8第八讲不定积分与定积分的各种计算方法

合集下载

定积分和不定积分的计算方法总结

定积分和不定积分的计算方法总结一、不定积分的定义和基本性质不定积分是函数积分的一种形式，表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。

1.不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。

如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。

因此，∫f(x)dx = F(x) + C。

2.基本性质(1) 常数因子法则：若c是常数，则有∫cf(x)dx = c∫f(x)dx。

(2) 线性法则：若f(x)和g(x)都有原函数，则有∫(f(x) ±g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。

(3) 逐项积分法则：若f(x)的原函数为F(x)，g(x)的原函数为G(x)，则有∫(f(x) ± g(x))dx = F(x) ± G(x)。

(4) 分部积分法则：若f(x)和g(x)都具有原函数，则有∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫(F(x)g'(x))dx，其中F(x)为f(x)的一个原函数，g'(x)为g(x)的导数。

二、定积分的定义和计算方法定积分是计算函数在一个有限区间上的面积的数值，表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间。

1.定积分的定义设f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]分为n个小区间，长度为Δx，选择每个小区间上一点ξi，记为Δx = (b-a)/n，ξi = a + iΔx (i = 0,1,2,...,n)。

定义Riemann和为S(f, Δx, ξ) = Σf(ξi)Δx =f(ξ1)Δx + f(ξ2)Δx + ... + f(ξn)Δx。

当n趋于无穷大时，Riemann和的极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为∫[a,b]f(x)dx。

2.计算方法(1)几何意义：定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上曲线与x轴之间的面积。

定积分和不定积分的计算方法总结

6. 求不定积分
解：
(e2x ex 1)
机动目录上页下页返回结束
7. 已知
x2 dx A x 1 x2 B dx
1 x2
1 x2
求A,B.
解: 等式两边对 x 求导, 得
x2 A 1 x2 Ax2 B
1 x2
1 x2 1 x2
( A B) 2Ax2 1 x2
分项积分常用恒等变形方法加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
机动目录上页下页返回结束
思考与练习
1. 证明提示:
(P191题4)
2. 若
x2 f (ln x) d x
1 x2 C 2
提示:
ex
f (ln x) eln x 1 x
机动目录上页下页返回结束
机动目录上页下页返回结束
例1. 求
解: 原式
2x3x 32 x 22
x
dx

1
(
(3232))x2dxadxx

a
x
ln
a
dx

1
ln
2 3
d (32) x 1 (32)2 x

arctan(
2 3
)x

C
ln 2 ln3
机动目录上页下页返回结束
利用逆向思维
(1) kdx kx C
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x

1

C
( 1)
(3)

dx x

ln

定积分计算方法总结

定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1. 凑微分法
2. 裂项法
3. 变量代换法
1）三角代换
2）根幂代换
3）倒代换
4. 配方后积分
5. 有理化
6. 和差化积法
7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）
8. 降幕法
二、定积分的计算方法
1. 利用函数奇偶性
2. 利用函数周期性
3. 参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1. 积和式极限
2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3. 洛必达法则
四、定积分的估值及其不等式的应用
4. 等价无穷小
1.不计算积分，比较积分值的大小
1) 比较定理：若在同一区间［a,b ］上，总有
f(x)>=g(x )则力⑴必』》叫x
2) 利用被积函数所满足的不等式比较之
a)
smx /
b)当 0<x<兀/2 时，2 兀< 'V <1
估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在［a,b ］上连续，且其最大
值为M ，最小值为m 则
3.具体函数的定积分不等式证法
1) 积分估值定理
2) 放缩法
3) 柯西积分不等式
［j f(x)g(x)dx *2
rb rb
< I (/(x)) * 2dx 5(x)%2dx
4. 抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2. M(b-a)<='丿㈤处
v=M(b-a)
四、定积分的估值及其不等式的应用
2）积分中值定理
3）常数变易法
4）利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法。

