7厘米，这个长方形的面积就增加了161平方厘米，原来长方形的周长是32厘米．【分析】由于原来长方形的长×7+原来长方形的宽×7+7×7=161平方厘米，根据乘法分配律可求原来长方形的长+宽，从而求得原来长方形的周长．【解答】解：如图，（161﹣7×7）÷7×2=（161﹣49）÷7×2=112÷7×2=32（厘米）；答：原长方形的周长是32厘米．故答案为：32．14．（5分）甲乙二人环绕周长是400米的跑道跑步，如果两人从同一地点出发背向而行，那么经过2分钟两人相遇；如果两人从同一地点出发同向而行，那么经过20分钟两人相遇，已知甲的速度比乙的速度快，甲每分钟跑110米．【分析】由题目条件可以求出二者的速度和与速度差，进而可求各自的速度．【解答】解：甲、乙的速度和是每分钟400÷2=200（米），甲、乙的速度差是每分钟400÷20=20（米），因此甲的速度是每分钟（200+20）÷2=110（米），乙的速度是每分钟200﹣110=90（米）．故答案为：110．15．（5分）各位上的数字和是34的四位数一共有10个．【分析】本题根据三位数各位上数字的和是24这一条件进行分析完成即可．由于各位上的数除百位外，由1﹣9中的数字组成，又24÷3=8，所以组成这个三位数的数字由可由6、7、8、9组成．6+9+9=24，7+8+9=24，8+8+8=24．据此列举完成即可．【解答】解：34=9+9+9+7=9+9+8+8①当四个数字是9、9、9、7时，有4个；②当四个数字是9、9、8、8时，有==6（个）所以一共有6+4=10（个）答：各位上的数字和是34的四位数一共有10个．故答案为：10．二、解答题（共25分）16．（9分）如图一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为9，18，14，图中阴影部分的面积是多少？【分析】根据长方形和三角形的面积公式可得：三角形ADE的面积+三角形ABF 的面积=这个长方形的面积，其中阴影部分的面积在三角形ADE和三角形ABF中重复加了2次，而三块面积分别为9、18、14的部分没有加进去，所以可得阴影部分的面积就等于这三块面积之和，由此即可解答．【解答】解：根据题干分析可得，阴影部分的面积是：9+18+14=41，答：阴影部分的面积是41．17．（8分）已知0.123456789101112131415…是一个有规律的小数．（1）小数点后第100位上的数字是奇数．（填奇或偶）（2）小数点后第100位上的数字大小是5．（3）探究并填空：小数点后第100位前（包括第100位）的数字之和是365．【分析】0.123456789101112131415…是一个有规律的小数，规律是自然数的依次排列，其中一位数1、2、3…9有9个数字，两位数10、11、…99有（99﹣10+1）×2=180个数字，所以第100为一定是某个两位数上的数字：（100﹣9）÷2=45…1，10+45=55，即第100为上的数字是5（第101位是5）；第100为前的数字为：1、2、3、4、5、…54、5，所以个位数字之和为：（1+2+…+9）×5+（1+2+3+4）×10+5×6+1+2+3+4=365．据此得解．【解答】解：（1）（2）0.123456789101112131415…是一个有规律的小数，规律是自然数的依次排列，其中一位数1、2、3…9有9个数字，两位数10、11、…99有（99﹣10+1）×2=180个数字，所以第100为一定是某个两位数上的数字：（100﹣9）÷2=45…1，10+45=55，即第100为上的数字是5（第101位是5）；是奇数；（3）第100为前的数字为：1、2、3、4、5、…54、5，所以各位数字之和为：（1+2+…+9）×5+（1+2+3+4）×10+5×6+1+2+3+4=365答：（1）小数点后第100位上的数字是奇数．（2）小数点后第100位上的数字大小是5．（3）小数点后第100位前（包括第100位）的数字之和是365．18．（8分）甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要35小时．【分析】把一池水的水量看作单位“1”，5小时甲乙两个水管共注水（+）×5=，离注满还有，这时打开丙管，求注满水池需要的时间，列式为÷（+﹣），解决问题．【解答】解：[1﹣（+）×5]÷（+﹣），第11页（共12页）第12页（共12页）=[1﹣（）×5]÷（）， =[1﹣×5]÷， =[1﹣]×80，=×80，=35（小时）；答：水池注满还要35小时． 故答案为：35．。
湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷
3．正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，设p ，则（ ）
