圆的极坐标方程

圆的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程
f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)
＝0叫做曲线C 的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表
圆心位置 极坐标方程
图形
圆心在极点(0，0)
ρ＝r
(0≤θ<2π)
圆心在点(r ，0)
ρ＝2r cos θ
(－
π2
≤θ<π2
)
圆心在点(r ，π
2
)
ρ＝2r sin θ
(0≤θ<π)
圆心在点(r ，π)
ρ＝－2r cos
θ
(
π2≤θ<3π2
)
圆心在点(r ，3π
2
)
ρ＝－2r sin
θ
(－π<θ≤0)
(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2
－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2
0－
r 2＝0.
1．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是( )
A ．过(4，0)点，且垂直于极轴的直线
B ．过(2，0)点，且垂直于极轴的直线
C ．以(4，0)为圆心，半径为4的圆
D ．以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程ρ＝4表示以极点为圆心，以4为半径的圆．
2．圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标( )
A ．ρ＝1
B ．ρ＝cos θ
C ．ρ＝2cos θ
D ．ρ＝2sin θ 解析：选C.经过极点O 且半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，因圆心在(1，0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cos θ，故选C.
3．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆
解析：选D.ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ，
所以ρ2
＝22ρcos θ＋2
2ρsin θ， 即x 2
＋y 2＝
22x ＋22
y . 化简整理得⎝
⎛
⎭⎪⎫x －242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －242＝14，表示圆．选D.
4．极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线所围成的面积为________．
解析：由ρ＝2cos θ＝2×1×cos θ知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1， 所以面积S ＝πr 2
＝π. 答案：π
圆的极坐标方程
求圆心在C ⎝
⎛⎭⎪⎫2，
3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝
⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上．
[解] 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，
A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .
在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ， 所以ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0，0)，A ⎝
⎛⎭
⎪⎫
4，
3π2的坐标满足上式． 所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. 因为sin
5π6＝12
， 所以ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π
6＝－2，
所以点⎝
⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上．
求曲线的极坐标方程的五个步骤
(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出
等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．(一般只要对特殊点加以检验即可)．
[注意] 求曲线的极坐标方程，关键要找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.
求圆心在C ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2，
π4，半径为1的圆的极坐标方程． 解：设圆C 上任意一点的极坐标为M (ρ，θ)，如图，在△OCM 中，由余弦定理，得 |OM |2
＋|OC |2
－2|OM |·|OC |·cos ∠COM ＝|CM |2
，
即ρ2
－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.
当O ，C ，M 三点共线时，
点M 的极坐标⎝
⎛⎭
⎪⎫
2±1，
π4也适合上式， 所以圆的极坐标方程为
ρ2－22ρcos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
θ－π4
＋1＝0.
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：
(1)y2＝4x； (2)x2＋y2－2x－1＝0； (3)ρ＝
1
2－cos θ
.
[解] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，
得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.
化简，得ρsin2θ＝4cos θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，
化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)因为ρ＝1
2－cos θ
，
所以2ρ－ρcos θ＝1.
所以2x2＋y2－x＝1.
化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.
在进行两种坐标方程间的互化时应注意的问题
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．
(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．
(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．
1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程．
(1)y＝3x；(2)x2－y2＝1.
解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝3x得ρsin θ＝3ρcos θ，从而
θ＝π
3
.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2－y2＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，
化简，得ρ2＝
1
cos 2θ
.
2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
(1)ρ2cos 2θ＝1；
(2)ρ＝2cos⎝
⎛
⎭⎪
⎫
θ－
π
4
.
解：(1)因为ρ2
cos 2θ＝1， 所以ρ2
cos 2
θ－ρ2
sin 2
θ＝1. 所以化为直角坐标方程为x 2
－y 2
＝1.
(2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4
＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2
＝2
ρcos θ＋2ρsin θ.
所以化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x －2y ＝0.
求相关动点的极坐标方程
从极点O 作圆C ：ρ＝2a cos θ的任意一条弦ON ，求各弦的中点M 的极坐标方
程．
[解] 法一：如图所示，圆C 的圆心C (a ，0)，半径r ＝|OC |＝a ，
因为M 为弦ON 的中点，连接CM .
所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上， 所以动点M 的极坐标方程是ρ＝a cos θ. 法二：设M (ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． 因为N 点在圆ρ＝2a cos θ上， 所以ρ1＝2a cos θ1.① 因为M 是ON 的中点，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，
θ1
＝θ.
将它代入①式得2ρ＝2a cos θ，故M 的极坐标方程是ρ＝a cos θ.