不定积分与定积分的计算方法

不定积分与定积分的计算方法在数学中，积分是求解函数定积分和不定积分的一种重要方法。

不定积分和定积分之间有着不同的计算方法和应用场景。

本文将介绍不定积分和定积分的计算方法及其应用。

一、不定积分的计算方法不定积分，又称为原函数，是求解函数的反导函数。

不定积分记作∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。

不定积分的计算方法主要有以下几种：1. 常数项法则：如果f(x)是常函数，即f(x) = C，那么∫f(x)dx = Cx + k，其中k为常数。

2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n≠-1，那么∫f(x)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + k。

3. 三角函数法则：对于三角函数f(x) = sin x、cos x、tan x等，以及其倒数，可以利用基本积分公式进行计算。

4. 代换法则：当被积函数比较复杂时，可以通过代换变量来简化计算过程。

常用的代换包括三角代换、指数代换、倒数代换等。

二、定积分的计算方法定积分是对给定区间上的函数进行积分，可以得到一个数值结果。

定积分记作∫[a,b]f(x)dx，表示在区间[a,b]上对函数f(x)进行积分。

定积分的计算方法主要有以下几种：1. 几何意义法：定积分可以表示函数f(x)与x轴之间的有向面积，利用几何图形的面积计算方法来求解定积分。

2. 分割求和法：将积分区间[a,b]分成若干个小区间，通过求和来逼近定积分的值。

常用的分割求和方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。

3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。

利用牛顿-莱布尼兹公式，可以通过求解原函数来计算定积分。

三、不定积分与定积分的应用不定积分和定积分在数学和各个应用领域都有广泛的应用。

1. 几何应用：定积分被广泛用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线长度、曲线的旋转体体积等几何问题。

2. 物理学应用：定积分在物理学中有着重要的应用，例如计算质点的位移、速度、加速度等问题。

不定积分与定积分的计算与应用

与应用方法。假设我们需要计算函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分。根据定积分的定义，我们可以计算如下：
∫[1, 3] 2x dx
根据定积分的运算规则法，我们可以得到：
= [x^2]1^3
= (3^2) - (1^2)
= 9 - 1
= 8
因此，函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分为8。
不定积分与定积分的计算与应用
在数学中，积分是微积分的重要概念之一。不定积分与定积分是积分的两种形式，它们在实际问题求解中具有广泛的应用。本文将深入探讨不定积分与定积分的计算方法以及它们在应用中的具体应用。
一、不定积分的计算与应用
不定积分，也叫原函数或者反导数，是求导运算的逆运算。不定积分的计算方法主要有一些常见的积分公式和积分技巧，例如线性积分法、换元积分法、分部积分法等等。在应用中，不定积分可以用来求函数的原函数，进而求解定积分或者解微分方程。
除了计算曲线下的面积之外，定积分还可以用来解决一些变化率相关的问题。例如，在物理学中，可以通过对速度函数进行定积分，求解位移函数，进而分析物体的运动情况。在经济学中，可以通过对需求函数进行定积分，求解消费总量，进而分析市场的变化情况。
结论
综上所述，不定积分与定积分是积分的两种形式，它们在数学中具有重要的地位和广泛的应用。通过合理的计算方法和技巧，可以准确地求解函数的不定积分和定积分，并在实际问题中得到具体的应用。不定积分可以用来求函数的原函数，解微分方程等；定积分可以用来计算曲线下的面积，求解平均值，分析变化率等。在学习和应用中，我们应该深入理解积分的概念和性质，掌握不同类型积分的计算方法和应用技巧，提高数学分析和问题求解的能力。
下面我们通过一个具体的例子来说明不定积分的计算与应用方法。假设我们需要计算函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1的不定积分。首先我们可以利用幂函数积分的常见公式来计算x的幂函数的不定积分：