A．p＞5B．p＝5
C．p＜5D．p与5的大小关系不确定
解析：∵a，b，c，d均为正数，且a+b+c+d＝1，
∴必有0＜a，b，c，d＜1
∵p ，
事实上我们在xOy坐标系中作出函数f（x） 的图象，
由 ，得b＜﹣2a，所以2a+b＜0；
由a﹣b+c＜0得（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0；
由a+b+c＞0得a+b＞﹣c＞0，因此（a+b）2﹣c2＞0，|b|＞|a|，b2﹣a2＞0．
综上所述，仅有（a+b）2﹣c2，b2﹣a2为正数．故选：A．
5．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示．图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（ ）
A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x2＞x3＞x1D．x3＞x2＞x1
解析：依题意，有x1＝50+x3﹣55＝x3﹣5＝＞x1＜x3，
同理，x2＝30+x1﹣20＝x1+10＝＞x1＜x2，
同理，x3＝30+x2﹣35＝x2﹣5＝＞x3＜x2．故选：C．
6．已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是﹣1≤a ．
解析：不等式ax+3≥0的解集为：
（1）a＞0时，x ，正整数解一定有无数个．故不满足条件．
2012年雅礼中学理科实验班招生考试理综试题
2012年长沙市雅礼中学理科实验班招生试题理科综合（本卷原名：长沙市雅礼优生毕业测试卷）考生注意：本卷满分120分，考试时间100分钟。
一、选择题（每小题有1个或2个答案。
每题2分，满分32分）1. 含有较多可溶性钙、镁化合物的水称为硬水，用硬水洗衣服既浪费肥皂也洗不干净。
加热硬水时间长了在锅炉内结垢容易产生爆炸。
下列有关说法正确的是A．加热硬水形成水垢是化学变化B．肥皂溶于硬水只发生物理变化，不发生化学变化C．加热硬水时只发生物理变化D．硬水可以增加人体所需钙元素，长期饮用有益健康2. 有一溶液是由盐酸、硫酸、硫酸铁、氯化铁、稀硝酸、硝酸铁几种中的两种混合而成，向该溶液中加Ba(OH)2溶液的体积与生成沉淀的质量关系如右图所示，则该溶液是A.硝酸、硝酸铁B.硫酸、氯化铁C.盐酸、氯化铁D.盐酸、硫酸铁3. 有Na、S、O、H四种元素中的二种或三种元素组成四种常见的化合物。
其中甲能跟氯化钡反应生成一种硫酸盐和另—种盐；乙能跟氢氧化钠反应生成盐和水；丙能跟盐酸反应生成盐和水；丁呈中性，且可以分别跟氧化钙或二氧化碳发生化合反应，生成相应的碱或酸。
下列推断：①甲—定是硫酸钠；②乙可能是硫酸；③丙—定是氢氧化钠；④丁—定是水。
其中正确的一组是A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④4. 用足量CO还原14克铁的氧化物的混合物，可以得到铁和CO2。
将生成的气体通入足量澄清的石灰水，可以生成25克沉淀。
则该铁的氧化物的混合物不可能是A.FeO、Fe3O4B. FeO、Fe2O3C. Fe2O3、Fe3O4D. FeO、Fe2O3、Fe3O45. t℃时，将一定量KNO3的不饱和溶液平均分为三份，分别恒温蒸发出水的质量为5 g、10 g、15 g，析出KNO3晶体的质量依次为a g、b g、c g，则a、b、c三者的关系为A．c == a + b B．c == 2 b－a C．c == a + 2 b D．c == 2 a －b6. 一定量的木炭在盛有氮气和氧气混合气体的密闭容器中燃烧后生成CO和CO2，且测得反应后所得CO. CO2. N2的混合气体中碳元素的质量分数为24%，则其中氮气的质量分数可能为A. 10 %B. 30 %C. 50 %D. 70 %7. 今有一混合物的水溶液，只可能含有以下离子中的若干种：Na＋、NH4＋、Ba2＋、Cl－、CO32－、SO42－。
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A
B C
E
F
O
2012年长沙市雅礼中学理科实验班招生试题 数 学
（本卷原名：长沙市雅礼优生毕业测试卷） 考生注意：本卷满分120分，考试时间150分钟。
一、填空题（请将最后答案填写在横线上。
每小题3分，本大题满分60分）
1.在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC ；②∠ABE=∠DCE ；③AE=DE ；④∠A=∠D ；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC 不能构成等腰三角形的概率是______________.