将本例中所求得的中点M 的极坐标方程化为直角坐标方程．
解：因为ρ＝a cos θ，所以ρ2
＝a ·ρcos θ， 所以x 2
＋y 2
＝ax ，
所以中点M 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－ax ＝0.
本例所涉及的问题有相关的两个动点，其中一个动点的轨迹方程已知，求另一个动点的轨迹方程．求解时找出等量关系，代入化简即可．
从极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使
OP PQ ＝2
3
，求点Q 的极坐标方程，并说明所求的轨迹是什么图形？
解：设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0)，则θ＝θ0，
ρ0ρ－ρ0＝23，所以ρ0＝2
5
ρ，因为ρ0
＝2cos θ0.所以2
5
ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ，它表示一个圆．
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例
如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π或
⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.
2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化
与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化．
3．求曲线的极坐标方程
求解步骤与直角坐标系中求曲线方程的步骤基本相同．较简单曲线的极坐标方程可直接求，较复杂曲线的极坐标方程可以先求直角坐标方程，然后再转化．
4．极坐标方程表示的曲线形状的判断方法
极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出，通常是先转化为直角坐标方程后再分析形状．
1．极坐标方程ρ＝1表示( )
A ．直线
B ．射线
C ．圆
D ．半圆
解析：选C.因为ρ＝1，所以ρ2
＝1，所以x 2
＋y 2
＝1.所以表示圆． 2．极坐标方程ρ＝a sin θ(a ＞0)所表示的曲线的图形是( )
解析：选C.如图所示．
设M(ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM＝∠MOx＝θ，
在Rt△NMO中，|OM|＝|ON|sin∠ONM，
即ρ＝2r sin θ＝a sin θ.
3．把圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ转化为直角坐标方程为______________，圆心的直角坐标为________．
解析：因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入得直角坐标方程为x2＋y2＝2x，其圆心坐标为(1，0)．
答案：x2＋y2＝2x(1，0)
4．写出圆心在(1，－1)处，且过原点的圆的极坐标方程．
解：圆的半径为r＝2，圆的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
变形得x2＋y2＝2(x－y)，
用坐标互化公式得ρ2＝2(ρcos θ－ρsin θ)，
即ρ＝2cos θ－2sin θ.
[A 基础达标]
1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为( )
A．ρ＝22cos θ B．ρ＝－22cos θ
C．ρ＝22sin θ D．ρ＝－22sin θ
解析：选B.如图所示，P(2，π)，
在圆上任找一点M(ρ，θ)，
延长OP 与圆交于点Q ，
则∠OMQ ＝90°，在Rt △OMQ 中， |OM |＝|OQ |·cos ∠QOM ， 所以ρ＝22cos (π－θ)， 即ρ＝－22cos θ.选B.
2．x 2
＋y 2
－4x ＝0的极坐标方程为( )
A ．ρ＝2cos θ
B ．ρ＝2sin θ
C ．ρ＝4cos θ
D ．ρ＝4sin θ 解析：选C.把x ＝ρ·cos θ，y ＝ρ·sin θ，x 2
＋y 2
＝ρ2
代入得ρ2
－4·ρ·cos θ＝0，
所以ρ＝0或ρ＝4cos θ.
又极点也在ρ＝4cos θ上，故选C.
3．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫5，－2π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，5π3
解析：选D.因为ρ＝5cos θ－5 3 sin θ， 所以ρ2
＝5ρcos θ－53ρsin θ， 所以x 2
＋y 2＝5x －53y ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋5322＝25，
所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5
2
，－532，ρ＝
254＋75
4
＝5， tan θ＝y x ＝－3，θ＝5π
3
，
所以圆心C 的极坐标为C ⎝
⎛
⎭
⎪⎫5，
5π3. 4．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A ．2 B ． 2 C ．1 D ．22
解析：选D.两圆的直角坐标方程分别为
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122
＝14
， 圆心分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12， 圆心距d ＝14＋14＝22
， 故选D.
5．极坐标方程ρ＝cos(π
4
－θ)表示的曲线是( )
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．圆 解析：选D.因为ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ，即ρ＝22(cos θ＋sin θ)， 所以ρ2
＝
2
2
(ρcos θ＋ρsin θ)， 所以x 2
＋y 2＝22x ＋22y ，即⎝
⎛
⎭⎪⎫x －242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －242＝14.