数学分析第八章不定积分

(2) f '(x)dx f (x) C,先导后积需加上一个任常数
或 df (x) f (x) C.
精品文档
3 不定积分的几何意义函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。函数f(x)的积分曲线有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。
结论: 若函数F为f 在区间I上的一个原函数,则 {F(x) c | c R}为f 在I上的原函数全体.
精品文档
(二) 不定积分
1. 定义2：函数f (x)在区间I上的全体原函数, 称为f 在I上的不定积分，记作
f (x)dx
(3)
积分号被积函数积分变量
注1. 符号 f (x)dx 是一个整体记号.
1 (102x 102x ) 2x c 2 ln 10
精品文档
8) sec2 xdx tanx C
8 (tanx)' sec2 x
9) csc2 xdx cotx C 9 (cotx)' csc2 x
10) dx arcsin x C 10 (arcsin x)' 1
1 x2
1 x2
11)
dx 1 x2
arctanx C
11
(f g) = f g + f g ,
(f [ ]) = f [ ] 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式，我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f 为初等函数， f 的表达式能求出.
精品文档
我们现在来研究第五章求导问题的逆问题。
问题：在已知 f 的表达式时，f 的表达式是什么形式呢？
1 (arctanx)' 1 x2
精品文档

定积分与不定积分的计算方法与应用

定积分与不定积分的计算方法与应用积分是微积分的重要概念之一，分为定积分和不定积分。

它们在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍定积分和不定积分的基本概念、计算方法以及在实际问题中的应用。