2．如图，“L ”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A 点切一刀，刀痕是线段EF.若阴影部分面积是纸
片面积的一半，则EF 的长为________ ______.
3. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两个动点，且CD ∥AB,若半圆的半径为1,则梯形ABCD 周长的最大值是 。
4. 已知
2
15252
2
＝－－－x x ，则
2
21525x
x －＋－的值为 。
5. 一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点P （1，4），且分别与x 轴和y 轴的正半轴交于点A ，B ． 点O 为坐标原点．当△AOB 面积最小时，k 和b 的值分别为 。
6. 如图，直线b kx y +=1过点A （0，2），且与直线mx y =2交于点P （1，m ），则关于 x 的不等式组mx ＞kx +b ＞mx －2的解集是______________。
7. 已知实数a 满足2008a -
＋a ，那么a －20082值是 。
8. 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果
AB =4，AO =26，那么AC 的长等于 。
9.设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …
20072006x x -=1，则2000x 的值是 ．
10. 在Rt △ABC 中,∠C ＝900,AC ＝3,BC ＝4.若以C 点为圆心, r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点,则r 的取值范围是___________ ．
11. 已知a 、b 、c 102b 2－＝，则代数式a ＋c 的值是 。
12．如果三位数abc (表示百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c 的三位数),且满足b ＜a 或b ＜c ，则称这个三位数为“凹数”。
那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是
13. 如图，已知在圆O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM ，OP 以及圆O 上，并且∠POM=45°，
则AB 的长为 . 14. 直线)0(>=a ax y 与双曲线x
y 3=交于),(11y x A 、),(22y x B 两点,则代数式122134y x y x -的值
是 .
15. 设0>>b a ，且ab b a 322=+，
b
a b a -+那么的值为_________。
16. 如图,△ABC 中,BE,DC 是△ABC 的内角平分线,DE=3,A,D,F,E 四点共圆,则△DEF 的内接圆半径为______。
17. 如图, 正方形ABCD 中, AB=AG ,EF ⊥AG , 若EG=4, FG=6, BM=23, 则MN=__ ____。
18. 设i=1,2,3,...,n, 且0<i x <1, i i x x x x x x ++++=+++...19...2121, 则n 的最小整数解为______。
19. 抛物线c bx ax y ++=2
, 交y 轴于一点A(0,1),交x 轴于M(0,1x ),N )0,(2x , 且210x x <<,过点A 的直线交x 轴于点C, 交抛物线于另一点B,且AMN BMN S S △△2
5=. 若△CAN 为等腰直角三角形,则抛物线的解析式为
______。
20. 29222
=++y xy x 的整数解共有______组。
二、解答题（请写出详细的解答或证明过程。
本大题共4小题，满分60分）
21.（本小题满分10分）已知关于x 的方程02=++a cx x 的两整数根恰好比方程02
=++b ax x 的两根
都大1，求c b a ++的值。
22.（本小题满分10分）如图(6),已知抛物线C :422
+-=x x y 和
直线l :82+-=x y .直线)0(>=k kx y 与抛物线C 交于两个不同的点A 、B ,与直线l 交于点P ,分别过A 、
B 、P 作x 轴的垂线,设垂足分别为111,,P B A .
(1)证明:
1
1
1
211OP OB OA =
+
;
(2)是否存在实数k ,使811=+B B A A ,如果存在,求出此时k 的值,如果不存在,请说明理由.
23.（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正数，且满足如下两个条件：
⎪
⎩
⎪
⎨⎧=-++-++-+=++4132ab c b a ac b a c bc a c b c b a
证明：以a 、b 、c 为三边长可构成一个直角三角形．
24.（本小题满分15分）已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．
求证：CD ＝GF ．
A
F
G
C
E
B
O
D
25.（本小题满分15分）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转.旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交轴于点N(如图).
（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；
（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；
（3）当旋转角θ为多少度时，△OMN的面积最小，并求出此时△BMN内切圆的半径.。