6．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．
解析：因为 ρ＝2sin θ，所以 ρ2
＝2ρsin θ，所以 x 2
＋y 2
＝2y ， 即x 2
＋y 2
－2y ＝0. 答案：x 2
＋y 2
－2y ＝0
7．圆心在点(3，π)处，半径为3的圆的极坐标方程为____________．
解析：如图所示C (3，π)，A (6，π)，设M (ρ，θ)为圆上异于O 、A 的任一点，连接
OM ，AM ，则OM ⊥AM ，|OA |＝6为圆C 的直径，在Rt △OMA 中，∠AOM ＝π－θ或θ－π，
因为|OM |＝|OA |cos (π－θ)， 所以ρ＝6cos (π－θ)，
即ρ＝－6cos θ，验证知O 、A 也适合， 所以所求圆的极坐标方程为ρ＝－6cos θ(π2≤θ≤3π
2
)． 答案：ρ＝－6cos θ(π2≤θ≤3π
2
)
8．在极坐标系中，若过点A (3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________．
解析：由题意知，直线方程为x ＝3， 曲线方程为(x －2)2
＋y 2
＝4， 将x ＝3代入圆的方程， 得y ＝±3，则|AB |＝2 3. 答案：2 3
9．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化． (1)x 2
＋y 2
－2x ＝0；
(2)ρ＝cos θ－2sin θ； (3)ρ2
＝cos 2
θ.
解：(1)因为x 2
＋y 2
－2x ＝0， 所以ρ2
－2ρcos θ＝0. 所以ρ＝2cos θ.
(2)因为ρ＝cos θ－2sin θ， 所以ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ. 所以x 2
＋y 2＝x －2y ， 即x 2
＋y 2－x ＋2y ＝0. (3)因为ρ2
＝cos 2
θ，
所以ρ4
＝ρ2
cos 2
θ＝(ρcos θ)2
. 所以(x 2
＋y 2)2
＝x 2
， 即x 2
＋y 2
＝x 或x 2
＋y 2
＝－x .
10．若圆C 的方程是ρ＝2a sin θ，求： (1)关于极轴对称的圆的极坐标方程； (2)关于直线θ＝3π
4对称的圆的极坐标方程．
解：设所求圆上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)． (1)点M (ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)， 代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin(－θ)， 即ρ＝－2a sin θ为所求． (2)点M (ρ，θ)关于直线θ＝
3π4对称的点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫ρ，3π2－θ，代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－θ，即ρ＝－2a cos θ为所求．
[B 能力提升]
11．以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A ．ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 B ．ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 C ．ρ＝2cos(θ－1) D ．ρ＝2sin(θ－1)
解析：选C.在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为：r 2
＝ρ2
0＋ρ2
－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．
12．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，点Q 是圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π3 上的动点，则|PQ |
的最小值是________．
解析：已知圆的圆心为C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，53π，半径为1，将点P ，C 的极坐标化为直角坐标为P (－1，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
，－32. 由圆的几何性质知，|PQ |的最小值应是|PC |减去圆的半径，即|PQ |min ＝|PC |－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋322－1＝3－1＝2. 答案：2
13．设点M 是定圆O 内一定点，任作半径OA ，连接MA ，过M 作MP ⊥MA 交OA 于点P ，求P 点的极坐标方程．
解：以O 为极点，射线OM 为极轴，建立极坐标系，如图．
设定圆O 的半径为r ，OM ＝a ，P (ρ，θ)是轨迹上任意一点．
因为MP ⊥MA ，
所以|MA |2＋|MP |2＝|PA |2.
由余弦定理，可知
|MA |2＝a 2＋r 2－2ar cos θ，
|MP |2＝a 2＋ρ2－2aρcos θ.
而|PA |＝r －ρ，
由此可得a 2＋r 2－2ar cos θ＋a 2＋ρ2－2aρcos θ＝(r －ρ)2.
整理化简，得ρ＝a (a －r cos θ)a cos θ－r
. 14．(选做题)在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝
⎛⎭
⎪⎫3，π3，半径为3，点Q 在圆周上运动．
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)若点P 是OQ 的中点，求点P 的轨迹． 解：(1)如图，设Q (ρ，θ)为圆上任意一点，OD 为直径，连接DQ ，OQ ，则|OD |＝6，
∠DOQ ＝π3－θ，或∠DOQ ＝θ－π3
，
因为∠DQO ＝π2
. 所以在Rt △ODQ 中，|OQ |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π3， 即ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.
(2)若P 的极坐标为(ρ，θ)，
则Q 点的极坐标为(2ρ，θ)．
所以2ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，
所以ρ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.
所以P 的轨迹是圆．。