一、定积分的概念与计算方法定积分是对连续函数在一个闭区间上求和的极限过程。

为了更好地理解定积分的概念，我们以一个具体的例子开始。

假设有一辆以恒定速度行驶的汽车，我们希望计算在一个特定时间段内汽车行驶的总路程。

这个问题可以通过定积分来解决。

首先，我们将时间段划分成许多小的时间段，每个小时间段的长度为Δt。

然后，我们假设在每个小时间段Δt内，汽车的速度保持不变。

因此，每个小时间段内汽车行驶的路程可以表示为速度乘以时间，即v(Δt)。

将所有小时间段内的路程累加起来，就可以得到总路程。

当Δt 趋近于0时，这个累加过程就变成了定积分。

定积分的计算公式为：∫abf(x)dx = limΔt→0 Σf(x)Δt其中，a和b分别表示积分的上下限，f(x)表示被积函数。

具体的计算方法有很多种，常见的有换元法、分部积分法、简单替换和直接计算等。

根据被积函数的形式和计算的难易程度，我们可以选择不同的计算方法。

二、不定积分的概念与计算方法不定积分是对函数的积分，是定积分的逆过程。

不定积分可以看作是具有一定自由度的积分，在计算中引入一个常数项。

不定积分的计算方法主要有几种常见的技巧。

其中，最基本的方法是反复使用导数的基本性质。

即在求解不定积分时，我们通过寻找某个函数的导数为被积函数来求解不定积分。

例如，如果被积函数为f(x)，我们需要找到一个函数F(x)，它的导数等于f(x)，即F'(x) = f(x)。

那么不定积分∫f(x)dx就可以表示为∫F'(x)dx = F(x) + C。

这里，C表示常数项，它表示对于不定积分的任意一个解，我们可以通过改变常数项的大小得到其他的解。

三、定积分和不定积分的应用定积分和不定积分在实际问题中有着广泛的应用。

讲不定积分与定积分的各种计算方法

泰山学院信息科学技术学院教学设计数值剖析教研室课程名称高等数学研究讲课对象讲课题目第八讲不定积分与定积分地各样计算方法课时数2教学设计经过教学设计使学生掌握不定积分与定积分地各样计算方法 .目地重1 不定积分地观点点不定积分地计算2难点3 定积分地计算第八讲不定积分与定积分地各样计算方法1.不定积分1.1不定积分地观点原函数；原函数地个数；原函数地存在性；定积分；一个重要地原函数.1.2不定积分地计算教(1> 裂项积分法； (2> 第一换元积分法； (3> 第二换元积分法学提(4> 分部积分法纲2.定积分(1> 基本积分法；(2> 切割地区办理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数(3> 利用函数地奇偶性化简定积分(4>一类定积分问题教教学设计过程与内容案后记第八讲不定积分与定积分地各样计算方法一、不定积分1不定积分地观点间原函数：若在区间原函数地个数:若上地原函数；若可见,若,则上 F ( x) f (x) ,则称 F ( x) 是地一个原函数是在区间上地一个原函数,则对,也是在区间上地原函数,则必有地全体原函数所成会合为{│Ｒ}...都是在区原函数地存在性:连续函数必有原函数.不定积分：地带有随意常数项地原函数称为地不定积分.记作 f ( x)dxf ( x) 在区间上连续 , a I ,则x一个重要地原函数：若 f (t) dt 是地一个原函数 .a2不定积分地计算(1> 裂项积分法例 1：x 41dx x412dx (x 212)dxx 21x21x21x3x 2 arctan x C .3例 2：dx cos2x sin 2 x dx(csc2x sec2 x)dxcos2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x例 3：dx( x21)x2dx dx dx1arctan x C2 ( x21)x2 ( x21)x2 1 x xx2(2> 第一换元积分法有一些不定积分 , 将积分变量进行适合地变换后 , 便可利用基本积分表求出积分 . 比如 , 求不定积分 cos 2xdx ,假如凑上一个常数因子2,使成为cos 2xdx 12 xdx11cos x cos2xd 2x sin 2x C 222例 4：3dx d x2d x2arctan x C x 1 x2x211x例 5：dx1 d 111 d1x 2 1 x2 1 x2x x1x12x22121111211 d1 d 122x2x x 11x11 2 12例 6：arctan xx(1dxx)2221C11xCxarctan x t x arctant 2 1 x d x21 t 2dt2 arctant d (arctant ) (arctgt ) 2 c (arctg x )2 c .(3> 第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式地不定积分, 代换方法以下：被积函数包括n ax b ,办理方法是令n ax b t,x1(t n b) 。

定积分与不定积分的计算方法

添加标题
定义：牛顿-莱布尼茨公式是定积分与不定积分之间的联系公式，表示定积分等于不定积分的一个原函数在积分上下限之间的差值。
添加标题
公式形式：∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中∫baf(x)dx表示定积分，F(x)是f(x)的一个原函数，F(b) 和F(a)分别是F(x)在b和a处的函数值。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
计算步骤： a. 确定中间变量，并写出相应的等价变换； b. 利用不定积分计算新变量的积分； c. 将新变量的积分还原为原变量的积分。
a. 确定中间变量，并写出相应的等价变换； b. 利用不定积分计算新变量的积分； c. 将新基础方法之一，对于掌握不定积分的计算具有重要意义。
定积分的计算方法
第二章
直接积分法
定义：直接积分法是通过直接计算积分来求解定积分的
方法。
适用范围：适用于被积函数容易积分的情
况。
计算步骤：首先将被积函数进行不定积分，然后利用不定积分与定积分的联系，求出定积分的值。
添加标题
应用范围：牛顿-莱布尼茨公式适用于任何在区间[a,b]上连续的函数f(x)，只要该函数有一个原函数。
添加标题
意义：牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的基本公式之一，它建立了定积分与不定积分之间的联系，使得定积分的计算可以通过求不定积分的方法来解决。
定积分与不定积分的转换关系
定积分与不定积分都是微积分的基本概念，它们之间存在密切的联系。不定积分是求函数的原函数或反导数的过程，而定积分则是计算某一区间上函数的积分值。定积分与不定积分之间可以通过微积分基本定理相互转换。微积分基本定理将不定积分与定积分联系起来，通过不定积分可以计算定积分，反之亦然。

不定积分与定积分的运算

不定积分与定积分的计算1.不定积分1.1不定积分的概念原函数：若在区间上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数.原函数的个数: 若是在区间上的一个原函数, 则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有.可见，若，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。

记作⎰dx x f )(一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则⎰xa dt t f )(是的一个原函数。

1.2不定积分的计算(1)裂项积分法例1：C x x x dx x x dx x x dx x x ++-=++-=++-=++⎰⎰⎰arctan 23)121(121113222424。

例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 22222222 例3：222222(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰(2)第一换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。

例如，求不定积分cos 2xdx ⎰，如果凑上一个常数因子2，使成为()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =•=⎰⎰⎰C x +=2sin 21 例4：()3221C===+例5：11x x⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭2112x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1222111112d x x -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰12211212C Cx ⎡⎤⎛⎫=-⋅++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦例6： ⎰⎰⎰+=====+=+=dt t tx d x x dx x x xx t 21arctan 21arctan 2)1(arctan ⎰+=+==c x arctg c arctgt t d t 22)()()(arctan arctan 2.(3)第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下：被积函数包含n b ax +,处理方法是令)(1,b t ax t b ax nn -==+; 被积函数包含)0(22>-a x a ,处理方法是令t x t x cos sin ==或;被积函数包含)0(22>+a x a ,处理方法是令t x tan =;被积函数包含)0(22>-a a x ,处理方法是令t x sec =; 例7：计算()220a x dx a ->⎰解：令sin ,,arcsin ,22xx a t t t a x a aππ=-≤≤=-≤≤则，且 22cos cos ,cos ,a x a t a t dx a tdt -===从而22a x dx -⎰=()222cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭由图2.1知22sin cos xa x t t a -==所以22a x dx -⎰=2222arcsin 22a x a xa x C a -+⋅+=222arcsin 22a x x a x C a +-+例8:⎰⎰⎰⎰==-++-=-=====-= t dtdt t t dt t x x dxxt 16)1(6162326 c x x x +⎪⎭⎫⎝⎛-++-=6361ln 216.(4)分部积分法当积分⎰)()(x dg x f 不好计算,但⎰)()(x df x g 容易计算时,使用分部积分公式:)()()()()()(⎰⎰-=x df x g x g x f x dg x f .常见能使用分部积分法的类型:(1)⎰dx e x x n ,⎰xdx x n sin ,⎰xdx x n cos 等,方法是把x x e x cos ,sin ,移到d 后面,分部积分的目的是降低x 的次数(2)⎰xdx x m n ln ,⎰xdx x m n arcsin ,⎰xdx x m n arctan 等,方法是把n x 移到d 后面,分部几分的目的是化去x x x arctan ,arcsin ,ln .例9:2222x x x x x e dx x de x e e xdx ==-⋅=⎰⎰⎰2222()x x x x x e xdx x e xe e dx -=--=⎰⎰2(22)x e x x C-++例10:2ln 111ln ln ln x dx xd x d x x x x x ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰211ln (ln 1)dx x x Cx x x -+=-++⎰例11: 23(16)arctan arctan (2)x xdx xd x x +=+=⎰⎰()33222arctan 1x x x x x dx x ++-=+⎰()322arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫+--=⎪+⎝⎭⎰()()32212arctan ln 12x x x xx C +-+++例12: ⎰⎰⎰+==xdx x x x xd xdx 22sin sin cos sin cos cos = ⎰-+=xdx x x x 2cos sin cos ，解得 ⎰++=c x x xdx 2sin 412cos 2. 例13: ⎰⎰⎰⎰-==⋅=xtgxdx tgx xtgx xdtgx xdx x xdx sec sec sec sec sec sec 23=⎰⎰⎰=+-=--xdx xdx xtgx xdx x xtgx sec sec sec sec )1(sec sec 32 =⎰-++xdx tgx x xtgx 3sec |sec |ln sec ,解得 ⎰=xdx 3sec c tgx x xtgx +++|sec |ln 21sec 21. 以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧例14 设函数)(x f 的一个原函数是,sin xx求⎰'dx x f x )(。

不定积分定积分word精品文档11页

不定积分例：设()F x 是()f x 的原函数，()G x 是1()f x 的原函数，且()()1,(0)1F x G x f =-=，求()f x 。

由1()()1()()F xG x F x G x =-⇒=-，两边求导 2222'()111'()()()()()()G x F x f x G x G x f x G x ==⇒=11(), '()'()()()()f x G x G x G x G x f x =±=⇒=±Q 1()(),(0)1()x x x G x ce f x c e f f x e ±±⇒=⇒==⇒=m Q例：设()y f x =单调连续、可导，()x y ϕ=是它的原函数，若()()f x dx F x c =+⎰，求()y dy ϕ⎰()()()()()() ()(())y dy xdf x xf x f x dx xf x F x c y y F y cϕϕϕ==-=-+=-+⎰⎰⎰例：设()y f x =由方程22()y x y x -=确定的隐函数，求21dx y ⎰ 注：将21y 用x 表示，dx 用dy 表示，难！令y tx =，代入原式22223211(23)(),,(1)(1)(1)t dtt x x tx x x y dx t t t t t t -+-=⇒===---原式=1332ln 32ln t y ydt t t c c t x x-+=-+=-+⎰注：这种求隐函数的不定积分，一般都是通过变量变换将,x y 用同一参数表示出来，然后求解例：设()y f x =由方程2()y x y x -=确定的隐函数，求3dxx y-⎰ 令x y t -=例：22224444111111121211dx x x x x dx dx dx x x x x ⎡⎤-++-+==+⎢⎥++++⎣⎦⎰⎰⎰⎰22121422111111()1()2x x x x x dx dx d x c x x x x --==--=++++-⎰⎰⎰22121422111111()1()2x x x x x dx dx d x c x x x x ++==-=+++-+⎰⎰⎰ 440211dx dx x x +∞+∞-∞=++⎰⎰令1x t =，2244000411111dx dx t dx t x t t+∞+∞+∞==+++⎰⎰⎰ 24401211dxx dx x x +∞+∞-∞+=++⎰⎰ 分段函数的不定积分例：sin(1) 1()ln 1x x f x x x x -<⎧=⎨≥⎩，求()f x dx ⎰。

不定积分与定积分

不定积分与定积分一、不定积分概念原函数：如果()()I ,f F ∈='x x x ，那么()x F 就称为()x f 在区间I 上的一个原函数。

注意：①如果()()I f F 在是x x 上的一个原函数，那么()()I f F 在也是x c x +上的原函数；②如果()()()I f G ,F 在都是x x x 上的一个原函数，那么()()I ,G F ∈=-x c x x 。

不定积分：把区间I 上的原函数全部称为()I f 在区间x 上的不定积分，记为()dx x ⎰f 。

()()()()c x x d dx x dx x d +==⎰⎰F F ,f f ，()()dx x k dx x k ⎰⎰=f f ，()()[]()()⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x g f g f 。

二、不定积分法⑴第一换元法（凑微分法）定理1设()x f 具有原函数，()x u ϕ=可导，则()()()()()⎰⎰=='du u dx x x x u f f ϕϕϕ。

常见凑微分形式： ①()()()b ax d b ax a dx xb ax ++=+-αααααf 1f 1，特别有 ()()()()()()B ax d b ax axdx b ax b ax d b ax a dx b ax ++=+++=+222f 21f ,f 1f ， ()()x d x xdx f 2x f=。

②()()xxxx d dx e e f e e f = ③()()()();1ln 111ln 1;ln ln 1;ln ln f ln f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x d x d x x x d dx x x d x x dx xxx d dx x x ln ln 12=-。

④;cot csc ;tan sec ;sin cos ;cos sin 22x d xdx x d xdx x d xdx x d xdx -===-=().1ln 1;arctan 1;srcsin 12222±+=±=+=-x x d x dx x d x dx x d xdx 可见，任何微分公式及积分公式都可用来凑微分。

定积分公式和不定积分公式

定积分公式和不定积分公式定积分公式和不定积分公式数学中，积分是一个非常重要的概念。

根据积分的算法分类，可以分为定积分和不定积分两种类型。

在这两种类型之间，有着一系列的公式存在，下面将会对定积分公式和不定积分公式进行详细讨论。

一、定积分公式定积分公式是求解定积分时需要用到的一种数学公式。

在定积分的基础上，使用定积分公式可以极大的方便计算的过程，加快处理的速度。

常见的定积分公式有：（1）基本积分公式指数函数积分：$$\int e^xdx=e^x+C$$幂函数积分：$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$三角函数积分：$$\int \sin x dx=-\cos x+C$$$$\int \cos x dx=\sin x+C$$$$\int \tan x dx=\ln |\sec x|+C$$$$\int \cot x dx=\ln |\sin x|+C$$（2）换元积分公式逆元未知法：$$\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C$$公式法：$$\int f(x)dx=\int \frac{f(ax+b)}{a}dx$$二、不定积分公式不定积分公式是一个求解不定积分的方法。

使用不定积分公式可以把不定积分转化为已知函数与常数的和。

常见的不定积分公式有：（1）基本积分公式指数函数积分：$$\int e^xdx=e^x+C$$幂函数积分：$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$三角函数积分：$$\int \sin x dx=-\cos x+C$$$$\int \cos x dx=\sin x+C$$（2）分部积分公式$$\int udv=uv-\int vdu,$$其中 $u$ 和 $v$ 分别为积分中的两个函数。

通过这样的分部积分，可以将一个较难求的积分，将其转化为两个较容易求的积分。

（3）三角代换公式$$\int R(\sin x,\cos x)dx$$此处，$R(\sin x,\cos x)$ 是一个使用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 组成的有理函数。

不定积分的计算ppt课件

1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法
1

不定积分与定积分的各种计算方法

不定积分与定积分的各种计算方法一、不定积分的计算方法：1.初等函数不定积分法：基于已知的初等函数的不定积分公式，例如导数的逆运算。

例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数、对数函数等，都存在常用的不定积分公式。

例如，对于函数f(x)=x^n(n≠-1)，不定积分的结果为F(x)=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为任意常数。

2.换元法：也称为反链式法或u-替换法，通过引入新的变量替换积分变量，以简化积分表达式。

这种方法需要根据被积函数的特点选择适当的替换变量。

例如，对于含有根式的积分，可以通过引入新的变量将积分化为有理函数积分。

3.分部积分法：也称为积化和差减法，将积分运算转换为两个函数的乘积的积分运算，通常用于乘积的积分。

根据乘积法则，可以将积分转化为函数间的和差表达式，从而得到一个更容易求解的积分。

4.特殊函数的不定积分：一些特殊函数的不定积分需要特殊的处理，例如三角函数的不定积分、反三角函数的不定积分等。

这些特殊函数的不定积分可以通过使用特殊的积分公式或者简化技巧进行计算。

5.利用递推关系：在一些情况下，可以通过利用函数的递推关系进行不定积分的计算。

例如，对于多项式函数f(x)=(x-a)^n，可以通过多次使用求导的反向应用从高阶幂递推到低阶幂。

二、定积分的计算方法：1.几何与图形面积法：定积分可以解释为曲线与坐标轴之间的面积或图形的面积。

根据几何图形的特点，可以使用几何图形的面积公式计算定积分的值，例如长方形面积公式、三角形面积公式等。

2.定积分的性质：定积分具有一些重要的性质，例如线性性、区间可加性、区间可减性等。

利用这些性质，可以将复杂的函数表示为若干个简单的函数之和或差，从而进行定积分的计算。

3.换元法：与不定积分类似，定积分也可以通过引入新的变量来简化积分表达式。

需要注意的是，换元法在定积分中还需要考虑积分上下限的转换。

4.分部积分法：与不定积分类似，定积分也可以使用分部积分法进行计算。

8第八讲不定积分与定积分的各种计算方法

当积分不好计算,但容易计算时,使用分部积分公式: .常见能使用分部积分法的类型:
(1) , , 等,方法是把移到d后面,分部积分的目的是降低x的次数
(2) , , 等,方法是把移到d后面,分部几分的目的是化去 .
例9:
例10:
例11:
例12: =
，
解得 .
例13:
=
= ,
解得 .
【点评】以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧
原函数；原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数。
1.2不定积分的计算
(1)裂项积分法；(2)第一换元积分法；(3)第二换元积分法
(4)分部积分法
2.定积分
(1)基本积分法；
(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数
(3)利用函数的奇偶性化简定积分
(4)一类定积分问题
计算?xx?2dx036解?xx?2dx?03?20x2?xdx??32xx?2dx?83例18计算?maxx1?xdx01310解?maxx1?xdx?21?xdx?0?112xdx?453利用函数的奇偶性化简定积分??0fxdx??afxdx???0当fx是奇函数当fx是偶函数?1a?a例19计算?x?1?x22dx?1解?x?1?x22dx?1dx?2??1?1111?12x1?xdx202例20计算?x?xe?11?xdx解?x?xe?11?xdx?xe?11?xdx??1?1xe?xdx?0?2?xe01?xdx?2?4e2x?1?例21计算?4?esin1?exx?4dx分析被积函数即不是奇函数又不是偶函数无法利用函数的奇偶性化简
【分析】被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。

不定积分与定积分的概念与计算方法

不定积分与定积分的概念与计算方法概念介绍在微积分中，积分是一个重要的概念，它分为不定积分和定积分两种形式。

不定积分也被称为原函数，而定积分则是对某个函数在某个区间上求和的结果。

本文将对这两种积分的概念进行详细介绍，并探讨它们的计算方法。

不定积分不定积分是对函数的积分运算。

给定一个函数f(x)，它的不定积分记作∫f(x)dx。

其中∫称为积分号，f(x)为被积函数，dx表示对自变量x进行积分。

不定积分的结果是一个新函数，被称为原函数或不定积分。

即∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)为原函数，C为常数。

不定积分的计算方法多种多样，常用的有换元积分法、分部积分法和特殊函数积分法。

换元积分法是通过变量代换将被积函数转化为另一种形式，以便进行简化。

分部积分法是通过将被积函数分解为乘积的形式，再进行积分运算。

特殊函数积分法是根据特定函数的性质，采用相应的积分公式来计算。

定积分定积分是对函数在某个特定区间上的积分运算。

给定一个函数f(x)，定义域为[a,b]，定积分记作∫[a,b]f(x)dx。

定积分的结果是一个数值。

它表示函数f(x)在区间[a,b]上的累积和，也可以理解为曲线与x轴之间的有向面积。

定积分可以用于计算函数的平均值、曲线长度、曲线下面积等。

定积分的计算方法主要有基本定积分法和换元积分法。

基本定积分法是根据函数的特性，采用不同的积分公式来计算。

换元积分法也可以用于定积分的计算，通过变量代换将被积函数进行简化，再进行求解。

计算方法示例为了更好地理解不定积分与定积分的计算方法，以下分别给出一个例子。

不定积分示例：求函数f(x) = 2x的不定积分。

解：根据不定积分的定义，∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)为原函数，C为常数。

对于函数f(x) = 2x，它的不定积分为∫2xdx = x^2 + C，其中C为常数。

定积分示例：计算函数f(x) = x在区间[0,1]上的定积分。

8第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法

定积分和不定积分的计算方法总结

定积分和不定积分的计算方法总结

定积分计算方法总结

不定积分与定积分的计算方法

不定积分与定积分的计算与应用

数学分析第八章 不定积分

定积分与不定积分的计算方法与应用

讲不定积分与定积分的各种计算方法

定积分与不定积分的计算方法

不定积分与定积分的运算

不定积分定积分word精品文档11页

不定积分与定积分

定积分公式和不定积分公式

不定积分的计算ppt课件

不定积分与定积分的各种计算方法

8第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法

不定积分与定积分的概念与计算方法

8第八讲不定积分与定积分的各种计算方法

数学分析第八章不定积分

8第八讲不定积分与定积分的各种计算方法